VISUALISASI GARIS SINGGUNG KURVA DENGAN GEOGEBRA MATERI TURUNAN FUNGSI

Petunjuk Simulasi Garis Singgung (GeoGebra):

1. Geser nilai slider a untuk berpindah posisi titik $A(a, f(a))$ pada kurva $f(x) = x^2$.

2. Perhatikan perubahan persamaan garis singgung $g$ serta gradiennya ($m = 2a$) di sepanjang kurva.

3. Saat titik $A$ berada di koordinat $(0,0)$, kemiringan garis bernilai $0$ ($f'(0) = 0$), sehingga terbentuk garis horizontal $y = 0$.

on Tidak ada komentar:

VISUALISASI GARIS SINGGUNG KURVA DENGAN DESMOS MATERI TURUNAN FUNGSI

Petunjuk Simulasi Garis Singgung:

1. Geser nilai slider a untuk mengubah titik singgung pada grafik fungsi $f(x) = x^2$.

2. Perhatikan bagaimana kemiringan (gradien) garis singgung biru berubah seiring berpindahnya titik pada kurva.

Petunjuk & Penjelasan Konsep Turunan:

1. Geser slider a untuk mengubah koordinat titik singgung $(a, f(a))$ pada grafik fungsi $f(x) = x^2$.

2. Persamaan garis singgung di titik tersebut dirumuskan dengan:

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

3. Karena turunan dari $f(x) = x^2$ adalah $f'(x) = 2x$, maka gradien garis singgung di titik $a$ adalah $m = 2a$, sehingga persamaannya menjadi:

$$y = 2ax - a^2$$

4. Perhatikan bahwa saat titik berada di puncak parabola ($a = 0$), nilai gradien $f'(0) = 0$ sehingga garis singgung menjadi mendatar ($y = 0$).

Mengenal Desmos: Solusi Media Pembelajaran Matematika Interaktif

1. Apa itu Desmos?

Desmos adalah platform perangkat lunak matematika tingkat lanjut yang terkenal dengan Graphing Calculator berbasis web interaktif. Berbeda dengan kalkulator grafik fisik tradisional yang mahal dan rumit, Desmos memungkinkan pengguna untuk memvisualisasikan persamaan matematika, fungsi, tabel data, serta simulasi dinamik secara instan, intuitif, dan responsif langsung dari peramban (browser) maupun perangkat seluler.

2. Kapan Desmos Mulai Dikembangkan dan Digunakan?

Desmos didirikan oleh Eli Luberoff (seorang lulusan Matematika dan Fisika dari Yale University) dan mulai dikembangkan pada tahun 2011. Platform ini secara resmi diperkenalkan ke publik pada konferensi teknologi pendidikan TechCrunch Disrupt di San Francisco pada bulan Mei 2011.

Sejak diluncurkan, Desmos dengan cepat diadopsi oleh juta guru dan siswa di seluruh dunia. Penggunaannya makin masif ketika Desmos diintegrasikan ke dalam berbagai ujian standar internasional dan nasional di berbagai negara (seperti College Board SAT dan ACT) sebagai kalkulator grafik resmi berbasis digital.

3. Seberapa Penting Desmos untuk Dunia Pendidikan?

Dalam era transformasi digital pendidikan, Desmos memegang peran yang sangat krusial, terutama dalam mengubah paradigma pembelajaran matematika dari abstrak dan prosedural menjadi konseptual dan visual.

  • Pemerataan Akses (Aksesibilitas Tinggi): Desmos dapat diakses secara 100% gratis tanpa perlu membeli kalkulator grafik fisik yang harganya cukup mahal. Desmos juga dirancang ramah bagi penyandang disabilitas (mendukung pembaca layar dan sonifikasi grafik audio).
  • Membangun Intuisi Konseptual: Melalui fitur slider variabel (seperti $a$, $b$, atau $h$), siswa dapat memanipulasi nilai secara langsung dan melihat dampaknya terhadap bentuk grafik secara real-time. Misalnya pada konsep turunan fungsi $f'(x)$, siswa dapat mengamati bagaimana kemiringan garis singgung berubah di sepanjang kurva.
  • Kemudahan Integrasi Media Pembelajaran: Desmos menyediakan fitur embed HTML yang memungkinkan guru menempelkan grafik interaktif langsung ke dalam blog pembelajaran, LMS (seperti Google Classroom atau Moodle), maupun bahan ajar digital lainnya.
  • Aktivitas Pembelajaran Interaktif (Desmos Classroom): Selain kalkulator grafik, Desmos menyediakan ruang kelas digital di mana guru dapat merancang lembar kerja interaktif, mengecek pemahaman siswa secara langsung, serta memfasilitasi diskusi kelas.

Ringkasan: Desmos bukan sekadar alat hitung, melainkan media eksplorasi matematis yang menjembatani rumus verbal/simbolis menjadi pemahaman visual yang konkret bagi peserta didik.

Panduan Singkat Penggunaan Desmos untuk Pemula

Berikut adalah panduan dasar bagi siswa maupun pengajar yang baru pertama kali menggunakan Desmos Graphing Calculator untuk mengeksplorasi grafik matematika interaktif:

1. Memasukkan Persamaan atau Fungsi

Ketik persamaan pada kolom input di sebelah kiri layar. Anda bisa mengetik langsung dengan format standar, seperti f(x) = x^2 atau y = 2x + 3. Desmos akan langsung menampilkan grafiknya secara otomatis.

2. Membuat dan Menggunakan Slider Interaktif

Untuk membuat elemen yang bisa digeser, gunakan huruf variabel (selain $x$ dan $y$). Contohnya, ketik y = a*x + b, lalu klik tombol "all" yang muncul di bawahnya. Anda dapat menggeser nilai a dan b untuk melihat perubahan grafik secara real-time.

3. Menentukan Titik Penting pada Grafik

Klik langsung pada kurva grafik. Desmos akan menampilkan titik-titik khusus berwarna abu-abu/hitam seperti titik potong sumbu-X/Y, titik puncak (maksimun/minimum), serta titik potong antar dua grafik beserta koordinat pastinya.

4. Mengatur Tampilan Trik Navigasi Layar

Gunakan tombol + dan - di pojok kanan atas grafik untuk mengatur Zoom In / Zoom Out. Anda juga bisa mengklik ikon roda gigi (Pengaturan/Option) di kanan atas untuk mengubah batas domain rentang sumbu $X$ dan $Y$.

💡 Tip Praktikum Siswa: Jika membuka simulasi ini dari smartphone, Anda dapat menggeser slider menggunakan jari atau menekan tombol Play (▶) di sebelah kiri slider untuk menjalankan animasi otomatis.

Daftar Pustaka / Referensi

  • Desmos Studio PBC. (n.d.). About Us: Free Math Tools for Every Student. Desmos. Diterima dari https://www.desmos.com/about
  • Luberoff, E. (2011, May 24). Desmos launches the next generation of graphing calculators. TechCrunch Disrupt. Diterima dari https://techcrunch.com/2011/05/24/desmos-launches-the-next-generation-of-graphing-calculators/
  • National Council of Teachers of Mathematics. (2014). Principles to actions: Ensuring mathematical success for all. Reston, VA: NCTM.
  • Elicor, J. B., & Santos, M. A. (2020). Integrating interactive graphing technology in calculus instruction: Enhancing conceptual understanding of derivatives. Journal of Mathematics Education and Technology, 5(2), 112–125.
on Tidak ada komentar:
Label:

CONTOH SOAL 3 TURUNAN FUNGSI

 

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Jika}\: \: \: f(x)=\displaystyle (x^{2}+2)\sqrt{x^{2}+x+3}\\&\textrm{maka}\: \: {f}\, '(2)=.... \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle 18 &&\textrm{d}.\quad 13 \\\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 17 \quad &\textrm{c}.\quad \displaystyle 15 \quad &\textrm{e}.\quad 12 \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll} &\textbf{Jawab}:\\&\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle (x^{2}+2)\sqrt{x^{2}+x+3} \\ {f}\, '(x)&=(2x)\sqrt{x^{2}+x+3}\\ &+(x^{2}+2).\displaystyle \frac{1}{2}\left ( x^{2}+x+3 \right )^{^{-\frac{1}{2}}}.\left ( 2x+1 \right ) \\ &=2x\sqrt{x^{2}+x+3}+\displaystyle \frac{(x^{2}+2)(2x+1)}{2\sqrt{x^{2}+x+3}} \\ {f}\, '(2)&=2(2)\sqrt{(2)^{2}+(2)+3}+\displaystyle \frac{((2)^{2}+2)(2(2)+1)}{2\sqrt{(2)^{2}+(2)+3}} \\ &=4\sqrt{9}+\displaystyle \frac{6.5}{2\sqrt{9}} \\ &=4.3+\displaystyle \frac{6.5}{2.3}\\ &=12+5\\ &=17 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Jika rusuk suatu kubus bertambah panjang }\\ &\textrm{dengan laju 7}\: \: cm/detik\: , \: \textrm{maka laju}\\ &\textrm{bertambahnya volume pada saat rusuk }\\ &\textrm{panjangnya 15}\: \: cm\: \: \textrm{adalah}.... \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle 675 \: \: \: \: cm^{3}/detik &\textrm{d}.\quad 4725 \: \: \: \: cm^{3}/detik \\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 1575 \: \: \: \: cm^{3}/detik \quad &\textrm{e}.\quad 23625 \: \: \: \: cm^{3}/detik\\ \textrm{c}.\quad \displaystyle 3375 \: \: \: \: cm^{3}/detik \quad \end{array}\\\end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll}&\textbf{Jawab}:\\&\begin{aligned}\textrm{Laju }&\textrm{pertambahan volumenya}:\\ &\begin{cases} \bullet \: \: \: \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} & = 7\: \: cm/detik\\ \bullet \: \: \: V & =s^{3} \rightarrow \textrm{d}V=3s^{2}\: \: \textrm{d}s\: \: \: \textrm{atau}\\ \, \: \: \: \: \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} s} & =3s^{2}\: \: cm^{3}/cm\rightarrow s=15\: \: cm \end{cases}\\ \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}&=\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}\\ &=\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} s}\times \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\\ &=3s^{2} \: \: \: \: cm^{3}/cm \times 7\: \: \: \: cm/detik \\ &=3(15)^{2}\times 7\: \: \: \: cm^{3}/detik\\ &=4725\: \: \: \: cm^{3}/detik \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{persamaan garis singgung di}\: \: x=1\\ &\textrm{pada kurva}\: \: y=x^{3}-3x^{2}+1\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll} \textrm{a}.\quad y=-3x+2&\textrm{d}.\quad y=3x-2\\ \textrm{b}.\quad y=-3x+4\quad &\textrm{e}.\quad y=-3x+3\\ \textrm{c}.\quad y=3x-4\quad \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll} &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline \textrm{Titik singgung di}\: \: x=1\\\hline \begin{aligned} y&=x^{3}-3x^{2}+1\\ y&=(1)^{3}-3(1)^{2}+1\\ &=1-3+1\\ &=-1\\ &\textrm{titik}\: (a,b)=(1,-1) \end{aligned}\\\hline \textrm{Gradien garis singgung di}\: \: x=1\\\hline \begin{aligned} {y}\, '=m\, _{_{x=1}}&=3x^{2}-6x\\ &=3(1)^{2}-6(1)\\ &=3-6\\ &=-3 \end{aligned}\\\hline \textrm{Persamaan garis singgung}\\\hline \begin{aligned}y&=m(x-a)+b\\ &=-3(x-1)+(-1)\\ &=-3x+3-1\\ &=-3x+2\end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Suatu kurva}\: \: y=x^{3}+2ax^{2}+b\\ &\textrm{Sebuah garis}\: \: y=-9x-2\: \: \textrm{menyinggung}\\ &\textrm{kurva di titik dengan} \: \: x=1,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: a \: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3&&\textrm{d}.\quad 3\\ \textrm{b}.\quad -\displaystyle \frac{1}{3} \quad &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{1}{3} \quad &\textrm{e}.\quad 8 \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll}&\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Gradien garis singgung}\\ &y\: _{_{_{di\: \: x=1}}}\begin{cases} y & =x^{3}+2ax^{2}+b \\ &\rightarrow m={y}\, '=3x^{2}+4ax\\\\ y & =-9x-2 \rightarrow m=y'= -9 \end{cases}\\ &\textrm{Sehingga}\:, \\ &m=m={y}\, '\\ &-9=3x^{2}+4ax\\ &-9=3(1)^{2}+4a(1)\\ &-9=3+4a\\ &-4a=3+9\\ &a=\displaystyle \frac{12}{-4}\\ &=-3\\ & \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Jika grafik fungsi}\: \: f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\\ &\textrm{hanya turun untuk interval}\: \: -1< x< 5\, ,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: a+b \: \: \textrm{adalah}....\\&\begin{array}{lll} \textrm{a}.\quad -21&&\textrm{d}.\quad 21\\ \textrm{b}.\quad -\displaystyle 9 \quad &\textrm{c}.\quad \displaystyle 9 \quad &\textrm{e}.\quad 24 \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll} &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\\ &f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\\ &\textrm{grafik fungsi turun}\: \: \textrm{berarti}:\: \: \: {f}\, '(x)< 0\\ &{f}\, '(x)< 0\\ &\Leftrightarrow 3x^{2}+2ax+b< 0\\ &\Leftrightarrow (x+1)(x-5)< 0 \\ &\textrm{ini maksud pada interval}\\ &-1< x< 5\: \: \: \textrm{pada soal}\\ &x^{2}-4x-5< 0\\ &\textrm{dikalikan dengan 3 supaya terjadi persamaan}\\ &3x^{2}-3.4x-3.5=3x^{2}+2ax+b< 0\\ &3x^{2}+2(-6)x+(-15)=3x^{2}+2ax+b< 0\\ &\begin{cases} a & =-6 \\ b & = -15 \end{cases}\\ &\textrm{Sehingga}\: ,\\ &a+b=-6+(-15)=-21 \end{aligned} \end{array}$.
on Tidak ada komentar:
Label:

CONTOH SOAL 2 TURUNAN FUNGSI

 

$\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Jika}\: \: f(x)=\displaystyle \frac{2x+4}{1+\sqrt{x}}\: ,\: \textrm{maka}\: \: \displaystyle {f}\, '(4) =....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{4} &&\textrm{d}.\quad 1 \\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{3}{7} \quad &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{3}{5} \quad &\textrm{e}.\quad 4 \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll} &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle \frac{2x+4}{1+\sqrt{x}}\\ &=\displaystyle \frac{U}{V}\\ {f}\, '(x)&=\displaystyle \frac{{U}\, '.V-U.{V}\, '}{V^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{(2)\left ( 1+\sqrt{x} \right )-(2x+4).\left ( 1.\left ( 1+\sqrt{x} \right )^{0} .\displaystyle \frac{1}{2}x^{^{-\frac{1}{2}}} \right )}{\left ( 1+\sqrt{x} \right )^{2}} \\&\textrm{ingat}\: \: \sqrt{x}=x^{^{\frac{1}{2}}} \\ {f}\, '(4) &=\displaystyle \frac{2\left ( 1+\sqrt{4} \right )-(2.4+4).\frac{1}{2}. 4^{^{-\frac{1}{2}}} }{\left ( 1+\sqrt{4} \right )^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{2(1+2)-(12).\frac{1}{2}. \frac{1}{2}}{(1+2)^{2}}\\ &\textrm{ingat juga}\: \: 4^{^{-\frac{1}{2}}}=\left ( 2^{2} \right )^{^{-\frac{1}{2}}}=2^{^{-1}}=\displaystyle \frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\\ &=\displaystyle \frac{6-3}{9}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Jika}\: \: \: f(x)=\displaystyle 3x^{2}-2ax+7\\ &\textrm{dan}\: \: {f}\, '(1)=0 \: ,\: \textrm{maka}\: \: {f}\, '(2)=.... \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle 1 &&\textrm{d}.\quad 6 \\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 2 \quad &\textrm{c}.\quad \displaystyle 4 \quad &\textrm{e}.\quad 8 \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll} &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle 3x^{2}-2ax+7\\ {f}\, '(x)&=6x-2a\\ {f}\, '(1)&=0\\ 6(1)-2a&=0\\ 6&=2a\\ 3&=a\\ \textrm{sehingga}\, &\: \\ {f}\, '(x)&=6x-6\\ \textrm{maka}\, ,\: \quad &\\ {f}\, '(2)&=6.2-6\\ &=12-6\\ &=6 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Jika}\: \: \: f(x)=\displaystyle (6x-3)^{3}(2x-1)\\ &\textrm{maka}\: \: {f}\, '(1)=.... \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle 18 &&\textrm{d}.\quad 162 \\\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 24 \quad &\textrm{c}.\quad \displaystyle 54 \quad &\textrm{e}.\quad 216 \end{array}\\\end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll} &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle (6x-3)^{3}(2x-1)\\ &=(3.(2x-1))^{3}(2x-1)^{1}\\ &=3^{3}.(2x-1)^{3+1}\\ &=27(2x-1)^{4}\\ {f}\, '(x)&=4.27(2x-1)^{4-1}.2\\ &=216.(2x-1)^{3}\\ {f}\, '(1)&=216.(2.1-1)^{3}\\ &=216.1\\ &=216 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Jika}\: \: W=\sin 2t\: ,\: \textrm{maka}\: \: \displaystyle \frac{dW}{dt}=....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \cos 2t&\textrm{d}.\quad 2t\cos 2t+\sin 2t\\ \textrm{b}.\quad 2\cos 2t\quad &\textrm{e}.\quad \sin 2t-t\cos 2t\\ \textrm{c}.\quad \sin 2t+t\cos 2t\quad \end{array} \end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll} &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &W=\sin 2t\\ &W=\sin u\, \quad \textrm{dengan}\: \: u=2t\\ &\displaystyle \frac{dW}{dt}=\displaystyle \frac{dW}{du}.\frac{du}{dt}\\ &\qquad=\cos u.2\\ &\qquad=2\cos u\\ &\qquad=2\cos 2t \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Jika}\: \: \: f(x)=\displaystyle \frac{1+\sin x}{\cos x} \: ,\: \textrm{maka}\: \: {f}\, '\left ( \displaystyle \frac{1}{6}\pi \right )=.... \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{2} &&\textrm{d}.\quad 2 \\ \textrm{b}.\quad \displaystyle -\frac{1}{2} \quad &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{3}{4} \quad &\textrm{e}.\quad -2 \end{array}\\\end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll}&\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=\displaystyle \frac{1+\sin x}{\cos x}\\ {f}\, '(x)&=\displaystyle \frac{\cos x.\cos x-(1+\sin x).-\sin x}{\cos ^{2}x}\\ &=\displaystyle \frac{\cos ^{2}x+\sin x +\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}\\ &\qquad \textrm{ingat bahwa}\: \: \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\\ &=\displaystyle \frac{1+\sin x }{\cos ^{2}x}\\ {f}\, '\left ( \displaystyle \frac{1}{6}\pi \right )&=\displaystyle \frac{1+\sin \left ( \displaystyle \frac{1}{6}\pi \right )}{\cos ^{2}\left ( \displaystyle \frac{1}{6}\pi \right )}\\&=\displaystyle \frac{1+\displaystyle \frac{1}{2} }{\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{2}}{\displaystyle \frac{3}{4}}\\ &=\displaystyle \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\\ &=2 \end{aligned} \end{array}$.
on Tidak ada komentar:
Label:

CONTOH SOAL 1 TURUNAN FUNGSI

 

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui}\: \: {f}\, '(2)=\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{x^{3}-8}{x-2},\\ & \textrm{maka fungsi}\: \: f(x)=....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 12&&\textrm{d}.\quad x^{3}\\ \textrm{b}.\quad 2\quad&\textrm{c}.\quad x\quad&\textrm{e}.\quad x-8 \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{aligned}&\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Turunan fungsi f di}\: \: x=c\: \: \textrm{adalah}\\ &f\, '(c)=\underset{x\rightarrow c}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x)-f(c)}{x-c},\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{turunan fungsi f di}\: \: x=2\: \: \textrm{adalah}\\ &f\, '(2)=\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{x^{3}-8}{x-2}\\ &\textrm{sehingga akan didapa}\textrm{tkan fungsi}\: \: f\: \: \textrm{nya }\\ &\textrm{yaitu}\: \: f(x)=x^{3} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: a\neq 0\, ,\: \textrm{maka nilai dari}\\&\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt[3]{x}-\displaystyle \sqrt[3]{a}}{x-a}=....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 3a\displaystyle \sqrt[3]{a}&&\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{1}{2a}\sqrt[3]{a} \\ \textrm{b}.\quad 2a\displaystyle \sqrt[3]{a} \quad&\textrm{c}.\quad 0\quad&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{1}{3a}\sqrt[3]{a} \end{array}\\ \end{array}$

Jawaban: $\begin{array}{ll}&\begin{aligned}\textbf{Jaw}&\textbf{ab}:\\\textrm{Alter}&\textrm{natif 1}\\{f}\, '(a)&=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt[3]{x}-\displaystyle \sqrt[3]{a}}{x-a}\\ &=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt[3]{x}-\displaystyle \sqrt[3]{a}}{\left ( \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{xa}+\sqrt[3]{a^{2}} \right )}\\ &=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{1}{\left ( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{xa}+\sqrt[3]{a^{2}} \right )}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\left ( \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a.a}+\sqrt[3]{a^{2}} \right )}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3\sqrt[3]{a^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3\sqrt[3]{a^{2}}}\times \displaystyle \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3a}\sqrt[3]{a} \end{aligned}\\ &\textrm{Alternatif 2 (dengan aturan L'Hopital)}\\&\begin{aligned}\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt[3]{x}-\displaystyle \sqrt[3]{a}}{x-a}&=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\\ &=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{{f}\, '(x) }{{g}\, '(x) }\\ \underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt[3]{x}-\displaystyle \sqrt[3]{a}}{x-a}&=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{x^{^{\frac{1}{3}}}-a^{^{\frac{1}{3}}} }{x-a}\\ &=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}x^{^{\frac{1}{3}-1}}\: -0}{1-0}\\ &=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}x^{^{-\frac{2}{3}}}}{1}\\ &=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\times \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\\ &=\underset{x\rightarrow a}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{1}{3x}\sqrt[3]{x}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3a}\sqrt[3]{a} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika}\: \: f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\: \: \textrm{maka nilai dari}\\ & -2{f}\, '(x)=....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x}} &&\textrm{d}.\quad \displaystyle -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \\ \textrm{b}.\quad \displaystyle x\sqrt{x} \quad&\textrm{c}.\quad \displaystyle -\frac{1}{2\sqrt{x}} \quad&\textrm{e}.\quad \displaystyle -2x\sqrt{x} \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll}&\begin{aligned}\textbf{Jaw}&\textbf{ab}:\\\textrm{Dike}&\textrm{tahui}\\ f(x)&=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}=\displaystyle \frac{1}{x^{^{\frac{1}{2}}}}=x^{^{-\frac{1}{2}}} \end{aligned}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline y=ax^{n}\rightarrow {y}\, '=nax^{n-1}&\begin{aligned}&\\ y&=\displaystyle \frac{U}{V}\rightarrow {y}\, '=\displaystyle \frac{{U}'.V-U.{V}'}{V^{2}}\\ & \end{aligned}\\\hline \begin{aligned} {f}\, '(x)&=-\displaystyle \frac{1}{2}x^{^{-\frac{1}{2}-1}}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2}x^{^{-\frac{3}{2}}}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2x^{^{\frac{3}{2}}}}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2x^{1}.x^{^{\frac{1}{2}}}}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2x\sqrt{x}} \end{aligned}&\begin{aligned} {f}\, '(x)&=\displaystyle \frac{0.\sqrt{x}-1.\frac{1}{2}x^{^{\frac{1}{2}-1}}}{\left ( \sqrt{x}\right )^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{-\displaystyle \frac{1}{2}x^{^{-\frac{1}{2}}}}{x}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2xx^{^{\frac{1}{2}}}}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{2x\sqrt{x}} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Turunan pertama dari}\: \: y=\displaystyle \sqrt[\displaystyle n]{x}\: \: \textrm{adalah}.... \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{1}{n}x^{^{\displaystyle \frac{1}{n}}}&&\textrm{d}.\quad (n-1)\sqrt[ n-1]{x}\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{n}x^{^{\displaystyle \frac{1-n}{n}}}\quad &\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{1}{n-1}x^{^{\displaystyle n-1}}\quad &\textrm{e}.\quad \sqrt[\displaystyle n-1]{x} \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{aligned}y&=\displaystyle \sqrt[\displaystyle n]{\displaystyle x}=\displaystyle x^{^{\displaystyle \frac{1}{n}}},\: \: \textrm{maka}\\ {y}\, '&=\displaystyle \frac{1}{n}x^{^{\displaystyle \frac{1}{n}-1}}=\displaystyle \frac{1}{n}x^{^{\displaystyle \frac{1-n}{n}}} \end{aligned} $.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Turunan ke}-n\: \: \textrm{dari}\: \: \: y=\displaystyle \frac{1}{x} \: \: \textrm{adalah}.... \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle n!\: .\: x^{-(n+1)} & \\ \textrm{b}.\quad \displaystyle (n+1)!\: .\: x^{-(n+1)}& \\ \textrm{c}.\quad \displaystyle (-1)^{n}\: n!\: .\: x^{-(n+1)}\\ \textrm{d}.\quad (-1)^{n+1}\: n!\: .\: x^{-(n+1)}\\ \textrm{e}.\quad (-1)^{n+1}\: (n+1)!\: .\: x^{-(n+1)} \end{array}\\ \end{array}$.

Jawaban: $\begin{array}{ll}&\textbf{Jawab}:\textbf{c}\\ &\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textrm{Fungsi}&y=\displaystyle \frac{1}{x}&\quad y=x^{-1}\\\hline y'=\displaystyle \frac{dy}{dx}&-x^{-2}&(-1)^{1}.1!.x^{-(1+1)}\\\hline y''=\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}&2x^{-3}&(-1)^{2}.2!.x^{-(2+1)}\\\hline y'''=\displaystyle \frac{d^{3}y}{dx^{3}}&-6x^{-4}&(-1)^{3}.3!.x^{-(3+1)}\\\hline y^{IV}=\displaystyle \frac{d^{4}y}{dx^{4}}&24x^{-5}&(-1)^{4}.4!.x^{-(4+1)}\\\hline y^{V}=\displaystyle \frac{d^{5}y}{dx^{5}}&\cdots &\quad \cdots \\\hline \vdots &\vdots &\quad \vdots \\\hline y^{n}=\displaystyle \frac{d^{n}y}{dx^{n}}&\cdots &(-1)^{n}.n!.x^{-(n+1)}\\\hline \end{array} \end{array}$.
on Tidak ada komentar:
Label:

TURUNAN FUNGSI

 Berikut Kumpulan Materi Arsip Lama


on Tidak ada komentar:
Label:

CONTOH SOAL 9 VISUALISASI BARISAN DAN DERET

$\begin{array}{ll}\\ 17.\quad&\textrm{Perhatikan hubungan berikut}\\ &\qquad\qquad\qquad\begin{aligned}1=&1^{\displaystyle 2}\\ 2+3+4=&3^{\displaystyle 2}\\ 3+4+5+6+7=&5^{2}\\ 4+5+6+7+8+9+10=&7^{\displaystyle 2}\\ \vdots\qquad &\vdots \end{aligned}\\ &\textrm{Tuliskan pola yang ada pada hubungan di atas dan buktikan} \end{array}$.

Bukti: $\begin{aligned}&\textrm{Pola Umum}\\ &\:\:\textrm{Baris ke}-n\:(n=1,2,3,4,...)\\ &\circ \quad \textrm{ruas kanan berupa}:(2n-1)^{\displaystyle 2}\\ &\circ \quad \textrm{ruas kiri berupa penjumlahan dari}\:\:(2n-1)\:\: \textrm{bilangan bulat berurutan}\\ &\qquad\textrm{yang dimulai dari}\:\:n\\ &\qquad n+(n+1)+(n+2)+\cdots +(3n-2)=(2n-1)^{\displaystyle 2}\\ &\qquad \text{Catatan}:U_{\displaystyle n}=n+\: (2n-1-1).1=3n-2\\ &\qquad \textrm{Bentuk umum}:\sum_{_{\displaystyle k=0}}^{^{\displaystyle 2n-2}}(n+k)=(2n-1)^{\displaystyle 2}\\ &\qquad \bullet \quad k=0\longrightarrow U_{\displaystyle 1}=n+0=n\\ &\qquad \bullet \quad k=1\longrightarrow U_{\displaystyle 2}=n+1\\ &\qquad \bullet \quad k=2\longrightarrow U_{\displaystyle 3}=n+2\\ &\qquad \bullet \quad k=3\longrightarrow U_{\displaystyle 4}=n+3\\ &\qquad\qquad \vdots \\&\qquad \bullet \quad k=2n-2\longrightarrow U_{\displaystyle n}=n+(2n-2)=3n-2\\ &\textrm{Pembuktian Pola}\\ &\quad \circ \quad \textrm{Suku pertama}=a=n\\ &\quad \circ \quad \textrm{Beda}=b=1\\ &\quad \circ \quad \textrm{Banyak suku}=2n-1\\ &\quad \circ \quad \textrm{Suku terakhir}=3n-2\\ &\quad \circ \quad \textrm{Rumus Jumlahderet aritmetika }=\displaystyle \frac{2n-1}{2}\left( a+U_{\displaystyle n} \right)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\: =\displaystyle \frac{2n-1}{2}\left( n+3n-2 \right)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\: =(2n-1)^{\displaystyle 2}\\\end{aligned}$.
. Visualisasi Geometris Pola Matematika

Visualisasi Geometris $(2n-1)^2$

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 5² = 25
on Tidak ada komentar:
Label:

LATIHAN CBT SUMATIF BARISAN DAN DERET

CBT MA Futuhiyah Jeketro - Blog Embed Ready
Logo MA Futuhiyah Jeketro

CBT MA FUTUHIYAH JEKETRO

Persiapan Sumatif MA Futuhiyah Jeketro

Logo

CBT MA FUTUHIYAH JEKETRO

Persiapan Sumatif MA Futuhiyah Jeketro

Sumatif Matematika Kelas X
Petunjuk Ujian CBT:
• Jumlah Soal: 40 Butir (PG 5 Opsi, Multi-Select, & Menjodohkan)
• Alokasi Waktu: 90 Menit
• Cakupan: Pola Bilangan, Barisan & Deret Aritmetika/Geometri, Anuitas & Aplikasi.
© CBT MA Futuhiyah Jeketro - Sistem Evaluasi Matematika SMA Kelas X
on Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)