Contoh Soal 2 Peluang Kejadian Majmuk

$\begin{array}{ll}6.& \text{Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah,}\\ & \text{5 kelereng hijau, dan 4 kelereng biru}\\ & \text{Diambil sebuah kelereng secara acak.}\\ & \text{Peluang yang terambil merah atau hijau}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{7}{16}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{saling lepas}}.\text{Misalkan}\\ & A=\text{kejadian terambil 1 kelereng merah}\\ & n(A)=C(7,1)=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right)=7\\ & B=\text{kejadian terambil 1 kelereng hijau}\\ & n(B)=C(5,1)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=5\\ & S=\text{semua dianggap identik}\\ & n(S)=C(16,1)=\left(\begin{array}{c}16\\ 1\end{array}\right)=16\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{16}+\frac{5}{16}=\frac{12}{16}={\displaystyle \frac{3}{4}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}7.& \text{Dari 100 orang yang mengikuti kegiatan}\\ & \text{jalan santai terdapat 60 orang memakai}\\ & \text{topi dan 45 orang yang berkacamata.}\\ & \text{Peluang bahwa seorang yang dipilih dari}\\ & \text{kelompok orang itu memakai topi dan}\\ & \text{kacamata adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{20}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{11}{20}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{2}{5}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{9}{20}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah ilustrasi}\mathbf{\text{Diagram Venn}}\\ & \text{berikut ini}\\ & \begin{array}{|ccl|}\hline \begin{array}{|l|}\hline \text{S}=100\\ \hline\end{array}& & \\ & \text{A}\text{B}& \\ & \begin{array}{|lcr|}\hline 60-n& n& 45-n\\ \hline\end{array}& \\ & & \\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling lepas}}.\\ & A=\text{kejadian terpilih seorang bertopi}\\ & n(A)=C(60,1)=\left(\begin{array}{c}60\\ 1\end{array}\right)=60\\ & B=\text{kejadian terpilih seorang berkacamata}\\ & n(B)=C(45,1)=\left(\begin{array}{c}45\\ 1\end{array}\right)=45\\ & A\cap B=\text{terpilih seorang bertopi dan}\\ & \text{berkacamata}\\ & n(A\cap B)=x\\ & S=\text{semua dianggap identik}\\ & n(S)=C(100,1)=\left(\begin{array}{c}100\\ 1\end{array}\right)=100\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & {\displaystyle \frac{n(A\cup B)}{n(S)}={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-{\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}}}}\\ & {\displaystyle \frac{100}{100}=\frac{60}{100}+\frac{45}{100}-\frac{x}{100}}\\ & {\displaystyle \frac{x}{100}={\displaystyle \frac{105}{100}-\frac{100}{100}}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{100}=\frac{1}{20}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}8.& \text{Diketahui dua buah kotak A dan B}\\ & \text{berisi 5 bola putih dan 3 bola merah.}\\ & \text{Kotak B berisi 4 bola putih dan 2 bola}\\ & \text{merah. Jika diambil secara acak 1 kotak,}\\ & \text{kemudian diambil secara acak 1 bola dari}\\ & \text{kotak tersebut, maka peluang terambilnya}\\ & \text{bola putih adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{7}{16}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{31}{48}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ & \mathbf{\text{saling lepas}}\text{dari dua kejadian Q}\\ & \text{dan R. Misalkan}:\\ & \text{Pada kotak A}\\ & Q=\text{Terambil 1 bola putih di kotak A}\\ & n(Q)=C(5,1)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=5\\ & S_Q=\text{Terambil 1 bola saja di kotak A}\\ & n(S_Q)=C(8,1)=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)=8\\ & \text{Pada kotak B}\\ & R=\text{Terambil 1 bola putih di kotak B}\\ & n(R)=C(4,1)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=4\\ & S_R=\text{Terambil 1 bola saja di kotak B}\\ & n(S_R)=C(6,1)=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=6\\ & \text{Karena kejadian pengambilan sebuah}\\ & \text{bola putih di atas adalah dari pilihan}\\ & \text{dua buah kotak yang ada, maka peluang}\\ & \text{pengambilannya adalah 1 dari 2 kotak}\\ & \text{peluang kejadian ini adalah}={\displaystyle \frac{1}{2}.}\\ & \text{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}P(Q\cup R)={\displaystyle \frac{1}{2}(P(Q)+P(R))}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{n(Q)}{n(S_Q)}+\frac{n(R)}{n(S_R)}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{5}{8}+\frac{4}{6}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{31}{24}}\right)={\displaystyle \frac{31}{48}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}9.& \text{Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola }\\ & \text{putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5}\\ & \text{biru. Dari tiap-tiap kotak diambil 2 bola}\\ & \text{sekaligus secara acak. Peluang terambil 2}\\ & \text{bola merah pada kotak I dan 2 bola biru}\\ & \text{dari kotak II adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{10}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{3}{28}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{4}{15}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{57}{140}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ & \mathbf{\text{saling bebas}}\text{dari dua kejadian A}\\ & \text{dan B. Misalkan}:\\ & \text{Pada kotak I}\\ & A=\text{Terambil 2 bola merah di kotak I}\\ & n(A)=C(3,2)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3\\ & S=\text{Terambil 2 bola saja di kotak I}\\ & n(S)=C(5,2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10\\ & \text{Pada kotak II}\\ & B=\text{Terambil 2 bola biru di kotak II}\\ & n(B)=C(5,2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10\\ & S=\text{Terambil 2 bola saja di kota II}\\ & n(S)=C(8,2)=\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)=28\\ & \text{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ & {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\times P(B)}\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{10}\times \frac{10}{28}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{28}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}10.& \text{Jika kejadian}A\text{dan}B\text{dapat terjadi secara}\\ & \text{bersamaan. Jika}P(A)=0,6,P(B)=0.75,\\ & \text{dan}P(A\cap B)=0,43,\text{maka}P(A\cup B)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0,98}& & & \text{d}.& {\displaystyle 0,92}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 0,96}& \text{c}.& {\displaystyle 0,94}& \text{e}.& {\displaystyle 0,91}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling lepas}}.\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(A)=0,6,P(B)=0,75,P(A\cap B)=0,43\\ & \text{Ditanyakan nilai}P(A\cup B)=...?\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & =0,6+0,75-0,43\\ & =0,92\end{array}\end{array}$