$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{D}.\quad&\textrm{Binomial Newton} \end{aligned}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{D. 1}.\quad&\textrm{Binomial Newton} \end{aligned}$
$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah susunan bilangan berikut}\\\\ &\begin{array}{|c|l|}\hline &\\ 1=C_{0}^{\color{red}1}\quad 1=C_{1}^{\color{red}1}&(a+b)^{\color{red}1}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}2}\quad 2=C_{1}^{\color{red}2}\quad 1=C_{2}^{\color{red}2}&(a+b)^{\color{red}2}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}3}\quad 3=C_{1}^{\color{red}3}\quad 3=C_{2}^{\color{red}3}\quad 1=C_{3}^{\color{red}3}&(a+b)^{\color{red}3}\\ &\\ 1=C_{0}^{\color{red}4}\quad 4=C_{1}^{\color{red}4}\quad 6=C_{2}^{\color{red}4}\quad 4=C_{3}^{\color{red}4}\quad 1=C_{4}^{\color{red}4}&(a+b)^{\color{red}4}\\ \vdots &\: \: \quad\vdots \\ dst&(a+b)^{\color{red}\cdots }\\ &\\ \vdots&\: \: \quad\vdots \\ &(a+b)^{\color{red}n}\\\hline \end{array}\\\\ &\textrm{Susunan bilangan-bilangan di atas selanjutnya}\\ &\textrm{dinamakan}\: \: \: \textbf{Segitiga Pascal}\\ & \end{aligned}$
$\begin{aligned}&\textrm{Bilangan}\: \: C_{r}^{n}=\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\: \: \textrm{merupakan koefisien}\\ &\textrm{dari binomial}\: \: (a+b)^{n}\\ &\textrm{Selanjutnya perhatikanlah bahwa untuk}\\ &n=1,2,3,4,\cdots \: \: \: \textrm{berlaku}\\ &\color{red}\begin{aligned}(a+b)^{n}\color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}a^{n}b^{0}+C_{1}^{n}a^{n-1}b^{1}+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}\\ &+C_{3}^{n}a^{n-3}b^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}a^{3}b^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}a^{2}b^{n-2}+C_{n-1}^{n}a^{1}b^{n-1}+C_{n}^{n}a^{0}b^{n}\\ &\color{black}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{\color{red}n}a^{\color{red}n\color{black}-r}b^{r} \end{aligned}\\ & \end{aligned}$
$\color{blue}\textrm{D. 2 Perluasan Binomial Newton}$
$\begin{aligned}&\textrm{Untuk bilangan real}\: \: n\: \: \textrm{dan bilangan}\\ &\textrm{non negatif}\: \: r,\: \: \textrm{serta}\: \: \left | A \right |<1,\: \textrm{berlaku}:\\ &(1+A)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{n}A^{r} \end{aligned}$
$\color{blue}\textrm{D. 3 Teorema Multinomial}$
Pada bentuk multinomial dengan ekspresi $(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{r})^{n}$ dengan n dan r bilangan bulat positif, maka koefisien dari $\color{red}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}x_{3}^{n_{3}}\cdots x_{r}^{n_{r}}$ adalah $\displaystyle \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!\cdots n_{r}!}$ dinotasikan dengan $\begin{pmatrix} n\\\\ n_{1},n_{2},n_{3},\cdots ,n_{r} \end{pmatrix}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Misalkan untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ &\textrm{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ &\textrm{a}.\quad (1+x)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}C_{r}^{n}x^{r}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}x^{r}\\ &\textrm{b}.\quad \begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=2^{n}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\color{red}\begin{aligned}\color{black}\textrm{a}.\quad(1+x)&^{n}\\ \color{black}=\, &\color{red}C_{0}^{n}1^{n}x^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}x^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}x^{2}\\ &+C_{3}^{n}1^{n-3}x^{3}+\cdots +C_{n-3}^{n}1^{3}x^{n-3}\\ &+C_{n-2}^{n}1^{2}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}1^{1}x^{n-1}+C_{n}^{n}1^{0}x^{n}\\ =\, &\color{red}C_{0}^{n}+C_{1}^{n}x+C_{2}^{n}x^{2} +C_{3}^{n}x^{3}+\cdots \\ &+C_{n-3}^{n}x^{n-3} +C_{n-2}^{n}x^{n-2}+C_{n-1}^{n}x^{n-1}\\ &+C_{n}^{n}x^{n}\\ \color{black}\textrm{atau}&\: \color{black}\textrm{dengan bentuk lain}\\ =\, &\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}x^{2}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}x^{3}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-3 \end{pmatrix}x^{n-3}+\begin{pmatrix} n\\ n-2 \end{pmatrix}x^{n-2}\\ &+\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}x^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}x^{n}\\ \color{black}=&\color{black}\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} \color{red}n\\ r \end{pmatrix}x^{r} \end{aligned}\\ &\color{red}\begin{aligned}\color{black}\textrm{b}.\quad(1+x)&^{n}\: \: \color{black}\textrm{lihat jawaban poin}\: \: a,\: \: \textrm{saat}\: \: \color{blue}x=1\\ \color{black}(1+1)&^{n}\color{red} \color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}1+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}1^{2}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}1^{3}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-3 \end{pmatrix}1^{n-3}+\begin{pmatrix} n\\ n-2 \end{pmatrix}1^{n-2}\\ &+\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}1^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}1^{n}\\ \color{black}(2)&^{n}\color{red} \color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}\\ &+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ n-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}\\ \color{black}=&\color{black}\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}\\ \color{black}\textrm{Sehing}&\color{black}\textrm{ga}\\ 2^{n}&=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Misalkan untuk}\: \: n\: \: \textrm{bilangan bulat}\\ &\textrm{Positif. Tunjukklan bahwa}\\ & \begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}-\cdots +(-1)^{n}\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=0\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Sebelumnya diketahui bahwa}\\ &\begin{aligned}&(a+b)^{n}=\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}a^{n-r}b^{r}\\ &\qquad\qquad\qquad \color{blue}\textrm{atau}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}a^{n-r}b^{r}=(a+b)^{n}\\ &\blacklozenge \quad \textrm{saat}\: \: \color{blue}a=b=1,\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}1^{n-r}1^{r}=(1+1)^{n}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}=2^{n}\: ...\: (\color{red}\textrm{bukti no. 1.b})\\ &\blacklozenge \quad \textrm{saat}\: \: \color{blue}a=1\: \&\: b=-1\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\displaystyle \sum_{r=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ r \end{pmatrix}1^{n-r}(-1)^{r}=(1-1)^{n}=0\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}-\cdots +(-1)^{n}\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}=0\quad \blacksquare \end{aligned} \end{array}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E}.\quad&\textrm{Distribusi Binomial} \end{aligned}$
Perhatikan materi Binomial Newton di atas berkaitan dengan distribusi binomial. Misalkan suatu kejadian yang hanya memberikan dua hasil saja $\color{red}a$ dan $\color{red}b$ saja seperti melambungkan sebuah uang koin yang akan menghasilkan 2 hasil saja yang mungkin, yaitu antara sisi gambar $\color{red}G$ atau muncul sisi angka $\color{red}A$ atau pada contoh lainnya adalah ketika seseorang yang menunggu hasil hasil ujian yang jelas hasilnya kemungkinannya cuma dua, yaitu lulus atau tidak lulus.
Percobaan acak yang hanya memberikan 2 hasil saja disebut percobaan $\color{red}Bernoulli$. Selanjujtnya percobaan Bernoulli yang dilakukan sebanyak $\color{blue}n$ kali dinamakan dengan $\color{red}\textrm{percobaan}\: \textrm{Binomial}$.
Variabel acak $\color{red}X$ yanmg mana nilai-nilainya ditentukan oleh hasil dari percobaan binomial disebut sebagai Variabel Acak Binomial.
Berikut ciri-ciri percobaan binomial
- Percobaan dilakukan secara berulang sebanyak $\color{red}n$ kali, dengan $\color{red}n$ bilangan bulat positif
- Setiap percobaan memiliki dua macam hasil saja dan saling berkomplemen, yaitu kejadian yang diharapkan (disebut sukses) dan kejadian yang tidak diharapkan (disebut tidak sukses)
- Peluang setiap kejadian bersifat tetap untuk setiap percobaan dan jumlah peluangnya baik sukses maupun yang tidak sukses sama dengan 1. Misalkan peluang suksesny adalah $\color{red}p$, maka peluang gagalnya adalah $\color{red}q=1-p$
- Setiap percobaan bebas $\color{red}(independent)$ satu sama lainnya, artinya hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi percobaan yang lain.
Secara umum rumus fungsi $\color{red}\textrm{distribusi binomial}$ adalah:
$\begin{aligned}&f(x)=P(x;n;p)=\color{red}C(n,x)p^{x}q^{n-x}\color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ &\textbf{Keterangan}:\\ &\bullet \: C(n,x)=\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}=\color{blue}\textrm{koefisien bibonial}\\ &\bullet \: x=\textrm{banyak kejadian yang diharapkan},\\ &\quad\qquad \textrm{dengan nilai}\: \: x=0,1,2,3,\cdots ,n\\ &\bullet \: p=\textrm{peluang kejadian yang diharapkan}\\ &\bullet \: q=\textrm{peluang kejadian yang tidak diharapkan} \end{aligned}$
Jika rumus dari fungsi peluang di atas dijabarkan akan menjadi berupa bentuk penjumlahan, maka
$\begin{aligned}F(t)&=P(X\leq t)\\ &=\displaystyle \sum_{x=0}^{x=t}\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ &=\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix}p^{0}q^{n-0}+\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix}+p^{1}q^{n-1}+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix}p^{2}q^{n-2}+\cdots +\begin{pmatrix} n\\ t \end{pmatrix}p^{t}q^{n-t} \end{aligned}$
Dan rumus di atas karena tidak sepenuhnya sampai $\color{red}n$ , maka akan diperoleh fungsi binomial. kumulatif.
Hasil perhitungan $\color{red}f(x)=P(x;n;p)$ juga dapat dilihat dalam tabel distribusi binomial. Sebagai contohnya adalah $\color{red}P(2;4;0,05)$ yang berarti $\color{red}x=2$, $\color{red}n=4$, dan $\color{red}p=0,05$ berikut tabelnya:
(Sumber: Buku Siswa Matematika Kelas XII, penulis Tasari, dkk, 2016; hal :126, PT.INTAN PARIWARA)
Sedangkan untuk mencari nilai fungsi peluang distribusi binomial kumulatif, misalkan diberikan $F(2)=P(X\leq 2)$ dari $\color{red}P(2;4;0,05)$ perhatikanlah tabel distribusi untuk distribusi peluang kumulatif dari sumber buku yang sama tetapi terdapat pada halaman berikutnya dengan melihat kolom $\color{red}p=0,05$ , lalu perhatikan baris $\color{red}x=2$ untuk $\color{red}n=2$. Berikut tabelnya
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dari sebuah survei didapatkan bahwa}\\ &\textrm{1 dari 5 orang berkata bah dia telah}\\ &\textrm{mengunjungi dokter dalam sembarang}\\ &\textrm{bulan. Jika 10 orang dipilih secara acak}\\ &\textrm{maka peluang 3 orang telah berkunjung}\\ &\textrm{ke dokter pada bulan kemaren adalah}\: ....\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&n=10, \: x=3,\: p=\displaystyle \frac{1}{5},\: q=\frac{4}{5}\\ &\textrm{maka}\\ &P(3;10;\displaystyle \frac{1}{5})=\begin{pmatrix} 10\\ 3 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{5} \right )^{3}\left ( \displaystyle \frac{4}{5} \right )^{7} \end{aligned}\\ &\quad\qquad\qquad=\color{red}0,201 \end{array}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{TAMBAHAN}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E}.\quad&\textrm{Dsitribusi Poisson} \end{aligned}$
Perhatikanlah rumus ditribusi binomial berikut
$\begin{aligned}&f(x)=P(x;n;p)\\ &=\color{red}C(n,x)p^{x}q^{n-x}\color{black}=\color{red}\begin{pmatrix} n\\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}\\ \end{aligned}$
Saat harga $\color{blue}p$ sebagai lmabang sukses tersebut sangat kecil atau kecil sekali dapat juga dikatakan $\color{blue}p\rightarrow 0$, dan percobaan dilakukan banyak sekali atau $\color{blue}n\rightarrow \infty$ , maka penggunaan formula binomial akan terasa sulit. Dan untuk tetap mendapatkan nilai seperti hasil pada perhitungan dengan rumus binomial tersebut, maka digunakan pendekatan nilai dengan menggunkan rumus Distribusi Poisson berikut:
$f(x)=P(X=x)=\color{red}P(x;\lambda )=\displaystyle \frac{\lambda ^{x}}{x!}.e^{-\lambda }$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada tiap 100 lembarkertas produksi}\\ &\textrm{suatu pabrikdiperkirakan terdapat 1}\\ &\textrm{lembar yang rusak. Tentukanlah}\\ &\textrm{kemungkinan mendapat selembar kertas}\\ &\textrm{dari 20 lembar yang diambil secara acak}\\ &\textrm{dari hasil produksi tersebut}!\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &n=10, \: x=1,\: p=\displaystyle \frac{1}{100},\: q=\frac{99}{100}\\ &\textrm{maka penghitungan dengan}\\ &\textrm{rumus}\: \textbf{Distribusi Binomial}\\ &P(1;20;\displaystyle \frac{1}{100})=\begin{pmatrix} 20\\ 1 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{100} \right )^{1}\left ( \displaystyle \frac{99}{100} \right )^{19}\\ &=\cdots \\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan rumus}\: \textbf{Distribusi poisson}\\ &\bullet \quad n=20\rightarrow \textrm{terlalu besar, dan}\\ &\bullet \quad p=\displaystyle \frac{1}{100}\rightarrow \textrm{terlalu kecil, maka}\\ &\textrm{dengan}\: \: \lambda =np=20\times \displaystyle \frac{1}{100}=\color{blue}0,2\\ &\textrm{dan}\: \: \: e=2,7183\: \: (\textrm{bilangan Euler})\\ &f(x)=P(X=x)=\displaystyle \frac{\lambda ^{x}}{x!}.e^{-\lambda }\\ &f(1)=\displaystyle \frac{(0,2)^{1}.e^{-0,2}}{1!}\\ &\qquad =0,2\times 0,409\\ &\qquad =\color{red}0,0818 \end{aligned} \end{array}$
DAFTAR PUSTAKA
- Bintari, N. 2009. Master Juara Olimpiade Matematika SMA Nasional dan Internasional. Yogyakarta: PUSTAKA WIDYATAMA.
- Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA-MA/SMK Kelas XI. Bandung: SEWU.
- Rasiman, Rahmawati, N., D. 2012. Matematika Diskrit. Semarang: IKIP PGRI Semarang Press.
- Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
- Tasari, Sksin, N., Miyanto, & Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: PT. INTAN PARIWARA.
- Yuliatun. 2019. Matematika IPA Kelas XII SMA/MA Semester Genap. Solo: INDONESIA JAYA
