$\begin{array}{ll}\ 11.&\textrm{Jika kejadian}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B\: \: \textrm{adalah dua kejadian}\\ &\textrm{dengan}\: \: P(A)=\displaystyle \frac{8}{15},\: P(B)=\displaystyle \frac{7}{12},\: \: \textrm{dan}\\ &P(A| B)=\displaystyle \frac{4}{7},\: \textrm{maka nilai}\: \: P(B|A)=\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{8}{45}&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \frac{5}{8}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{3}{8}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{7}{15} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{tidak saling bebas (bersyarat)}.\\ &\color{red}\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(A)=\displaystyle \frac{8}{15},\: P(B)=\displaystyle \frac{7}{12},\: P(A|B)=\displaystyle \frac{4}{7}\\ &\color{red}\textrm{Ditanyakan nilai}\: \: P(B|A)=\: ...?\\ &\color{purple}\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\color{blue}P(A\cap B)&=\color{blue}P(A\cap B)\\ P(A)\times P(B|A)&=P(B)\times P(A|B)\\ P(B|A)&=\displaystyle \frac{P(B)\times P(A|B)}{P(A)}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( \displaystyle \frac{7}{12} \right )\times \left ( \displaystyle \frac{4}{7} \right )}{\displaystyle \frac{8}{15}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{8}{15}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{15}{8}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{5}{8} \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$
Contoh Soal 2 Peluang Kejadian
$\begin{array}{ll}\ 6.&\textrm{Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah,}\\ &\textrm{5 kelereng hijau, dan 4 kelereng biru}\\ &\textrm{Diambil sebuah kelereng secara acak.}\\ &\textrm{Peluang yang terambil merah atau hijau}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{5}{16}&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \frac{3}{4}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{7}{16}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{2}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{2}{3} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{saling lepas}.\: \textrm{Misalkan}\\ &A=\textrm{kejadian terambil 1 kelereng merah}\\ &n(A)=C(7,1)=\begin{pmatrix} 7\\ 1 \end{pmatrix}=7\\ &B=\textrm{kejadian terambil 1 kelereng hijau}\\ &n(B)=C(5,1)=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}=5\\ &S=\textrm{semua dianggap identik}\\ &n(S)=C(16,1)=\begin{pmatrix} 16\\ 1 \end{pmatrix}=16\\ &\textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{7}{16}+\frac{5}{16}=\frac{12}{16}=\color{red}\displaystyle \frac{3}{4} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 7.&\textrm{Dari 100 orang yang mengikuti kegiatan}\\ &\textrm{jalan santai terdapat 60 orang memakai}\\ &\textrm{topi dan 45 orang yang berkacamata.}\\ &\textrm{Peluang bahwa seorang yang dipilih dari}\\ &\textrm{kelompok orang itu memakai topi dan}\\ &\textrm{kacamata adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\color{red}\displaystyle \frac{1}{20}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{11}{20}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{2}{5}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{9}{20}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{3}{5} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi}\: \: \textbf{Diagram Venn}\\ &\textrm{berikut ini}\\ &\begin{array}{|ccl|}\hline \color{red}\begin{array}{|l|}\hline \textrm{S}=100\\\hline \end{array}&&\\ &\color{blue}\textrm{A}\qquad\qquad \textrm{B}&\\ &\begin{array}{|l|c|r|}\hline 60-n&n&45-n\\\hline \end{array}&\\ &&\\\hline \end{array} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{tidak saling lepas}.\\ &A=\textrm{kejadian terpilih seorang bertopi}\\ &n(A)=C(60,1)=\begin{pmatrix} 60\\ 1 \end{pmatrix}=60\\ &B=\textrm{kejadian terpilih seorang berkacamata}\\ &n(B)=C(45,1)=\begin{pmatrix} 45\\ 1 \end{pmatrix}=45\\ &A\cap B=\textrm{terpilih seorang bertopi dan}\\ &\qquad\qquad\textrm{berkacamata}\\ &n(A\cap B)=x\\ &S=\textrm{semua dianggap identik}\\ &n(S)=C(100,1)=\begin{pmatrix} 100\\ 1 \end{pmatrix}=100\\ &\textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\displaystyle \frac{n(A\cup B)}{n(S)}=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}\\ &\: \: \: \qquad \displaystyle \frac{100}{100}=\frac{60}{100}+\frac{45}{100}-\frac{x}{100}\\ &\: \: \: \qquad \displaystyle \frac{x}{100}=\displaystyle \frac{105}{100}-\frac{100}{100}\\ &\, \: \qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{5}{100}=\frac{1}{20} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 8.&\textrm{Diketahui dua buah kotak A dan B}\\ &\textrm{berisi 5 bola putih dan 3 bola merah.}\\ &\textrm{Kotak B berisi 4 bola putih dan 2 bola}\\ &\textrm{merah. Jika diambil secara acak 1 kotak,}\\ &\textrm{kemudian diambil secara acak 1 bola dari}\\ &\textrm{kotak tersebut, maka peluang terambilnya}\\ &\textrm{bola putih adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{5}{16}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{1}{2}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{7}{16}&\textrm{e}.&\color{red}\displaystyle \frac{31}{48} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ &\textbf{saling lepas}\: \: \textrm{dari dua kejadian Q}\\ &\textrm{dan R. Misalkan}:\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak A}\\ &Q=\textrm{Terambil 1 bola putih di kotak A}\\ &n(Q)=C(5,1)=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}=5\\ &S_{Q}=\textrm{Terambil 1 bola saja di kotak A}\\ &n(S_{Q})=C(8,1)=\begin{pmatrix} 8\\ 1 \end{pmatrix}=8\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak B}\\ &R=\textrm{Terambil 1 bola putih di kotak B}\\ &n(R)=C(4,1)=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}=4\\ &S_{R}=\textrm{Terambil 1 bola saja di kotak B}\\ &n(S_{R})=C(6,1)=\begin{pmatrix} 6\\ 1 \end{pmatrix}=6\\ &\color{red}\textrm{Karena kejadian pengambilan sebuah}\\ &\textrm{bola putih di atas adalah dari pilihan}\\ &\textrm{dua buah kotak yang ada, maka peluang}\\ &\textrm{pengambilannya adalah 1 dari 2 kotak}\\ &\textrm{peluang kejadian ini adalah}=\color{blue}\displaystyle \frac{1}{2}.\\ &\color{red}\textrm{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ &\displaystyle \frac{1}{2}P(Q\cup R)=\displaystyle \frac{1}{2}\left (P(Q)+P(R) \right )\\ &\quad\qquad\qquad =\displaystyle \frac{1}{2}\left (\displaystyle \frac{n(Q)}{n(S_{Q})}+\frac{n(R)}{n(S_{R})} \right )\\ &\quad\qquad\qquad =\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{5}{8}+\frac{4}{6} \right )\\ &\quad\qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{31}{24} \right )=\displaystyle \frac{31}{48} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 9.&\textrm{Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola }\\ &\textrm{putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5}\\ &\textrm{biru. Dari tiap-tiap kotak diambil 2 bola}\\ &\textrm{sekaligus secara acak. Peluang terambil 2}\\ &\textrm{bola merah pada kotak I dan 2 bola biru}\\ &\textrm{dari kotak II adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{1}{10}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{3}{8}\\\\ \textrm{b}.&\color{red}\displaystyle \frac{3}{28}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{4}{15}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{57}{140} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ &\textbf{saling bebas}\: \: \textrm{dari dua kejadian A}\\ &\textrm{dan B. Misalkan}:\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak I}\\ &A=\textrm{Terambil 2 bola merah di kotak I}\\ &n(A)=C(3,2)=\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}=3\\ &S=\textrm{Terambil 2 bola saja di kotak I}\\ &n(S)=C(5,2)=\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}=10\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak II}\\ &B=\textrm{Terambil 2 bola biru di kotak II}\\ &n(B)=C(5,2)=\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}=10\\ &S=\textrm{Terambil 2 bola saja di kota II}\\ &n(S)=C(8,2)=\begin{pmatrix} 8\\ 2 \end{pmatrix}=28\\ &\color{red}\textrm{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ &\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)} \\ &\: \qquad\qquad = \displaystyle \frac{3}{10}\times \frac{10}{28}\\ &\quad\qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{3}{28} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 10.&\textrm{Jika kejadian}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B\: \: \textrm{dapat terjadi secara}\\ &\textrm{bersamaan. Jika}\: \: P(A)=0,6,\: P(B)=0.75,\\ &\textrm{dan}\: \: P(A\cap B)=0,43,\: \textrm{maka}\: \: P(A\cup B)=\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 0,98&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle 0,92\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle 0,96&\textrm{c}.&\displaystyle 0,94&\textrm{e}.&\displaystyle 0,91 \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{tidak saling lepas}.\\ &\color{red}\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(A)=0,6,\: P(B)=0,75,\: P(A\cap B)=0,43\\ &\color{red}\textrm{Ditanyakan nilai}\: \: P(A\cup B)=\: ...?\\ &\color{purple}\textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\: \qquad\qquad =0,6+0,75-0,43\\ &\: \qquad\qquad =\color{red}0,92 \end{aligned} \end{array}$
Contoh Soal 1 Peluang Kejadian
$\begin{array}{ll}\ 1.&\textrm{Banyak anggota ruang sampel dari}\\ &\textrm{pelemparan sebuah dadu dan dua }\\ &\textrm{keping mata uang secara bersamaan}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 4&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle 24\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle 6&\textrm{c}.&\displaystyle 12&\textrm{e}.&\displaystyle 36 \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}1\: &\: \textrm{mata dadu}\: =P(6,1)=6\\ 2\: &\: \textrm{keping mata uang}\: =P(2,1)\times P(2,1)=4\\ \textrm{R}&\textrm{uang sampelnya adalah}:\: 6\times 4=\color{red}24 \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 2.&\textrm{Setumpuk kartu remi diambil sebuah}\\ &\textrm{kartu secara acak. Peluang agar kartu}\\ &\textrm{yang terambil bukan kartu king}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 0&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \displaystyle \frac{12}{13}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \displaystyle \frac{1}{13}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{2}&\textrm{e}.&\displaystyle 1 \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: A=\textrm{Kejadian muncul kartu king}\\ &n(A)=\textrm{banyak kartu king ada}=4\\ &n(S)=\textrm{total kartu}=4\times 13\\ &A'=\textrm{kejadian muncul bukan kartu king}\\ &\textrm{maka peluangnya bukan kartu king}:\\ &P(A')=1-P(A)=1-\displaystyle \frac{4}{4\times 13}=\color{red}\frac{12}{13} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 3.&\textrm{Sebuah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ &\textrm{muncul mata dadu 3 atau lebih adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \displaystyle \frac{1}{6}&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \displaystyle \frac{3}{5}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{2}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{2}{3} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misal}\: \: A=\textrm{muncul mata dadu 3 atau lebih}\\ &A=\left \{ 3,4,5,6 \right \}\\ &S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\\ &\textrm{maka}\: \: n(A)=4\: \: \textrm{dengan}\: \: (S)=6\\ &P(A)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\color{red}\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 4.&\textrm{Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam}\\ &\textrm{dilempar bersama-sama. Peluang muncul}\\ &\textrm{gambar pada mata uang dan mata 1 pada}\\ &\textrm{dadu adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll} \textrm{a}.&\color{red}\displaystyle \frac{1}{12}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{1}{3}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{6}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{4}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textbf{Cara pertama}\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\color{purple}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \square &1&2&3&4&5&6\\\hline A&(A,1)&(A,2)&(A,3)&(A,4)&(A,5)&(A,6)\\\hline G&\color{blue}(G,1)&(G,2)&(G,3)&(G,4)&(G,5)&(G,6)\\\hline \end{array}\\ &\textrm{dari tabel di atas didapatkan bahwa}:\\ &A=\textrm{kejadian muncul mata 1 pada dadu}\\ &n(A)=2\\ &B=\textrm{kejadian muncul gambar pada uang}\\ &n(B)=6\\ &A\cap B=\textrm{kejadian muncul 1 pada dadu}\\ &\qquad\qquad \textrm{gambar pada koin}\\ &n(A\cap B)=1\\ &\textrm{dengan}\: \: n(S)=12,\\ &\textrm{maka peluang muncul mata 1 dan gambar}\\ &P(A\cap B)=\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\color{red}\frac{1}{12}\\ &\textbf{Cara kedua}\\ &\textrm{Karena ini dua kejadian}\: \: \textit{saling bebas}\\ &\textrm{maka}\\ &P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{2}{12}\times \frac{6}{12}=\frac{12}{144}=\color{red}\frac{1}{12} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 5.&\textrm{Peluang Dika lulus ujian adalah}\: \: 0,75\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{peluang Tutik lulus ujian adalah}\: \: 0,80.\\ &\textrm{Peluang keduanya lulus ujian adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 0,4&&&\textrm{d}.&\displaystyle 0,7\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle 0,5&\textrm{c}.&\color{red}\displaystyle 0,6&\textrm{e}.&\displaystyle 0,8 \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned} &\textrm{Dua kejadian ini adalah}\: \: \textit{saling bebas}\\ &\textrm{Misal}\: \: A=\textrm{Kejadian Dika lulus}\\ &n(A)=\cdots \qquad \color{blue}\textrm{tidak diketahui, tetapi}\\ &P(A)=0,75=\displaystyle \frac{3}{4},\: \: \color{red}\textbf{diketahui}\\ &\textrm{dan}\: B=\textrm{Tutik lulus}\\ &n(B)=\cdots \qquad \color{blue}\textrm{juga tidak diketahui}\\ &P(B)=0,8=\displaystyle \frac{4}{5}\\ &P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}=\color{red}\frac{3}{5}=0,6 \end{aligned} \end{array}$
Peluang Kejadian Majmuk (Lanjutan Materi 3 Kelas XII Matematika Wajib)
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 4}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Saling Lepas} \end{aligned}$
Kasus ini terjadi jika dua kejadian tidak mungkin secara bersamaan. Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas seperti ini maka $(A\cap B)=\varnothing$. Untuk penentukan besar peluangnya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\\\\ \textbf{Keterang}&\textbf{an}:\\ P(A\cup B)&=\textrm{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian A}\\ P(B)&=\textrm{Peluang kejadian B} \end{aligned}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 5}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas} \end{aligned}$
Kasus ini terjadi jika dua kejadian dapat terjadi secara bersamaan.
$\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\\\ \textbf{Keterang}&\textbf{an}:\\ P(A\cup B)&=\textrm{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A\cap B)&=\textrm{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian A}\\ P(B)&=\textrm{Peluang kejadian B} \end{aligned}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah dadu dilempar, Peluang }\\ &\textrm{munculnya mata dadu 5 atau 6 adalah}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}A&=\textrm{Kejadian muncul mata dadu 5}=\left \{ 5 \right \}\\ &n(A)=1\\ B&=\textrm{Kejadian muncul mata dadu 6}=\left \{ 6 \right \}\\ &n(B)=1\\ S&=\textrm{Semua mata dadu}=\color{red}\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\\ P&(A\cup B)=P(A)+P(B)\\ P&(A\cup B)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}=\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\color{red}\frac{1}{3} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textbf{Atau}\\ &\textrm{Soal di atas dapat dikerjakan dengan rumus}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\textrm{Karena antara kejadian muncul mata}\\ &\textrm{dadu 5 dan mat dadu 6 tidak ada irisannya}\\ &\textrm{maka irisannya haruslah bernilai}\: \: 0\: \: \color{red}\textrm{atau}\\ &\textrm{nilai}\: \: n(A\cap B)=0,\: \textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &P(A\cup B)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{0}{6}=\frac{2}{6}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Dua buah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ &\textrm{munculnya mata dadu berjumlah 3 atau 10}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \square &1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&\color{magenta}(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&\color{magenta}(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&\color{blue}(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&\color{blue}(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&\color{blue}(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Misal}\\ &A=\textrm{Kejadian jumlah mata dadu 3}\\ &\Rightarrow n(A)=\color{purple}2\\ &B=\textrm{Kejadian jumlah mata dadu 10}\\ &\Rightarrow n(B)=\color{blue}3\\ &S=\textrm{Semua mata dadu}\Rightarrow n(S)=\color{red}36\\ &\textrm{Gunakan rumus}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &P(A\cup B)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(A)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{2}{36}+\frac{3}{36}-\frac{0}{36}\\ &\qquad\qquad\: =\color{red}\displaystyle \frac{5}{36} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Seratus kartu yang diberi diberi nomor urut}\\ &\textrm{1 sampai 100 diambil sebuah saja}.\\ &\textrm{Tentukanlah peluang}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{muncul kelipatan 4}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{muncul kelipatan 6}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{muncul kelipatan 4 atau 6}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&S=\color{blue}\left \{ 1,2,3,4,\cdots ,100 \color{black}\right \}\color{black}\Rightarrow n(S)=\color{red}100\\ &A=\textrm{Kejadian muncul kelipatan 4}\\ &\Leftrightarrow A=\left \{ 4\times 1,4\times 2,\cdots ,4\times 25 \right \}\Rightarrow n(A)=25\\ &B=\textrm{Kejadian muncul kelipatan 6}\\ &\Leftrightarrow B=\left \{ 6\times 1,6\times 2,\cdots ,6\times 16 \right \}\Rightarrow n(B)=16\\ &\color{purple}\textrm{Tentunya kesamaan antara kejadian A dan B}\\ &\textrm{dan ini dilambangkan dengan}\: \: (A\cap B),\: \textrm{maka}\\ &(A\cap B)=\left \{ 12\times 1,12\times 2,\cdots ,12\times 8 \right \}\\ &\: \: \quad\qquad\Rightarrow n(A\cap B)=8\\ &\textrm{Selanjutnya adalah}:\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{25}{100}+\frac{16}{100}-\frac{8}{100}\\ &\: \qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{33}{100} \end{aligned} \end{array}$
DAFTAR PUSTAKA
- Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI (Wajib). Bandung: SEWU.
- Kartini, Suprapto, Subandi, Setiyadi, U. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam Kelas XI. Klaten: INTAN PARIWARA.
- Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
Peluang Kejadian Majmuk (Lanjutan Materi 2 Kelas XII Matematika Wajib)
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Majmuk} \end{aligned}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 1}.\quad&\textrm{Peluang Komplemen Suatu Kejadian} \end{aligned}$
Komplemen suatu kejadian A misalnya adalah kejadian tidak terjadinya A dan dinotasikan dengan $A'\: \: \textrm{atau}\: \: A^{c}$
Selanjutnya peluang kejadian bukan A dituliskan dengan $P(A')\: \: \mathrm{atau}\: \: P(A^{c})$ dan
$P(A')=1-P(A)\: \: \mathrm{atau}\: \: P(A')+P(A)=1$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dua puluh kartu diberi angka}\: \: 1,2,3,\cdots ,20\\ &\textrm{Setelah semuanya bernomor kemudian kartu}\\ &\textrm{tersebut dikocok. Jika sebuah kartu diambil}\\ &\textrm{secara acak, maka peluang bahwa kartu yang}\\ &\textrm{termabil bukan angka prima}\\ 2.&\textrm{Jika sebuah keluarga merencanakan kelahiran}\\ &\textrm{dengan 4 anak anak. Peluang paling sedikit}\\ &\textrm{memiliki satu anak laki-laki}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ 1.&A=\textrm{Kejadian nomor prima}\\ &A=\left \{ 2,3,5,7,11,13,17,19 \right \}\Rightarrow \color{red}n(A)=8\\ &\textrm{Peluang terambilnya sebuah kartu prima}:\\ &P(A)=\displaystyle \frac{C(8,1)}{C(20,1)}=\frac{8}{20}\\ &\textrm{Sehingga peluang termabilnya 1 kartu}\\ &\textrm{bukan prima adalah}:\\ &P(A')=1-P(A)=1-\displaystyle \frac{8}{20}=\frac{12}{20}=\color{red}\frac{3}{5}\\ 2.&S=\textrm{Kejadian total kelahiran 4 anak}\\ &n(S)=C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\\ &\Leftrightarrow \: n(S)=2\times 2\times 2\times 2=16\: \: \: \textrm{susunan anak}\\ &=\left \{ LLLL,LLLP,LLPL,LLPP,\cdots ,PPPP \right \}\\\\ &\textrm{Jika}\: B=\textrm{Kejadian Kelahiran tanpa anak laki-laki}\\ &\textrm{atau kejadian semuanya perempuan=PPPP=1}\\ &\textrm{hanya akan terjadi 1 dari 16},\\ &\textrm{maka}\: n(B)=1.\: \textrm{Sehingga}\\ &P(B)=\displaystyle \frac{n(B)}{n(S)}=\frac{1}{16}\\ &\textrm{Peluang kejadian kelahiran tanpa anak}\\ &\textrm{perempuan adalah}:\\ &P(B')=1-P(B)=1-\displaystyle \frac{1}{16}=\color{red}\frac{15}{16}\\\\ &\textrm{Atau dengan cara langsung pun bisa sebenarnya}\\ &B'=\textrm{Kejadian lahir minimal satu laki-laki}\\ &\textrm{maka}\: \: n(B')=15\\ &P(B')=\displaystyle \frac{n(B')}{n(S)}=\color{red}\frac{15}{16} \end{array}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 2}.\quad&\textrm{Peluang Dua Kejadian Saling Bebas} \end{aligned}$
Dua kejadian dianggap saling bebas jika munculnya kejadian yang pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua.
$\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A)\times P(B)\\\\ \textbf{Keteran}&\textbf{gan}:\\ P(A\cap B)&=\textrm{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian A}\\ P(B)&=\textrm{Peluang kejadian B} \end{aligned}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 3}.\quad&\textrm{Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Bebas} \end{aligned}$
Dua kejadian disebut dua kejadian tidak saling bebas jika munculnya kejadian pertama akan mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua, demikian sebaliknya. Selanjutnya kasus ini dinamakan peluang dua kejadian bersyarat
$\begin{aligned}\begin{cases} \bullet\: P(A|B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)} & ,\textrm{dengan}\: \: P(B)\neq 0 \\ \textrm{Peluang kejadian B}& \textrm{yang pertama terjadi}\\\\ \bullet \: P(B|A)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)} & ,\textrm{dengan}\: \: P(A)\neq 0\\ \textrm{Peluang kejadian A}& \textrm{yang pertama terjadi}\\ \end{cases} \end{aligned}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 6 bola}\\ &\textrm{biru. Dari kotak tersebut diambil bola satu}\\ &\textrm{persatu}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah peluang Jika bola pertama}\\ &\qquad \textrm{terambil merah lalu dikembalikan lalu}\\ &\qquad \textrm{terambil biru}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Tentukan peluang jika tanpa dikembalikan}\\ &\qquad \textrm{pada kasus 3.a di atas}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\\ &X=\textrm{kejadian terambil merah pada proses 1}\\ &Y=\textrm{kejadian terambil biru pada proses 2}\\ &\textrm{a}.\quad P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)\\ &\qquad =\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(\color{blue}11,1)}=\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 11}=\frac{30}{121}\\ &\textrm{b}.\quad P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)=P(X)\times P(Y|X)\\ &\qquad =\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(\color{red}10,1)}=\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 10}=\frac{3}{11}\\ &\qquad \textrm{ingat saat tanpa pengembalian, maka}\\ &\qquad \textrm{jumlah bola total berkurang 1} \end{aligned} \end{array}$
Peluang Kejadian Majmuk (Lanjutan Materi 1 Kelas XII Matematika Wajib)
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{C}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Tunggal} \end{aligned}$
Jika A adalah suatu kejadian dengan $A\subset S$ dan S suatu ruang sampel, maka peluang kejadian A didefinisikan dengan
$\begin{aligned}&\qquad P(A)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\\ \textbf{Keterangan}&:\\ &\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian}\: \: A\\ n(A)&=\textrm{Banyak elemen pada suatu}\\ &\: \: \quad \textrm{kejadian}\: \: A\\ n(S)&=\textrm{Banyak titik sampel pada}\\ &\: \: \quad \textrm{ruang sampel} \: \: S \end{aligned}$
$\begin{aligned} \textrm{Dari}\: \: \textrm{k}&\textrm{emungkinan di atas}\\ \textrm{dapat}\: &\textrm{disimpulkan}\\ \textrm{a}\quad &\textrm{Kisaran nilai peluangnya, yaitu}\\ &0\leq P(A)\leq 1\\ \textrm{b}\quad&\textrm{Jika}\: \: A=\varnothing ,\: \textrm{maka}\: \: \color{red}P(A)=0\\ &\textrm{dan ini dinamakan kejadian}\\ &\textbf{yang mustahil}\\ \textrm{c}\quad&\textrm{Jika}\: \: A=S,\: \textrm{maka}\: \: \color{blue}P(A)=1\\ &\textrm{dan kejadian ini dinamakan}\\ &\textrm{kejadian yang}\: \: \textbf{pasti terjadi} \end{aligned}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{D}.\quad&\textrm{Frekuensi Harapan Suatu Kejadian} \end{aligned}$
Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang suatu kejadian dengan dengan banyaknya percobaan dan dirumuskan dengan
$\begin{aligned}f_{h}(A)&=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times n \end{aligned}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah dadu dilempar sekali. Berapakah}\\ &\textrm{peluang munculnya mata dadu lebih}\\ &\textrm{dari 3}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan}\: \: A\: \: \textrm{kejadian muncul mata dadu}\\ &\textrm{lebih dari 3, maka}\\ &S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \},\: \: \textrm{dan}\\ &A=\left \{ 4,5,6 \right \}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &P(A)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ &\textrm{Jadi, peluang kejadian ini adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{2} \end{array}$
Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)
Masih ingat konsep materi peluang pada saat Amda duduk di SMP?
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{A}.\quad&\textrm{Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian} \end{aligned}$
Mari lakukan aktivitas berikut
$\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}.&\: \: \qquad\textrm{Percobaan}&\textrm{Titik}&\textrm{Notasi}\\ &&\textrm{Sampel}&\textrm{Himpunan}\\\hline 1&\textrm{Pelemparan sekeping}&&\\ &\textrm{uang logam}&\textrm{A}\: ,\: \textrm{G}&\left \{ A,G \right \}\\\hline 2&\textrm{Pelemparan dua keping}&AA,&\\ &\textrm{mata uang logam}&AG,&\\ &\textrm{secara bersamaan}&GA,&\cdots \\ &&GG&\\\hline 3&\textrm{Pelemparan sebuah}&&\\ &\textrm{dadu}&\cdots &\cdots \\\hline 4&\textrm{Pelemparan dua buah}&&\\ &\textrm{dadu secara bersamaan}&\cdots &\cdots \\\hline \end{array}$
$\begin{aligned}&\textrm{Sebagai penjelasan istilah di atas adalah}:\\ &\textbf{Percobaan}:\: \textrm{proses berupa tindakan yang}\\ &\textrm{bisa diamati atau dapat juga dikatakan}\\ &\textrm{suatu tindakan untuk mendapatkan hasil}\\ &\textrm{tertentu}\\ &\textbf{Ruang sampel}:\: \textrm{kumpulan dari semua}\\ &\textrm{hasil yang mungkin dari sebuah percobaan}\\ &\textbf{Titik Sampel}:\: \textrm{tiap hasil yang mungkin}\\ &\textbf{Kejadian}\: \textrm{atau}\: \textbf{peristiwa (event)}:\\ &\textrm{hasil-hasil (titik-titik sampel) tertentu}\\ & \textrm{dari ruang sampel}. \end{aligned}$
Selanjutnya ruang sampel dilambangkan dengan S dan kejadian/event dilambangkan dengan E.
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{B}.\quad&\textrm{Penentuan Ruang Sampel} \end{aligned}$
Ada 2 macam penentuan ruang sampel, yaitu tabel dan diagram pohon
Sebagai misal pada pelemparan 3 buah uang koin sebanyak tiga kali, maka akan didapatkan ruang sampel sebagai berikut
$\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tabel}\\ &\textrm{Mula-mula (pelemparan)}\: 1\&2\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&G\\\hline A&AA&AG\\\hline G&GA&GG\\\hline \end{array}\\ &\textrm{selanjutnya pada pelemparan ke-3}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&G\\\hline AA&AAA&AAG\\\hline AG&AGA&AGG\\\hline GA&GAA&GAG\\\hline GG&GGA&GGG\\\hline \end{array}\\ \textrm{b}\quad&\textrm{Dengan Diagram Pohon}\\ &\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\\ \textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,A,A)\\ G\rightarrow (A,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\\ G\rightarrow (A,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\\ G\rightarrow (G,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\\ G\rightarrow (G,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned} \end{aligned}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Pada percobaan pelemparan sebuah dadu},\\ &\textrm{tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul mata dadu 6}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul mata dadu ganjil}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\: \color{red}S\color{black}=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}:1,2,3,4,5\: \: \textrm{dan}\: \: 6\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}:n(S)=6\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kejadian muncul mata dadu 6},\: E=\left \{ 6 \right \}\\ &\qquad n(E)=1\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kejadian muncul mata dadu ganjil},\\ &\qquad E=\left \{ 1,3,5 \right \},\: \: n(E)=3 \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada percobaan pelemparan sekeping uang}\\ &\textrm{logam, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul sisi angka}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul sisi gambar}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\: \color{red}S\color{black}=\left \{ A,G \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}:A\: \: \textrm{dan}\: \: G\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}:n(S)=2\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kejadian muncul sisi angka},\: E=\left \{ A \right \}\\ &\qquad n(E)=1\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kejadian muncul sisi gambar},\: E=\left \{ G \right \}\\ &\qquad n(E)=1 \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Pada percobaan pelemparan 2 keping uang}\\ &\textrm{logam, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul 2 angka}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul minimal}\\ &\quad \textrm{sebuah sisi gambar}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\qquad \color{red}S\color{black}=\left \{ AA,AG, GA, GG \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}:AA,AG,GA\: \: \textrm{dan}\: \: GG\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}:n(S)=4\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kejadian muncul 2 sisi angka},\: E=\left \{ AA \right \}\\ &\qquad n(E)=1\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kejadian muncul minimal}\\ &\qquad \textrm{sebuah sisi gambar}\: E=\left \{ AG,GA,GG \right \}\\ &\qquad n(E)=3 \end{array}$
Contoh Soal 3 Peluang Kejadian Majmuk
$\begin{array}{ll}\ 11.&\textrm{Jika kejadian}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B\: \: \textrm{adalah dua kejadian}\\ &\textrm{dengan}\: \: P(A)=\displaystyle \frac{8}{15},\: P(B)=\displaystyle \frac{7}{12},\: \: \textrm{dan}\\ &P(A| B)=\displaystyle \frac{4}{7},\: \textrm{maka nilai}\: \: P(B|A)=\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{8}{45}&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \frac{5}{8}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{3}{8}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{7}{15} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{tidak saling bebas (bersyarat)}.\\ &\color{red}\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(A)=\displaystyle \frac{8}{15},\: P(B)=\displaystyle \frac{7}{12},\: P(A|B)=\displaystyle \frac{4}{7}\\ &\color{red}\textrm{Ditanyakan nilai}\: \: P(B|A)=\: ...?\\ &\color{purple}\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}\color{blue}P(A\cap B)&=\color{blue}P(A\cap B)\\ P(A)\times P(B|A)&=P(B)\times P(A|B)\\ P(B|A)&=\displaystyle \frac{P(B)\times P(A|B)}{P(A)}\\ &=\displaystyle \frac{\left ( \displaystyle \frac{7}{12} \right )\times \left ( \displaystyle \frac{4}{7} \right )}{\displaystyle \frac{8}{15}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{8}{15}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{15}{8}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{5}{8} \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$
Contoh Soal 2 Peluang Kejadian Majmuk
$\begin{array}{ll}\ 6.&\textrm{Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah,}\\ &\textrm{5 kelereng hijau, dan 4 kelereng biru}\\ &\textrm{Diambil sebuah kelereng secara acak.}\\ &\textrm{Peluang yang terambil merah atau hijau}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{5}{16}&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \frac{3}{4}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{7}{16}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{2}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{2}{3} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{saling lepas}.\: \textrm{Misalkan}\\ &A=\textrm{kejadian terambil 1 kelereng merah}\\ &n(A)=C(7,1)=\begin{pmatrix} 7\\ 1 \end{pmatrix}=7\\ &B=\textrm{kejadian terambil 1 kelereng hijau}\\ &n(B)=C(5,1)=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}=5\\ &S=\textrm{semua dianggap identik}\\ &n(S)=C(16,1)=\begin{pmatrix} 16\\ 1 \end{pmatrix}=16\\ &\textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{7}{16}+\frac{5}{16}=\frac{12}{16}=\color{red}\displaystyle \frac{3}{4} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 7.&\textrm{Dari 100 orang yang mengikuti kegiatan}\\ &\textrm{jalan santai terdapat 60 orang memakai}\\ &\textrm{topi dan 45 orang yang berkacamata.}\\ &\textrm{Peluang bahwa seorang yang dipilih dari}\\ &\textrm{kelompok orang itu memakai topi dan}\\ &\textrm{kacamata adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\color{red}\displaystyle \frac{1}{20}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{11}{20}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{2}{5}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{9}{20}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{3}{5} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi}\: \: \textbf{Diagram Venn}\\ &\textrm{berikut ini}\\ &\begin{array}{|ccl|}\hline \color{red}\begin{array}{|l|}\hline \textrm{S}=100\\\hline \end{array}&&\\ &\color{blue}\textrm{A}\qquad\qquad \textrm{B}&\\ &\begin{array}{|l|c|r|}\hline 60-n&n&45-n\\\hline \end{array}&\\ &&\\\hline \end{array} \\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{tidak saling lepas}.\\ &A=\textrm{kejadian terpilih seorang bertopi}\\ &n(A)=C(60,1)=\begin{pmatrix} 60\\ 1 \end{pmatrix}=60\\ &B=\textrm{kejadian terpilih seorang berkacamata}\\ &n(B)=C(45,1)=\begin{pmatrix} 45\\ 1 \end{pmatrix}=45\\ &A\cap B=\textrm{terpilih seorang bertopi dan}\\ &\qquad\qquad\textrm{berkacamata}\\ &n(A\cap B)=x\\ &S=\textrm{semua dianggap identik}\\ &n(S)=C(100,1)=\begin{pmatrix} 100\\ 1 \end{pmatrix}=100\\ &\textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\displaystyle \frac{n(A\cup B)}{n(S)}=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}\\ &\: \: \: \qquad \displaystyle \frac{100}{100}=\frac{60}{100}+\frac{45}{100}-\frac{x}{100}\\ &\: \: \: \qquad \displaystyle \frac{x}{100}=\displaystyle \frac{105}{100}-\frac{100}{100}\\ &\, \: \qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{5}{100}=\frac{1}{20} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 8.&\textrm{Diketahui dua buah kotak A dan B}\\ &\textrm{berisi 5 bola putih dan 3 bola merah.}\\ &\textrm{Kotak B berisi 4 bola putih dan 2 bola}\\ &\textrm{merah. Jika diambil secara acak 1 kotak,}\\ &\textrm{kemudian diambil secara acak 1 bola dari}\\ &\textrm{kotak tersebut, maka peluang terambilnya}\\ &\textrm{bola putih adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{5}{16}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{1}{2}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{7}{16}&\textrm{e}.&\color{red}\displaystyle \frac{31}{48} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ &\textbf{saling lepas}\: \: \textrm{dari dua kejadian Q}\\ &\textrm{dan R. Misalkan}:\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak A}\\ &Q=\textrm{Terambil 1 bola putih di kotak A}\\ &n(Q)=C(5,1)=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}=5\\ &S_{Q}=\textrm{Terambil 1 bola saja di kotak A}\\ &n(S_{Q})=C(8,1)=\begin{pmatrix} 8\\ 1 \end{pmatrix}=8\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak B}\\ &R=\textrm{Terambil 1 bola putih di kotak B}\\ &n(R)=C(4,1)=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}=4\\ &S_{R}=\textrm{Terambil 1 bola saja di kotak B}\\ &n(S_{R})=C(6,1)=\begin{pmatrix} 6\\ 1 \end{pmatrix}=6\\ &\color{red}\textrm{Karena kejadian pengambilan sebuah}\\ &\textrm{bola putih di atas adalah dari pilihan}\\ &\textrm{dua buah kotak yang ada, maka peluang}\\ &\textrm{pengambilannya adalah 1 dari 2 kotak}\\ &\textrm{peluang kejadian ini adalah}=\color{blue}\displaystyle \frac{1}{2}.\\ &\color{red}\textrm{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ &\displaystyle \frac{1}{2}P(Q\cup R)=\displaystyle \frac{1}{2}\left (P(Q)+P(R) \right )\\ &\quad\qquad\qquad =\displaystyle \frac{1}{2}\left (\displaystyle \frac{n(Q)}{n(S_{Q})}+\frac{n(R)}{n(S_{R})} \right )\\ &\quad\qquad\qquad =\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{5}{8}+\frac{4}{6} \right )\\ &\quad\qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{31}{24} \right )=\displaystyle \frac{31}{48} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 9.&\textrm{Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola }\\ &\textrm{putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5}\\ &\textrm{biru. Dari tiap-tiap kotak diambil 2 bola}\\ &\textrm{sekaligus secara acak. Peluang terambil 2}\\ &\textrm{bola merah pada kotak I dan 2 bola biru}\\ &\textrm{dari kotak II adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \frac{1}{10}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{3}{8}\\\\ \textrm{b}.&\color{red}\displaystyle \frac{3}{28}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{4}{15}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{57}{140} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ &\textbf{saling bebas}\: \: \textrm{dari dua kejadian A}\\ &\textrm{dan B. Misalkan}:\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak I}\\ &A=\textrm{Terambil 2 bola merah di kotak I}\\ &n(A)=C(3,2)=\begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}=3\\ &S=\textrm{Terambil 2 bola saja di kotak I}\\ &n(S)=C(5,2)=\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}=10\\ &\color{red}\textrm{Pada kotak II}\\ &B=\textrm{Terambil 2 bola biru di kotak II}\\ &n(B)=C(5,2)=\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}=10\\ &S=\textrm{Terambil 2 bola saja di kota II}\\ &n(S)=C(8,2)=\begin{pmatrix} 8\\ 2 \end{pmatrix}=28\\ &\color{red}\textrm{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ &\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\times P(B) \\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)} \\ &\: \qquad\qquad = \displaystyle \frac{3}{10}\times \frac{10}{28}\\ &\quad\qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{3}{28} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 10.&\textrm{Jika kejadian}\: \: A\: \: \textrm{dan}\: \: B\: \: \textrm{dapat terjadi secara}\\ &\textrm{bersamaan. Jika}\: \: P(A)=0,6,\: P(B)=0.75,\\ &\textrm{dan}\: \: P(A\cap B)=0,43,\: \textrm{maka}\: \: P(A\cup B)=\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 0,98&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle 0,92\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle 0,96&\textrm{c}.&\displaystyle 0,94&\textrm{e}.&\displaystyle 0,91 \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kejadian di atas adalah contoh}\\ &\textrm{kejadian}\: \: \textbf{tidak saling lepas}.\\ &\color{red}\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(A)=0,6,\: P(B)=0,75,\: P(A\cap B)=0,43\\ &\color{red}\textrm{Ditanyakan nilai}\: \: P(A\cup B)=\: ...?\\ &\color{purple}\textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\: \qquad\qquad =0,6+0,75-0,43\\ &\: \qquad\qquad =\color{red}0,92 \end{aligned} \end{array}$
Contoh Soal 1 Peluang Kejadian Majmuk
$\begin{array}{ll}\ 1.&\textrm{Banyak anggota ruang sampel dari}\\ &\textrm{pelemparan sebuah dadu dan dua }\\ &\textrm{keping mata uang secara bersamaan}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 4&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle 24\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle 6&\textrm{c}.&\displaystyle 12&\textrm{e}.&\displaystyle 36 \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}1\: &\: \textrm{mata dadu}\: =P(6,1)=6\\ 2\: &\: \textrm{keping mata uang}\: =P(2,1)\times P(2,1)=4\\ \textrm{R}&\textrm{uang sampelnya adalah}:\: 6\times 4=\color{red}24 \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 2.&\textrm{Setumpuk kartu remi diambil sebuah}\\ &\textrm{kartu secara acak. Peluang agar kartu}\\ &\textrm{yang terambil bukan kartu king}\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 0&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \displaystyle \frac{12}{13}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \displaystyle \frac{1}{13}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{2}&\textrm{e}.&\displaystyle 1 \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: A=\textrm{Kejadian muncul kartu king}\\ &n(A)=\textrm{banyak kartu king ada}=4\\ &n(S)=\textrm{total kartu}=4\times 13\\ &A'=\textrm{kejadian muncul bukan kartu king}\\ &\textrm{maka peluangnya bukan kartu king}:\\ &P(A')=1-P(A)=1-\displaystyle \frac{4}{4\times 13}=\color{red}\frac{12}{13} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 3.&\textrm{Sebuah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ &\textrm{muncul mata dadu 3 atau lebih adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \displaystyle \frac{1}{6}&&&\textrm{d}.&\color{red}\displaystyle \displaystyle \frac{3}{5}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{2}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{2}{3} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misal}\: \: A=\textrm{muncul mata dadu 3 atau lebih}\\ &A=\left \{ 3,4,5,6 \right \}\\ &S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\\ &\textrm{maka}\: \: n(A)=4\: \: \textrm{dengan}\: \: (S)=6\\ &P(A)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\color{red}\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 4.&\textrm{Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam}\\ &\textrm{dilempar bersama-sama. Peluang muncul}\\ &\textrm{gambar pada mata uang dan mata 1 pada}\\ &\textrm{dadu adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll} \textrm{a}.&\color{red}\displaystyle \frac{1}{12}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{1}{3}\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle \frac{1}{6}&\textrm{c}.&\displaystyle \frac{1}{4}&\textrm{e}.&\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textbf{Cara pertama}\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\color{purple}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \square &1&2&3&4&5&6\\\hline A&(A,1)&(A,2)&(A,3)&(A,4)&(A,5)&(A,6)\\\hline G&\color{blue}(G,1)&(G,2)&(G,3)&(G,4)&(G,5)&(G,6)\\\hline \end{array}\\ &\textrm{dari tabel di atas didapatkan bahwa}:\\ &A=\textrm{kejadian muncul mata 1 pada dadu}\\ &n(A)=2\\ &B=\textrm{kejadian muncul gambar pada uang}\\ &n(B)=6\\ &A\cap B=\textrm{kejadian muncul 1 pada dadu}\\ &\qquad\qquad \textrm{gambar pada koin}\\ &n(A\cap B)=1\\ &\textrm{dengan}\: \: n(S)=12,\\ &\textrm{maka peluang muncul mata 1 dan gambar}\\ &P(A\cap B)=\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\color{red}\frac{1}{12}\\ &\textbf{Cara kedua}\\ &\textrm{Karena ini dua kejadian}\: \: \textit{saling bebas}\\ &\textrm{maka}\\ &P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{2}{12}\times \frac{6}{12}=\frac{12}{144}=\color{red}\frac{1}{12} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\ 5.&\textrm{Peluang Dika lulus ujian adalah}\: \: 0,75\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{peluang Tutik lulus ujian adalah}\: \: 0,80.\\ &\textrm{Peluang keduanya lulus ujian adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle 0,4&&&\textrm{d}.&\displaystyle 0,7\\\\ \textrm{b}.&\displaystyle 0,5&\textrm{c}.&\color{red}\displaystyle 0,6&\textrm{e}.&\displaystyle 0,8 \end{array}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned} &\textrm{Dua kejadian ini adalah}\: \: \textit{saling bebas}\\ &\textrm{Misal}\: \: A=\textrm{Kejadian Dika lulus}\\ &n(A)=\cdots \qquad \color{blue}\textrm{tidak diketahui, tetapi}\\ &P(A)=0,75=\displaystyle \frac{3}{4},\: \: \color{red}\textbf{diketahui}\\ &\textrm{dan}\: B=\textrm{Tutik lulus}\\ &n(B)=\cdots \qquad \color{blue}\textrm{juga tidak diketahui}\\ &P(B)=0,8=\displaystyle \frac{4}{5}\\ &P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}=\color{red}\frac{3}{5}=0,6 \end{aligned} \end{array}$
Lanjutan 3 Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 4}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Saling Lepas} \end{aligned}$
Kasus ini terjadi jika dua kejadian tidak mungkin secara bersamaan. Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas seperti ini maka $(A\cap B)=\varnothing$. Untuk penentukan besar peluangnya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\\\\ \textbf{Keterang}&\textbf{an}:\\ P(A\cup B)&=\textrm{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian A}\\ P(B)&=\textrm{Peluang kejadian B} \end{aligned}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 5}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas} \end{aligned}$
Kasus ini terjadi jika dua kejadian dapat terjadi secara bersamaan.
$\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\\\ \textbf{Keterang}&\textbf{an}:\\ P(A\cup B)&=\textrm{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A\cap B)&=\textrm{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian A}\\ P(B)&=\textrm{Peluang kejadian B} \end{aligned}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah dadu dilempar, Peluang }\\ &\textrm{munculnya mata dadu 5 atau 6 adalah}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}A&=\textrm{Kejadian muncul mata dadu 5}=\left \{ 5 \right \}\\ &n(A)=1\\ B&=\textrm{Kejadian muncul mata dadu 6}=\left \{ 6 \right \}\\ &n(B)=1\\ S&=\textrm{Semua mata dadu}=\color{red}\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\\ P&(A\cup B)=P(A)+P(B)\\ P&(A\cup B)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}=\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\color{red}\frac{1}{3} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textbf{Atau}\\ &\textrm{Soal di atas dapat dikerjakan dengan rumus}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\textrm{Karena antara kejadian muncul mata}\\ &\textrm{dadu 5 dan mat dadu 6 tidak ada irisannya}\\ &\textrm{maka irisannya haruslah bernilai}\: \: 0\: \: \color{red}\textrm{atau}\\ &\textrm{nilai}\: \: n(A\cap B)=0,\: \textrm{maka}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &P(A\cup B)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{0}{6}=\frac{2}{6}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Dua buah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ &\textrm{munculnya mata dadu berjumlah 3 atau 10}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \square &1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&\color{magenta}(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&\color{magenta}(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&\color{blue}(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&\color{blue}(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&\color{blue}(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Misal}\\ &A=\textrm{Kejadian jumlah mata dadu 3}\\ &\Rightarrow n(A)=\color{purple}2\\ &B=\textrm{Kejadian jumlah mata dadu 10}\\ &\Rightarrow n(B)=\color{blue}3\\ &S=\textrm{Semua mata dadu}\Rightarrow n(S)=\color{red}36\\ &\textrm{Gunakan rumus}\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &P(A\cup B)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(A)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{2}{36}+\frac{3}{36}-\frac{0}{36}\\ &\qquad\qquad\: =\color{red}\displaystyle \frac{5}{36} \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Seratus kartu yang diberi diberi nomor urut}\\ &\textrm{1 sampai 100 diambil sebuah saja}.\\ &\textrm{Tentukanlah peluang}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{muncul kelipatan 4}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{muncul kelipatan 6}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{muncul kelipatan 4 atau 6}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&S=\color{blue}\left \{ 1,2,3,4,\cdots ,100 \color{black}\right \}\color{black}\Rightarrow n(S)=\color{red}100\\ &A=\textrm{Kejadian muncul kelipatan 4}\\ &\Leftrightarrow A=\left \{ 4\times 1,4\times 2,\cdots ,4\times 25 \right \}\Rightarrow n(A)=25\\ &B=\textrm{Kejadian muncul kelipatan 6}\\ &\Leftrightarrow B=\left \{ 6\times 1,6\times 2,\cdots ,6\times 16 \right \}\Rightarrow n(B)=16\\ &\color{purple}\textrm{Tentunya kesamaan antara kejadian A dan B}\\ &\textrm{dan ini dilambangkan dengan}\: \: (A\cap B),\: \textrm{maka}\\ &(A\cap B)=\left \{ 12\times 1,12\times 2,\cdots ,12\times 8 \right \}\\ &\: \: \quad\qquad\Rightarrow n(A\cap B)=8\\ &\textrm{Selanjutnya adalah}:\\ &P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}\\ &\: \qquad\qquad =\displaystyle \frac{25}{100}+\frac{16}{100}-\frac{8}{100}\\ &\: \qquad\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{33}{100} \end{aligned} \end{array}$
DAFTAR PUSTAKA
- Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI (Wajib). Bandung: SEWU.
- Kartini, Suprapto, Subandi, Setiyadi, U. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam Kelas XI. Klaten: INTAN PARIWARA.
- Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.
Lanjutan 2 Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Majmuk} \end{aligned}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 1}.\quad&\textrm{Peluang Komplemen Suatu Kejadian} \end{aligned}$
Komplemen suatu kejadian A misalnya adalah kejadian tidak terjadinya A dan dinotasikan dengan $A'\: \: \textrm{atau}\: \: A^{c}$
Selanjutnya peluang kejadian bukan A dituliskan dengan $P(A')\: \: \mathrm{atau}\: \: P(A^{c})$ dan
$P(A')=1-P(A)\: \: \mathrm{atau}\: \: P(A')+P(A)=1$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dua puluh kartu diberi angka}\: \: 1,2,3,\cdots ,20\\ &\textrm{Setelah semuanya bernomor kemudian kartu}\\ &\textrm{tersebut dikocok. Jika sebuah kartu diambil}\\ &\textrm{secara acak, maka peluang bahwa kartu yang}\\ &\textrm{termabil bukan angka prima}\\ 2.&\textrm{Jika sebuah keluarga merencanakan kelahiran}\\ &\textrm{dengan 4 anak anak. Peluang paling sedikit}\\ &\textrm{memiliki satu anak laki-laki}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ 1.&A=\textrm{Kejadian nomor prima}\\ &A=\left \{ 2,3,5,7,11,13,17,19 \right \}\Rightarrow \color{red}n(A)=8\\ &\textrm{Peluang terambilnya sebuah kartu prima}:\\ &P(A)=\displaystyle \frac{C(8,1)}{C(20,1)}=\frac{8}{20}\\ &\textrm{Sehingga peluang termabilnya 1 kartu}\\ &\textrm{bukan prima adalah}:\\ &P(A')=1-P(A)=1-\displaystyle \frac{8}{20}=\frac{12}{20}=\color{red}\frac{3}{5}\\ 2.&S=\textrm{Kejadian total kelahiran 4 anak}\\ &n(S)=C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\\ &\Leftrightarrow \: n(S)=2\times 2\times 2\times 2=16\: \: \: \textrm{susunan anak}\\ &=\left \{ LLLL,LLLP,LLPL,LLPP,\cdots ,PPPP \right \}\\\\ &\textrm{Jika}\: B=\textrm{Kejadian Kelahiran tanpa anak laki-laki}\\ &\textrm{atau kejadian semuanya perempuan=PPPP=1}\\ &\textrm{hanya akan terjadi 1 dari 16},\\ &\textrm{maka}\: n(B)=1.\: \textrm{Sehingga}\\ &P(B)=\displaystyle \frac{n(B)}{n(S)}=\frac{1}{16}\\ &\textrm{Peluang kejadian kelahiran tanpa anak}\\ &\textrm{perempuan adalah}:\\ &P(B')=1-P(B)=1-\displaystyle \frac{1}{16}=\color{red}\frac{15}{16}\\\\ &\textrm{Atau dengan cara langsung pun bisa sebenarnya}\\ &B'=\textrm{Kejadian lahir minimal satu laki-laki}\\ &\textrm{maka}\: \: n(B')=15\\ &P(B')=\displaystyle \frac{n(B')}{n(S)}=\color{red}\frac{15}{16} \end{array}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 2}.\quad&\textrm{Peluang Dua Kejadian Saling Bebas} \end{aligned}$
Dua kejadian dianggap saling bebas jika munculnya kejadian yang pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua.
$\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A)\times P(B)\\\\ \textbf{Keteran}&\textbf{gan}:\\ P(A\cap B)&=\textrm{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian A}\\ P(B)&=\textrm{Peluang kejadian B} \end{aligned}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 3}.\quad&\textrm{Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Bebas} \end{aligned}$
Dua kejadian disebut dua kejadian tidak saling bebas jika munculnya kejadian pertama akan mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua, demikian sebaliknya. Selanjutnya kasus ini dinamakan peluang dua kejadian bersyarat
$\begin{aligned}\begin{cases} \bullet\: P(A|B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)} & ,\textrm{dengan}\: \: P(B)\neq 0 \\ \textrm{Peluang kejadian B}& \textrm{yang pertama terjadi}\\\\ \bullet \: P(B|A)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)} & ,\textrm{dengan}\: \: P(A)\neq 0\\ \textrm{Peluang kejadian A}& \textrm{yang pertama terjadi}\\ \end{cases} \end{aligned}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 6 bola}\\ &\textrm{biru. Dari kotak tersebut diambil bola satu}\\ &\textrm{persatu}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah peluang Jika bola pertama}\\ &\qquad \textrm{terambil merah lalu dikembalikan lalu}\\ &\qquad \textrm{terambil biru}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Tentukan peluang jika tanpa dikembalikan}\\ &\qquad \textrm{pada kasus 3.a di atas}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\\ &X=\textrm{kejadian terambil merah pada proses 1}\\ &Y=\textrm{kejadian terambil biru pada proses 2}\\ &\textrm{a}.\quad P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)\\ &\qquad =\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(\color{blue}11,1)}=\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 11}=\frac{30}{121}\\ &\textrm{b}.\quad P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)=P(X)\times P(Y|X)\\ &\qquad =\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(\color{red}10,1)}=\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 10}=\frac{3}{11}\\ &\qquad \textrm{ingat saat tanpa pengembalian, maka}\\ &\qquad \textrm{jumlah bola total berkurang 1} \end{aligned} \end{array}$
Lanjutan Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{C}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Tunggal} \end{aligned}$
Jika A adalah suatu kejadian dengan $A\subset S$ dan S suatu ruang sampel, maka peluang kejadian A didefinisikan dengan
$\begin{aligned}&\qquad P(A)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\\ \textbf{Keterangan}&:\\ &\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian}\: \: A\\ n(A)&=\textrm{Banyak elemen pada suatu}\\ &\: \: \quad \textrm{kejadian}\: \: A\\ n(S)&=\textrm{Banyak titik sampel pada}\\ &\: \: \quad \textrm{ruang sampel} \: \: S \end{aligned}$
$\begin{aligned} \textrm{Dari}\: \: \textrm{k}&\textrm{emungkinan di atas}\\ \textrm{dapat}\: &\textrm{disimpulkan}\\ \textrm{a}\quad &\textrm{Kisaran nilai peluangnya, yaitu}\\ &0\leq P(A)\leq 1\\ \textrm{b}\quad&\textrm{Jika}\: \: A=\varnothing ,\: \textrm{maka}\: \: \color{red}P(A)=0\\ &\textrm{dan ini dinamakan kejadian}\\ &\textbf{yang mustahil}\\ \textrm{c}\quad&\textrm{Jika}\: \: A=S,\: \textrm{maka}\: \: \color{blue}P(A)=1\\ &\textrm{dan kejadian ini dinamakan}\\ &\textrm{kejadian yang}\: \: \textbf{pasti terjadi} \end{aligned}$
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{D}.\quad&\textrm{Frekuensi Harapan Suatu Kejadian} \end{aligned}$
Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang suatu kejadian dengan dengan banyaknya percobaan dan dirumuskan dengan
$\begin{aligned}f_{h}(A)&=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times n \end{aligned}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah dadu dilempar sekali. Berapakah}\\ &\textrm{peluang munculnya mata dadu lebih}\\ &\textrm{dari 3}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan}\: \: A\: \: \textrm{kejadian muncul mata dadu}\\ &\textrm{lebih dari 3, maka}\\ &S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \},\: \: \textrm{dan}\\ &A=\left \{ 4,5,6 \right \}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &P(A)=\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ &\textrm{Jadi, peluang kejadian ini adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{2} \end{array}$
Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)
Masih ingat konsep materi peluang pada saat Amda duduk di SMP?
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{A}.\quad&\textrm{Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian} \end{aligned}$
Mari lakukan aktivitas berikut
$\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline \textrm{No}.&\: \: \qquad\textrm{Percobaan}&\textrm{Titik}&\textrm{Notasi}\\ &&\textrm{Sampel}&\textrm{Himpunan}\\\hline 1&\textrm{Pelemparan sekeping}&&\\ &\textrm{uang logam}&\textrm{A}\: ,\: \textrm{G}&\left \{ A,G \right \}\\\hline 2&\textrm{Pelemparan dua keping}&AA,&\\ &\textrm{mata uang logam}&AG,&\\ &\textrm{secara bersamaan}&GA,&\cdots \\ &&GG&\\\hline 3&\textrm{Pelemparan sebuah}&&\\ &\textrm{dadu}&\cdots &\cdots \\\hline 4&\textrm{Pelemparan dua buah}&&\\ &\textrm{dadu secara bersamaan}&\cdots &\cdots \\\hline \end{array}$
$\begin{aligned}&\textrm{Sebagai penjelasan istilah di atas adalah}:\\ &\textbf{Percobaan}:\: \textrm{proses berupa tindakan yang}\\ &\textrm{bisa diamati atau dapat juga dikatakan}\\ &\textrm{suatu tindakan untuk mendapatkan hasil}\\ &\textrm{tertentu}\\ &\textbf{Ruang sampel}:\: \textrm{kumpulan dari semua}\\ &\textrm{hasil yang mungkin dari sebuah percobaan}\\ &\textbf{Titik Sampel}:\: \textrm{tiap hasil yang mungkin}\\ &\textbf{Kejadian}\: \textrm{atau}\: \textbf{peristiwa (event)}:\\ &\textrm{hasil-hasil (titik-titik sampel) tertentu}\\ & \textrm{dari ruang sampel}. \end{aligned}$
Selanjutnya ruang sampel dilambangkan dengan S dan kejadian/event dilambangkan dengan E.
$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{B}.\quad&\textrm{Penentuan Ruang Sampel} \end{aligned}$
Ada 2 macam penentuan ruang sampel, yaitu tabel dan diagram pohon
Sebagai misal pada pelemparan 3 buah uang koin sebanyak tiga kali, maka akan didapatkan ruang sampel sebagai berikut
$\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tabel}\\ &\textrm{Mula-mula (pelemparan)}\: 1\&2\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&G\\\hline A&AA&AG\\\hline G&GA&GG\\\hline \end{array}\\ &\textrm{selanjutnya pada pelemparan ke-3}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&G\\\hline AA&AAA&AAG\\\hline AG&AGA&AGG\\\hline GA&GAA&GAG\\\hline GG&GGA&GGG\\\hline \end{array}\\ \textrm{b}\quad&\textrm{Dengan Diagram Pohon}\\ &\begin{aligned} \color{blue}\textrm{Mula}\: \, &(1)\quad (2)\quad (3)\quad \color{blue}\textbf{Ruang sampel}\\ \textbf{Mulai}&\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,A,A)\\ G\rightarrow (A,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (A,G,A)\\ G\rightarrow (A,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,A,A)\\ G\rightarrow (G,A,G) \end{matrix}\right.\\ G\left\{\begin{matrix} A\rightarrow (G,G,A)\\ G\rightarrow (G,G,G) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{aligned} \end{aligned}$
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Pada percobaan pelemparan sebuah dadu},\\ &\textrm{tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul mata dadu 6}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul mata dadu ganjil}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\: \color{red}S\color{black}=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}:1,2,3,4,5\: \: \textrm{dan}\: \: 6\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}:n(S)=6\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kejadian muncul mata dadu 6},\: E=\left \{ 6 \right \}\\ &\qquad n(E)=1\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kejadian muncul mata dadu ganjil},\\ &\qquad E=\left \{ 1,3,5 \right \},\: \: n(E)=3 \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada percobaan pelemparan sekeping uang}\\ &\textrm{logam, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul sisi angka}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul sisi gambar}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\: \color{red}S\color{black}=\left \{ A,G \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}:A\: \: \textrm{dan}\: \: G\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}:n(S)=2\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kejadian muncul sisi angka},\: E=\left \{ A \right \}\\ &\qquad n(E)=1\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kejadian muncul sisi gambar},\: E=\left \{ G \right \}\\ &\qquad n(E)=1 \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Pada percobaan pelemparan 2 keping uang}\\ &\textrm{logam, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul 2 angka}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{banyak kejadian muncul minimal}\\ &\quad \textrm{sebuah sisi gambar}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\qquad \color{red}S\color{black}=\left \{ AA,AG, GA, GG \right \}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{titik sampel}:AA,AG,GA\: \: \textrm{dan}\: \: GG\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{banyak titik sampel}:n(S)=4\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{kejadian muncul 2 sisi angka},\: E=\left \{ AA \right \}\\ &\qquad n(E)=1\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{kejadian muncul minimal}\\ &\qquad \textrm{sebuah sisi gambar}\: E=\left \{ AG,GA,GG \right \}\\ &\qquad n(E)=3 \end{array}$