Lanjutan Materi (9) Turunan Pertama Fungsi Trigonometri (Matematika Peminatan Kelas XII)

MENYELESAIKAN MASALAH YANG MELIBATKAN TURUNAN PERTAMA FUNGSI TRIGONOMETRI

(APLIKASI TITIK STASIONER)

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Masalah Maksimum minimum}\\ 2.& \text{Kecepatan dan percepatan}\end{array}$

Aplikasi dari titik stasioner ini yang sering muncul dalam kasus maksimum-manimum khususnya berkaitan dengan fungsi trigonometri di samping juga masalah kecepatan dan percepatan. Berikut ilustrasi contoh-contohnya

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Perhatikanlah gambar berikut}\\ & \text{Gambar di bawah menunjukkan}\\ & \text{trapesium PQRS dengan}\\ & PS=RS=QR=4cm\text{dan}\\ & \mathrm{\angle }SPQ=\mathrm{\angle }RQB=2\theta \text{radian}\\ & \text{dengan}\theta \text{sudut lancip}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ .& \text{a}.\text{Nyatakanlah luas trapesium}\\ & \text{dalam fungsi}\theta \\ & \text{b}.\text{Tentukanlah besar}\theta \text{agar}\\ & \text{luas trapesium maksimum}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}& \text{Luas Trapesium}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\times \text{jmlh sisi sjjr}\times \text{tinggi}}\\ & {\text{L}}_{Trapesium}=\left({\displaystyle \frac{PQ+SR}{2}}\right)\times SA\\ & {\text{L}}_T=\left({\displaystyle \frac{PA+4+BQ+4}{2}}\right)\times 4\sin 2\theta \\ & =(4\cos 2\theta +4+4\cos 2\theta +4)\times 2\sin 2\theta \\ & =(8+8\cos 2\theta )\times 4\sin \theta \cos \theta \\ & =\left(8(1+\cos 2\theta )\right)\times 4\sin \theta \cos \theta \\ & =\left(8(2{\cos }^2\theta )\right)\times 4\sin \theta \cos \theta \\ & =64\sin \theta {\cos }^3\theta \\ \text{b}& \text{Supaya luas maksimum adalah}\\ & \text{nilai stasioner fungsi luas}=0\text{yaitu}:\\ & {\text{L}}_T^{{}^{\prime }}=0\\ & \begin{array}{rl}& {\text{L}}_T=U.V\{\begin{array}{ll}U& =64\sin \theta \\ V& ={\cos }^3\theta \end{array}\\ & {\text{L}}_T^{{}^{\prime }}=U^{\prime }V+U{V}^{\prime }\\ & =64\cos \theta .{\cos }^3\theta +64\sin \theta (-3{\cos }^2\theta \sin \theta )\\ & =64{\cos }^2\theta ({\cos }^2\theta -3{\sin }^2\theta )\end{array}\\ & \text{Karena syarat luas maksimum}\\ & {\text{L}}_T^{{}^{\prime }}=0,\text{maka}\\ & 64{\cos }^2\theta ({\cos }^2\theta -3{\sin }^2\theta )=0\\ & \begin{array}{r}\\ 64{\cos }^2\theta =0& \text{V}& ({\cos }^2\theta -3{\sin }^2\theta )=0\\ \cos \theta =0& & {\cos }^2\theta =3{\sin }^2\theta \\ \theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}& & {\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }={\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ & & {\tan }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & & \tan \theta =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ & & \tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}\\ & & \theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}={30}^{\circ }}\end{array}\\ & \text{Jadi},\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2& \text{Sebuah partikel bergerak mengikuti}\\ & \text{sebuah lintasan yang dinyatakan dalam}\\ & s=6\cos 3t+{\sin }^{2}t+t^2+5\text{dalam meter}\\ & \text{Jika waktu yang ditempuh dalam}t\text{detik}\\ & \text{tentukanlah kecepatan saat}t={\displaystyle \frac{\pi }{2}\text{detik}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}v={\displaystyle \frac{ds}{dt}}\\ & \text{maka},\\ & v=-18\sin 3t+2\sin t\cos t+2t\\ & \text{Kecepatan saat}t={\displaystyle \frac{\pi }{2}\text{detik}}\\ & v=-18\sin 3t+\sin 2t+2t\\ & v=-18\sin 3\left(\frac{\pi }{2}\right)+\sin 2\left(\frac{\pi }{2}\right)+2\left(\frac{\pi }{2}\right)\\ & =-18(-1)+0+\pi \\ & =18+\pi \end{array}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., & Akhmad G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.