Lanjutan Materi (10) Turunan Kedua Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

$\text{H. Turunan Kedua Fungsi Trigonometri}$

Definisi dari bahasan ini adalah jika turunan pertama dari suatu fungsi  $f$ dan dinyatakan dengan  $f^{\prime }$ ada dan terdefinisi untuk setiap nilai  $x$  dalam daerah terdefinisi  $f$, maka turunan kedua dari fungsi  $f$  dinyatakan dengan $f^{″}$ adalah:

$f^{″}(x)=\underset{x\to 0}{\text{lim}}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}={\displaystyle \frac{d}{dx}(f^{\prime }(x))}}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukan turunan kedua dari}\\ & y=\sin x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}y& =\sin x\\ y^{\prime }& =\cos x\\ y^{″}& =-\sin x\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan turunan kedua dari}\\ & y=\sin 2x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}y& =\sin 2x\\ y^{\prime }& =2\cos 2x\\ y^{″}& =-4\sin 2x\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukan turunan kedua dari}\\ & y={\sin }^{2}x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}y& ={\sin }^{2}x\\ y^{\prime }& =2\sin x(-\cos x)=-\sin 2x\\ y^{″}& =-2\cos 2x\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukan turunan kedua dari}\\ & y=\cos x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}y& =\cos x\\ y^{\prime }& =-\sin x\\ y^{″}& =-\cos x\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Tentukan turunan kedua dari}\\ & y=\tan x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}y& =\tan x\\ y^{\prime }& ={\sec }^{2}x\\ y^{″}& =2\sec x(\sec x\tan x)=2{\sec }^{2}x\tan x\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 6.& \text{Tentukan turunan kedua dari}\\ & y=\cot x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}y& =\cot x\\ y^{\prime }& =-{\csc }^{2}x\\ y^{″}& =-2\csc x(-\csc x\cot x)=2{\csc }^{2}x\cot x\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Tentukan turunan kedua dari}\\ & y=\sec x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}y& =\sec x\\ y^{\prime }& =\sec x\tan x\\ y^{″}& =\sec x\tan x(\tan x)+\sec x({\sec }^{2}x)\\ & =\sec x{\tan }^{2}x+{\sec }^{3}x\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Tentukan turunan kedua dari}\\ & y=\csc x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}y& =\csc x\\ y^{\prime }& =-\csc x\cot x\\ y^{″}& =-(-\csc x\cot x)\cot x+(-\csc x)(-{\csc }^{2}x)\\ & =\csc x{\cot }^{2}x+{\csc }^{3}x\end{array}\end{array}$

$\text{I. Fungsi Naik dan Fungsi Turun}$

Sebelumnya telah diketahui bahwa pada selang terbuka

$\begin{array}{l}\\ & \bullet \text{untuk}{f}^{\prime }(x)>0\text{maka fungsi naik}\\ & \bullet \text{untuk}{f}^{\prime }(x)<0\text{maka fungsi turun}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ & \text{Misalkan}{f}^{\prime }\text{dan}{f}^{″}\text{ada untuk setiap}\\ & \text{titik pada suatu interval yang memuat}\\ & c\text{dengan}{f}^{\prime }(c)=0\\ & \bullet \text{jika}{f}^{″}(c)>0\text{maka}f(c)\text{adalah}\\ & \text{nilai minimum lokal (titik minimum)}\\ & \bullet \text{jika}{f}^{\prime }(c)<0\text{maka}f(c)\text{adalah}\\ & \text{nilai maksimum lokal (titik maksimum)}\\ & \bullet \text{jika}{f}^{″}(c)=0\text{maka nilai stasioner}\\ & \text{belum dapat ditentukan}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ & \text{Titik Belok}\\ \\ & \text{Jika}(c,f(c))\text{adalah titik belok grafik}\\ & f,\text{maka}{f}^{″}(x)=0\text{atau}{f}^{″}\text{tidak ada}\\ & \text{pada}x=c\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

Perhatikan lagi contoh pada bagian ini LANJUTAN MATERI 8 berikut

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah semua titik stasioner}\\ & \text{berikut jenisnya dari fungsi}\\ & f(x)=\sin x+\cos x\text{dengan}\\ & 0\le x\le 2\pi \\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dengan Turunan Pertama}\\ & \text{Diketahui}\\ & f(x)=\sin x+\cos x\\ & f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x\\ & \text{Saat}{f}^{\prime }(x)=0,\\ & f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x=0\cos x=\sin x\\ & \cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}-x}\right)\\ & x=\pm \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}-x}\right)+k.2\pi \\ & \{\begin{array}{ll}x+x& ={\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi ,\text{atau}}\\ x-x& =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi }\end{array}\\ & \text{maka}\\ & \{\begin{array}{ll}x& ={\displaystyle \frac{\pi }{4}+k.\pi ,\text{atau}}\\ 0& =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}+k.2\pi (\text{tidak memenuhi})}\end{array}\\ & \text{Sehingga ada dua absis yang memenuhi}\\ & \text{sebagai titik STASIONER},\text{yaitu}\\ & x={\displaystyle \frac{\pi }{4}\text{dan}x=\frac{5\pi }{4}}\\ & \text{untuk}x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\\ & f\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)-\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=\sqrt{2}}\\ & \text{untuk}x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\\ & f\left({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\right)=\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\right)\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}=-\sqrt{2}}\\ & \text{Jadi titik stasionernya}:\left({\displaystyle \frac{\pi }{4},2}\right)\mathrm{\&}\left({\displaystyle \frac{5\pi }{4},-\sqrt{2}}\right)\\ & \text{Langkah berikutnya gunakanlah titik}\\ & \text{uji di sekitar nilai stasioner yaitu}:\\ & \begin{array}{ccccccccc}& & & & & & & & \\ 0& & {\displaystyle \frac{\pi }{4}}& & \pi & & {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}& & 2\pi \end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{Untuk}{f}^{\prime }(x)=\cos x-\sin x\\ & x=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=\cos 0-\sin 0\\ & =1+0=1>0(\text{positif})\\ & x=\pi \Rightarrow f^{\prime }(\pi )=\cos \pi -\sin \pi \\ & =-1+0=-1<0(\text{negatif})\\ & x=0\Rightarrow f^{\prime }(2\pi )=\cos 2\pi -\sin 2\pi \\ & =1+0=1>0(\text{positif})\\ & \begin{array}{|cccccl|}\hline x& 0& {\displaystyle \frac{\pi }{4}}& \pi & {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}& 2\pi \\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& 0& +\\ & & --& & & \\ \text{Garfik}& /& & \mathrm{\setminus }& & /\\ & & & & \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}& \\ \hline\end{array}\\ & \text{Dari tabel di atas didapatkan}\\ & \{\begin{array}{ll}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4},\sqrt{2}}\right)& \text{titik balik maksimum}\\ \left({\displaystyle \frac{5\pi }{4},-\sqrt{2}}\right)& \text{titik balik minimum}\end{array}\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{|c|}\hline \begin{array}{rl}& \text{Dengan Turunan Kedua}\\ & f(x)=\sin x+\cos x\\ & f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x\\ & f^{″}(x)=-\sin x-\cos x=-(\sin x+\cos x)\\ & f^{″}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=-\left(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\right)=-\sqrt{2}<0\\ & \Rightarrow (\text{maksimum atau cekung ke bawah})\\ & f^{″}\left({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\right)=-\left(\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{4}+\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}}\right)=\sqrt{2}>0\\ & \Rightarrow (\text{minimum atau cekung ke atas})\\ & \text{Dengan}f(x)=\sin x+\cos x,\text{maka}\\ & \bullet \text{nilai maksimumnya}:\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}}\\ & \bullet \text{nilai minimumnya}:\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{4}+\cos \frac{5\pi }{4}=-\sqrt{2}}\\ & \text{Jadi, titik maksimumnya}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4},\sqrt{2}}\right)\\ & \text{dan nilai minimumnya}\left({\displaystyle \frac{5\pi }{4},-\sqrt{2}}\right)\end{array}\\ \hline\end{array}$

$.\begin{array}{rl}& \text{Untuk TITIK BELOK}\\ & \text{Syarat titik belok adalah}{f}^{″}(x)=0\\ & \text{Diketahui}f(x)=\sin x+\cos x\\ & f^{″}(x)=-(\sin x+\cos x)=0\\ & \iff \sin x+\cos x=0\iff \sin x=-\cos x\\ & \iff {\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=-1\iff \tan x=-1}\\ & \iff \tan x=\tan {135}^{\circ }\\ & \iff x={135}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ & \iff k=0\Rightarrow x={135}^{\circ }={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\\ & \iff k=1\Rightarrow x={135}^{\circ }+{180}^{\circ }={315}^{\circ }={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\\ & \text{Adapun titik beloknya pada fungsi}f(x)\\ & \text{adalah}:\\ & \bullet x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\\ & f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=0\\ & \text{maka titiknya}\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4},0}\right)\\ & \bullet x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\\ & f\left({\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\right)=\sin \left({\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\right)+\cos \left({\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\right)=0\\ & \text{maka titiknya}\left({\displaystyle \frac{7\pi }{4},0}\right)\end{array}$

$.\text{Berikut Sketsa grafiknya}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah semua titik stasioner}\\ & \text{berikut jenisnya dari fungsi}\\ & f(x)=2\sin x\text{dengan}\\ & 0\le x\le 2\pi \\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}\\ & f(x)=2\sin x\\ & f^{\prime }(x)=2\cos x\\ & \text{Syarat titik stasioner}{f}^{\prime }(x)=0\\ & 2\cos x=0\iff \cos x=0\\ & \iff \cos x=\cos {90}^{\circ }\iff x={90}^{\circ }\pm k{.360}^{\circ }\\ & \iff k=0\Rightarrow x={90}^{\circ }\text{yang memenuhi}\\ & \iff k=1\Rightarrow x={270}^{\circ }\text{yang memenuhi}\\ & \text{Turunan kedua fungsi di atas adalah}:\\ & f^{″}(x)=-2\sin x\\ & \text{maka},\\ & \begin{array}{|clll|}\hline \text{Nilai}& \text{Hasil}& \text{Keterangan}& \text{Titik}\\ x={90}^{\circ }& f^{″}({90}^{\circ })=-2\sin {90}^{\circ }=-2<0& \text{Maksimum}& \\ & f({90}^{\circ })=2\sin {90}^{\circ }=2& & ({90}^{\circ },2)\\ x={270}^{\circ }& f^{″}({270}^{\circ })=-2\sin {270}^{\circ }=2>0& \text{Minimum}& \\ & f({270}^{\circ })=2\sin {270}^{\circ }=-2& & ({270}^{\circ },-2)\\ \text{Syarat}& f^{″}(x)=0& \text{Belok}& \\ & \begin{array}{rl}& -2\sin x=0\iff \sin x=0\\ & \iff \sin x=\sin 0^{\circ }\\ & \iff x=\{\begin{array}{ll}{0}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\\ {180}^{\circ }& +k{.360}^{\circ }\end{array}\\ & \text{Yang memenuhi}\\ & x=0^{\circ },{180}^{\circ },\text{dan}{360}^{\circ }\\ & \text{Lalu hasilnya disubstitusikan}\\ & \text{ke persamaan}f(x)=2\sin x\end{array}& \begin{array}{rl}& \\ & \text{Hasilnya}:\end{array}& \begin{array}{rl}& (0^{\circ },0),\\ & ({180}^{\circ },0),\\ & ({360}^{\circ },0)\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}\end{array}$

$\text{J. Selang Kecekungan}$

Lihat keterkaitan materi dan contoh di atas berkaitan dengan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan pada suatu selang}(a,b)\\ & \text{terdapat sembarang bilangan real}c\\ & \text{serta turunan kedua fungsi}f\text{ada}\\ & \text{pada selang tersebut}\\ & \bullet \text{saat}{f}^{″}(c)<0,\text{maka kurva}\\ & f\text{cekung ke bawah}\\ & \bullet \text{saat}{f}^{″}(c)>0,\text{maka kurva}\\ & f\text{cekung ke atas}\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ & (\text{Perhatikan lagi contoh soal no.1 di atas})\\ & \text{Tentukanlah interval di mana kurva}\\ & \text{cekung ke bawah dan atas dari fungsi}\\ & f(x)=\sin x+\cos x\text{dengan}\\ & 0<x<2\pi \\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& f(x)=\sin x+\cos x\\ & f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x\\ & f^{″}(x)=-(\sin x+\cos x)\\ & \text{Sebelum menentukan batas kecekungan}\\ & \text{dengan menentukan titik beloknya dulu}\\ & \text{yaitu}:f^{″}(x)=0\\ & \text{Sebelumnya telah dibahas titik beloknya}\\ & \text{fungsi}f\text{di atas mempunyai 2 buah}\\ & \text{titik belok pada selang}0<x<2\pi \\ & x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}\text{dan}x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}}\\ & \text{Melihat banyaknya titik belok, maka}\\ & \text{akan terdapat 3 selang kecekungan, yaitu}:\\ & \{\begin{array}{ll}1\bullet & 0<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\\ 2\bullet & {\displaystyle \frac{3\pi }{4}<x<\frac{7\pi }{4}}\\ 3\bullet & {\displaystyle \frac{7\pi }{4}<x<2\pi }\end{array}\\ & \text{Kita ambil titik uji tiap selang di atas}\\ & \text{dan substitusikan ke turunan kedua fungsi}f\\ & f^{″}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=-\left(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\right)=-1<0\\ & \text{Sehingga pada selang ini, kurva cekung ke bawah}\\ & f^{″}\left(\pi \right)=-(\sin \pi +\cos \pi )=1>0\\ & \text{Sehingga pada selang ini, kurva cekung ke atas}\\ & f^{″}\left({\displaystyle \frac{11\pi }{6}}\right)=-\left(\sin {\displaystyle \frac{11\pi }{6}+\cos {\displaystyle \frac{11\pi }{6}}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}<0}\\ & \text{Sehingga pada selang ini, kurva cekung ke bawah}\end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika 3 SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA