Lanjutan Materi (9) Turunan Pertama Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

MENYELESAIKAN MASALAH YANG MELIBATKAN TURUNAN PERTAMA FUNGSI TRIGONOMETRI

(APLIKASI TITIK STASIONER)

$\color{blue}\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Masalah Maksimum minimum}\\ 2.&\textrm{Kecepatan dan percepatan} \end{array}$

Aplikasi dari titik stasioner ini yang sering muncul dalam kasus maksimum-manimum khususnya berkaitan dengan fungsi trigonometri di samping juga masalah kecepatan dan percepatan. Berikut ilustrasi contoh-contohnya

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlah gambar berikut}\\ &\textrm{Gambar di bawah menunjukkan}\\ &\textrm{trapesium PQRS dengan}\\ &PS=RS=QR=4\: cm\: \: \textrm{dan}\\ &\angle SPQ=\angle RQB=2\theta \: \: \textrm{radian}\\ &\textrm{dengan}\: \: \theta \: \: \textrm{sudut lancip} \end{array}$

$\color{blue}\begin{array}{ll}\\ .\qquad&\textrm{a}.\quad \color{black}\textrm{Nyatakanlah luas trapesium}\\ &\qquad \color{black}\textrm{dalam fungsi}\: \: \theta \\ &\textrm{b}.\quad \color{black}\textrm{Tentukanlah besar}\: \: \theta \: \: \textrm{agar}\\ &\qquad \color{black}\textrm{luas trapesium maksimum}\\\\ &\color{black}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}\quad& \textrm{Luas Trapesium}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\times \textrm{jmlh sisi sjjr}\times \textrm{tinggi}\\ &\textrm{L}_{Trapesium}=\left ( \displaystyle \frac{PQ+SR}{2} \right )\times SA\\ &\textrm{L}_{T}=\left ( \displaystyle \frac{PA+4+BQ+4}{2} \right )\times 4\sin 2\theta \\ &=\left (4\cos 2\theta +4+4\cos 2\theta +4 \right )\times 2\sin 2\theta \\ &=\left (8+8\cos 2\theta \right )\times 4\sin \theta \cos \theta \\ &=\left ( 8\left ( 1+\cos 2\theta \right ) \right )\times 4\sin \theta \cos \theta \\ &=\left ( 8\left (2\cos ^{2}\theta \right ) \right )\times 4\sin \theta \cos \theta \\ &=64\sin \theta \cos ^{3}\theta \\ \textrm{b}\quad&\textrm{Supaya luas maksimum adalah}\\ &\textrm{nilai stasioner fungsi luas} =0\: \: \textrm{yaitu}:\\ &\textrm{L}^{'}_{T}=0\\ &\begin{aligned}&\textrm{L}_{T}=U.V\begin{cases} U & =64\sin \theta \\ V & =\cos ^{3}\theta \end{cases}\\ &\textrm{L}^{'}_{T}=U'V+UV'\\ &\: \quad=64\cos \theta .\cos ^{3}\theta +64\sin \theta \left ( -3\cos ^{2}\theta \sin \theta \right )\\ &\: \quad =64\cos ^{2}\theta \left ( \cos ^{2}\theta -3\sin ^{2}\theta \right ) \end{aligned}\\ &\textrm{Karena syarat luas maksimum}\\ &\textrm{L}^{'}_{T}=0,\: \: \textrm{maka}\\ &64\cos ^{2}\theta \left ( \cos ^{2}\theta -3\sin ^{2}\theta \right )=0\\ &\color{red}\begin{array}{rcl}\\ \color{black}64\cos ^{2}\theta =0&\color{blue}\textrm{V}&\left ( \cos ^{2}\theta -3\sin ^{2}\theta \right )=0\\ \color{black}\cos \theta =0&&\cos ^{2}\theta =3\sin ^{2}\theta \\ \color{black}\theta =\displaystyle \frac{\pi }{2}&&\displaystyle \frac{\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }=\displaystyle \frac{1}{3}\\ &&\tan ^{2}\theta =\displaystyle \frac{1}{3}\\ &&\tan \theta =\sqrt{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ &&\tan \theta =\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}\\ &&\qquad\theta =\displaystyle \frac{\pi }{6}=30^{\circ} \end{array}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \theta =\displaystyle \frac{\pi }{6} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2&\textrm{Sebuah partikel bergerak mengikuti}\\ &\textrm{sebuah lintasan yang dinyatakan dalam}\\ &s=6\cos 3t+\sin ^{2}t+t^{2}+5\: \: \textrm{dalam meter}\\ &\textrm{Jika waktu yang ditempuh dalam}\: \: t\: \: \textrm{detik}\\ &\textrm{tentukanlah kecepatan saat}\: \: t=\displaystyle \frac{\pi}{2}\: \: \textrm{detik}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: v=\displaystyle \frac{ds}{dt}\\ &\color{black}\textrm{maka},\\ &v=-18\sin 3t+2\sin t\cos t+2t\\ &\color{black}\textrm{Kecepatan saat}\: \: \color{red}t=\displaystyle \frac{\pi }{2}\: \: \color{black}\textrm{detik}\\ &v=-18\sin 3t+\sin 2t+2t\\ &v=-18\sin 3\left ( \frac{\pi }{2} \right )+\sin 2\left ( \frac{\pi }{2} \right )+2\left ( \frac{\pi }{2} \right )\\ &\: \: =-18(-1)+0+\pi \\ &=18+\pi \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., & Akhmad G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.