PAS MATEMATIKA BLOG: Mei 2023

$A. Vektor Di Ruang$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

\begin{array}{cc} Nama & R^{3} \\ Vektor Satuan & Ruang (Bidang XYZ) \\ {\hat{e}}_{\bar{a}} = \frac{\bar{a}}{| \bar{a} |} & {\begin{cases} i = & vektor satuan \\ yang searah sumbu X \\ j = & Vektor satuan \\ yang searah sumbu Y \\ k = & Vektor satuan \\ searah sumbu Z \end{cases} \\ Vektor nol & \vec{O} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \\ Vektor posisi & \vec{O P} = \vec{p} = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) = p_{1} \bar{i} + p_{2} \bar{j} + p_{3} \bar{j} \\ Besar Vektor & \vec{O P} = \sqrt{p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2}} \end{array}

B. Operasi Vektor

1. Sifat-Sifat Aljabar Vektor

\begin{array}{lll} 1. & Komutatif penjumlahan & \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \\ 2. & Asosiatif penjumlahan & (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \\ 3. & Elemen Identitas & \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a} \\ 4. & Invers Penjumlahan & \vec{a} + (- \vec{a}) = (- \vec{a}) + \vec{a} = \vec{0} \\ 5. & Perkalian dengan skalar & k (l \vec{a}) = (k l) \vec{a} \\ k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b} \\ k (\vec{a} - \vec{b}) = k \vec{a} - k \vec{b} \\ 6. & \begin{aligned} Jika A, B, dan C segaris \\ (Kolinear) \end{aligned} & {\begin{cases} \vec{A B} = k \vec{B C} \\ \vec{A C} = k \vec{A B} \\ d l l \end{cases} \end{array}

\begin{array}{cc} Vektor & Contoh \\ \vec{z} = a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k} & \begin{aligned} diketahui \vec{p} = \vec{i} - 2 \vec{j} + 2 \vec{k} \\ maka pangjang vektor \vec{p} adalah \\ | \vec{p} | = \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2}} \\ = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \end{aligned} \\ \begin{aligned} Vektor satuan dari \vec{p} adalah \\ {\vec{e}}_{\vec{p}} = \frac{\vec{p}}{| \vec{p} |} = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})}{3} \\ = \frac{1}{3} (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui vektor-vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ \vec{b} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}), dan \vec{c} = (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}), \\ tentukanlah hasil dari \\ a . \vec{a} + \vec{b} \\ b . 6 \vec{a} + 2 \vec{b} \\ c . 2 \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \\ d . \frac{1}{2} \vec{c} - \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a & \vec{a} + \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 2 + (- 3) \\ 1 + (- 5) \\ (- 4) + 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 2 - 3 \\ 1 - 5 \\ - 4 + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) \\ b . & 6 \vec{a} + 2 \vec{b} = 6 (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + 2 (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 18 - 6 \\ 6 - 10 \\ - 24 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 12 \\ - 4 \\ - 20 \end{array}) \\ c . & 2 \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \\ 2 (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 4 + 3 + 7 \\ 2 + 5 + 0 \\ - 8 - 2 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 17 \\ 7 \\ - 6 \end{array}) \\ d . & \frac{1}{2} \vec{c} - \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} = \dots \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui vektor-vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ tentukanlah | \vec{a} | \\ Jawab : \\ \begin{aligned} | \vec{a} | & = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + (- 4)^{2}} \\ = \sqrt{4 + 1 + 16} \\ = \sqrt{21} \end{aligned} \end{array}

2. Perkalian Skalar Dua Vektor

Konsep perkalian skalar dua buah vektor di ruang sama persis dengan konsep di bidang, yaitu:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ

Misalkan diketahui

\begin{aligned} \vec{a} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}), \vec{b} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}), maka \\ \vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) \\ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui vektor-vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ \vec{b} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}), dan \vec{c} = (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}), \\ tentukanlah hasil dari \\ a . \vec{a} \cdot \vec{b} \\ b . \vec{a} \cdot \vec{c} \\ c . \vec{b} \cdot \vec{c} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a & \vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \\ = (2) (- 3) + (1) (- 5) + (- 4) (2) \\ = - 6 - 5 - 8 = - 19 \\ b & \vec{a} \cdot \vec{c} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ = (2) (7) + (1) (0) + (- 4) (4) \\ = 14 + 0 - 16 = - 2 \\ c & \vec{b} \cdot \vec{c} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ = (- 3) (7) + (- 5) (0) + (2) (4) \\ = - 21 + 0 + 8 = - 13 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tentukanlah nilai t jika \\ \vec{p} = 3 \bar{i} + t \bar{j} + \bar{k} dan \vec{p} \cdot \vec{p} = 13 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{p} = 13 \\ \vec{p} \cdot \vec{p} = | \vec{p} | | \vec{p} | \cos 0^{\circ} = 13, \\ ingat bahwa ∠ (\vec{p}, \vec{p}) = 0^{\circ} \\ dan nilai \cos 0^{\circ} = 1, \\ maka \\ \vec{p} \cdot \vec{p} = {| \vec{p} |}^{2} .1 = 13 \Leftrightarrow {| \vec{p} |}^{2} = 13 \\ \Leftrightarrow {(\sqrt{3^{2} + t^{2} + 1^{2}})}^{2} = 13 \\ \Leftrightarrow 3^{2} + t^{2} + 1^{2} = 13 \\ \Leftrightarrow 9 + t^{2} + 1 = 13 \\ \Leftrightarrow t^{2} = 13 - 9 - 1 = 10 \\ \Leftrightarrow t^{2} = 3 \\ \Leftrightarrow t = \pm \sqrt{3} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Diketahui \vec{p} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) \\ Jika \vec{p} tegak lurus \vec{q} maka \\ tentukanlah nilai t \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa \\ \vec{p} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) \\ dengan \vec{p} dan \vec{q} tegak lurus \\ artinya ∠ (\vec{p}, \vec{q}) = 90^{\circ} . Sehingga \\ nilai \cos 90^{\circ} = 0 \\ maka \\ \vec{p} \cdot \vec{q} = | \vec{p} | | \vec{q} | \cos θ \\ \vec{p} \cdot \vec{q} = | \vec{p} | | \vec{q} | \cdot 0 = 0 \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) = 0 \\ \Leftrightarrow (- 2) (4) + (1) (- 1) + (3) (t) = 0 \\ \Leftrightarrow - 8 - 1 + 3 t = 0 \\ \Leftrightarrow 3 t = 9 \\ \Leftrightarrow t = 3 \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Persektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI MANDIRI.

$A. Pendahuluan$

Polinom disebut juga suku banyak. Polinom atau suku banyak adalah suatu bentuk variabel yang berpangkat/berderajat.

Secara definisi suku banyak (polinomial) dalam $x$ berderajat $n$ adalah:

Suatu bentuk

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + . . . + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0}$

dengan $n$ bilangan cacah serta $a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ koefisien dari suku $x$ dan $a_{n} \neq 0$ dengan $a_{0}$ sebagai suku tetap (konstan)nya.

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut!

$\begin{array}{ll} \begin{aligned} a_{n} & adalah koefisien dari x^{n} \\ a_{n - 1} & adalah koefisien dari x^{n - 1} \\ a_{n - 2} & adalah koefisien dari x^{n - 2} \\ ⋮ \\ a_{2} & adalah koefisien dari x^{2} \\ a_{1} & adalah koefisien dari x^{1} \\ a_{0} & adalah konstanta \\ (suku tetap) \end{aligned} & \begin{aligned} a_{n} & \neq 0 \\ n : & bilangan cacah, \\ : & adalah derajat (pangkat) \\ tertinggi dalam suku \\ banyak tersebut \end{aligned} \end{array}$

$CONTOH SOAL 1$

$\begin{aligned} 1. & Polinom 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2020 dapat dinyatakan \\ dengan 2 x^{3} - 6 x^{2} + 0 x^{1} + 2020 x^{0} \\ Polinom tersebut memiliki suku tetap 2020 \\ 2. & Polinom 5 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x - 2021 dapat dinyatakan \\ dengan 5 x^{4} - 8 x^{3} + 0 x^{2} + 6 x^{1} - 2021 x^{0} \\ Polinom tersebut memiliki suku tetap - 2021 \\ 3. & Polinom x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 \sqrt{x} + 1 tidak dapat \\ dinamakan polinom, sebab ada variabel dari x \\ yang berderajat bukan bilangan cacah \\ 4. & Sedangkan polinom 5 - x + (2 - x) (1 + x + x^{2}) \\ adalah bentuk polinom, karena dapat dinayatakan \\ dengan - x^{3} + x^{2} + 7 \end{aligned}$

$B. Nilai Polinom$

Polinom atau suku banyak yang berderajat $n$ yang selanjutnya dinyatakan dengan

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + . . . + a_{1} x^{1} + a_{0}$

Berkaitan dengan kebutuhan penentuan nilai ini, dapat ditentukan dengan dua cara:

$a. Substitusi$

$\begin{aligned} Nilai suku banyak f (x) berderajat \\ n saat x = k adalah f (k) . \\ Jika f (k) = 0 maka x = k akar dari f (x), \\ dan (x - k) faktor dari f (x) \end{aligned}$

$CONTOH SOAL 2$

Jika suatu polinom dinyatakan dengan $f (x)$ , maka nilai polinom itu untuk $x = 3$ adalah $f (3)$ .

Misalkan diketahui

$\begin{aligned} 1. f (x) & = x^{3} - 1 \\ mak & a \\ f (1) & = 1^{3} - 1 = 1 - 1 = 0 \\ f (3) & = 3^{3} - 1 = 27 - 1 = 26 \\ f (- 4) & = (- 4)^{2} - 1 = - 64 - 1 = - 65 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll} 2. & Diketahui h (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 12 x - 6 \\ Tentukanlah nilai untuk h (- 2), h (- 1), \\ h (0), h (1), dan h (2) \\ Jawab : \\ \begin{array}{ccl} x = k & h (k) & Nilai \\ x = - 2 & h (- 2) & \begin{aligned} h (- 2) & = 2 (- 2)^{3} + 5 (- 2)^{2} - 12 (- 2) - 6 \\ = - 16 + 20 + 24 - 6 \\ = 22 \end{aligned} \\ x = - 1 & h (- 1) & \begin{aligned} h (- 1) & = 2 (- 1)^{3} + 5 (- 1)^{2} - 12 (- 1) - 6 \\ = - 2 + 5 + 12 - 6 \\ = 9 \end{aligned} \\ x = 0 & h (0) & \begin{aligned} h (0) & = 2 (0)^{3} + 5 (0)^{2} - 12 (0) - 6 \\ = - 6 \end{aligned} \\ x = 1 & h (1) & \begin{aligned} h (1) & = 2 (1)^{3} + 5 (1)^{2} - 12 (1) - 6 \\ = 2 + 5 - 12 - 6 \\ = - 11 \end{aligned} \\ x = 2 & h (2) & \begin{aligned} h (2) & = 2 (2)^{3} + 5 (2)^{2} - 12 (2) - 6 \\ = 16 + 20 - 24 - 6 \\ = 6 \end{aligned} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 3. & Diketahui p (x) = x - 2019 \\ dan q (x) = x^{2019} + 1. Tentukanlah \\ nilai untuk p (q (2)) dan q (p (2)) \\ Jawab : \\ Yang dibahas yang bagian p (q (2)) \\ q (2) = 2^{2019} + 1, maka nilai \\ \begin{aligned} p (q (2)) & = (2^{2019} + 1) - 2019 \\ = 2^{2019} - 2018 \end{aligned} \\ Untuk yang q (p (2)) adalah \\ p (2) = \dots, maka nilai \\ \begin{aligned} q (p (2)) & =∵ \dots^{2019} + 1 \\ = \dots \end{aligned} \end{array}$

$b. Horner/Sintetik$

Nilai suatu polinom dapat ditentukan dengan pembagian sintesis Horner

Misalkan:

$\begin{aligned} f (x) & = a x^{3} + b x^{2} + c x + d saat akan dibagi \\ x = h, maka pembagian Horner itu : \end{aligned}$

Perhatikan bahwa proses ke bawah adalah berup proses penjumlahan.

Proses di atas akan sama saat kita mensubstitusikan

x = h

ke dalam

f (x)

, yaitu:

\begin{aligned} f (x) & = a x^{3} + b x^{2} + c x + d saat \\ x = h, maka \\ f (h) & = a h^{3} + b h^{2} + c h + d \\ Cukup JELAS bukan ? \end{aligned}

$CONTOH SOAL 3$

$\begin{array}{l} Tentukanlah nilai dari f (4) jika \\ diketahui f (x) = x^{3} - x - 5 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} (1) . & Cara substitusi langsung \\ f (x) = x^{3} - x - 5 \\ f (4) = 4^{3} - 4 - 5 \\ = 64 - 9 = 55 \\ (2) . & Cara Horner \\ Karena f (x) = x^{3} - x - 5 \\ dan koefisiennya yang akan \\ adalah : \\ a_{3} = 1, a_{2} = 0, a_{1} = - 1, & a_{0} = - 5 \\ maka bagan pembagian Hornernya \\ \begin{array}{llllllllllll} x = 4 & 1 & 0 & - 1 & - 5 \\ 4 & 16 & 60 & + \\ 1 & 4 & 15 & 55 \end{array} \end{aligned} \end{array}$

PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan Materi Polinom

Lanjutan Vektor di Ruang

Vektor di Ruang

Polinom