PAS MATEMATIKA BLOG: 2014

Keunikan Susunan Beberapa Bilangan

Lihat beberapa ekspresi bilangan berikut

Contoh 1

$2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+...}}}}$

Ada cara yang dapat ditempuh untuk mengetahui berapakah pecahan yang hendak diinginkan dari pecahan bersambung di atas

Misalkan

$x=2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+...}}}}$

Selanjutnya dengan memisalkan ulang pecahan yang ada di dalam pecahan sebagai mana berikut

$x=2+\frac{3}{\underbrace{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+...}}}}_{x}}$

maka

$x=2+\frac{3}{x}\Longrightarrow{x^2-2x-3=0}$

$x=3\;\;atau\;\;x=-1$

Contoh 2

Misalkan lagi ada bentuk berikut

$\sqrt[]{19}+\frac{91}{\sqrt[]{19}+\frac{91}{\sqrt[]{19}+\frac{91}{\sqrt[]{19}+\frac{91}{...}}}}$

Dengan cara yang kurang lebih sama seperti

$x=\sqrt[]{19}+\frac{91}{\sqrt[]{19}+\frac{91}{\sqrt[]{19}+\frac{91}{\sqrt[]{19}+\frac{91}{...}}}}$

$x=\sqrt[]{19}+\frac{91}{\underbrace{\sqrt[]{19}+\frac{91}{...}}_{x}}$

maka

$x=\sqrt[]{19}+\frac{91}{x}\Longrightarrow{x^2-\sqrt[]{19}x-91=0}$

Dengan bantuan rumus abc yaitu $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt[]{b^2-4ac}}{2a}$ dengan

$x^2-\sqrt[]{19}x-91=0\Longrightarrow{\begin{Bmatrix}{ a}&\mbox{ = }& 1\\b & \mbox{=}& -\;\sqrt[]{19} \\c & \mbox{=}& -\;91\end{matrix} }$

$x_{1,2}=\frac{\sqrt[]{19} \pm \sqrt[]{19+4\cdot{19}}}{2\cdot{1}}$

sehingga

$x=\frac{\sqrt[]{19} + \sqrt[]{5\cdot{19}}}{2\cdot{1}}\Longrightarrow{x=\frac{1}{2}(\sqrt[]{19}(1+\sqrt[]{6}))}$

Contoh 3

Misalkan juga bentuk seperti di bawah ini

$\sqrt[8]{2207-\frac{1}{2207-\frac{1}{2207-\frac{1}{...}}}}$

Contoh 4

$\sqrt[]{1+2\;\; \sqrt[]{1+3\;\;\sqrt[]{1+4\;\;\sqrt[]{1+...}}}}$

Contoh 5

$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{...}}}}$

Contoh 6

$x^{x^{x^{x^...}}}=n$

(Moga nanti dapat berlanjut)

dan masih banyak lagi sampai saya sendiri pusing dan belum ketemu cara menyederhanakannya

Menentukan Tinggi dari Perpotongan Dua Sinar

Saya pernah lihat soal seperti berikut

Soal tersebut meminta berapa besar tinggi H seperti ilustrasi gambar tersebut di atas dengan x = 8 cm dan y = 6 cm ?

Saya lihat soal ini di try out SMP, wah, mula-mula ada bingungnya juga. Pikir saya, saya mau mengerjakan dengan cara bagaimana? maklum kemampuan saya biasa-biasa aja. Iseng-iseng saya kerjakan soal tersebut dengan bantuan rekayasa diagram kartesius, saya menyebutnya demikianlah.. Saya yakin pembaca yang budiman ada yang gak setuju atau mungkin setuju dengan saya karena terlalu ribet.

Sukur-sukur di antara Anda para pembaca yang budiman ada yang sudi memberikan solusi dengan konsep kesebangunan atau apalah supaya kita tercerahkan.

Ok lanjut aja

Misalkan yang saya maksudkan di atas (bantuan diagram kartesius) seperti berikut:

Selanjutnya kita buat persamaan garisnya yaitu anggap saja garis yang melalui titik $O(0,0)$ adalah $L_{1}$ dan garis yang satunya kita sebut sebagai $L_{2}$.

Karena persamaan garis $L_{1}$ melalui titik $O(0,0)$ dan $(c,b)$, maka persamaan garisnya adalah

$\begin{aligned}\displaystyle \frac{y-0}{b-0}&=\frac{x-0}{c-0}\\ \Leftrightarrow y&=\color{red}\displaystyle \frac{b}{c}x\color{black}\\ \Leftrightarrow x&=\color{blue}\displaystyle \frac{c}{b}y\: \color{black}................(1) \end{aligned}$.

Untuk persamaan garis $L_{2}$ yang melalui titik $(c,0)$ dan $(0,b)$, persamaan garisnya adalah

$\begin{aligned}\frac{(y-0)}{(a-0)}&=\frac{(x-c)}{(0-c)}\\ y&=\color{blue}-\frac{a}{c}(x-c)\: \color{black}................(2) \end{aligned}$.

Dari persamaan 1) dan 2) kita mendapatkan

$\begin{aligned}y&=-\frac{a}{c}(x-c)\\\\ \Leftrightarrow\: \: & y=-\frac{a}{c}(\frac{c}{b}y-c)\\\\ \Leftrightarrow\: \: & y=-\frac{a}{b}y+a\\ \Leftrightarrow\: \: & y+\displaystyle \frac{a}{b}y=a\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a+b}{b}y=a\\\\ \therefore &\quad y=\color{red}\frac{ab}{a+b} \end{aligned}$.

Jadi titnggi H adalah sebesar

$\textrm{H}=\displaystyle \frac{xy}{x+y}$.

Sehingga apabila x = 8 cm dan y = 6 cm , maka tinggi H adalah

$\textrm{H}=\displaystyle \frac{8.6}{8+6}=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}$.

Sebagai catatannya adalah ternyata harga M tidak muncul dalam formula tersebut , unik memang. Tapi begitulah adanya.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ &(\textbf{OSN SD 2009})\\ &\textrm{Pada gambar berikut, diketahui}\: \: AB=3\: \: cm\\ &\textrm{dan}\: \: CD=4\: \: cm.\: \textrm{Sisi}\: \: AB,EF,\: \textrm{dan}\: \: CD\\ &\textrm{masing-masing tegak lurus}\: \: AC.\: \textrm{Tentukan}\\ &\textrm{panjang}\: \: EF?\\\\ \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}\textrm{Dengan}&\textrm{rumus di atas akan dengan}\\ \textrm{mudah }&\textrm{kita tentukan panjangnya, yaitu}:\\ \quad EF&=\color{red}\frac{AB\times CD}{AB+CD}\\ &=\displaystyle \frac{3\times 4}{3+4}\\ &=\displaystyle \frac{12}{7}\: \: cm\\\\ \textrm{Jadi,}\: \textrm{ti}&\textrm{nggi}\: \: EF=\color{blue}\displaystyle \frac{12}{7}\: \: \color{black}cm \end{aligned}$.

Bismillah mulai

Bismillahirrohmanirrohim

Memulai sesuatu memang tidak ada kata terlambat, anggap saja mungkin kita diberikan kesempatan yang berbeda untuk kapan kita akan memulainya. Berusaha ataupun berkarya sesuai kemampuan kita akan sangat menyenangkan nantinya apabila bermanfaat untuk diri kita dan juga orang lain pada umumnya. Kekurangan dan ataupun kesalahan dan sekaligus kegagalan ataupun kesuksesan tidak akan mungkin lepas dari diri kita yang namanya makhluk ciptaan Tuhan yang memiliki keterbatasan dan sekaligus juga kelebihan masing-masing.

Dengan memulai melalui blog ini semoga nantinya dapat berlanjut dan dapat memberikan kemanfaatan kepada saya secara pribadi dan Anda pada umumnya.

Akhirnya marilah kita memulai sesuatu untuk bisa menjadikan kita berkarya dan bermanfaat dan tidak ada kata terlambat selama kita masih diberikan kesempatan oleh-Nya.

Salam sukses untuk kita semua