Contoh Soal 3 Peluang Kejadian

 $\begin{array}{ll}11.& \text{Jika kejadian}A\text{dan}B\text{adalah dua kejadian}\\ & \text{dengan}P(A)={\displaystyle \frac{8}{15},P(B)={\displaystyle \frac{7}{12},\text{dan}}}\\ & P(A|B)={\displaystyle \frac{4}{7},\text{maka nilai}P(B|A)=....}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{8}{45}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{5}{8}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{7}{15}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling bebas (bersyarat)}}.\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(A)={\displaystyle \frac{8}{15},P(B)={\displaystyle \frac{7}{12},P(A|B)={\displaystyle \frac{4}{7}}}}\\ & \text{Ditanyakan nilai}P(B|A)=...?\\ & \text{maka}\\ & \begin{array}{rl}P(A\cap B)& =P(A\cap B)\\ P(A)\times P(B|A)& =P(B)\times P(A|B)\\ P(B|A)& ={\displaystyle \frac{P(B)\times P(A|B)}{P(A)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{7}{12}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{4}{7}}\right)}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{15}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{8}}\end{array}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 2 Peluang Kejadian

 $\begin{array}{ll}6.& \text{Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah,}\\ & \text{5 kelereng hijau, dan 4 kelereng biru}\\ & \text{Diambil sebuah kelereng secara acak.}\\ & \text{Peluang yang terambil merah atau hijau}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{7}{16}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{saling lepas}}.\text{Misalkan}\\ & A=\text{kejadian terambil 1 kelereng merah}\\ & n(A)=C(7,1)=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right)=7\\ & B=\text{kejadian terambil 1 kelereng hijau}\\ & n(B)=C(5,1)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=5\\ & S=\text{semua dianggap identik}\\ & n(S)=C(16,1)=\left(\begin{array}{c}16\\ 1\end{array}\right)=16\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{16}+\frac{5}{16}=\frac{12}{16}={\displaystyle \frac{3}{4}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}7.& \text{Dari 100 orang yang mengikuti kegiatan}\\ & \text{jalan santai terdapat 60 orang memakai}\\ & \text{topi dan 45 orang yang berkacamata.}\\ & \text{Peluang bahwa seorang yang dipilih dari}\\ & \text{kelompok orang itu memakai topi dan}\\ & \text{kacamata adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{20}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{11}{20}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{2}{5}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{9}{20}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah ilustrasi}\mathbf{\text{Diagram Venn}}\\ & \text{berikut ini}\\ & \begin{array}{|ccl|}\hline \begin{array}{|l|}\hline \text{S}=100\\ \hline\end{array}& & \\ & \text{A}\text{B}& \\ & \begin{array}{|lcr|}\hline 60-n& n& 45-n\\ \hline\end{array}& \\ & & \\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling lepas}}.\\ & A=\text{kejadian terpilih seorang bertopi}\\ & n(A)=C(60,1)=\left(\begin{array}{c}60\\ 1\end{array}\right)=60\\ & B=\text{kejadian terpilih seorang berkacamata}\\ & n(B)=C(45,1)=\left(\begin{array}{c}45\\ 1\end{array}\right)=45\\ & A\cap B=\text{terpilih seorang bertopi dan}\\ & \text{berkacamata}\\ & n(A\cap B)=x\\ & S=\text{semua dianggap identik}\\ & n(S)=C(100,1)=\left(\begin{array}{c}100\\ 1\end{array}\right)=100\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & {\displaystyle \frac{n(A\cup B)}{n(S)}={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-{\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}}}}\\ & {\displaystyle \frac{100}{100}=\frac{60}{100}+\frac{45}{100}-\frac{x}{100}}\\ & {\displaystyle \frac{x}{100}={\displaystyle \frac{105}{100}-\frac{100}{100}}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{100}=\frac{1}{20}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}8.& \text{Diketahui dua buah kotak A dan B}\\ & \text{berisi 5 bola putih dan 3 bola merah.}\\ & \text{Kotak B berisi 4 bola putih dan 2 bola}\\ & \text{merah. Jika diambil secara acak 1 kotak,}\\ & \text{kemudian diambil secara acak 1 bola dari}\\ & \text{kotak tersebut, maka peluang terambilnya}\\ & \text{bola putih adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{7}{16}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{31}{48}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ & \mathbf{\text{saling lepas}}\text{dari dua kejadian Q}\\ & \text{dan R. Misalkan}:\\ & \text{Pada kotak A}\\ & Q=\text{Terambil 1 bola putih di kotak A}\\ & n(Q)=C(5,1)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=5\\ & S_Q=\text{Terambil 1 bola saja di kotak A}\\ & n(S_Q)=C(8,1)=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)=8\\ & \text{Pada kotak B}\\ & R=\text{Terambil 1 bola putih di kotak B}\\ & n(R)=C(4,1)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=4\\ & S_R=\text{Terambil 1 bola saja di kotak B}\\ & n(S_R)=C(6,1)=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=6\\ & \text{Karena kejadian pengambilan sebuah}\\ & \text{bola putih di atas adalah dari pilihan}\\ & \text{dua buah kotak yang ada, maka peluang}\\ & \text{pengambilannya adalah 1 dari 2 kotak}\\ & \text{peluang kejadian ini adalah}={\displaystyle \frac{1}{2}.}\\ & \text{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}P(Q\cup R)={\displaystyle \frac{1}{2}(P(Q)+P(R))}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{n(Q)}{n(S_Q)}+\frac{n(R)}{n(S_R)}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{5}{8}+\frac{4}{6}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{31}{24}}\right)={\displaystyle \frac{31}{48}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}9.& \text{Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola }\\ & \text{putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5}\\ & \text{biru. Dari tiap-tiap kotak diambil 2 bola}\\ & \text{sekaligus secara acak. Peluang terambil 2}\\ & \text{bola merah pada kotak I dan 2 bola biru}\\ & \text{dari kotak II adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{10}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{3}{28}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{4}{15}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{57}{140}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ & \mathbf{\text{saling bebas}}\text{dari dua kejadian A}\\ & \text{dan B. Misalkan}:\\ & \text{Pada kotak I}\\ & A=\text{Terambil 2 bola merah di kotak I}\\ & n(A)=C(3,2)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3\\ & S=\text{Terambil 2 bola saja di kotak I}\\ & n(S)=C(5,2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10\\ & \text{Pada kotak II}\\ & B=\text{Terambil 2 bola biru di kotak II}\\ & n(B)=C(5,2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10\\ & S=\text{Terambil 2 bola saja di kota II}\\ & n(S)=C(8,2)=\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)=28\\ & \text{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ & {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\times P(B)}\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{10}\times \frac{10}{28}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{28}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}10.& \text{Jika kejadian}A\text{dan}B\text{dapat terjadi secara}\\ & \text{bersamaan. Jika}P(A)=0,6,P(B)=0.75,\\ & \text{dan}P(A\cap B)=0,43,\text{maka}P(A\cup B)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0,98}& & & \text{d}.& {\displaystyle 0,92}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 0,96}& \text{c}.& {\displaystyle 0,94}& \text{e}.& {\displaystyle 0,91}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling lepas}}.\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(A)=0,6,P(B)=0,75,P(A\cap B)=0,43\\ & \text{Ditanyakan nilai}P(A\cup B)=...?\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & =0,6+0,75-0,43\\ & =0,92\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 1 Peluang Kejadian

 $\begin{array}{ll}1.& \text{Banyak anggota ruang sampel dari}\\ & \text{pelemparan sebuah dadu dan dua }\\ & \text{keping mata uang secara bersamaan}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 4}& & & \text{d}.& {\displaystyle 24}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 6}& \text{c}.& {\displaystyle 12}& \text{e}.& {\displaystyle 36}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}1& \text{mata dadu}=P(6,1)=6\\ 2& \text{keping mata uang}=P(2,1)\times P(2,1)=4\\ \text{R}& \text{uang sampelnya adalah}:6\times 4=24\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}2.& \text{Setumpuk kartu remi diambil sebuah}\\ & \text{kartu secara acak. Peluang agar kartu}\\ & \text{yang terambil bukan kartu king}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0}& & & \text{d}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{12}{13}}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{13}}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle 1}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}A=\text{Kejadian muncul kartu king}\\ & n(A)=\text{banyak kartu king ada}=4\\ & n(S)=\text{total kartu}=4\times 13\\ & A^{\prime }=\text{kejadian muncul bukan kartu king}\\ & \text{maka peluangnya bukan kartu king}:\\ & P(A^{\prime })=1-P(A)=1-{\displaystyle \frac{4}{4\times 13}=\frac{12}{13}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}3.& \text{Sebuah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ & \text{muncul mata dadu 3 atau lebih adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{6}}}& & & \text{d}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{5}}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misal}A=\text{muncul mata dadu 3 atau lebih}\\ & A=\{3,4,5,6\}\\ & S=\{1,2,3,4,5,6\}\\ & \text{maka}n(A)=4\text{dengan}(S)=6\\ & P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}4.& \text{Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam}\\ & \text{dilempar bersama-sama. Peluang muncul}\\ & \text{gambar pada mata uang dan mata 1 pada}\\ & \text{dadu adalah}....\\ & \begin{array}{llllll}\text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{12}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{6}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{4}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Cara pertama}}\\ & \text{Perhatikan tabel berikut}\\ & \begin{array}{|ccccccc|}\hline ◻& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ A& (A,1)& (A,2)& (A,3)& (A,4)& (A,5)& (A,6)\\ G& (G,1)& (G,2)& (G,3)& (G,4)& (G,5)& (G,6)\\ \hline\end{array}\\ & \text{dari tabel di atas didapatkan bahwa}:\\ & A=\text{kejadian muncul mata 1 pada dadu}\\ & n(A)=2\\ & B=\text{kejadian muncul gambar pada uang}\\ & n(B)=6\\ & A\cap B=\text{kejadian muncul 1 pada dadu}\\ & \text{gambar pada koin}\\ & n(A\cap B)=1\\ & \text{dengan}n(S)=12,\\ & \text{maka peluang muncul mata 1 dan gambar}\\ & P(A\cap B)={\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{12}}\\ & \mathbf{\text{Cara kedua}}\\ & \text{Karena ini dua kejadian}\mathit{\text{saling bebas}}\\ & \text{maka}\\ & P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{12}\times \frac{6}{12}=\frac{12}{144}=\frac{1}{12}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}5.& \text{Peluang Dika lulus ujian adalah}0,75\text{dan}\\ & \text{peluang Tutik lulus ujian adalah}0,80.\\ & \text{Peluang keduanya lulus ujian adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0,4}& & & \text{d}.& {\displaystyle 0,7}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 0,5}& \text{c}.& {\displaystyle 0,6}& \text{e}.& {\displaystyle 0,8}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dua kejadian ini adalah}\mathit{\text{saling bebas}}\\ & \text{Misal}A=\text{Kejadian Dika lulus}\\ & n(A)=\cdots \text{tidak diketahui, tetapi}\\ & P(A)=0,75={\displaystyle \frac{3}{4},\mathbf{\text{diketahui}}}\\ & \text{dan}B=\text{Tutik lulus}\\ & n(B)=\cdots \text{juga tidak diketahui}\\ & P(B)=0,8={\displaystyle \frac{4}{5}}\\ & P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}=\frac{3}{5}=0,6}\end{array}\end{array}$

Peluang Kejadian Majmuk (Lanjutan Materi 3 Kelas XII Matematika Wajib)

 $\begin{array}{rl}\text{E. 4}.& \text{Peluang Kejadian Saling Lepas}\end{array}$

Kasus ini terjadi jika dua kejadian tidak mungkin secara bersamaan. Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas seperti ini maka   $(A\cap B)=\varnothing$. Untuk penentukan besar peluangnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)\\ \\ \mathbf{\text{Keterang}}& \mathbf{\text{an}}:\\ P(A\cup B)& =\text{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 5}.& \text{Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas}\end{array}$

Kasus ini terjadi jika dua kejadian dapat terjadi secara bersamaan. 

$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ \\ \mathbf{\text{Keterang}}& \mathbf{\text{an}}:\\ P(A\cup B)& =\text{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A\cap B)& =\text{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah dadu dilempar, Peluang }\\ & \text{munculnya mata dadu 5 atau 6 adalah}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}A& =\text{Kejadian muncul mata dadu 5}=\left\{5\right\}\\ & n(A)=1\\ B& =\text{Kejadian muncul mata dadu 6}=\left\{6\right\}\\ & n(B)=1\\ S& =\text{Semua mata dadu}=\{1,2,3,4,5,6\}\\ P& (A\cup B)=P(A)+P(B)\\ P& (A\cup B)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}={\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Atau}}\\ & \text{Soal di atas dapat dikerjakan dengan rumus}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & \text{Karena antara kejadian muncul mata}\\ & \text{dadu 5 dan mat dadu 6 tidak ada irisannya}\\ & \text{maka irisannya haruslah bernilai}0\text{atau}\\ & \text{nilai}n(A\cap B)=0,\text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & P(A\cup B)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{0}{6}=\frac{2}{6}={\displaystyle \frac{1}{3}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Dua buah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ & \text{munculnya mata dadu berjumlah 3 atau 10}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan tabel berikut}\\ & \begin{array}{|ccccccc|}\hline ◻& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& (1,1)& (1,2)& (1,3)& (1,4)& (1,5)& (1,6)\\ 2& (2,1)& (2,2)& (2,3)& (2,4)& (2,5)& (2,6)\\ 3& (3,1)& (3,2)& (3,3)& (3,4)& (3,5)& (3,6)\\ 4& (4,1)& (4,2)& (4,3)& (4,4)& (4,5)& (4,6)\\ 5& (5,1)& (5,2)& (5,3)& (5,4)& (5,5)& (5,6)\\ 6& (6,1)& (6,2)& (6,3)& (6,4)& (6,5)& (6,6)\\ \hline\end{array}\\ & \text{Misal}\\ & A=\text{Kejadian jumlah mata dadu 3}\\ & \Rightarrow n(A)=2\\ & B=\text{Kejadian jumlah mata dadu 10}\\ & \Rightarrow n(B)=3\\ & S=\text{Semua mata dadu}\Rightarrow n(S)=36\\ & \text{Gunakan rumus}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & P(A\cup B)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(A)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{36}+\frac{3}{36}-\frac{0}{36}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{36}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Seratus kartu yang diberi diberi nomor urut}\\ & \text{1 sampai 100 diambil sebuah saja}.\\ & \text{Tentukanlah peluang}\\ & \text{a}.\text{muncul kelipatan 4}\\ & \text{b}.\text{muncul kelipatan 6}\\ & \text{c}.\text{muncul kelipatan 4 atau 6}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& S=\{1,2,3,4,\cdots ,100\}\Rightarrow n(S)=100\\ & A=\text{Kejadian muncul kelipatan 4}\\ & \iff A=\{4\times 1,4\times 2,\cdots ,4\times 25\}\Rightarrow n(A)=25\\ & B=\text{Kejadian muncul kelipatan 6}\\ & \iff B=\{6\times 1,6\times 2,\cdots ,6\times 16\}\Rightarrow n(B)=16\\ & \text{Tentunya kesamaan antara kejadian A dan B}\\ & \text{dan ini dilambangkan dengan}(A\cap B),\text{maka}\\ & (A\cap B)=\{12\times 1,12\times 2,\cdots ,12\times 8\}\\ & \Rightarrow n(A\cap B)=8\\ & \text{Selanjutnya adalah}:\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{25}{100}+\frac{16}{100}-\frac{8}{100}}\\ & ={\displaystyle \frac{33}{100}}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI (Wajib). Bandung: SEWU.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiyadi, U. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam Kelas XI. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

Peluang Kejadian Majmuk (Lanjutan Materi 2 Kelas XII Matematika Wajib)

 $\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Peluang Kejadian Majmuk}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 1}.& \text{Peluang Komplemen Suatu Kejadian}\end{array}$

Komplemen suatu kejadian A misalnya adalah kejadian tidak terjadinya A dan dinotasikan dengan  $A^{\prime }\text{atau}{A}^c$

Selanjutnya peluang kejadian bukan A dituliskan dengan  $P(A^{\prime })\mathrm{atau}P(A^c)$ dan 

$P(A^{\prime })=1-P(A)\mathrm{atau}P(A^{\prime })+P(A)=1$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Dua puluh kartu diberi angka}1,2,3,\cdots ,20\\ & \text{Setelah semuanya bernomor kemudian kartu}\\ & \text{tersebut dikocok. Jika sebuah kartu diambil}\\ & \text{secara acak, maka peluang bahwa kartu yang}\\ & \text{termabil bukan angka prima}\\ 2.& \text{Jika sebuah keluarga merencanakan kelahiran}\\ & \text{dengan 4 anak anak. Peluang paling sedikit}\\ & \text{memiliki satu anak laki-laki}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ 1.& A=\text{Kejadian nomor prima}\\ & A=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}\Rightarrow n(A)=8\\ & \text{Peluang terambilnya sebuah kartu prima}:\\ & P(A)={\displaystyle \frac{C(8,1)}{C(20,1)}=\frac{8}{20}}\\ & \text{Sehingga peluang termabilnya 1 kartu}\\ & \text{bukan prima adalah}:\\ & P(A^{\prime })=1-P(A)=1-{\displaystyle \frac{8}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}}\\ 2.& S=\text{Kejadian total kelahiran 4 anak}\\ & n(S)=C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\\ & \iff n(S)=2\times 2\times 2\times 2=16\text{susunan anak}\\ & =\{LLLL,LLLP,LLPL,LLPP,\cdots ,PPPP\}\\ \\ & \text{Jika}B=\text{Kejadian Kelahiran tanpa anak laki-laki}\\ & \text{atau kejadian semuanya perempuan=PPPP=1}\\ & \text{hanya akan terjadi 1 dari 16},\\ & \text{maka}n(B)=1.\text{Sehingga}\\ & P(B)={\displaystyle \frac{n(B)}{n(S)}=\frac{1}{16}}\\ & \text{Peluang kejadian kelahiran tanpa anak}\\ & \text{perempuan adalah}:\\ & P(B^{\prime })=1-P(B)=1-{\displaystyle \frac{1}{16}=\frac{15}{16}}\\ \\ & \text{Atau dengan cara langsung pun bisa sebenarnya}\\ & B^{\prime }=\text{Kejadian lahir minimal satu laki-laki}\\ & \text{maka}n(B^{\prime })=15\\ & P(B^{\prime })={\displaystyle \frac{n(B^{\prime })}{n(S)}=\frac{15}{16}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 2}.& \text{Peluang Dua Kejadian Saling Bebas}\end{array}$

Dua kejadian dianggap saling bebas jika munculnya kejadian yang pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua.

$\begin{array}{rl}P(A\cap B)& =P(A)\times P(B)\\ \\ \mathbf{\text{Keteran}}& \mathbf{\text{gan}}:\\ P(A\cap B)& =\text{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 3}.& \text{Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Bebas}\end{array}$

Dua kejadian disebut dua kejadian tidak saling bebas jika munculnya kejadian pertama akan mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua, demikian sebaliknya. Selanjutnya kasus ini dinamakan peluang dua kejadian bersyarat

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\bullet P(A|B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}& ,\text{dengan}P(B)\ne 0\\ \text{Peluang kejadian B}& \text{yang pertama terjadi}\\ \\ \bullet P(B|A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}& ,\text{dengan}P(A)\ne 0\\ \text{Peluang kejadian A}& \text{yang pertama terjadi}\end{array}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 6 bola}\\ & \text{biru. Dari kotak tersebut diambil bola satu}\\ & \text{persatu}\\ & \text{a}.\text{Tentukanlah peluang Jika bola pertama}\\ & \text{terambil merah lalu dikembalikan lalu}\\ & \text{terambil biru}\\ & \text{b}.\text{Tentukan peluang jika tanpa dikembalikan}\\ & \text{pada kasus 3.a di atas}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\\ & X=\text{kejadian terambil merah pada proses 1}\\ & Y=\text{kejadian terambil biru pada proses 2}\\ & \text{a}.P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)\\ & ={\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(11,1)}={\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 11}=\frac{30}{121}}}\\ & \text{b}.P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)=P(X)\times P(Y|X)\\ & ={\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(10,1)}={\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 10}=\frac{3}{11}}}\\ & \text{ingat saat tanpa pengembalian, maka}\\ & \text{jumlah bola total berkurang 1}\end{array}\end{array}$

Peluang Kejadian Majmuk (Lanjutan Materi 1 Kelas XII Matematika Wajib)

 $\begin{array}{rl}\text{C}.& \text{Peluang Kejadian Tunggal}\end{array}$

Jika A adalah suatu kejadian dengan  $A\subset S$  dan S suatu ruang sampel, maka peluang kejadian A didefinisikan dengan

$\begin{array}{rl}& P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}}\\ \mathbf{\text{Keterangan}}& :\\ & \\ P(A)& =\text{Peluang kejadian}A\\ n(A)& =\text{Banyak elemen pada suatu}\\ & \text{kejadian}A\\ n(S)& =\text{Banyak titik sampel pada}\\ & \text{ruang sampel}S\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{Dari}\text{k}& \text{emungkinan di atas}\\ \text{dapat}& \text{disimpulkan}\\ \text{a}& \text{Kisaran nilai peluangnya, yaitu}\\ & 0\le P(A)\le 1\\ \text{b}& \text{Jika}A=\varnothing ,\text{maka}P(A)=0\\ & \text{dan ini dinamakan kejadian}\\ & \mathbf{\text{yang mustahil}}\\ \text{c}& \text{Jika}A=S,\text{maka}P(A)=1\\ & \text{dan kejadian ini dinamakan}\\ & \text{kejadian yang}\mathbf{\text{pasti terjadi}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{D}.& \text{Frekuensi Harapan Suatu Kejadian}\end{array}$

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang suatu kejadian dengan dengan banyaknya percobaan dan dirumuskan dengan

$\begin{array}{rl}{f}_h(A)& ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times n}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah dadu dilempar sekali. Berapakah}\\ & \text{peluang munculnya mata dadu lebih}\\ & \text{dari 3}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Misalkan}A\text{kejadian muncul mata dadu}\\ & \text{lebih dari 3, maka}\\ & S=\{1,2,3,4,5,6\},\text{dan}\\ & A=\{4,5,6\}\\ & \text{Sehingga}\\ & P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ & \text{Jadi, peluang kejadian ini adalah}{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 Masih ingat konsep materi peluang pada saat Amda duduk di SMP? 

$\begin{array}{rl}\text{A}.& \text{Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian}\end{array}$

Mari lakukan aktivitas berikut

$\begin{array}{|clcc|}\hline \text{No}.& \text{Percobaan}& \text{Titik}& \text{Notasi}\\ & & \text{Sampel}& \text{Himpunan}\\ 1& \text{Pelemparan sekeping}& & \\ & \text{uang logam}& \text{A},\text{G}& \{A,G\}\\ 2& \text{Pelemparan dua keping}& AA,& \\ & \text{mata uang logam}& AG,& \\ & \text{secara bersamaan}& GA,& \cdots \\ & & GG& \\ 3& \text{Pelemparan sebuah}& & \\ & \text{dadu}& \cdots & \cdots \\ 4& \text{Pelemparan dua buah}& & \\ & \text{dadu secara bersamaan}& \cdots & \cdots \\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Sebagai penjelasan istilah di atas adalah}:\\ & \mathbf{\text{Percobaan}}:\text{proses berupa tindakan yang}\\ & \text{bisa diamati atau dapat juga dikatakan}\\ & \text{suatu tindakan untuk mendapatkan hasil}\\ & \text{tertentu}\\ & \mathbf{\text{Ruang sampel}}:\text{kumpulan dari semua}\\ & \text{hasil yang mungkin dari sebuah percobaan}\\ & \mathbf{\text{Titik Sampel}}:\text{tiap hasil yang mungkin}\\ & \mathbf{\text{Kejadian}}\text{atau}\mathbf{\text{peristiwa (event)}}:\\ & \text{hasil-hasil (titik-titik sampel) tertentu}\\ & \text{dari ruang sampel}.\end{array}$

Selanjutnya ruang sampel dilambangkan dengan S dan kejadian/event dilambangkan dengan E.

$\begin{array}{rl}\text{B}.& \text{Penentuan Ruang Sampel}\end{array}$

Ada 2 macam penentuan ruang sampel, yaitu tabel dan diagram pohon

Sebagai misal pada pelemparan 3 buah uang koin sebanyak tiga kali, maka akan didapatkan ruang sampel sebagai berikut

$\begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tabel}\\ & \text{Mula-mula (pelemparan)}1\mathrm{\&}2\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline & A& G\\ A& AA& AG\\ G& GA& GG\\ \hline\end{array}\\ & \text{selanjutnya pada pelemparan ke-3}\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline & A& G\\ AA& AAA& AAG\\ AG& AGA& AGG\\ GA& GAA& GAG\\ GG& GGA& GGG\\ \hline\end{array}\\ \text{b}& \text{Dengan Diagram Pohon}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Pada percobaan pelemparan sebuah dadu},\\ & \text{tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}\\ & \text{d}.\text{banyak kejadian muncul mata dadu 6}\\ & \text{e}.\text{banyak kejadian muncul mata dadu ganjil}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}S=\{1,2,3,4,5,6\}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}:1,2,3,4,5\text{dan}6\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}:n(S)=6\\ & \text{d}.\text{kejadian muncul mata dadu 6},E=\left\{6\right\}\\ & n(E)=1\\ & \text{e}.\text{kejadian muncul mata dadu ganjil},\\ & E=\{1,3,5\},n(E)=3\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada percobaan pelemparan sekeping uang}\\ & \text{logam, tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}\\ & \text{d}.\text{banyak kejadian muncul sisi angka}\\ & \text{e}.\text{banyak kejadian muncul sisi gambar}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}S=\{A,G\}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}:A\text{dan}G\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}:n(S)=2\\ & \text{d}.\text{kejadian muncul sisi angka},E=\left\{A\right\}\\ & n(E)=1\\ & \text{e}.\text{kejadian muncul sisi gambar},E=\left\{G\right\}\\ & n(E)=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Pada percobaan pelemparan 2 keping uang}\\ & \text{logam, tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}\\ & \text{d}.\text{banyak kejadian muncul 2 angka}\\ & \text{e}.\text{banyak kejadian muncul minimal}\\ & \text{sebuah sisi gambar}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & S=\{AA,AG,GA,GG\}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}:AA,AG,GA\text{dan}GG\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}:n(S)=4\\ & \text{d}.\text{kejadian muncul 2 sisi angka},E=\left\{AA\right\}\\ & n(E)=1\\ & \text{e}.\text{kejadian muncul minimal}\\ & \text{sebuah sisi gambar}E=\{AG,GA,GG\}\\ & n(E)=3\end{array}$

Contoh Soal 3 Peluang Kejadian Majmuk

$\begin{array}{ll}11.& \text{Jika kejadian}A\text{dan}B\text{adalah dua kejadian}\\ & \text{dengan}P(A)={\displaystyle \frac{8}{15},P(B)={\displaystyle \frac{7}{12},\text{dan}}}\\ & P(A|B)={\displaystyle \frac{4}{7},\text{maka nilai}P(B|A)=....}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{8}{45}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{5}{8}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{7}{15}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling bebas (bersyarat)}}.\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(A)={\displaystyle \frac{8}{15},P(B)={\displaystyle \frac{7}{12},P(A|B)={\displaystyle \frac{4}{7}}}}\\ & \text{Ditanyakan nilai}P(B|A)=...?\\ & \text{maka}\\ & \begin{array}{rl}P(A\cap B)& =P(A\cap B)\\ P(A)\times P(B|A)& =P(B)\times P(A|B)\\ P(B|A)& ={\displaystyle \frac{P(B)\times P(A|B)}{P(A)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{7}{12}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{4}{7}}\right)}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{15}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{8}}\end{array}\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 2 Peluang Kejadian Majmuk

$\begin{array}{ll}6.& \text{Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah,}\\ & \text{5 kelereng hijau, dan 4 kelereng biru}\\ & \text{Diambil sebuah kelereng secara acak.}\\ & \text{Peluang yang terambil merah atau hijau}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{7}{16}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{saling lepas}}.\text{Misalkan}\\ & A=\text{kejadian terambil 1 kelereng merah}\\ & n(A)=C(7,1)=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right)=7\\ & B=\text{kejadian terambil 1 kelereng hijau}\\ & n(B)=C(5,1)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=5\\ & S=\text{semua dianggap identik}\\ & n(S)=C(16,1)=\left(\begin{array}{c}16\\ 1\end{array}\right)=16\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{16}+\frac{5}{16}=\frac{12}{16}={\displaystyle \frac{3}{4}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}7.& \text{Dari 100 orang yang mengikuti kegiatan}\\ & \text{jalan santai terdapat 60 orang memakai}\\ & \text{topi dan 45 orang yang berkacamata.}\\ & \text{Peluang bahwa seorang yang dipilih dari}\\ & \text{kelompok orang itu memakai topi dan}\\ & \text{kacamata adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{20}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{11}{20}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{2}{5}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{9}{20}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Perhatikanlah ilustrasi}\mathbf{\text{Diagram Venn}}\\ & \text{berikut ini}\\ & \begin{array}{|ccl|}\hline \begin{array}{|l|}\hline \text{S}=100\\ \hline\end{array}& & \\ & \text{A}\text{B}& \\ & \begin{array}{|lcr|}\hline 60-n& n& 45-n\\ \hline\end{array}& \\ & & \\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling lepas}}.\\ & A=\text{kejadian terpilih seorang bertopi}\\ & n(A)=C(60,1)=\left(\begin{array}{c}60\\ 1\end{array}\right)=60\\ & B=\text{kejadian terpilih seorang berkacamata}\\ & n(B)=C(45,1)=\left(\begin{array}{c}45\\ 1\end{array}\right)=45\\ & A\cap B=\text{terpilih seorang bertopi dan}\\ & \text{berkacamata}\\ & n(A\cap B)=x\\ & S=\text{semua dianggap identik}\\ & n(S)=C(100,1)=\left(\begin{array}{c}100\\ 1\end{array}\right)=100\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & {\displaystyle \frac{n(A\cup B)}{n(S)}={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-{\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}}}}\\ & {\displaystyle \frac{100}{100}=\frac{60}{100}+\frac{45}{100}-\frac{x}{100}}\\ & {\displaystyle \frac{x}{100}={\displaystyle \frac{105}{100}-\frac{100}{100}}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{100}=\frac{1}{20}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}8.& \text{Diketahui dua buah kotak A dan B}\\ & \text{berisi 5 bola putih dan 3 bola merah.}\\ & \text{Kotak B berisi 4 bola putih dan 2 bola}\\ & \text{merah. Jika diambil secara acak 1 kotak,}\\ & \text{kemudian diambil secara acak 1 bola dari}\\ & \text{kotak tersebut, maka peluang terambilnya}\\ & \text{bola putih adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{7}{16}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{31}{48}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ & \mathbf{\text{saling lepas}}\text{dari dua kejadian Q}\\ & \text{dan R. Misalkan}:\\ & \text{Pada kotak A}\\ & Q=\text{Terambil 1 bola putih di kotak A}\\ & n(Q)=C(5,1)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=5\\ & S_Q=\text{Terambil 1 bola saja di kotak A}\\ & n(S_Q)=C(8,1)=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)=8\\ & \text{Pada kotak B}\\ & R=\text{Terambil 1 bola putih di kotak B}\\ & n(R)=C(4,1)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=4\\ & S_R=\text{Terambil 1 bola saja di kotak B}\\ & n(S_R)=C(6,1)=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=6\\ & \text{Karena kejadian pengambilan sebuah}\\ & \text{bola putih di atas adalah dari pilihan}\\ & \text{dua buah kotak yang ada, maka peluang}\\ & \text{pengambilannya adalah 1 dari 2 kotak}\\ & \text{peluang kejadian ini adalah}={\displaystyle \frac{1}{2}.}\\ & \text{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ & {\displaystyle \frac{1}{2}P(Q\cup R)={\displaystyle \frac{1}{2}(P(Q)+P(R))}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{n(Q)}{n(S_Q)}+\frac{n(R)}{n(S_R)}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{5}{8}+\frac{4}{6}}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left({\displaystyle \frac{31}{24}}\right)={\displaystyle \frac{31}{48}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}9.& \text{Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola }\\ & \text{putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5}\\ & \text{biru. Dari tiap-tiap kotak diambil 2 bola}\\ & \text{sekaligus secara acak. Peluang terambil 2}\\ & \text{bola merah pada kotak I dan 2 bola biru}\\ & \text{dari kotak II adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{10}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{3}{28}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{4}{15}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{57}{140}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah kejadian}\\ & \mathbf{\text{saling bebas}}\text{dari dua kejadian A}\\ & \text{dan B. Misalkan}:\\ & \text{Pada kotak I}\\ & A=\text{Terambil 2 bola merah di kotak I}\\ & n(A)=C(3,2)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3\\ & S=\text{Terambil 2 bola saja di kotak I}\\ & n(S)=C(5,2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10\\ & \text{Pada kotak II}\\ & B=\text{Terambil 2 bola biru di kotak II}\\ & n(B)=C(5,2)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=10\\ & S=\text{Terambil 2 bola saja di kota II}\\ & n(S)=C(8,2)=\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)=28\\ & \text{Sehingga peluang kasus di atas adalah}:\\ & {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\times P(B)}\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{10}\times \frac{10}{28}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{28}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}10.& \text{Jika kejadian}A\text{dan}B\text{dapat terjadi secara}\\ & \text{bersamaan. Jika}P(A)=0,6,P(B)=0.75,\\ & \text{dan}P(A\cap B)=0,43,\text{maka}P(A\cup B)=....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0,98}& & & \text{d}.& {\displaystyle 0,92}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 0,96}& \text{c}.& {\displaystyle 0,94}& \text{e}.& {\displaystyle 0,91}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Kejadian di atas adalah contoh}\\ & \text{kejadian}\mathbf{\text{tidak saling lepas}}.\\ & \text{Diketahui bahwa}\\ & P(A)=0,6,P(B)=0,75,P(A\cap B)=0,43\\ & \text{Ditanyakan nilai}P(A\cup B)=...?\\ & \text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & =0,6+0,75-0,43\\ & =0,92\end{array}\end{array}$

Contoh Soal 1 Peluang Kejadian Majmuk

$\begin{array}{ll}1.& \text{Banyak anggota ruang sampel dari}\\ & \text{pelemparan sebuah dadu dan dua }\\ & \text{keping mata uang secara bersamaan}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 4}& & & \text{d}.& {\displaystyle 24}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 6}& \text{c}.& {\displaystyle 12}& \text{e}.& {\displaystyle 36}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}1& \text{mata dadu}=P(6,1)=6\\ 2& \text{keping mata uang}=P(2,1)\times P(2,1)=4\\ \text{R}& \text{uang sampelnya adalah}:6\times 4=24\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}2.& \text{Setumpuk kartu remi diambil sebuah}\\ & \text{kartu secara acak. Peluang agar kartu}\\ & \text{yang terambil bukan kartu king}\\ & \text{adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0}& & & \text{d}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{12}{13}}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{13}}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle 1}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}A=\text{Kejadian muncul kartu king}\\ & n(A)=\text{banyak kartu king ada}=4\\ & n(S)=\text{total kartu}=4\times 13\\ & A^{\prime }=\text{kejadian muncul bukan kartu king}\\ & \text{maka peluangnya bukan kartu king}:\\ & P(A^{\prime })=1-P(A)=1-{\displaystyle \frac{4}{4\times 13}=\frac{12}{13}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}3.& \text{Sebuah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ & \text{muncul mata dadu 3 atau lebih adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{6}}}& & & \text{d}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{5}}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misal}A=\text{muncul mata dadu 3 atau lebih}\\ & A=\{3,4,5,6\}\\ & S=\{1,2,3,4,5,6\}\\ & \text{maka}n(A)=4\text{dengan}(S)=6\\ & P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}4.& \text{Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam}\\ & \text{dilempar bersama-sama. Peluang muncul}\\ & \text{gambar pada mata uang dan mata 1 pada}\\ & \text{dadu adalah}....\\ & \begin{array}{llllll}\text{a}.& {\displaystyle \frac{1}{12}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{6}}& \text{c}.& {\displaystyle \frac{1}{4}}& \text{e}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Cara pertama}}\\ & \text{Perhatikan tabel berikut}\\ & \begin{array}{|ccccccc|}\hline ◻& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ A& (A,1)& (A,2)& (A,3)& (A,4)& (A,5)& (A,6)\\ G& (G,1)& (G,2)& (G,3)& (G,4)& (G,5)& (G,6)\\ \hline\end{array}\\ & \text{dari tabel di atas didapatkan bahwa}:\\ & A=\text{kejadian muncul mata 1 pada dadu}\\ & n(A)=2\\ & B=\text{kejadian muncul gambar pada uang}\\ & n(B)=6\\ & A\cap B=\text{kejadian muncul 1 pada dadu}\\ & \text{gambar pada koin}\\ & n(A\cap B)=1\\ & \text{dengan}n(S)=12,\\ & \text{maka peluang muncul mata 1 dan gambar}\\ & P(A\cap B)={\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{12}}\\ & \mathbf{\text{Cara kedua}}\\ & \text{Karena ini dua kejadian}\mathit{\text{saling bebas}}\\ & \text{maka}\\ & P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{12}\times \frac{6}{12}=\frac{12}{144}=\frac{1}{12}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{ll}5.& \text{Peluang Dika lulus ujian adalah}0,75\text{dan}\\ & \text{peluang Tutik lulus ujian adalah}0,80.\\ & \text{Peluang keduanya lulus ujian adalah}....\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle 0,4}& & & \text{d}.& {\displaystyle 0,7}\\ \\ \text{b}.& {\displaystyle 0,5}& \text{c}.& {\displaystyle 0,6}& \text{e}.& {\displaystyle 0,8}\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dua kejadian ini adalah}\mathit{\text{saling bebas}}\\ & \text{Misal}A=\text{Kejadian Dika lulus}\\ & n(A)=\cdots \text{tidak diketahui, tetapi}\\ & P(A)=0,75={\displaystyle \frac{3}{4},\mathbf{\text{diketahui}}}\\ & \text{dan}B=\text{Tutik lulus}\\ & n(B)=\cdots \text{juga tidak diketahui}\\ & P(B)=0,8={\displaystyle \frac{4}{5}}\\ & P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times \frac{n(B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}=\frac{3}{5}=0,6}\end{array}\end{array}$

Lanjutan 3 Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\begin{array}{rl}\text{E. 4}.& \text{Peluang Kejadian Saling Lepas}\end{array}$

Kasus ini terjadi jika dua kejadian tidak mungkin secara bersamaan. Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas seperti ini maka   $(A\cap B)=\varnothing$. Untuk penentukan besar peluangnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)\\ \\ \mathbf{\text{Keterang}}& \mathbf{\text{an}}:\\ P(A\cup B)& =\text{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 5}.& \text{Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas}\end{array}$

Kasus ini terjadi jika dua kejadian dapat terjadi secara bersamaan. 

$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ \\ \mathbf{\text{Keterang}}& \mathbf{\text{an}}:\\ P(A\cup B)& =\text{Peluang kejadian A atau B}\\ P(A\cap B)& =\text{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah dadu dilempar, Peluang }\\ & \text{munculnya mata dadu 5 atau 6 adalah}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}A& =\text{Kejadian muncul mata dadu 5}=\left\{5\right\}\\ & n(A)=1\\ B& =\text{Kejadian muncul mata dadu 6}=\left\{6\right\}\\ & n(B)=1\\ S& =\text{Semua mata dadu}=\{1,2,3,4,5,6\}\\ P& (A\cup B)=P(A)+P(B)\\ P& (A\cup B)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}={\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Atau}}\\ & \text{Soal di atas dapat dikerjakan dengan rumus}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & \text{Karena antara kejadian muncul mata}\\ & \text{dadu 5 dan mat dadu 6 tidak ada irisannya}\\ & \text{maka irisannya haruslah bernilai}0\text{atau}\\ & \text{nilai}n(A\cap B)=0,\text{maka}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & P(A\cup B)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{0}{6}=\frac{2}{6}={\displaystyle \frac{1}{3}}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Dua buah dadu dilempar sekali. Peluang}\\ & \text{munculnya mata dadu berjumlah 3 atau 10}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan tabel berikut}\\ & \begin{array}{|ccccccc|}\hline ◻& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& (1,1)& (1,2)& (1,3)& (1,4)& (1,5)& (1,6)\\ 2& (2,1)& (2,2)& (2,3)& (2,4)& (2,5)& (2,6)\\ 3& (3,1)& (3,2)& (3,3)& (3,4)& (3,5)& (3,6)\\ 4& (4,1)& (4,2)& (4,3)& (4,4)& (4,5)& (4,6)\\ 5& (5,1)& (5,2)& (5,3)& (5,4)& (5,5)& (5,6)\\ 6& (6,1)& (6,2)& (6,3)& (6,4)& (6,5)& (6,6)\\ \hline\end{array}\\ & \text{Misal}\\ & A=\text{Kejadian jumlah mata dadu 3}\\ & \Rightarrow n(A)=2\\ & B=\text{Kejadian jumlah mata dadu 10}\\ & \Rightarrow n(B)=3\\ & S=\text{Semua mata dadu}\Rightarrow n(S)=36\\ & \text{Gunakan rumus}\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & P(A\cup B)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(A)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{36}+\frac{3}{36}-\frac{0}{36}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{36}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Seratus kartu yang diberi diberi nomor urut}\\ & \text{1 sampai 100 diambil sebuah saja}.\\ & \text{Tentukanlah peluang}\\ & \text{a}.\text{muncul kelipatan 4}\\ & \text{b}.\text{muncul kelipatan 6}\\ & \text{c}.\text{muncul kelipatan 4 atau 6}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& S=\{1,2,3,4,\cdots ,100\}\Rightarrow n(S)=100\\ & A=\text{Kejadian muncul kelipatan 4}\\ & \iff A=\{4\times 1,4\times 2,\cdots ,4\times 25\}\Rightarrow n(A)=25\\ & B=\text{Kejadian muncul kelipatan 6}\\ & \iff B=\{6\times 1,6\times 2,\cdots ,6\times 16\}\Rightarrow n(B)=16\\ & \text{Tentunya kesamaan antara kejadian A dan B}\\ & \text{dan ini dilambangkan dengan}(A\cap B),\text{maka}\\ & (A\cap B)=\{12\times 1,12\times 2,\cdots ,12\times 8\}\\ & \Rightarrow n(A\cap B)=8\\ & \text{Selanjutnya adalah}:\\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\\ & ={\displaystyle \frac{25}{100}+\frac{16}{100}-\frac{8}{100}}\\ & ={\displaystyle \frac{33}{100}}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Terzalgi, Y. 2014. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI (Wajib). Bandung: SEWU.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiyadi, U. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam Kelas XI. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

Lanjutan 2 Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Peluang Kejadian Majmuk}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 1}.& \text{Peluang Komplemen Suatu Kejadian}\end{array}$

Komplemen suatu kejadian A misalnya adalah kejadian tidak terjadinya A dan dinotasikan dengan  $A^{\prime }\text{atau}{A}^c$

Selanjutnya peluang kejadian bukan A dituliskan dengan  $P(A^{\prime })\mathrm{atau}P(A^c)$ dan 

$P(A^{\prime })=1-P(A)\mathrm{atau}P(A^{\prime })+P(A)=1$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Dua puluh kartu diberi angka}1,2,3,\cdots ,20\\ & \text{Setelah semuanya bernomor kemudian kartu}\\ & \text{tersebut dikocok. Jika sebuah kartu diambil}\\ & \text{secara acak, maka peluang bahwa kartu yang}\\ & \text{termabil bukan angka prima}\\ 2.& \text{Jika sebuah keluarga merencanakan kelahiran}\\ & \text{dengan 4 anak anak. Peluang paling sedikit}\\ & \text{memiliki satu anak laki-laki}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ 1.& A=\text{Kejadian nomor prima}\\ & A=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}\Rightarrow n(A)=8\\ & \text{Peluang terambilnya sebuah kartu prima}:\\ & P(A)={\displaystyle \frac{C(8,1)}{C(20,1)}=\frac{8}{20}}\\ & \text{Sehingga peluang termabilnya 1 kartu}\\ & \text{bukan prima adalah}:\\ & P(A^{\prime })=1-P(A)=1-{\displaystyle \frac{8}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}}\\ 2.& S=\text{Kejadian total kelahiran 4 anak}\\ & n(S)=C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\\ & \iff n(S)=2\times 2\times 2\times 2=16\text{susunan anak}\\ & =\{LLLL,LLLP,LLPL,LLPP,\cdots ,PPPP\}\\ \\ & \text{Jika}B=\text{Kejadian Kelahiran tanpa anak laki-laki}\\ & \text{atau kejadian semuanya perempuan=PPPP=1}\\ & \text{hanya akan terjadi 1 dari 16},\\ & \text{maka}n(B)=1.\text{Sehingga}\\ & P(B)={\displaystyle \frac{n(B)}{n(S)}=\frac{1}{16}}\\ & \text{Peluang kejadian kelahiran tanpa anak}\\ & \text{perempuan adalah}:\\ & P(B^{\prime })=1-P(B)=1-{\displaystyle \frac{1}{16}=\frac{15}{16}}\\ \\ & \text{Atau dengan cara langsung pun bisa sebenarnya}\\ & B^{\prime }=\text{Kejadian lahir minimal satu laki-laki}\\ & \text{maka}n(B^{\prime })=15\\ & P(B^{\prime })={\displaystyle \frac{n(B^{\prime })}{n(S)}=\frac{15}{16}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 2}.& \text{Peluang Dua Kejadian Saling Bebas}\end{array}$

Dua kejadian dianggap saling bebas jika munculnya kejadian yang pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua.

$\begin{array}{rl}P(A\cap B)& =P(A)\times P(B)\\ \\ \mathbf{\text{Keteran}}& \mathbf{\text{gan}}:\\ P(A\cap B)& =\text{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 3}.& \text{Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Bebas}\end{array}$

Dua kejadian disebut dua kejadian tidak saling bebas jika munculnya kejadian pertama akan mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua, demikian sebaliknya. Selanjutnya kasus ini dinamakan peluang dua kejadian bersyarat

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\bullet P(A|B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}& ,\text{dengan}P(B)\ne 0\\ \text{Peluang kejadian B}& \text{yang pertama terjadi}\\ \\ \bullet P(B|A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}& ,\text{dengan}P(A)\ne 0\\ \text{Peluang kejadian A}& \text{yang pertama terjadi}\end{array}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 6 bola}\\ & \text{biru. Dari kotak tersebut diambil bola satu}\\ & \text{persatu}\\ & \text{a}.\text{Tentukanlah peluang Jika bola pertama}\\ & \text{terambil merah lalu dikembalikan lalu}\\ & \text{terambil biru}\\ & \text{b}.\text{Tentukan peluang jika tanpa dikembalikan}\\ & \text{pada kasus 3.a di atas}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\\ & X=\text{kejadian terambil merah pada proses 1}\\ & Y=\text{kejadian terambil biru pada proses 2}\\ & \text{a}.P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)\\ & ={\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(11,1)}={\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 11}=\frac{30}{121}}}\\ & \text{b}.P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)=P(X)\times P(Y|X)\\ & ={\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(10,1)}={\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 10}=\frac{3}{11}}}\\ & \text{ingat saat tanpa pengembalian, maka}\\ & \text{jumlah bola total berkurang 1}\end{array}\end{array}$

Lanjutan Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\begin{array}{rl}\text{C}.& \text{Peluang Kejadian Tunggal}\end{array}$

Jika A adalah suatu kejadian dengan  $A\subset S$  dan S suatu ruang sampel, maka peluang kejadian A didefinisikan dengan

$\begin{array}{rl}& P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}}\\ \mathbf{\text{Keterangan}}& :\\ & \\ P(A)& =\text{Peluang kejadian}A\\ n(A)& =\text{Banyak elemen pada suatu}\\ & \text{kejadian}A\\ n(S)& =\text{Banyak titik sampel pada}\\ & \text{ruang sampel}S\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{Dari}\text{k}& \text{emungkinan di atas}\\ \text{dapat}& \text{disimpulkan}\\ \text{a}& \text{Kisaran nilai peluangnya, yaitu}\\ & 0\le P(A)\le 1\\ \text{b}& \text{Jika}A=\varnothing ,\text{maka}P(A)=0\\ & \text{dan ini dinamakan kejadian}\\ & \mathbf{\text{yang mustahil}}\\ \text{c}& \text{Jika}A=S,\text{maka}P(A)=1\\ & \text{dan kejadian ini dinamakan}\\ & \text{kejadian yang}\mathbf{\text{pasti terjadi}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{D}.& \text{Frekuensi Harapan Suatu Kejadian}\end{array}$

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang suatu kejadian dengan dengan banyaknya percobaan dan dirumuskan dengan

$\begin{array}{rl}{f}_h(A)& ={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}\times n}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Sebuah dadu dilempar sekali. Berapakah}\\ & \text{peluang munculnya mata dadu lebih}\\ & \text{dari 3}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Misalkan}A\text{kejadian muncul mata dadu}\\ & \text{lebih dari 3, maka}\\ & S=\{1,2,3,4,5,6\},\text{dan}\\ & A=\{4,5,6\}\\ & \text{Sehingga}\\ & P(A)={\displaystyle \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\\ & \text{Jadi, peluang kejadian ini adalah}{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

Masih ingat konsep materi peluang pada saat Amda duduk di SMP? 

$\begin{array}{rl}\text{A}.& \text{Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian}\end{array}$

Mari lakukan aktivitas berikut

$\begin{array}{|clcc|}\hline \text{No}.& \text{Percobaan}& \text{Titik}& \text{Notasi}\\ & & \text{Sampel}& \text{Himpunan}\\ 1& \text{Pelemparan sekeping}& & \\ & \text{uang logam}& \text{A},\text{G}& \{A,G\}\\ 2& \text{Pelemparan dua keping}& AA,& \\ & \text{mata uang logam}& AG,& \\ & \text{secara bersamaan}& GA,& \cdots \\ & & GG& \\ 3& \text{Pelemparan sebuah}& & \\ & \text{dadu}& \cdots & \cdots \\ 4& \text{Pelemparan dua buah}& & \\ & \text{dadu secara bersamaan}& \cdots & \cdots \\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{Sebagai penjelasan istilah di atas adalah}:\\ & \mathbf{\text{Percobaan}}:\text{proses berupa tindakan yang}\\ & \text{bisa diamati atau dapat juga dikatakan}\\ & \text{suatu tindakan untuk mendapatkan hasil}\\ & \text{tertentu}\\ & \mathbf{\text{Ruang sampel}}:\text{kumpulan dari semua}\\ & \text{hasil yang mungkin dari sebuah percobaan}\\ & \mathbf{\text{Titik Sampel}}:\text{tiap hasil yang mungkin}\\ & \mathbf{\text{Kejadian}}\text{atau}\mathbf{\text{peristiwa (event)}}:\\ & \text{hasil-hasil (titik-titik sampel) tertentu}\\ & \text{dari ruang sampel}.\end{array}$

Selanjutnya ruang sampel dilambangkan dengan S dan kejadian/event dilambangkan dengan E.

$\begin{array}{rl}\text{B}.& \text{Penentuan Ruang Sampel}\end{array}$

Ada 2 macam penentuan ruang sampel, yaitu tabel dan diagram pohon

Sebagai misal pada pelemparan 3 buah uang koin sebanyak tiga kali, maka akan didapatkan ruang sampel sebagai berikut

$\begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Dengan tabel}\\ & \text{Mula-mula (pelemparan)}1\mathrm{\&}2\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline & A& G\\ A& AA& AG\\ G& GA& GG\\ \hline\end{array}\\ & \text{selanjutnya pada pelemparan ke-3}\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline & A& G\\ AA& AAA& AAG\\ AG& AGA& AGG\\ GA& GAA& GAG\\ GG& GGA& GGG\\ \hline\end{array}\\ \text{b}& \text{Dengan Diagram Pohon}\\ & \begin{array}{rl}\text{Mula}& (1)(2)(3)\mathbf{\text{Ruang sampel}}\\ \mathbf{\text{Mulai}}& \{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (A,A,A)\\ G\to (A,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (A,G,A)\\ G\to (A,G,G)\end{array}\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\{\begin{array}{c}A\to (G,A,A)\\ G\to (G,A,G)\end{array}\\ G\{\begin{array}{c}A\to (G,G,A)\\ G\to (G,G,G)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Pada percobaan pelemparan sebuah dadu},\\ & \text{tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}\\ & \text{d}.\text{banyak kejadian muncul mata dadu 6}\\ & \text{e}.\text{banyak kejadian muncul mata dadu ganjil}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}S=\{1,2,3,4,5,6\}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}:1,2,3,4,5\text{dan}6\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}:n(S)=6\\ & \text{d}.\text{kejadian muncul mata dadu 6},E=\left\{6\right\}\\ & n(E)=1\\ & \text{e}.\text{kejadian muncul mata dadu ganjil},\\ & E=\{1,3,5\},n(E)=3\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada percobaan pelemparan sekeping uang}\\ & \text{logam, tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}\\ & \text{d}.\text{banyak kejadian muncul sisi angka}\\ & \text{e}.\text{banyak kejadian muncul sisi gambar}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}S=\{A,G\}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}:A\text{dan}G\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}:n(S)=2\\ & \text{d}.\text{kejadian muncul sisi angka},E=\left\{A\right\}\\ & n(E)=1\\ & \text{e}.\text{kejadian muncul sisi gambar},E=\left\{G\right\}\\ & n(E)=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Pada percobaan pelemparan 2 keping uang}\\ & \text{logam, tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}\\ & \text{d}.\text{banyak kejadian muncul 2 angka}\\ & \text{e}.\text{banyak kejadian muncul minimal}\\ & \text{sebuah sisi gambar}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{a}.\text{ruang sampel}\\ & S=\{AA,AG,GA,GG\}\\ & \text{b}.\text{titik sampel}:AA,AG,GA\text{dan}GG\\ & \text{c}.\text{banyak titik sampel}:n(S)=4\\ & \text{d}.\text{kejadian muncul 2 sisi angka},E=\left\{AA\right\}\\ & n(E)=1\\ & \text{e}.\text{kejadian muncul minimal}\\ & \text{sebuah sisi gambar}E=\{AG,GA,GG\}\\ & n(E)=3\end{array}$