Lanjutan 2 Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E}.\quad&\textrm{Peluang Kejadian Majmuk} \end{aligned}$

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 1}.\quad&\textrm{Peluang Komplemen Suatu Kejadian} \end{aligned}$

Komplemen suatu kejadian A misalnya adalah kejadian tidak terjadinya A dan dinotasikan dengan  $A'\: \: \textrm{atau}\: \: A^{c}$

Selanjutnya peluang kejadian bukan A dituliskan dengan  $P(A')\: \: \mathrm{atau}\: \: P(A^{c})$ dan 

$P(A')=1-P(A)\: \: \mathrm{atau}\: \: P(A')+P(A)=1$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dua puluh kartu diberi angka}\: \: 1,2,3,\cdots ,20\\ &\textrm{Setelah semuanya bernomor kemudian kartu}\\ &\textrm{tersebut dikocok. Jika sebuah kartu diambil}\\ &\textrm{secara acak, maka peluang bahwa kartu yang}\\ &\textrm{termabil bukan angka prima}\\ 2.&\textrm{Jika sebuah keluarga merencanakan kelahiran}\\ &\textrm{dengan 4 anak anak. Peluang paling sedikit}\\ &\textrm{memiliki satu anak laki-laki}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ 1.&A=\textrm{Kejadian nomor prima}\\ &A=\left \{ 2,3,5,7,11,13,17,19 \right \}\Rightarrow \color{red}n(A)=8\\ &\textrm{Peluang terambilnya sebuah kartu prima}:\\ &P(A)=\displaystyle \frac{C(8,1)}{C(20,1)}=\frac{8}{20}\\ &\textrm{Sehingga peluang termabilnya 1 kartu}\\ &\textrm{bukan prima adalah}:\\ &P(A')=1-P(A)=1-\displaystyle \frac{8}{20}=\frac{12}{20}=\color{red}\frac{3}{5}\\ 2.&S=\textrm{Kejadian total kelahiran 4 anak}\\ &n(S)=C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\\ &\Leftrightarrow \: n(S)=2\times 2\times 2\times 2=16\: \: \: \textrm{susunan anak}\\ &=\left \{ LLLL,LLLP,LLPL,LLPP,\cdots ,PPPP \right \}\\\\ &\textrm{Jika}\: B=\textrm{Kejadian Kelahiran tanpa anak laki-laki}\\ &\textrm{atau kejadian semuanya perempuan=PPPP=1}\\ &\textrm{hanya akan terjadi 1 dari 16},\\ &\textrm{maka}\: n(B)=1.\: \textrm{Sehingga}\\ &P(B)=\displaystyle \frac{n(B)}{n(S)}=\frac{1}{16}\\ &\textrm{Peluang kejadian kelahiran tanpa anak}\\ &\textrm{perempuan adalah}:\\ &P(B')=1-P(B)=1-\displaystyle \frac{1}{16}=\color{red}\frac{15}{16}\\\\ &\textrm{Atau dengan cara langsung pun bisa sebenarnya}\\ &B'=\textrm{Kejadian lahir minimal satu laki-laki}\\ &\textrm{maka}\: \: n(B')=15\\ &P(B')=\displaystyle \frac{n(B')}{n(S)}=\color{red}\frac{15}{16} \end{array}$

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 2}.\quad&\textrm{Peluang Dua Kejadian Saling Bebas} \end{aligned}$

Dua kejadian dianggap saling bebas jika munculnya kejadian yang pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua.

$\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A)\times P(B)\\\\ \textbf{Keteran}&\textbf{gan}:\\ P(A\cap B)&=\textrm{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)&=\textrm{Peluang kejadian A}\\ P(B)&=\textrm{Peluang kejadian B} \end{aligned}$

$\color{blue}\begin{aligned}\textrm{E. 3}.\quad&\textrm{Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Bebas} \end{aligned}$

Dua kejadian disebut dua kejadian tidak saling bebas jika munculnya kejadian pertama akan mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua, demikian sebaliknya. Selanjutnya kasus ini dinamakan peluang dua kejadian bersyarat

$\begin{aligned}\begin{cases} \bullet\: P(A|B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)} & ,\textrm{dengan}\: \: P(B)\neq 0 \\ \textrm{Peluang kejadian B}& \textrm{yang pertama terjadi}\\\\ \bullet \: P(B|A)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)} & ,\textrm{dengan}\: \: P(A)\neq 0\\ \textrm{Peluang kejadian A}& \textrm{yang pertama terjadi}\\ \end{cases} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 6 bola}\\ &\textrm{biru. Dari kotak tersebut diambil bola satu}\\ &\textrm{persatu}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah peluang Jika bola pertama}\\ &\qquad \textrm{terambil merah lalu dikembalikan lalu}\\ &\qquad \textrm{terambil biru}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Tentukan peluang jika tanpa dikembalikan}\\ &\qquad \textrm{pada kasus 3.a di atas}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\\ &X=\textrm{kejadian terambil merah pada proses 1}\\ &Y=\textrm{kejadian terambil biru pada proses 2}\\ &\textrm{a}.\quad P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)\\ &\qquad =\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(\color{blue}11,1)}=\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 11}=\frac{30}{121}\\ &\textrm{b}.\quad P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)=P(X)\times P(Y|X)\\ &\qquad =\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(\color{red}10,1)}=\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 10}=\frac{3}{11}\\ &\qquad \textrm{ingat saat tanpa pengembalian, maka}\\ &\qquad \textrm{jumlah bola total berkurang 1} \end{aligned} \end{array}$