Lanjutan 2 Materi Peluang Kejadian Majmuk (Matematika Wajib Kelas XII)

 $\begin{array}{rl}\text{E}.& \text{Peluang Kejadian Majmuk}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 1}.& \text{Peluang Komplemen Suatu Kejadian}\end{array}$

Komplemen suatu kejadian A misalnya adalah kejadian tidak terjadinya A dan dinotasikan dengan  $A^{\prime }\text{atau}{A}^c$

Selanjutnya peluang kejadian bukan A dituliskan dengan  $P(A^{\prime })\mathrm{atau}P(A^c)$ dan 

$P(A^{\prime })=1-P(A)\mathrm{atau}P(A^{\prime })+P(A)=1$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Dua puluh kartu diberi angka}1,2,3,\cdots ,20\\ & \text{Setelah semuanya bernomor kemudian kartu}\\ & \text{tersebut dikocok. Jika sebuah kartu diambil}\\ & \text{secara acak, maka peluang bahwa kartu yang}\\ & \text{termabil bukan angka prima}\\ 2.& \text{Jika sebuah keluarga merencanakan kelahiran}\\ & \text{dengan 4 anak anak. Peluang paling sedikit}\\ & \text{memiliki satu anak laki-laki}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ 1.& A=\text{Kejadian nomor prima}\\ & A=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}\Rightarrow n(A)=8\\ & \text{Peluang terambilnya sebuah kartu prima}:\\ & P(A)={\displaystyle \frac{C(8,1)}{C(20,1)}=\frac{8}{20}}\\ & \text{Sehingga peluang termabilnya 1 kartu}\\ & \text{bukan prima adalah}:\\ & P(A^{\prime })=1-P(A)=1-{\displaystyle \frac{8}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}}\\ 2.& S=\text{Kejadian total kelahiran 4 anak}\\ & n(S)=C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\times C(2,1)\\ & \iff n(S)=2\times 2\times 2\times 2=16\text{susunan anak}\\ & =\{LLLL,LLLP,LLPL,LLPP,\cdots ,PPPP\}\\ \\ & \text{Jika}B=\text{Kejadian Kelahiran tanpa anak laki-laki}\\ & \text{atau kejadian semuanya perempuan=PPPP=1}\\ & \text{hanya akan terjadi 1 dari 16},\\ & \text{maka}n(B)=1.\text{Sehingga}\\ & P(B)={\displaystyle \frac{n(B)}{n(S)}=\frac{1}{16}}\\ & \text{Peluang kejadian kelahiran tanpa anak}\\ & \text{perempuan adalah}:\\ & P(B^{\prime })=1-P(B)=1-{\displaystyle \frac{1}{16}=\frac{15}{16}}\\ \\ & \text{Atau dengan cara langsung pun bisa sebenarnya}\\ & B^{\prime }=\text{Kejadian lahir minimal satu laki-laki}\\ & \text{maka}n(B^{\prime })=15\\ & P(B^{\prime })={\displaystyle \frac{n(B^{\prime })}{n(S)}=\frac{15}{16}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 2}.& \text{Peluang Dua Kejadian Saling Bebas}\end{array}$

Dua kejadian dianggap saling bebas jika munculnya kejadian yang pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua.

$\begin{array}{rl}P(A\cap B)& =P(A)\times P(B)\\ \\ \mathbf{\text{Keteran}}& \mathbf{\text{gan}}:\\ P(A\cap B)& =\text{Peluang kejadian A dan B}\\ P(A)& =\text{Peluang kejadian A}\\ P(B)& =\text{Peluang kejadian B}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{E. 3}.& \text{Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Bebas}\end{array}$

Dua kejadian disebut dua kejadian tidak saling bebas jika munculnya kejadian pertama akan mempengaruhi peluang munculnya kejadian yang kedua, demikian sebaliknya. Selanjutnya kasus ini dinamakan peluang dua kejadian bersyarat

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\bullet P(A|B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}& ,\text{dengan}P(B)\ne 0\\ \text{Peluang kejadian B}& \text{yang pertama terjadi}\\ \\ \bullet P(B|A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}& ,\text{dengan}P(A)\ne 0\\ \text{Peluang kejadian A}& \text{yang pertama terjadi}\end{array}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 6 bola}\\ & \text{biru. Dari kotak tersebut diambil bola satu}\\ & \text{persatu}\\ & \text{a}.\text{Tentukanlah peluang Jika bola pertama}\\ & \text{terambil merah lalu dikembalikan lalu}\\ & \text{terambil biru}\\ & \text{b}.\text{Tentukan peluang jika tanpa dikembalikan}\\ & \text{pada kasus 3.a di atas}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Misalkan}\\ & X=\text{kejadian terambil merah pada proses 1}\\ & Y=\text{kejadian terambil biru pada proses 2}\\ & \text{a}.P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)\\ & ={\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(11,1)}={\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 11}=\frac{30}{121}}}\\ & \text{b}.P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)=P(X)\times P(Y|X)\\ & ={\displaystyle \frac{C(5,1)}{C(11,1)}\times \frac{C(6,1)}{C(10,1)}={\displaystyle \frac{5\times 6}{11\times 10}=\frac{3}{11}}}\\ & \text{ingat saat tanpa pengembalian, maka}\\ & \text{jumlah bola total berkurang 1}\end{array}\end{array}$