Kombinatorika-Memecahkan soal terkait permasahan kombinasi (Bagian 1)

Materi kombinatorika ini adalah cabang matematika yang mempelajari cara menghitung, menyusun, memilih objke-objek dalam suatu himpunan dengan tanpa harus mendaftar satu persatu. 

Materi ini gampang-gampang sudah, kalau saya jujur,masih sangat lemah terutama dalam hal ini. Kalau pas lagi bisa, yang itu bagi saya sudah sangat luar biasa

Ok, kita langsung saja terkait permasalahan perama yaitu tentang pembuktian

Misalkan kita diminta membuktikan hal berikut

$\begin{aligned}&\text{Bila didefinisikan}\:\: 0!=1,1!=1,\:\: \text{dan}\:\: n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n\\ &\textrm{untuk}\: n\ge 2. \: \textrm{Sedangkan}\:\sum_{j=1}^{n}a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n},\\ &\textrm{buktikan bahwa}\\ &\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}(n-k)!(n+k)!=\displaystyle \frac{(n!)^{2}}{2}+\frac{(-1)^{n}(2n+1)!}{2(n+1)}\\ &\textrm{petunjuk}:\:  f(k)=(n+1-k)!(n+k)!,\: \textrm{untuk}\:\: 0\le k\le n+1\\\\   \end{aligned}$.

Perhatikan uraian berikut untuk menuju hasil buktinya

$\begin{aligned} &\begin{aligned}&\textrm{Diberikan petunjuk fungsi}:\: f(x)\:\: \textrm{untuk}\:\: 0\le k\le n+1\\ &\textrm{yaitu}:\quad f(k)=(n+1-k)!(n+k)!\\ &\bullet\quad \textrm{Perhitungan}\:\: f(x)\:\: \textrm{dan}\:\: f(x+1)\\ &\qquad \textrm{Untuk}:\:\:f(x)=(n+1-k)!(n+k)!\\ &\qquad \textrm{Dan untuk}:\:\:f(x+1)=(n-k)!(n+k+1)!\\ &\qquad \textrm{Selanjutnya}\\ &\qquad \textrm{untuk}:\:\: (n+1-k)!=(n+1-k)(n-k)!\\ &\qquad \textrm{Dan untuk}:\:\: (n+k+1)!=(n+k+1)(n+k)!\\ &\bullet\quad \textrm{Perhitungan}\:\: f(x)+f(x+1)\\ &\qquad =\left[\left(n+1-k  \right)+\left(n+k+1  \right) \right](n-k)!(n+k)!\\ &\qquad =(2n+2)(n-k)!(n+k)!\\ &\qquad =2(n+1)(n-k)!(n+k)!\\ &\qquad\textrm{Sehingga}\\ &\qquad (n-k)!(n+k)!=\displaystyle \frac{f(k)+f(k+1)}{2(n+1)}\\ &\bullet\quad \textrm{Substitu ke bagian ruas kiri deret, yaitu}:\\ &\qquad S=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\displaystyle k}(n-k)!(n+k)!\\ &\qquad\quad=\sum_{k=0}^{ n}(-1)^{\displaystyle k}\displaystyle \frac{f(k)+f(k+1)}{2(n+1)}\\ &\qquad\quad=\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\displaystyle k}\left( f(k)+f(k+1) \right)\\ &\bullet\quad \textrm{Evaluasi deret teleskopik}:\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=0\Rightarrow f(0)+f(1)\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=1\Rightarrow -f(1)-f(2)\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=2\Rightarrow f(2)+f(3)\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=3\Rightarrow -f(3)-f(4)\\&\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=4\Rightarrow f(4)+f(5)\\ &\qquad \circ\quad \cdots \\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=n\Rightarrow (-1)^{\displaystyle n}f(n)+(-1)^{\displaystyle n}f(n+1)\\ &\bullet\quad \textrm{Suku yang tersisa akibat jumlah teleskopik}:\\ &\qquad \textrm{yaitu}:k=0\:\: \textrm{yaitu}\:\: f(0)\:\: \textrm{dan}\:\: k=n\:\: \textrm{yaitu}\:\: (-1)^{\displaystyle n}f(n+1)\\ &\bullet\quad \textrm{Evaluasi nilai}:f(0)\:\: \textrm{dan}\:\: f(n+1)\\&\qquad \circ\quad k=0\Rightarrow f(0)=(n+1-0)!(n+0)!=(n+1)!n!=(n+1)(n!)^{\displaystyle 2}\\ &\qquad \circ\quad k=n+1\Rightarrow f(n+1)=(n+1-(n+1))!(n+n+1)!=(2n+1)!\\&\bullet\quad \textrm{Langkah akhir pembuktian}\\ &\qquad S=\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\displaystyle k}\left( f(k)+f(k+1) \right)\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\left( f(0)+(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! \right)\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\left( (n+1)(n!)^{\displaystyle 2}+(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! \right)\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{(n+1)(n!)^{\displaystyle 2}+(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! }{2(n+1)}\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{(n+1)(n!)^{\displaystyle 2}}{2(n+1)}+\displaystyle \frac{(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! }{2(n+1)}\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{(n!)^{\displaystyle 2}}{2}+\displaystyle \frac{(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! }{2(n+1)}\qquad \textbf{Terbukti} \end{aligned} \end{aligned}$

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan akar (Bagian 2)

 Bentuk berikut adalah sangat diindah dilihat tetapi kita juga akan mungkin bertanya saya memulai soluisnya dari mana. Pas awal lihat soal ini saya hanya bisa senyum sambil bergumam, bakal susah banget ini nanti

berikut soalnya

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Hitunglah}\:\\\\ &\quad\quad\qquad \displaystyle \sqrt[\displaystyle 8]{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{...}}}}}\\\\ &\textrm{nyatakan jawabannya dalam bentuk }\: \displaystyle \frac{a\pm b\sqrt{c}}{d}\\ &\textrm{dengan a, b, c, dan d bilangan-bilangan bulat}\\ \end{array}$.

Tetapi yang bikin semangat mencari solusinya adalah petunjuk yang diberikan, yaitu berupa mirip akar dari sebuah persamaan kuadrat

Ok, kita lanjut saja untuk mendapatkan solusinya

Perhatikan berikut

$\begin{aligned}x^{\displaystyle 8}&=2207-\displaystyle \underset{\displaystyle x^{\displaystyle 8}}{\underbrace{\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-\displaystyle \frac{1}{2207-...}}}}}\\ x^{\displaystyle 8}&=2207-\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 8}}\\ &x^{\displaystyle 8}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 8}}=2207\\ &\left ( x^{\displaystyle 4}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 4}} \right )^{\displaystyle 2}=2207+2\\ &\left ( x^{\displaystyle 4}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 4}} \right )=\sqrt{2209}=47 \end{aligned}$

Langkah berikutnya adalah

$\begin{aligned}x^{\displaystyle 4}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 4}}&=47\\ \left ( x^{\displaystyle 2}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2}} \right )^{\displaystyle 2}&=47+2\\ x^{\displaystyle 2}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2}}&=\sqrt{49}=7\\ \left ( x+\displaystyle \frac{1}{x} \right )^{\displaystyle 2}&=7+2\\ x+\displaystyle \frac{1}{x}&=\sqrt{9}=3\\ x^{\displaystyle 2}-3x+1&=0,\\ &\textrm{persamaan kuadrat dalam x,}\\ & \textbf{gunakan rumus abc}\\ x_{1,2}=&\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}=\displaystyle \frac{3\pm 1\sqrt{5}}{2}=\displaystyle \frac{a\pm b\sqrt{c}}{d}\\ &\textbf{Sehingga},\quad \begin{cases} & a=3 \\ & b=1 \\ & c=5 \\ & d=2 \end{cases} \end{aligned}$.

Ternyata tepat tak meleset, jatuhnya ke bentuk persamaan kuadrat

Ok, sekian dulu

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan akar (Bagian 1)

 Berikut ada soal unik penjumlahan berulang tetapi mengandul bilangan bentuk akar, yaitu

$\begin{aligned}&\textrm{Nilai dari}\\ &\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}+\cdots + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{n}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{n}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{n}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}} \end{aligned}$.

Kalau sekilas lihat soalnya jadi terasa banyak ada kendala, bagaimana untuk mendaptakan solusinya. Ada sebuah hal yang menarik, yaitu, kita coba urai bagian perbagian, dan kita akan lihat seperti apa polanya, karena jelas soal ini memiliki pola

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa bentuk},\\ &\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}\Rightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}\\ &\textrm{kita coba tarik polanya, yaitu}\\ &U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+U_{\displaystyle k}}\Leftrightarrow  U_{\displaystyle k}^{\displaystyle 2}+\sqrt{k}.U_{\displaystyle k}-\displaystyle \frac{1}{4}=0\\ &U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{-\sqrt{k}\pm \sqrt{k-4.1.\left( -\displaystyle \frac{1}{4} \right)}}{2}\Leftrightarrow  U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{-\sqrt{k}\pm \sqrt{k+1}}{2}\\ &\textrm{Karena baik penyebut maupun pembilang bernilai positif, maka}\\ &\textrm{kita gunakan akar yang positif saja, yaitu}:\\ &U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{2}\\ &\textrm{Sehingga bisa dipastikan deretnya dalah teleskopik, yaitu}:\\ &S_{\displaystyle n}=\displaystyle \frac{1}{2}\left( \left( \sqrt{2}-\sqrt{1} \right)+\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right) +\cdots +\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\right)\\ &\:\:\quad=\displaystyle \frac{\sqrt{n+1}-1}{2} \end{aligned}$

Jadi, ternyata barisan bilangan tersebut di atas memiliki pola teleskopik dengan jumlah seperti tertera di atas

Contoh Soal Polinom (Bagian 4)

$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Jika}\: \: (m-2)\: \: \textrm{adalah faktor dari}\: \: 2m^{3}+3tm+4,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: t\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{10}{3}&&\textrm{d}.\quad -\displaystyle \frac{3}{10}\\\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{1}{3}&\textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{3}{10}&\textrm{e}.\quad \color{red}-\displaystyle \frac{10}{3} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(m)&=2m^{3}+3tm+4\\ f(2)&=2(2)^{3}+3t(2)+4\\ 0&=16+6t+4\\ -6t&=20\\ t&=\color{red}-\displaystyle \frac{10}{3} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{(KSM MA Kab/Kota 2015)Nilai terkecil}\: \: n\\ & \textrm{yang mengkin sehingga}\: \: n.(n+1).(n+2)\\\ & \textrm{habis dibagi 24 adalah}....\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad 1\\ \textrm{b}.\quad \color{red}2\\ \textrm{c}.\quad 3\\ \textrm{d}.\quad 4 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}k&=\displaystyle \frac{n.(n+1).(n+2)}{24}\\ &=\displaystyle \frac{n.(n+1).(n+2)}{2.(2+1).(2+2)}\\ &\textrm{maka}\: \: n=\color{red}2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Jika polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\\ &(x-a)(x-b)\: \: \textrm{dan}\: \: a\neq b\: ,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{sisa pembagiannya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-a}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-a}{a-b}f(b)+\frac{x-a}{b-a}f(a)\\\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \displaystyle \color{red}\frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(b)+\frac{x-a}{b-a}f(a)\\\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \displaystyle \frac{x-a}{b-a}f(b)+\frac{x-a}{b-a}f(a)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misal sisa pembagiannya}:\: \color{red}s(x)=px+q\\ &\textrm{Saat}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (x-a)(x-b)\: \: \textrm{berarti}\\ &\bullet \quad x=a\Rightarrow s(a)=f(a)=ap+q\: ....(1)\\ &\bullet \quad x=b\Rightarrow s(b)=f(b)=bp+q\: ......(2)\\ &\textrm{Persamaan}\: \: (1)\: \: \textrm{dan}\: \: (2)\: \: \textrm{dieliminasi}\\ &\color{blue}\begin{array}{llllllll}\\ ap&+&q&=&f(a)\\ bp&+&q&=&f(b)&-\\\hline ap&-&bp&=&f(a)-f(b)\\ &&p&=&\color{purple}\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b}& \end{array}\\ &\textrm{Dari persamaan}\: \: (1),\\ &f(a)=ap+q\\ &f(a)=a\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )+q\\ &q=a\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )+f(a)\\ &q=a\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )+f(a)\left ( \displaystyle \frac{a-b}{a-b} \right )\\ &q=\displaystyle \frac{-bf(a)-af(b)}{a-b}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &s(x)=px+q\\ &\qquad =\left ( \displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )x+\left ( \displaystyle \frac{-bf(a)-af(b)}{a-b} \right )\\ &\qquad =\displaystyle \frac{f(a)x-f(b)x-bf(a)+af(b)}{a-b}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{(x-b)f(a)+(a-x)f(b)}{a-b}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{a-x}{a-b}f(b)\\ &\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: x-2\: \: \textrm{bersisa 5},\\ &\textrm{dan dibagi}\: \: x-3\: \: \textrm{bersisa 7. Jia}\: \: f(x)\: \: \\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: x^{2}-5x+6\: \: \textrm{akan memiliki sisa}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle x-2&&\textrm{d}.\quad \color{red}\displaystyle 2x+1\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle 2x-4&\textrm{c}.\quad \displaystyle x+2&\textrm{e}.\quad 2x+3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}f(x)&=(x-2).h(x)+5\\ f(x)&=(x-3).h(x)+7\\ f(x)&=(x^{2}-5x+6).H(x)+s(x)\\ f(x)&=(x-2)(x-3).H(x)+px+q\\ f(2)&=(2-2)(2-3).H(x)+2p+q=5\\ &\Rightarrow \color{blue}0+2p+q=5\: \color{black}.................(1)\\ f(3)&=(3-2)(3-3).H(x)+3p+q=7\\ &\Rightarrow \color{blue}0+3p+q=7\: \color{black}.................(2)\\ \textrm{Dari}&\: \textrm{persamaan}\: \: (1)\: \: \textrm{dan}\: \: (2)\\ \color{red}\textrm{saat}\: &\color{red}\textrm{persamaan (1) dikurangi persamaan (2)}\\ &\qquad -p=-2\\ &\qquad\: \: \: \: \: \: p=2\\ &\textrm{maka}, \: \: \: q=1\\ &\textrm{Sehingga},\: \: \\ &s(x)=px+q=\color{red}2x+1\end{aligned}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&f(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (x-2)\: \: \textrm{sisa}\: \: 5\: \Rightarrow f(2)=5\\ &f(x)\: \: \textrm{dibagi}\: \: (x-3)\: \: \textrm{sisa}\: \: 7\: \Rightarrow f(3)=7\\ &\textrm{maka},\\ &s(x)=\color{red}\displaystyle \frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\\ &\qquad =\color{red}\displaystyle \frac{x-3}{2-3}\color{black}(5)\color{red}+\frac{x-2}{3-2}\color{black}(7)\\ &\qquad =\displaystyle \frac{5x-15}{-1}+\frac{7x-14}{1}\\ &\qquad =15-5x+7x-14\\ &\qquad =\color{red}2x+1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Polinom}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: (2x-4)\: \: \textrm{bersisa 6},\\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: (x+4)\: \: \textrm{bersisa 24}.\\ &\textrm{Dan polinom}\: \: g(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\: \: (2x-4)\: \: \textrm{bersisa 5},\\ & \textrm{dibagi oleh}\: \: (x+4)\: \: \textrm{bersisa 2}.\\ &\textrm{Jika}\: \: h(x)=f(x).g(x),\: \: \textrm{maka}\: \: h(x)\\ &\textrm{dibagi}\: \: (2x^{2}+4x-16)\: \: \textrm{akan sisa}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3x+24&&\textrm{d}.\quad -6x+36\\ \textrm{b}.\quad \color{red}-3x+36&\textrm{c}.\quad 6x+24&\textrm{e}.\quad 12x+3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Langkah pertama}\\ &\begin{aligned}f(x)&=(2x-4).h(x)_{1}+6\\ f(x)&=(x+4).h(x)_{2}+24\\ f(x)&=(2x-4)(x+4).H_{1}(x)+p_{1}x+q_{1}\\ &\textrm{Gunakanlah cara sebagai mana}\\ &\textrm{contoh soal No. 12 di atas yang}\\ \color{magenta}\textrm{Alte}&\color{magenta}\textrm{natif 2}\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\quad p_{1}x+q_{1}=-3x+12 \end{aligned} \\ &\color{blue}\textrm{Langkah kedua}\\ &\begin{aligned}g(x)&=(2x-4).h(x)_{3}+5\\ g(x)&=(x+4).h(x)_{4}+2\\ g(x)&=(2x-4)(x+4).H_{2}(x)+p_{2}x+q_{2}\\ &\textrm{Gunakanlah cara sebagai mana}\\ &\textrm{contoh soal No. 12 di atas yang}\\ \color{magenta}\textrm{Alte}&\color{magenta}\textrm{natif 2}\\ \textrm{mak}&\textrm{a}\quad p_{2}x+q_{2}=\displaystyle \frac{1}{2}x+4 \end{aligned} \\ &\color{blue}\textrm{Langkah ketiga}\\ &\begin{aligned}&h(x)=\color{red}f(x)\times g(x)\\ &=\left ( (2x-4)(x+4)H_{1}(x)+(-3x+12) \right )\\ &\qquad\qquad\qquad \times \left ( (2x-4)(x+4)H_{2}(x)+\displaystyle \frac{1}{2}x+4 \right )\\ &\textrm{maka}\\ &\bullet \quad h(2)=\left ( 0+(-3.2+12) \right )\left ( 0+\displaystyle \frac{1}{2}.2+4 \right )=6.5=30\\ &\bullet \quad h(-4)=\left ( 0+(-3.-4+12) \right )\left ( 0+\displaystyle \frac{1}{2}.-4+4 \right )=24.2=48\\ &\textrm{Dengan pembagi}\: \: 2x^{2}+x-16,\: \textrm{maka sisanya}:\: s_{3}(x)=p_{3}x+q_{3}\\ &\textrm{saat}\: \: x=2\qquad \Rightarrow 2p+q=30\\ &\textrm{saat}\: \: x=-4\: \: \Rightarrow -4p+q=48\\ &\textrm{selanjutnya dengan eliminasi-substitusi diperoleh}\: \: p=-3,\: q=36\\ &\textrm{sehingga}\: \: s(x)=px+q=\color{red}-3x+36 \end{aligned} \end{array}$

Contoh Soal Polinom (Bagian 3)

$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Jika polinom}\: \: 2x^{3}+7x^{2}+ax-3\\  &\textrm{mempunyai faktor}\: \: 2x-1,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{faktor linear lainnya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (x-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x+1)&&\\ \textrm{b}.\quad  \color{red}(x+3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x+1)&&\\ \textrm{c}.\quad  (x+3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\\ \textrm{d}.\quad  (x-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\\ \textrm{e}.\quad  (x+2)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-6) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{(2x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}+4x+3\quad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline \quad 2x-1&2x^{3}+7x^{2}+2x-3&\\ &2x^{3}-x^{2}&-\\\hline &\: \: \:   \qquad 8x^{2}+2x-3&\\ &\: \: \:  \qquad 8x^{2}-4x&- \\\hline &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-3\\ &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-3&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=2x^{3}+7x^{2}+2x-3\\ &=(2x-1)(x^{2}+4x+3)\\ &=(2x-1)\color{red}(x+1)(x+3) \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Diketahui}\: \: g(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+6\\  &h(x)=x^{2}+x-6\: \: \textrm{adalah faktor dari}\\ &g(x)\: ,\: \textrm{Nilai}\: \: a\: \: \textrm{yang memenuhi adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -3&&\textrm{d}.\quad 2\\ \textrm{b}.\quad  -1&\textrm{c}.\quad  1&\textrm{e}.\quad \color{red}5 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: g(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+6\\ &\textrm{dengan pembagi}\: \: h(x)=x^{2}+x-6\\ &\Leftrightarrow \: \: h(x)=(x+3)(x-2)\\ &\textrm{Hal ini artinya}\\ &g(-3)=2(-3)^{3}+a(-3)^{2}+b(-3)+6\\ &\: \: \: \qquad =-54+9a-3b+6=0\: ....(1)\\ &g(2)=2(2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)+6\\ &\: \: \: \: \quad =16+4a+2b+6=0\: ..........(2)\\ &\textrm{Dengan mengeliminasi persamaan}\\ &(1)\: \: \textrm{dengan persamaan}\: \: (2),\: \textrm{maka}\\ & \end{aligned}\\ &\begin{array}{llllll} g(-3)&=&9a-3b&=&48\\ g(2)&=&4a+2b&=&-22&\\\hline (x2)&&18a-6b&=&96\\ (x3)&&12a+6b&=&-66&+\\\hline &&6a&=&30\\ &&\quad\qquad a&=&5 \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Jika}\: \: f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)\\ &\textrm{maka berikut yang bukan faktor}\\ &f(-x)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad (x-1)&&\textrm{d}.\quad (x+2)\\ \textrm{b}.\quad  (x+1)&\textrm{c}.\quad  \color{red}(x-2)&\textrm{e}.\quad (1-x) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(-x-1)(-x+1)(-x-2)\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(x+1)(-x+1)(x+2)\\ &\textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(-x-1)(x-1)(x+2)\\ &\textrm{atau}\\ &\Leftrightarrow f(-x)=(x+1)(x-1)(-x-2)\\ &\textrm{Perhatikan bahwa faktor}\\ &(x-2)\: \: \textrm{tidak akan pernah ada} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Jika}\: \: n\: \: \textrm{merupakan bilangan bulat }\\ &\textrm{positif, pernyataan berikut ini}\\ &\textrm{yang benar adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x^{n}+1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x+1)&&\\ \textrm{b}.\quad  x^{n}+1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-1)&&\\ \textrm{c}.\quad  x^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x+1)\\ \textrm{d}.\quad  \color{red}x^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-1)\\ \textrm{e}.\quad  x^{n}+1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x+2) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\bullet \quad x^{n}+1=(x+1)(x^{n-1}+1)-x(x^{n-2}+1)\\ &\bullet \quad x^{n}-1=\color{red}(x-1)\color{black}(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1) \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textrm{Polinom}&\textrm{Pembagi}&\textrm{Hasil dengan}\: \: n\: \: \textrm{positif}\\\hline x^{n}+1&x+1&f(-1)=(-1)^{n}+1=....\\\hline x^{n}+1&x-1&f(1)=(1)^{n}+1=2\\\hline x^{n}-1&x+1&f(-1)=(-1)^{n}-1=-2\\\hline x^{n}-1&\color{red}x-1&\color{red}f(1)=(1)^{n}-1=0\\\hline x^{n}+1&x+2&f(-2)=(-2)^{n}+1\neq 0\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Sebagai catatan bahwa saat}\: \: \: \displaystyle \frac{x^{n}+1}{x+1}=....\\ &\bullet \quad\textrm{ketika}\: \: n=\textrm{ganjil, maka}\: \displaystyle \frac{x^{n}+1}{x+1}=0,\: \textrm{tetapi}\\ &\bullet \quad \textrm{ketika}\: \: n=\textrm{genap, maka}\: \displaystyle \frac{x^{n}+1}{x+1}\neq 0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Jika salah satu akar dari polinom}\\ &\: \: x^{3}+4x^{2}+x-6=0\: \: \textrm{adalah}\: \: x=1,\\  &\textrm{maka akar-akar yang lain adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 2\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\\ \textrm{b}.\quad  -3\: \: \textrm{dan}\: \: 2&&\\ \textrm{c}.\quad  -2\: \: \textrm{dan}\: \: 3\\ \textrm{d}.\quad  \color{red}-3\: \: \textrm{dan}\: \: -2\\ \textrm{e}.\quad  1\: \: \textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{3}{2} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|}\hline  \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{3}+4x^{2}+x-6}{(x-1)}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x^{2}+5x+6\quad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline \quad x-1&x^{3}+4x^{2}+x-6&\\ &x^{3}-x^{2}&-\\\hline &\: \: \:   \qquad 5x^{2}+x-6&\\ &\: \: \:  \qquad 5x^{2}-5x&- \\\hline &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-6\\ &\: \: \qquad\qquad\quad 6x-6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=x^{3}+4x^{2}+x-6\\ &=(x-1)(x^{2}+5x+6)\\ &=(x-1)\color{red}(x+2)(x+3) \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$

Contoh Soal Polinom (Bagian 2)

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}=h(x)+\displaystyle \frac{3}{x-2}\\ &\textrm{dan}\: \: \displaystyle \frac{f(x)}{x-1}=h(x)+\displaystyle \frac{2}{x-1}\: ,\\ &\textrm{jika}\: \: \displaystyle \frac{f(x)}{(x-2)(x-1)}=h(x)+\displaystyle \frac{s(x)}{(x-2)(x-1)},\\ &\textrm{maka}\: \: s(x)=....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}x+1&&\textrm{d}.\quad 2x-1\\ \textrm{b}.\quad x+2&\textrm{c}.\quad 2x+1&\textrm{e}.\quad x-2\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}=h(x)+\displaystyle \frac{3}{x-2}\\ &\Rightarrow f(x)=(x-2).h(x)+3\Rightarrow f(2)=3\\ &\displaystyle \frac{f(x)}{x-1}=h(x)+\displaystyle \frac{2}{x-1}\\ &\Rightarrow f(x)=(x-1).h(x)+2\Rightarrow f(1)=2\\ &\displaystyle \frac{f(x)}{(x-2)(x-1)}=h(x)+\displaystyle \frac{s(x)}{(x-2)(x-1)}\\ &\textrm{maka}\: \: \: f(x)=(x-2)(x-1).h(x)+s(x)\\ &f(x)=(x-2)(x-1).h(x)+px+q\\ &f(2)=2p+q=3\\ &f(1)=p+q=2,\\ &\textrm{sehingga dengan }\: \textrm{eliminasi akan diperoleh}\\ p&=1\quad \textrm{dan}\\ &q=1\\ &\textrm{Jadi},\quad px+q=\color{red}x+1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Jika}\: \: x^{4}+2mx-n\: \: \textrm{dibagi}\: \: x^{2}-1\\ &\textrm{bersisa}\: \: 2x-1\: ,\textrm{maka nilai}\: \: m\\ &\textrm{dan}\: \: n\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad m=-1\: \: \textrm{dan}\: \: n=2\\ \textrm{b}.\quad m=1\: \: \textrm{dan}\: \: n=-2\\ \textrm{c}.\quad \color{red}m=1\: \: \textrm{dan}\: \: \color{red}n=2\\ \textrm{d}.\quad m=-1\: \: \textrm{dan}\: \: n=-2\\ \textrm{e}.\quad m=-2\: \: \textrm{dan}\: \: n=1\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{dengan Horner-Kino didapatkan} \end{array}$

$.\qquad\begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=x^{4}+2mx-n \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=(x-1)(x+1)=x^{2}-1 \\ &: 1\: \: \textrm{dari}\: -\frac{-1}{1},\: \: \textrm{sedang}\: \: 0=-\left ( \frac{0}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=x^{2}+1\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=2mx+(1-n)=2x-1 \end{cases}$

$.\qquad \begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &\bullet \quad 2m=2\Rightarrow m=\color{red}1\\ &\bullet \quad 1-n=-1\Rightarrow n=\color{red}2 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Jika}\: \: f(x)=x^{4}-kx^{2}+5\: \: \textrm{habis dibagi}\\ &(x-1)\: \: \textrm{maka}\: \: f(x)\: \: \textrm{juga habis dibagi oleh}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}x+1&&\textrm{d}.\quad x+5\\ \textrm{b}.\quad 2x+1&\textrm{c}.\quad 3x+1&\textrm{e}.\quad 2x+5 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}f(x)&=x^{4}-kx^{2}+5\\ f(1)&=(1)^{4}-k(1)^{2}+5\\ 0&=1-k+5\\ k&=6\\ f(x)&=x^{4}-6x^{2}+5\\ &=(x^{2}-1)(x^{2}-5)\\ &=(x-1)\color{red}(x+1)\color{black}(x^{2}-5) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Jika}\: \: x^{3}-12x+k\: \: \textrm{habis dibagi oleh}\\  &(x-2)\: \: \textrm{maka polinom tersebut juga }\\ &\textrm{akan dibagi habis oleh}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x-1&&\textrm{d}.\quad x+2\\ \textrm{b}.\quad x-3&\textrm{c}.\quad x+1&\textrm{e}.\quad \color{red}x+4 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Misal}&\: \: f(x)=\color{blue}x^{3}-12x+k\\ \textrm{Saat}\: &f(2)=0\: \: (f(x)\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-2))\\ f(2)&=2^{3}-12.2+k=0\Leftrightarrow k=16\\ \textrm{Sehin}&\textrm{gga}\: \: f(x)=x^{3}-12x+16\\ \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, yang mungkin}\\ \textrm{adala}&\textrm{h}\: \: 16=\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8,\pm 16\\ \textrm{Deng}&\textrm{an substitusi akan diperoleh}\\ f(-4)&=(-4)^{3}-12(-4)+16=0\\ \textrm{maka}&\: \: \color{red}x+4\: \: \color{black}\textrm{termasuk faktornya juga} \end{aligned} \end{array}$.

$.\: \qquad\begin{array}{|l|}\hline \textbf{Catatan}:\\\\ \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{x^{3}-12x+16}{(x-2)\color{red}(x+4)}\\ &=\displaystyle \frac{x^{3}-12x+16}{x^{2}+2x-8}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}x-2\qquad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline x^{2}+2x-8&x^{3}-12x+16&\\ &x^{3}+2x^{2}-8x&-\\\hline &-2x^{2}-4x+16&\\ &-2x^{2}-4x+16&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=x^{3}-12x+16\\ &=(x-2)^{2}\color{red}(x+4) \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Jika}\: \: (x-2)\: \: \textrm{adalah faktor dari}\\  &f(x)=2x^{3}+ax^{2}+7x+6,\\ &\textrm{maka akar lainnya adalah}\: ....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad x+3&&\textrm{d}.\quad 2x-3\\ \textrm{b}.\quad \color{red}x-3&\textrm{c}.\quad x-1&\textrm{e}.\quad 2x+3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Misal}&\: \: f(x)=\color{blue}2x^{3}+ax^{2}+7x+6\\ \textrm{Saat}\: &f(2)=0\: \: (f(x)\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-2))\\ f(2)&=2.2^{3}+a.2^{2}+7.2+6=0\Leftrightarrow a=-9\\ \textrm{Sehin}&\textrm{gga}\: \: f(x)=2x^{3}-9x^{2}+7x+6\\ \textrm{Deng}&\textrm{an teorema faktor, yang mungkin}\\ \textrm{adala}&\textrm{h}\: \: \displaystyle \frac{6}{2}=\pm 1,\pm 2,\pm 3\\ \textrm{Deng}&\textrm{an substitusi akan diperoleh}\\ f(3)&=2(3)^{3}-9(3)+7.3+6=0\\ \textrm{maka}&\: \: \color{red}x-3\: \: \color{black}\textrm{termasuk faktornya juga} \end{aligned} \end{array}$.

$.\: \qquad\begin{array}{|l|}\hline \textbf{Catatan}:\\\\ \begin{aligned} &\textrm{Perhatikan uraian berikut}\\ &\displaystyle \frac{2x^{3}-9x^{2}+7x+6}{(x-2)\color{red}(x-3)}\\ &=\displaystyle \frac{2x^{3}-9x^{2}+7x+6}{x^{2}-5x+6}\\ \end{aligned}\\\\ \begin{array}{l|lll}\: \: \: \textbf{pembagi}&\quad \color{red}2x+1\qquad \color{blue}\textbf{hasil}&\color{blue}\textbf{bagi}\\ \hline x^{2}-5x+6&2x^{3}-9x^{2}+7x+6&\\ &2x^{3}-10x^{2}+12x&-\\\hline &\: \: \: \: \: \qquad x^{2}-5x+6&\\ &\: \: \: \: \: \qquad x^{2}-5x+6&-\\\hline \qquad\textbf{Sisa}&\qquad\qquad 0& (\textbf{habis}) \end{array}\\\\ \begin{aligned}\therefore \qquad f(x)&=2x^{3}-9x^{2}+7x+6\\ &=\color{red}(2x+1)\color{black}(x-2)\color{red}(x-3) \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Contoh Soal Polinom (Bagian 1)

 $\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: g(x)=2x^{3}+x^{2}-x+1,\\ &\textrm{maka}\: \: g(1)=....\: \: \\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad -2&&\textrm{d}.\quad 2\\ \textrm{b}.\quad -1&\textrm{c}.\quad 1&\textrm{e}.\quad \color{red}3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}g(x)&=2x^{3}+x^{2}-x+1\\ g(1)&=2(1)^{3}+(1)^{2}-(1)+1\\ &=2+1-1+1\\ &=\color{red}3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: p(y)=5y^{4}+2r^{2}y^{3}+y^{2}+1\: \: \textrm{dan}\\ & q(y)=4y^{5}+3ry^{2}-3y-1\: \: \\ &\textrm{serta}\: \: p(-1)=q(-1),\: \: \textrm{maka nilai}\: \: r\\ & \textrm{sama dengan}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{3}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: 3&&\textrm{d}.\quad -\displaystyle \frac{3}{2}\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle -\frac{3}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: 3&\textrm{c}.\quad \color{red}\displaystyle \frac{3}{2}\: \: \textrm{dan}\: \: -3&\textrm{e}.\quad 3 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}p(-1)&=q(-1)\\ 5(-1)^{4}+2r^{2}(-1)^{3}+(-1)^{2}+1&=4(-1)^{5}+3r(-1)^{2}-3(-1)-1\\ 5-2r^{2}+1+1&=-4+3r+3-1\\ 9-3r-2r^{2}&=0\\ \displaystyle \frac{(-6-2r)(-3+2r)}{2}&=0,\qquad \textrm{ingat pemfaktoran}\\ (-3-r)(-3+2r)&=0\\ r=-3\quad \vee \quad r&=\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui}\: \: f(x)\: \: \textrm{berderajat}\: \: n.\\ &\textrm{Jika pembaginya berbentuk}\: \: \left ( ax^{2}+bx+c \right ),\\ &\textrm{dengan}\: \: a\neq 0,\: \: \textrm{maka hasil baginya berderajat}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad n-1&&\textrm{d}.\quad 3\\ \textrm{b}.\quad \color{red}n-2&\textrm{c}.\quad n-3&\textrm{e}.\quad 2 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Suku banyak (polinom)}\\ &=\textrm{pembagi}\times \textrm{hasil bagi}+\textrm{sisa}\\ &x^{n}+...=\left ( ax^{2}+bx+c \right )\times \color{red}\left ( x^{n-2}+... \right )\color{black}+\left (mx+n \right ) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Hasil bagi dan sisanya jika}\: \: \left (6x^{4}-3x^{2}+x-1 \right )\\ & \textrm{dibagi oleh}\: \: \left ( 2x-1 \right )\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}3x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+\frac{1}{8}&\textrm{dan}&\color{red}-\displaystyle \frac{7}{8}\\ \textrm{b}.\quad 3x^{3}+3x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+1&\textrm{dan}&-7\\ \textrm{c}.\quad x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-3x+\frac{1}{8}&\textrm{dan}&\displaystyle \frac{7}{8}\\ \textrm{d}.\quad x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+1&\textrm{dan}&\displaystyle \frac{1}{8}\\ \textrm{e}.\quad 3x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x-\frac{1}{8}&\textrm{dan}&-\displaystyle \frac{7}{8} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{rr|rrrrrrr} \color{blue}x=\frac{1}{2}&&6&0&-3&1&-1\\ &&&3&\frac{3}{2}&-\frac{3}{4}&\frac{1}{8}&+&\\\hline &&6&3&-\frac{3}{2}&\frac{1}{4}&\color{red}\boxed{-\frac{7}{8}} \end{array}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{cases} \textrm{Hasil bagi}: & \displaystyle \frac{6x^{3}+3x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}}{2}\\ &=\color{red}3x^{3}+\displaystyle \frac{3}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}x+\displaystyle \frac{1}{8} \\ & \\ \textrm{Sisa bagi}: & -\displaystyle \frac{7}{8} \end{cases} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Hasil bagi dan sisanya jika}\: \: \left (x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1 \right )\\ &\textrm{dibagi oleh}\: \: \left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+1&\textrm{dan}&\color{red}2x+1\\ \textrm{b}.\quad x^{2}+1&\textrm{dan}&2x-1\\ \textrm{c}.\quad x^{2}-1&\textrm{dan}&2x+1\\ \textrm{d}.\quad x^{2}-1&\textrm{dan}&2x-1\\ \textrm{e}.\quad 2x^{2}-1&\textrm{dan}&x+1\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan cara}\: \: \textbf{Horner-Kino}\: \: \textrm{diperoleh} \end{array}$

$.\qquad\begin{cases} \textrm{Suku banyak}: & f(x)=x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1 \\ \textrm{Pembagai}: & p(x)=(x-2)(x+1)=x^{2}-x-2 \\ &: 2\: \: \textrm{dari}\: -\frac{-2}{1},\: \: \textrm{sedang}\: \: 1=-\left ( \frac{-1}{1} \right )\\ \textrm{Hasil bagi}:&h(x)=x^{2}+1\\ \textrm{Sisa bagi}:&s(x)=2x+1 \end{cases}$

$\qquad\begin{aligned}&\textrm{Sehingga},\\ &x^{4}-x^{3}-x^{2}+x-1\\ &\qquad =\color{red}\left ( x^{2}-x-2 \right )\left ( x^{2}+1 \right )+2x+1 \end{aligned}$

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan Perpangatan (Bagian 3)

 Pada bagian ini ada soal aljabar terkait pembuktian, tetapi kala dikerjakan apa adanya bisa membuat pusing kepala,berikut soalnya

$\begin{aligned}&\textrm{Untuk}\quad n\quad \textrm{bilangan bulat positif, buktikan bahwa}\\ &\qquad\qquad\quad 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} +1\right)+3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}+1}-1\\ &\textrm{merupakan bilangan komposit}\end{aligned}$

Saya butuh cukup waktu mendapatkan pembuktiannya, kalau pemirsa juga demikian, berarti kita sama, pusing juga 

Ok, berikut hasil jadinya

$\begin{aligned}&\textrm{Di sini disodorkan bukti langsung, yaitu}:\\ &3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} +1\right)+3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}+1}-1\\&=\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}+3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}.3^{\displaystyle 1}-1=\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+4\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)-1\\ &\textrm{Perhatikan bahwa untuk}\\ &\bullet \quad n=1\Rightarrow 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle 1}}=27\Rightarrow 3.8+3,\quad \textrm{dan}\\ &\bullet \quad n=2\Rightarrow 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle 2}}=3^{\displaystyle 9}=19.683\Rightarrow 2460.8+3\\ &\qquad \vdots \\ &\textrm{Kita mendapatkan bahwa}:3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}}\equiv 3\:(mod\: 8),\: \textrm{sehingga untuk}\\ &\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+4\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)-1\equiv 3+4(3)-1\:(mod\: 8)\equiv 20\: (mod\: 8)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\equiv 4\: (mod\: 8)\\ &\textrm{Hal ini menunjukkan bahwa}\:\: \left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+4\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)-1\quad \textrm{habis}\\ &\textrm{dibagi 4, dan ini artinya bilangan tersebut mempunyai faktor} \\ &\textrm{lebih dari dua buah dan hal ini juga mengartikan bahwa }\\ &\textrm{bilangan tersebut adalah bilangan komposit}\\ &\textrm{Terbukti bahwa}\\ &\qquad \left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)^{\displaystyle 2}+4\left( 3^{\displaystyle 3^{\displaystyle n}} \right)-1\\ &\textrm{adalah bilangan komposit, untuk setiap}\:\: n\:\: \textrm{bilangan bulat positif}  \end{aligned}$.

Menemukan Konsep Sederhana Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Dari gambar di atas, misalkan sebuah lingkaran yang berpusat di titik $S$  dengan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran yang masih-masing memiliki koordinat $(a,0)$ dan $(b,0)$. Dari sani koordinat titik S adalah $\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2},0 \right )$. Selain itu terdapat garis singgung lingkaran melalui sebuah titik di luar lingkaran tersebut sebagaimana ilustrasi gambar di atas yaitu titik $O(0,0)$.

$\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}1.\quad TS&=BS=OS-OB=\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )-b\\ &=\color{red}\displaystyle \displaystyle \frac{a-b}{2} \end{aligned}\\ \begin{aligned}2.\quad OT&=\sqrt{OS^{2}-TS^{2}}\\ &=\sqrt{\left ( \displaystyle \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )^{2}-\left (\displaystyle \displaystyle \frac{a-b}{2}  \right )^{2}}\\ &=\color{red}\sqrt{ab} \end{aligned}\\ \begin{aligned}3.\quad TP&=...\\ &\textrm{Kita gunakan luas}\: \: \triangle OTS\\ &OS\times TP=OT\times TS\\ &TP=\displaystyle \frac{OT\times TS}{OS}=\sqrt{ab}\left ( \displaystyle \frac{a-b}{a+b} \right )\\ &\begin{aligned}4.\quad OP&=\sqrt{OT^{2}-PT^{2}}\\ &=\sqrt{\left ( \sqrt{ab} \right )^{2}-\left ( \sqrt{ab} \right )^{2}\left (\displaystyle \displaystyle \frac{a-b}{a+b}  \right )^{2}}\\ &=\sqrt{ab\left ( 1-\left (\displaystyle \frac{a-b}{a+}  \right )^{2} \right )}\\ &=\sqrt{ab\left ( \frac{4ab}{(a+b)^{2}} \right )}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{2ab}{a+b} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}5.\quad OK&=\sqrt{OS^{2}+SK^{2}}\\ &=\sqrt{\left ( \displaystyle \frac{a+b}{2} \right )^{2}+\left ( \displaystyle \frac{a-b}{2} \right )^{2}}\\ &=\color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \end{aligned} \end{aligned} \\\hline  \end{array}$.

 Perhatikan bahwa dari ilustrasi gambar lingkaran beserta hal-hal yang terkait dengan lingkaran tersebut termasuk garis sinngungnya melalui sebuah titik di luar lingkaran, maka

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\left | OB \right |< \left | OP \right |< \left | OT \right |< \left | OS \right |< \left | OK \right |< \left | OA \right |\\ &\textrm{maka}\\ &\color{red}b\color{black}< \color{red}\displaystyle \frac{2ab}{a+b}\color{black}<\color{red} \sqrt{ab}\color{black}<\color{red} \displaystyle \frac{a+b}{2}\color{black}< \color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\color{black}< \color{red}b\\ &\textrm{Selanjutnya dapat dituliskan sebagai bentuk}\\ &\color{red}b\color{black}< \color{red}\displaystyle \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\color{black}<\color{red} \sqrt{ab}\color{black}<\color{red} \displaystyle \frac{a+b}{2}\color{black}< \color{red}\sqrt{\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\color{black}< \color{red}b \end{aligned}\\\hline  \end{array}$.

Bentuk akhir pada tabel terakhir di atas selanjutnya yang kita kenal dengan ketaksamaan HM-GM-AM-QM

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan diberikan}\: \: x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\\ & \textrm{bilangan real positif, maka hubungan }\\ &\textrm{ketaksamaan}\: \: \color{red}\textrm{QM-AM-GM-HM}\\ & \color{black}\textrm{dapat dituliskan}\\ &\begin{aligned}\bullet \quad&\textrm{QM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\sqrt{\displaystyle \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}\\ &Quadratic\: Mean\: (\textrm{rata-rata kuadrat})\\ \bullet \quad&\textrm{AM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}\\ &Arithmetic\: Mean\: (\textrm{rata-rata aritmetika})\\ \bullet \quad&\textrm{GM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\sqrt[n]{x_{1}.x_{2}.x_{3}\cdots x_{n}}\\ &Geometric\: Mean\: (\textrm{rata-rata geometri})\\ \bullet \quad&\textrm{HM}(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})=\displaystyle \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\cdots +\frac{1}{x_{n}}}\\ &Harmonic\: Mean\: (\textrm{rata-rata harmoni}) \end{aligned} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: a,b\: \: \textrm{bilangan real positif bahwa}\\ &(a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a} +\displaystyle \frac{1}{b} \right )\geq 4\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&(a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a} +\displaystyle \frac{1}{b} \right )\\ &= 1+\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\\ &= 2+\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{AM-GM}\\ &\geq 2+2\sqrt{\displaystyle \frac{a}{b}\times \frac{b}{a}}\\ &\geq  2+2.1=4\qquad \blacksquare  \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&(a+b)\left (\displaystyle \frac{1}{a} +\displaystyle \frac{1}{b} \right )\\ &\textrm{Dengan}\: \: \textbf{AM-GM}\\ &\geq 2\sqrt{ab}\times \displaystyle \frac{2}{\sqrt{ab}}=4\qquad \blacksquare  \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real, tunjukkan}\\ &\textrm{bahwa}\: \: a^{2}+b^{2}+y^{2}\geq ab+ac+bc\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\textrm{Dengan ketaksamaan}\: \: \textbf{AM-GM}\\ &\textrm{pada bilangan}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real}\\ &\textrm{kita akan peroleh}\\  &\begin{array}{ll} a^{2}+b^{2}\geq 2ab&\\ a^{2}+c^{2}\geq 2ac&\\ b^{2}+c^{2}\geq 2bc&+\\\hline 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq 2ab+2ac+2bc\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq ab+ac+bc\\ &\qquad\textbf{terbukti} \end{array} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika}\: \: a_{i}\geq 0\: ,\: i\in \left \{ 1,2,3,4 \right \}\\ &\textrm{tunjukkan bahwa}\\ &\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}\geq \sqrt[4]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}}{2}+\frac{a_{3}+a_{4}}{2}}{2}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \geq \displaystyle \frac{\sqrt{a_{1}a_{2}}+\sqrt{a_{3}a_{4}}}{2}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \geq \sqrt{\sqrt{a_{1}a_{2}}.\sqrt{a_{3}a_{4}}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad = \sqrt[4]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\qquad \blacksquare  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Leo Bocek.----. Nerovnosti a Nerovnice. dalam : https://olympiada.karlin.mff.cuni.cz/prednasky/bocek1.pdf

Persamaan Polinom

 $\color{blue}\textbf{1. Pencarian akar-akar persamaan polinom}$

Persamaan suku banyak/polinom  $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$  dengan  $n>1\: \: \textrm{dan}\: \: a_{n}\neq 0$  paling sedikit memiliki sebuah akar riil atau imajiner. Pada bahasan ini untuk mendapatkan akar-akar rasional perlu dilakukan cara coba-coba. Misalkan  $x=h$  kita pilih, selanjutnya tinggal kita buktikan bahwa apakah  $x=h$ apakah akar polinom tersebut atau tidak, jika $f(h)=0$, maka $x=h$ adalah termasuk akar dari polinom tersebut, tetapi jika tidak  atau  $f(h) \neq 0$, maka $x=h$ bukan akar yang diinginkan.

Beberapa petunjuk agar  $x=h$  terarah sebagai akar polinom

• Misalkan  $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$  dengan  $r$  adalah faktor dari  $a_{0}$, dan  $s$  adalah faktor dari  $a_{n}$, maka akar-akar rasional jika ada adalah  $x=h=\color{red}\displaystyle \frac{r}{s}$.
• Jika pada langkah pertama di atas ditemukan sebuah akar rasional katakanlah  $x=h_{1}$, maka tentukan hasil bagi  $f(x)$  dengan  $x=h_{1}$  ini. Misalkan hasil baginya adalah  $h_{1}(x)$  atau  $\color{blue}f(x)=(x-h_{1})h_{1}(x)$, maka langkah berikutnya carilah akar dari  $h_{1}(x)$ ini. Dan jika didapatkan akar dari  $h_{1}(x)$  adalah  $x=h_{2}$, maka tentukanlah hasil bagi  dari  $h_{1}(x)$  oleh  $x=h_{2}$, katakanlah hasilnya  $h_{2}(x)$, maka  $\color{blue}f(x)=(x-h_{1})(x-h_{2})h_{2}(x)$ demikian seterusnya.

$\color{blue}\textbf{2. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinom}$

Untuk fungsi  derajat 2 maka berlaku seperti menentukan rumus jumlah dan selisih pada persamaan kuadrat. Tetapi untuk polinom berderajat tiga  $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$  saat  $f(x)=0$, maka berlaku

$\begin{aligned}f(x)&=\color{red}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\: \: \color{black}\textrm{dengan}\\ &x_{1},\: x_{2},\: x_{3}\: \: \textrm{adalah akar-akarnya, maka}\\ \bullet \: \: &x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\displaystyle \frac{b}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\displaystyle \frac{c}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1}\times x_{2}\times x_{3}=-\displaystyle \frac{d}{a}\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned}\textrm{Unt}&\textrm{uk yang berderajat empat}\\ f(x)&=\color{red}ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\: \: \color{black}\textrm{saat}\: \: f(x)=0\\ &\textrm{dengan}\: \: \: x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: x_{4}\: \textrm{adalah akar-akarnya},\\ &\textrm{maka}\\ \bullet \: \: &x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\displaystyle \frac{b}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{3}+...+x_{3}x_{4}=\displaystyle \frac{c}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2} x_{3} x_{4}=-\displaystyle \frac{d}{a}\\ \bullet \: \: &x_{1} x_{2} x_{3}x_{4}=\displaystyle \frac{e}{a} \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Rumus Tambahan}\\ &\bullet \: \: \: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}\\ &\bullet \: \: \: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\ &\qquad =\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} \right )\\ &\bullet \: \: \: x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\\ &\qquad =\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}x_{3}\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right ) \end{aligned}$

$\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Teorema Vieta berkaitan polinom}\\ &\textrm{Persamaan polinom berderajat}\: \: n\\ &\color{red}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\\ &\textrm{dengan akar-akar}:\: \: \color{purple}x_{1},\: x_{2},\: x_{3},\: \cdots \: ,x_{n},\\ &\textrm{maka}:\\ &\bullet \quad x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}=\color{blue}-\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_{n}}\\ &\bullet \quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\color{magenta}\displaystyle \frac{a_{n-2}}{a_{n}}\\ &\bullet \quad x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\cdots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=\color{blue}-\displaystyle \frac{a_{n-3}}{a_{n}}\\ &\qquad\qquad\qquad \vdots \\ &\bullet \quad x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}=\color{magenta}(-1)^{n}.\displaystyle \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{aligned}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika akar-akar dari polinom}\\ &x^{3}+2x^{2}-5x-6=0\: \: \textrm{adalah}\\ &x_{1},\: x_{2},\: \: \textrm{dan}\: \: x_{3},\: \textrm{tentukanlah nilai}\\ &\textrm{a}.\quad x_{1}+ x_{2}+ x_{3}\\ &\textrm{b}.\quad x_{1}x_{2}+ x_{1}x_{3}+ x_{2}x_{3}\\ &\textrm{c}.\quad x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\\ &\textrm{d}.\quad x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ x_{3}^{2}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: \color{red}x^{3}+2x^{2}-5x-6=0\\ &\textrm{dengan koefisien-koefisien variabelnya}\\ & a_{3}=1,\: a_{2}=2,\: a_{1}=-5,\: \: \textrm{dan}\: \: a_{0}=-6\\ &\textrm{Menurut}\: \: \textbf{Teorema Vieta},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=-\displaystyle \frac{a_{2}}{a_{3}}=-\frac{2}{1}=\color{red}-2\\ &\textrm{b}.\quad x_{1}x_{2}+ x_{1}x_{3}+ x_{2}x_{3}=\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{3}}=\displaystyle \frac{-5}{1}=\color{red}-5\\ &\textrm{c}.\quad x_{1}\times x_{2}\times x_{3}=-\displaystyle \frac{a_{0}}{a_{3}}=-\displaystyle \frac{-6}{1}=\color{red}6\\ &\textrm{d}.\quad x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ x_{3}^{2}\\ &\quad\quad =\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3} \right )\\ &\quad\quad =(-2)^{2}-2(-5)=4+10=\color{red}14 \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui polinom}\: \: x^{3}+3x-1=0\\ &\textrm{dengan akar-akar}\: \: \alpha ,\: \beta ,\: \textrm{dan}\: \: \gamma \\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: \alpha^{3} +\beta^{3} + \gamma^{3} \\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Pandang polinom}\: \: \color{red}x^{3}+3x-1=0\\ &\textrm{dengan}:\: a_{3}=1,\: a_{2}=0,\: a_{1}=3,\: a_{0}=-1\\ &\textrm{maka bentuk nilai dari akar-akarnya}\\ &\textrm{yaitu}:\\ &\bullet \quad \alpha ^{3}+3\alpha -1=0\: \: .......(1)\\ &\bullet \quad \beta ^{3}+3\beta -1=0\: \: .......(2)\\ &\bullet \quad \gamma ^{3}+3\gamma -1=0\: \: .......(3)\\ &\textrm{Ketika persamaan}\: \: (1)+(2)+(3)\: \: \textrm{maka}\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+3\left (\alpha +\beta +\gamma \right ) -3=0\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+3\left ( \displaystyle \frac{a_{2}}{a_{3}} \right )-3=0\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+3\left ( 0 \right )-3=0\\ &\Leftrightarrow \: \alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}=\color{red}3 \end{array}$

Daftar Pustaka

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Kelas XI untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Nugroho, P. A., Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal+Bahas Matematika SMA/MA Kelas 1, 2, 3. Jakarta: WAHYUMEDIA.
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT.
4. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas XI IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.
5. Sukino, S., Intan, T. S., Santiago, Y. E. 2015. Pena Emas Olimpiade Sains Nasional Matematika untuk SMP Seri Kinomatika 1: Seleksi Tingkat Sekolah dan Seleksi Tingkat Kabupaten\Kota. Bandung: YRAMA WIDYA.
6. Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Faktor)

7. Teorema Faktor

Pada pembagian sebuah bilangan bahwa suatu bilangan dikatakan habis terbagi jika pembaginya adalah faktor dari bilangan tersebut. Sebagai misal 15 faktornya adalah: 1,3,5, dan 15. Dan pada bahasan materi tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat saat Anda duduk di kelas X sebagai misal  $x^{2}+x-6$ akan habis terbagi oleh  $x+3$  dan  $x-2$. Demikian juga  ketika  $x^{2}+2x-8$  akan habis terbagi oleh  $x+4$  dan  $x-2$. Selanjutnya pembagi-pembagi tersebut kita namakan sebagai faktor dari yang dibagi tersebut.

Untuk selanjutnya toerema faktor dinyatakan:

• Jika  $(x-h)$ adalah faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f(h)=0$
• Jika  $(ax+h)$  merupakan faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f\left ( \displaystyle \frac{-h}{a} \right )=0$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah apakah}\: \: (x-2)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-4)\\ &\textrm{apakah faktor dari}\: \: 2x^{3}+x^{2}-22x+24\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(x)=2x^{3}+x^{2}-22x+24\\ &\bullet \quad x=2\Rightarrow P(2)=2.2^{3}+2^{2}-22.2+24=0\\ &\bullet \quad x=4\Rightarrow P(4)=2.4^{3}+4^{2}-22.4+24=80\neq 0\\ &\textrm{Jadi}, \: \: (x-4)\: \: \textrm{bukan faktor dari}\: \: P(x)\: \: \textrm{di atas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah apakah}\: \: (x+1)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\\ &\textrm{apakah faktor dari}\: \: x^{6}-x^{5}+x^{3}-1\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(x)=x^{6}-x^{5}+x^{3}-1\\ &\bullet \quad x=-1\Rightarrow P(-1)=(-1)^{6}-(-1)^{5}+(-1)^{3}-1=0\\ &\bullet \quad x=1\Rightarrow P(1)=1^{6}-1^{5}+1^{3}-1=0\\ &\textrm{Jadi}, \: \: (x+1)\: \: \textrm{dan}\: \: (x-1)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: P(x)\: \: \textrm{di atas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Faktorkanlah polinom}\: \: x^{3}-11x^{2}+30x-8\\ &\textrm{ke faktor rasional}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &P(x)=x^{3}-11x^{2}+30x-8\\ &\textrm{Misalkan salah satu faktor polinom adalah}:(x-k)\\ &\textrm{maka}\: \: \color{red}k\: \: \color{black}\textrm{adalah faktor dari}\: \: \color{red}-8\color{black},\: \textrm{yaitu}:\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8\\ &\textrm{dengan mencoba-coba kita harapkan ketemu}\\ &\bullet \quad x=1\Rightarrow P(1)=1^{3}-11.1^{2}+30.1-8=12\neq 0\\ &\bullet \quad x=-1\Rightarrow P(-1)=(-1)^{3}-11.(-1)^{2}+30.(-1)-8\\ &\qquad\qquad =-66\neq 0\\ &\bullet \quad x=4\Rightarrow P(4)=4^{3}-11.4^{2}+30.4-8= \color{red}0\\ &\textrm{dengan metode sintetis Horner kita tampilkan}\\ &\begin{array}{l|llllll} 4&1&-11&30&-8&\\ &&\: \: \: \: 4&-28&8&+\\\hline &1&\: \: -7&2&\color{red}0 \end{array}\\ &\textrm{Jadi}, \: \: (x-4)\: \: \textrm{faktor dari}\: \: P(x)\: \: \textrm{di atas} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Jika diketahui}\: \: (x-2)\: \: \textrm{dan}\: \: (2x+1)\\&\textrm{adalah faktor dari}\: \: 2x^{3}+ax^{2}+bx-2\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: a\: \: \textrm{dan}\: \: b\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan polinom}\: \: P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx-2\\ &\bullet \quad x=2\Rightarrow P(2)=2.2^{3}+a.2^{2}+b.2-2=0\\ &\qquad\qquad \Rightarrow P(2)=14+8a+2b=0\: \color{red}.......(1)\\ &\bullet \quad x=\displaystyle \frac{1}{2}\Rightarrow P\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )=2\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}+a\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+b\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )-2=0\\ &\qquad\qquad \Rightarrow P\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )=-\displaystyle \frac{2}{8}+\displaystyle \frac{a}{4}-\displaystyle \frac{b}{2}-2=0\\ &\qquad\qquad \Rightarrow P\left (- \displaystyle \frac{1}{2} \right )=a-2b=9\: \color{red}.........(2)\\ &\textrm{Dengan eliminasi diperoleh}\: \: a=-1\: \: \textrm{dan}\: \: b=-5\\ &\textrm{Jadi}, \: \: a=-1\: \: \textrm{dan}\: \: b=-5 \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&(\textbf{OSK 2016})\\ &\textrm{Misalkan}\: \: a\: \: \textrm{bilangan real sehingga polinom}\\ &P(x)=x^{4}+4x+a\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: (x-c)^{2}\\ &\textrm{untuk suatu bilangan real}\: \: c.\: \: \textrm{Nilai}\: \: a\\ &\textrm{yang memenuhi adalah}\: ....\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\textrm{Diketahui polinom}\: \: P(x)=x^{4}+4x+a\\ &\textrm{Dengan metode Horner sebanyak 2 kali}\\ &\textrm{yaitu}:\\ &\begin{array}{l|lllllll} c&1&0&0&4&\color{red}a\\ &&c&c^{2}&c^{3}&c^{4}+4c^{3}&+\\\hline c&1&c&c^{2}&c^{3}+4&\color{red}c^{4}+4c^{3}+a\\ &&c&2c^{2}&3c^{3}&\\\hline &1&2c&3c^{2}&\color{red}4c^{3}+4& \end{array}\\ &\textrm{Dari bentuk di atas diperoleh}\\ &\bullet \quad 4c^{3}+4=0\Rightarrow c=-1\\ &\bullet \quad c^{4}+4c^{3}+a=0\Rightarrow 1-4+a=0\Rightarrow \color{red}a=3\\  &\textrm{Jadi}, \: \: a=3\\\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\textrm{Silahkan Anda coba sebagai latihan mandiri}  \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1. &\textrm{Buktikan bahwa}\: \: x+3\: \: \textrm{dan}\: \: x-8\: \: \textrm{adalah}\\ &\textrm{faktor dari polinom}\\ &f(x)=2x^{4}+6x^{3}-114x^{2}-454x-336  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2. &\textrm{Tentukan nilai}\: \: k,\: \: k\neq 0\: \: \textrm{agar}\: \: x+k\\ &\textrm{dan}\: \: x-k\: \: \textrm{keduanya adalah faktor dari}\\ &x^{3}-x^{2}-9x+9  \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 3. &\textrm{Bila}\: \: x^{2}-x-2\: \: \textrm{adalah faaktor dari}\\ &\textrm{sebuah  polinom}\\ &P(x)=6x^{4}-x^{3}+ax^{2}-6x+b\\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: a+b  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4. &\textrm{Bila}\: \: x+1\: \: \textrm{dan}\: \: x-3\: \: \textrm{adalah faktor}\\ &\textrm{dari  polinom}\\ &P(x)=x^{4}+px^{3}+5x^{2}+5x+q\\ &\textrm{tentukanlah nilai}\: \: p\: \: \textrm{dan}\: \: q\: \: \textrm{serta}\\ &\textrm{dua faktor lainnya yang belum }\\ &\textrm{diketahui dari polinom tersebut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&(\textbf{OSK 2019})\\ &\textrm{Kedua akar dari persamaan kuadrat}\\ &x^{2}-111x+k=0\: \: \textrm{adalah bilangan prima}\\ &\textrm{Nilai}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\: ....  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&(\textbf{OSK 2015})\\ &\textrm{Diketahui}\: \: a,b,c\: \: \textrm{adalah akar dari persamaan}\\ &x^{3}-5x-9x+10=0.\: \: \textrm{Jika polinom}\\ &P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\: \: \textrm{memenuhi}\\ &P(a)=b+c,\: P(b)=a+c,\: P(c)=a+b,\\ &\textrm{maka nilai dari}\: \: A+B+C\: \: \textrm{adalah}\: ....  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&(\textbf{OSK 2014})\\ &\textrm{Semua bilangan bulat}\: \: n\: \: \textrm{sehingga}\\ &n^{4}-51n^{2}+225\: \: \textrm{merupakan bilangan}\\ &\textrm{prima adalah}\: ....  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8. &\textrm{Diketahui bahwa salah satu dari penyelesaian}\\ &x^{4}-14n^{3}+54x^{2}-62x+13=0\: \: \textrm{adalah}\\ &2+\sqrt{3}.\: \: \textrm{Carilah tiga buah akar yang lain}  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2009-2019. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
4. Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: ITB

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Sisa)

6. Teorema Sisa

Sebelumnya telah diketahui bahwa jika suatu polinom  $\textbf{P(x)}$ dibagi oleh  $\textbf{g(x)}$ dengan hasil bagi  $\textbf{h(x)}$  dan sisa pembagian berupa  $\textbf{s(x)}$, maka kondisi tersebut dapat dituliskan dengan

$P(x)=g(x)\times h(x)+s(x)$

Selanjutnya apabila  $\textbf{P(x)}$  berderajat  $\color{blue}n$  dibagi oleh  $\textbf{g(x)}$ berderajat  $\color{blue}m$, maka hasil bagi  $\textbf{h(x)}$  akan berderajat  $\color{blue}n-m$  dan sisa pembagian maksimum berderajat $\color{blue}m-1$.

Perhatikan kembali contoh soal sebelumnya yaitu:

Dari paparan di atas apabila disederhanakan, maka:

$\begin{aligned}\textrm{Jika}\: &\textrm{polinomial}\: \: P(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\\ \textrm{1}.\quad&g(x)=(x-a),\: \: s(x)=\color{red}P(a)\\ \textrm{2}.\quad&g(x)=(x+a),\: \: s(x)=\color{red}P(-a)\\ \textrm{3}.\quad&g(x)=(ax-b),\: \: s(x)=\color{red}P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{4}.\quad&g(x)=(ax+b),\: \: s(x)=\color{red}P\left (- \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{5}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{x-a}{b-a}\color{red}P(b)\color{black}+\frac{x-b}{a-b}\color{red}P(a)\\ \textrm{6}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}\color{red}P(c)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}\color{red}P(b)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\color{red}P(a) \end{aligned}$.

Sebagai bukti dari beberapa properti formula di atas adalah sebagai berikut

$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Untuk formula no.1 di atas adalah:}\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{atau}\: \: \color{red}P(x)=(x-a).h(x)+s(x)\\ &\textrm{substitusikan}\: \: x-a=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=a\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P(a)=(a-a).h(a)+s(x)=0+s(x)\\ &\qquad\, =s(x)\\ &\textrm{Jadi},\: \: s(x)=P(a)\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Dan untuk formula no.3 di atas adalah}:\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{atau}\: \: \color{red}P(x)=(ax-b).h(x)+s(x)\\ &\textrm{substitusikan}\: \: ax-b=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=\displaystyle \frac{b}{a}\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )=\left (a\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )-b  \right ).h\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )+s(x)\\ &\qquad\quad\, =0+s(x)\\  &\textrm{Jadi},\: \: s(x)=P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Untuk formula no.5 di atas}\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{anggap sisanya}\: \: s(x)=ux+v\\ &\textrm{atau}\\ &\color{red}P(x)=(x-a)(x-b).h(x)+ux+v\\ &\textrm{substitusikan}\: \: x-a=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=a\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P(a)=(a-a)(a-b).h(a)+ua+v\\ &\qquad\, =0+ua+v=ua+v\: .....(1)\\ &\textrm{Demikian pula}\\ &P(b)=(a-b)(b-b).h(b)+ub+v\\ &\qquad\, =0+ub+v=ub+v\: .....(2)\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{rllll}\\ P(a)&=&ua+v\\ P(b)&=&ub+v&-\\\hline P(a)-P(b)&=&u(a-b)\\ \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}&=&u\\ \textrm{atau}\\ u&=&\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \end{array}\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{aligned}&P(a)=ua+v\\ &P(a)=\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a+v\\ &\Leftrightarrow  v=P(a)-\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a\\ &\Leftrightarrow  v=\displaystyle \frac{(a-b)}{(a-b)}P(a)-\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a\\ &\Leftrightarrow v=\displaystyle \frac{aP(a)-bP(a)-aP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &\Leftrightarrow v=\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b} \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga},\\ &\begin{aligned}s(x)&=ux+v\\ &=\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}x+\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &=\displaystyle \frac{P(a)x-P(b)x-bP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &=\displaystyle \frac{(x-b)P(a)+(a-x)P(b)}{a-b}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b) \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\\ &s(x)=\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b)\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\colorbox{yellow}{Pembagi Linear}$.

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukan sisa pembagian}\\ &1.\quad 12x^{4}-40x^{3}+27x^{2}+13x-6\\ &\qquad \textrm{jika dibagi oleh}\: \: \: x+1\\ &2.\quad 2x^{3}+4x^{2}-6x+7\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x+1\\ &3.\quad 3x^{4}-5x^{2}+4\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x^{2}+2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}1.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=12x^{4}-40x^{3}+27x^{2}+13x-6\\ &\textrm{dibagi}\: \: x+1,\: \textrm{artinya}\\&P(-1)=12(-1)^{4}-40(-1)^{3}+27(-1)^{2}+13(-1)-6\\&\Leftrightarrow P(-1)=12+40+27-13-6=\color{red}60 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}2.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=2x^{3}+4x^{2}-6x+7\\ &\textrm{dibagi}\: \: x+1,\: \textrm{artinya}\\ &P\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=2\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}+4\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}-6\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+7\\&\Leftrightarrow P\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=\color{red}5\frac{1}{4} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}3.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=3x^{4}-5x^{2}+4\\ &\textrm{dibagi}\: \: x^{2}+2,\: \textrm{gunakan bentuk sederhana}\\ &\textrm{misa}\: \: x^{2}=n=-2,\: \: \textrm{maka}\\ &P(-2)=3(-2)^{2}-5(-2)+4\\ &\Leftrightarrow P(-2)=12+10+4=\color{red}26 \end{aligned}  \end{array}$.

$\colorbox{yellow}{Pembagi Kuadrat}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ &\textrm{a}.\quad (3x^{3}-7x^{2}-11x+4)\: \: \textrm{oleh}\: \: (x^{2}-x-2)\\ &\textrm{b}.\quad (2x^{3}+5x^{2}-7x+3):(x^{2}-4)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &P(x)=g(x).h(x)+ax+b\\ &\textrm{dengan}\\ &P(x)=3x^{3}-7x^{2}-11x+4\\ &g(x)=x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)\\ &\textrm{maka}\\ &\color{red}3x^{3}-7x^{2}-11x+4\\ &=(x-2)(x+1).h(x)+\color{blue}ax+b\\ &\textrm{Selanjutnya kita substitusikan}\\ &\textrm{pembuat nol fungsi, yaitu}\\ &x=2\: \: \textrm{atau}\: \: x=-1,\: \: \textrm{maka}\\ &\bullet \: \: x=2\Rightarrow -22=0+2a+b\: ....(1)\\ &\bullet \: \: x=-1\Rightarrow 5=0-a+b\: ........(2)\\ &\color{red}\textrm{perhatikan eliminasi berikut}\\ &\begin{array}{rlllll}\\ 2a&+&b&=&-22\\ -a&+&b&=&5&-\\\hline 3a&&&=&-27\\ a&&&=&-9\\ \textrm{maka}&&b&=&-4\end{array}\\ &\textrm{Jadi, sisanya}=s(x)=\color{red}-9x-4 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan cara yang semisal di atas}\\ &g(x)=x^{2}-4=(x-2)(x+2)\\ &\textrm{dengan}\: \:  s(x)=\color{blue}ax+b\\ &\textrm{maka}\\ &P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\bullet \: \: x=2\Rightarrow 25=2a+b\: ......(1)\\ &\bullet \: \: x=-2\Rightarrow 21=-2a+b\: ....(2)\\ &\color{red}\textrm{perhatikan eliminasi berikut}\\ &\begin{array}{rlllll}\\ 2a&+&b&=&25\\ -2a&+&b&=&21&-\\\hline 4a&&&=&4\\ a&&&=&1\\ \textrm{maka}&&b&=&23\end{array}\\ &\textrm{Jadi, sisanya}=s(x)=\color{red}x+23 \end{aligned} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukan sisa pembagian}\\ &1.\quad 3x^{4}-2x^{3}+27x^{2}+x-7\\ &\qquad \textrm{jika dibagi oleh}\: \: \: x-2\\ &2.\quad x^{3}+5x^{2}-3x-16\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x+1\\ &3.\quad 3x^{4}-5x^{2}+4\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x^{2}-2  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ &\textrm{a}.\quad (x^{3}-6x^{2}+3x-2): (x^{2}-3x+2)\\ &\textrm{b}.\quad (x^{3}+2x^{2}-4):(x^{2}-9)\\ &\textrm{c}.\quad (4x^{3}-x^{2}+7x+1):(x^{2}-x-2)\\ &\textrm{d}.\quad (2x^{4}-2x^{2}-7):(x^{2}+x-6)\\ &\textrm{e}.\quad (x^{3}+4x^{2}-x+2):(x^{2}+2x-3)\\ &\textrm{f}.\quad (4x^{3}-x^{2}+4x-1):(x^{2}+2x-15)\\ &\textrm{g}.\quad (2x^{3}-6x^{2}-5x+3):(2x^{2}-7x-4)\\ &\textrm{h}.\quad (x^{4}-x^{3}+5):(x^{2}+4) \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5. &\textrm{Polinom}\: \: f(x)=2x^{3}+px^{2}+qx-7\: \: \textrm{saat}\\ &\textrm{dibagi}\: \: x^{2}+2x-3\: \: \textrm{bersisa}\: \: -4x-1.\\ &\textrm{Nilai}\: \: p-q=\: .... \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 6.&(\textbf{SBMPTN 2015 Matematika IPA})\\ &\textrm{Sisa pembagian}\: \: Ax^{2014}+x^{2015}-B(x-2)^{2}\\ &\textrm{oleh}\: \: x^{2}-1\: \: \textrm{adalah}\: \: 5x-4.\: \: \textrm{Nilai}\: \: A+B=\: .... \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7. &\textrm{Suatu perusahaan mulai beroperasi 1 Juni 2016}\\ &\textrm{Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut}\\ &\textrm{setelah}\: \: t\: \: \textrm{tahun adalah sebesar}\: \: x\: \: \textrm{juta rupiah}\\ &\textrm{dengan definisi fungsi}\: \: x\: \: \textrm{sebagai berikut}\\ &\qquad x=250.000+90.000t+3.000t^{2}\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Berapa besar pendapatkan kotor perusahaan}\\ &\qquad \textrm{tersebut pada awal}\: \: \textrm{Juni 2021}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Setelah berapa tahun perusahaan tersebut}\\ &\qquad \textrm{akan memeperoleh pendapatan sebesar}\\ &\qquad 2.125\: \textrm{miliar rupiah}? \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8. &\textrm{Suatu gelombang udara bergerak mendekati}\\ &\textrm{sebuah kota}.\: \textrm{Jika suhu}\: \: t\: \: \textrm{jam setelah tengah}\\ &\textrm{malam adalah}\: \: T\: \: \textrm{yang diformulasikan}\\ &\qquad T=0,01(400-40t+t^{2}),\: \: 0\leq t\leq 10\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Berapa besar suhu di kota tersebut pada}\\ &\qquad \textrm{pukul}\: \: 05.00\: \: \textrm{pagi}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Pada pukul berapa suhu di kota tersebut}\\ &\qquad \textrm{mencapai}\: \: 15^{\circ}C? \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan Perpangatan (Bagian 2)

 Misal kita menemukan persoalan berikut

$\begin{aligned}&\textrm{Diberikan}\quad x+\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\: \text{maka nilai dari}\quad x^{\displaystyle 2022}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2022}}\end{aligned}$

Jika kita langsung terungat tentang persamaan kuadrat dengan akar-akarnya, maka hal tersebut adalah hal bagus, karena setidaknya kita sudah menuju ke arah yang tepat walaupun kita belum terpikirkan jawabnya seperti apa nantinya

Kita cari pelan-pelan solusinya, yaitu

$\begin{aligned}&\textrm{Nilai}\quad x+\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\textbf{rasio emas}=\phi\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &x+\displaystyle \frac{1}{x}=\phi\Leftrightarrow x^{\displaystyle 2}-\phi x+1=0\Leftrightarrow x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\phi^{\displaystyle 2}-4}}{2}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\phi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \phi^{\displaystyle 2}=\displaystyle \frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\phi^{\displaystyle 2}-4}}{2}\Leftrightarrow x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\left( \displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)-4}}{2}\\ &\Leftrightarrow x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-5}{2}}}{2}\\ &\textrm{Dari uraian di atas, kita tahu bahwa akar-akarnya tidak riil (bilangan kompleks)}\end{aligned}$.

Ok, kita lanjutkan. Langkah berikutnya ingat teorema De Moivre, terkait bilangan kompleks, yaitu:

$\begin{aligned}&x=\cos\theta+i\sin\theta,\quad \textrm{untuk}\\ &x^{\displaystyle n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\quad \textrm{dan}\quad x^{\displaystyle -n}=\cos n\theta-i\sin n\theta\\ &\textrm{Sehingga untuk}\\ &x^{\displaystyle n}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle n}}=x^{\displaystyle n}+x^{\displaystyle -n}=\cos n\theta+i\sin n\theta+\cos n\theta-i\sin n\theta=2\cos n\theta\\ &\textrm{Selanjutya untuk}\\ &x^{\displaystyle 2022}+x^{\displaystyle -2022}=2\cos 2022\theta\\ &\textrm{Dan perlu diingat pula bahwa}:\quad x+\displaystyle \frac{1}{x}=2\cos \theta=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ &\Leftrightarrow \cos\theta=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}\Rightarrow \theta=36^{0}=\frac{\pi}{5}\: \textrm{radian}\\ &\textrm{Dari hal di atas, maka kita dapat menuliskan}\\ &x^{\displaystyle 2022}+x^{\displaystyle -2022}=2\cos 2022\theta=2\cos(2022\times 36^{0})\\ &\qquad=2\cos(72.792^{0})=2\cos(202\times 360^{0}+72^{0})=2\cos(72^{0})\\ &\qquad =2\sin 18^{0}=2\left( \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)=\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ &\textrm{Jadi, nilai dari}\quad x^{\displaystyle 2022}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2022}}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\phi-1\end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Idris, M., Rusdi, I. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: Yrama Widya
2. Tim ITB. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: LPPM ITB

Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan Perpangatan (Bagian 1)

Ada soal keliatannya sederhana, yaitu tentang pecahan, tetapi jika pecahan itu kita kaitkan dengan bilangan berpangkat, maka jadinya akan asik. Berikut contohnya

$\begin{aligned}&\text{Berapakah}\quad \displaystyle \frac{1}{3}\quad \text{dari}\quad 6^{\displaystyle 30}  \end{aligned}$.

Kita tak perlu buru-buru untuk menyelesaikannya, misal jangan langsung 6 dibagi 3 lalu urusan selesai, tetapi kita perlu lihat 6 adalah bilangan berpangkat. Jadi, kita perlu mengurai 6 yang bilangan berpangkat itu agar bisa dibagi dengan 3.

Baiknya kita uraikan sebagaimana berikut

(Uraian jawaban sengaja diurai agak panjang sambil kita melanyahkan sifat-sifat perpangkatan)

$\begin{aligned}& \displaystyle \frac{1}{3}\times 6^{\displaystyle 30}=\displaystyle \frac{1}{3}\times \left( 2\times 3 \right)^{\displaystyle 30}=\displaystyle \frac{1}{3}\times 2^{\displaystyle 30}\times 3^{\displaystyle 30}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3}\times 3^{\displaystyle 30}\times2^{\displaystyle 30}=\displaystyle \frac{3^{\displaystyle 30}}{3^{\displaystyle 1}}\times 2^{\displaystyle 30}=3^{\displaystyle (30-1)}\times 2^{\displaystyle 30}\\ &=3^{\displaystyle 29}\times 2^{\displaystyle 30}=3^{\displaystyle 29}\times 2^{(\displaystyle 1+29)}=3^{\displaystyle 29}\times 2^{\displaystyle 1}\times 2^{\displaystyle 29}\\ &=3^{\displaystyle 29}\times 2 \times 2^{\displaystyle 29}=2\times\left( 2\times 3 \right)^{\displaystyle 29}=2\times 6^{\displaystyle 29}  \end{aligned}$

Sampai langkah tersebut kita bisa berhenti dan itu sudah cukup

Ketaksamaan Muirhead

Ketaksamaan Muirhead

Diberikan  $a=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n})$  dan   $b=(b_{1},b_{2},b_{3},\cdots ,b_{n})$ yang merupakan barisan bilangan real, dengan barisan  $a$ lebih utama dari barisan  $b$ dan selanjutnya dituliskan dengan  $a\succ b$ disebutkan demikian jika kedua barisan di atas memenuhi 3 kondisi berikut:

$\begin{aligned}1.\quad&a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\: \: \textrm{dan}\: \: b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}\\ 2.\quad&a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{k}\\ 3.\quad&a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{k},\\ &\quad \textrm{untuk tiap}\: \: k,\: \: \textrm{dengan}\: :1\leq k\leq n\:  \end{aligned}$.

Contoh:

$\begin{aligned}1.\quad&(4,0,0)\succ (3,1,0)\\ 2.\quad&(2,2,0)\succ (2,1,1)\\ 3.\quad&(2,0,0,0)\not{\succ }(1,1,0)  \end{aligned}$.

Sebagai keterangan tambahan adalah:

• Jika  $(a)\succ (b)$, maka  $\left [ a \right ]\geq \left [ b \right ]$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika barisan a dan b identik atau semua sama untuk nilai $x_{i}$.
• Jika  (a) barisan bilangan real positif, $(x_{n})\succ (y_{n})$, maka  $\displaystyle \sum_{sym}^{.}a_{1}^{x_{1}}a_{2}^{x_{2}}a_{3}^{x_{3}}\cdots a_{n}^{x_{n}}\geq \displaystyle \sum_{sym}^{.}a_{1}^{y_{1}}a_{2}^{y_{2}}a_{3}^{y_{3}}\cdots a_{n}^{y_{n}}$. (untuk hal terkait symetri, silahkan klik link ini)

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Cross Product): Perkalian Silang Dua Vektor

$\color{blue}\textrm{C. Perkalian Silang Vektor (Pengayaan)}$.

Pada ruang dimensi tiga khususnya pada vektor akan berlaku perkalian silang (cross vektor) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan vektor tunggal. Misalkan diketahui  $\vec{u}$  dan  $\vec{v}$  adalah dua vektor sembarang dan keduanya membentuk sudut  $\theta$, maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah sebuah vektor baru dengan dinotasiakan sebagai  $\vec{u}\times \vec{v}$. Tentunya sebagai syarat kedua vektor tersebut masing-masing tidak berupa vektor nol.

Jika  $\vec{u}\times \vec{v}=\vec{c}$ , maka

$\begin{aligned}\vec{u}&\times \vec{v}=\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k} \end{aligned}$

Lalu kalau sudah demikian berapa besarnya? dan ke mana arahnya?

Besarnya adalah  $\left | \vec{u}\times \vec{v} \right |=\left | \vec{u} \right |\left | \vec{v} \right |\sin \theta$  dan arahnya tegak lurus terhadap  $\vec{u}$  dan  $\vec{v}$.

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut  untuk dua buah vektor sebagai misal  $\vec{a}$  dan  $\vec{b}$.

Jika putarannya dibalik, maka akan mendapatkan hasil sebagai mana ilustrasi berikut

Sehingga perlu diingat bahwa :  $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.

Pada hasil kali silang dua vektor berlaku

1. tidak bersifat komutatif , karena  $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.
2. distributif terhadap penjumlahan : $\vec{a}\times \left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$.
3. pada perkalian dengan skalar : $k\left (\vec{a}\times \vec{b} \right )=\left (k\vec{a} \right )\times \vec{b}=\vec{a}\times \left ( k\vec{b} \right )$.
4. berlaku untuk sembarang vektor : $\vec{a}\times \vec{a} =0$.
5. jika kedua vektor sejajar, maka hasil kalinya adalah = 0.
6. Nilai dari perkalian kedua vektor terbut adalah sama dengan hasil luas jajar genjang.
7. Nilai dari poin 6 jika dibagi 2 akan berupa hasil luas sebuah segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
8. berlaku identitas Lagrange : $\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |^{2}=\left | \vec{a} \right |^{2}.\left | \vec{b} \right |^{2}-\left ( \vec{a}\: \bullet \: \vec{b} \right )^{2}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a}=4\vec{i}+3\vec{j}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=4\vec{i}-3\vec{k}\\ &\textrm{Tentukanlah hasil}\: \: \vec{a}\times \vec{b}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\times \vec{a}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\vec{a}&\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 3 &0 \\ 4 & 0 &-3 \end{vmatrix}\\ &=(-9-0)\vec{i}-(-12-0)\vec{j}+(0-12)\vec{k}\\ &=-9\vec{i}+12\vec{j}-12\vec{k} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\vec{b}&\times \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 0 &-3 \\ 4 & 3 &0 \end{vmatrix}\\ &=(0-(-9))\vec{i}-(0-(-12))\vec{j}+(12-0)\vec{k}\\ &=9\vec{i}-12\vec{j}+12\vec{k} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a}=6\vec{i}+2\vec{j}+10\vec{k}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=4\vec{i}+\vec{j}+9\vec{k}\\ &\textrm{Tentukanlah hasil}\: \: \vec{a}\times \vec{b}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\times \vec{a}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\vec{a}&\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 6 & 2 &10 \\ 4 & 1 &9 \end{vmatrix}\\ &=(18-10)\vec{i}-(54-40)\vec{j}+(6-8)\vec{k}\\ &=8\vec{i}-14\vec{j}-2\vec{k} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\vec{b}&\times \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 1 &9 \\ 6 & 2 &10 \end{vmatrix}\\ &=(10-18)\vec{i}-(40-54)\vec{j}+(8-6)\vec{k}\\ &=-8\vec{i}+14\vec{j}+2\vec{k} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah luas segitiga}\: \: ABC\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{diketahui}\: \: A(2,1,-2),\: B(0,-1,0),\: \: \textrm{dan}\\ &C(-1,2,-1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan luas segitiga}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |,\: \: \textrm{dengan}\\ &\begin{cases} \vec{p} & =\overline{AB}=\overline{OB}-\overline{OA}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ -2\\ 2 \end{pmatrix} \\ \vec{q} & =\overline{AC}=\overline{OC}-\overline{OA}=\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{cases}\\ &\begin{aligned}\vec{p}&\times \vec{q}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -2 & -2 &2 \\ -3 & 1 &1 \end{vmatrix}\\ &=(-2-2)\vec{i}-(-2-(-6))\vec{j}+(-2-6)\vec{k}\\ &=-4\vec{i}-4\vec{j}-8\vec{k}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |=\sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}+(-8)^{2}}\\ &\quad\qquad =\sqrt{16+16+64}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\\ &\textrm{Maka luas segi tiganya adalah}:\\ &\textrm{luas}\: \triangle ABC=\displaystyle \frac{1}{2}\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 4\sqrt{6} \right )=\color{red}2\sqrt{6} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Dot Product)

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui}\: \: \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ t \end{pmatrix},\\ & \textrm{jika}\: \: \overrightarrow{p}\: \: \textrm{tegak lurus}\: \: \overrightarrow{q},\: \: \textrm{maka tentukanlah}\\ &\textrm{nilai}\: \: t\: \: \textrm{adalah}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Karena}&\: \textrm{kedua vektor tersebut saling }\\ \textrm{tegak l}& \textrm{urus maka}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}&=0\\ \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ t \end{pmatrix}=0\\ (-2).4&+1.(-1)+3.t=0\\ -8-1&+3t=0\\ 3t&=9\\ t&=\color{red}3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{a}.\quad \left | \overrightarrow{a} \right |=4,\: \left | \overrightarrow{b} \right |=6,\: \: \angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )=60^{\circ}\\ &\textrm{b}.\quad \overrightarrow{a}=2\vec{i}+\vec{j}-5\vec{k}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=2\vec{i}-3\vec{k}\\ &\textrm{c}.\quad \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 4\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}&=\left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cos \angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )\\ &=4.6.\cos 60^{\circ}\\ &=24.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\\ &=12 \end{aligned}\\ &\textrm{b}.\quad \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.2+1.0+(-5).(-3)=4+15=19\\ &\textrm{c}.\quad \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0.4+(-1).(-2)+3.1=0+2+3=5 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8.&\textrm{Diketahui}\: \: \left |\vec{a} \right |=10,\: \left | \vec{b} \right |=3\\ & \textrm{dan}\: \: \vec{a}\bullet \vec{b}=15\sqrt{3}\: .\: \textrm{Tentukan sudut}\\ &\textrm{yang dibentuk oleh}\: \: \vec{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\textrm{Dari bentuk}\\ &\begin{aligned}\vec{a}\bullet \vec{b}&=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |\cos \theta \\ \textrm{dipe}&\textrm{roleh bentuk}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{15\sqrt{3}}{10.3}=\frac{15}{30}\sqrt{3}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos \theta&=\cos 30^{\circ}\\ \theta &=\color{red}30^{\circ}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{sudut antara keduanya adalah}\: \: \color{red}30^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Tentukanlah besar sudut antara vektor}\\ &\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\cos \theta &=\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}\\ &=\displaystyle \frac{-1-2+0}{\sqrt{2}\sqrt{9}}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &=-\cos 45^{\circ}\\ &=\cos \left ( 180^{\circ}-45^{\circ} \right )\\ \cos \theta &=\cos 135^{\circ}\\ \therefore \: \theta &=\color{red}135^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: \left |\overrightarrow{a} \right |=\sqrt{6} ,\: \: (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0\\ & \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=3.\: \textrm{Tentukanlah besar}\\ &\textrm{sudut antara}\: \: \overrightarrow{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Perhatikan}&\: \textrm{bahwa}\\ (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=0\\ \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}&=0\\ \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}&=\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}\quad \Rightarrow \quad \left | \overrightarrow{a} \right |=\overrightarrow{b}=\sqrt{6}\\ \textrm{dan}\quad \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=3\\ \left | \overrightarrow{a} \right |^{2}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3\\ 6-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3\\ -\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3-6=-3\\ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}&=3\\ \left | \overrightarrow{a} \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cos \theta &=3\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \cos \theta &=\cos 60^{\circ}\\ \therefore \: \: \theta &=\color{red}60^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{Berikut dua contoh untuk sudut tidak istimewa}$.

$\begin{array}{ll} 11.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a} =\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k},\: \: \textrm{dan}\\ & \vec{b}=3\vec{i}+4\vec{j}\: .\: \textrm{Tentukan sudut}\\ &\textrm{yang dibentuk oleh}\: \: \vec{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui bahwa}\\ \triangleright \quad &\vec{a} =\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{a} \right |=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3\\ \triangleright \quad &\vec{b}=3\vec{i}+4\vec{j}=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{b} \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}+0^{2}}=\sqrt{25}=5\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} \cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{a}\bullet \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}}{3.5}=\frac{3+8+0}{15}=\frac{11}{15}\\ \cos \theta&=0,733\\ \theta &=\color{red}\arccos \left ( \displaystyle 0.733 \right )\\ &\quad \textrm{gunakan alat bantu tabel trigonometri}\\ &\quad \textrm{atau kalkulator scientific}\\ &=42,9^{\circ}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{sudut antara keduanya adalah}\: \: 42,9^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{p} =(1,2,2),\: \: \textrm{dan}\\ & \vec{q}=(3,-2,6)\: .\: \textrm{Tentukan sudut}\\ &\textrm{yang dibentuk oleh}\: \: \vec{p}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{q}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui bahwa}\\ \triangleright \quad &\vec{p} =(1,2,2)=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{p} \right |=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3\\ \triangleright \quad &\vec{q}=(3,-2,6)=\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 6 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\left | \vec{q} \right |=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+6^{2}}=\sqrt{49}=7\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} \cos \theta &=\displaystyle \frac{\vec{p}\bullet \vec{q}}{\left | \vec{p} \right |\left | \vec{q} \right |}\\ \cos \theta &=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 6 \end{pmatrix}}{3.7}=\frac{3-4+12}{21}=\frac{11}{21}\\ \cos \theta&=0,524\\ \theta &=\color{red}\arccos \left ( \displaystyle 0.524 \right )\\ &\quad \textrm{gunakan alat bantu tabel trigonometri}\\ &\quad \textrm{atau kalkulator scientific}\\ &=58,4^{\circ}\\ \textrm{Jadi}&\: \textrm{sudut antara keduanya adalah}\: \: 58,4^{\circ} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Diketahui vektor}\: \: \overrightarrow{a}\: \: \textrm{dan}\: \: \overrightarrow{b}\: \: \textrm{memiliki }\\ &\textrm{panjang masing-masing adalah 2 dan 3}\\ &\textrm{serta}\: \: \angle \left ( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right )=60^{\circ}.\: \textrm{Carilah nilai}\\ &\textrm{a}.\quad \left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\\\\ &\textrm{b}.\quad \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\\ &\textrm{b}\quad \textrm{besar sudut antara}\\ &\qquad \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )\: \: \textrm{dan}\: \: \left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |^{2}\\ &=\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )\\ &=\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\\ &=\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cos 0^{\circ}+2\left |\overrightarrow{a} \right |\left |\overrightarrow{b} \right |\cos 60^{\circ}+\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}\cos 0^{\circ}\\ &=2^{2}.1+2.2.3.\displaystyle \frac{1}{2}+3^{2}.1\\ &=4+6+9=19\\ &\textrm{Jadi, nilainya adalah}\: \: \left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |=\color{red}\sqrt{19} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |^{2}\\ &=\left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\left ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )\\ &=\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}\\ &=\left | \overrightarrow{a} \right |^{2}\cos 0^{\circ}-2\left |\overrightarrow{a} \right |\left |\overrightarrow{b} \right |\cos 60^{\circ}+\left | \overrightarrow{b} \right |^{2}\cos 0^{\circ}\\ &=2^{2}.1-2.2.3.\displaystyle \frac{1}{2}+3^{2}.1\\ &=4-6+9=7\\ &\textrm{Jadi, nilainya adalah}\: \: \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |=\color{red}\sqrt{7} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{c}.\quad \textrm{Untuk menentukan nilai}&\\ \cos \angle \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )&=\displaystyle \frac{\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right ).\left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )}{\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |.\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}}{\sqrt{19}.\sqrt{7}}\\ &=\displaystyle \frac{2^{2}-3^{2}}{\sqrt{133}}=-\frac{5}{\sqrt{133}}\\ \angle \left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )&=\color{red}\arccos \left ( -\frac{5}{\sqrt{133}} \right ) \end{aligned} \end{array}$

$\color{blue}\textrm{Berikut contoh untuk bentuk sudutnya}$.

$\begin{array}{ll} 14.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{p} =(x,3,2),\: \: \textrm{dan}\\ & \vec{q}=(2,-6,3)\: .\: \textrm{Tentukan nilai}\: \: x\\ &\textrm{agar kedua vektor}\\ &\textrm{a}\quad \textrm{membentuk sudut lancip}\\ &\textrm{b}\quad \textrm{membentuk sudut siku-siku}\\ &\textrm{c}\quad \textrm{membentuk sudut tumpul}\\ &\textrm{d}\quad \textrm{sama panjang}\\\\ &\textbf{Jawab}\\ &\begin{aligned}\textrm{Dik}&\textrm{etahui bahwa}\\ \triangleright \quad &\vec{p} =(x,3,2)=\begin{pmatrix} x\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ \triangleright \quad &\vec{q}=(2,-6,3)=\begin{pmatrix} 2\\ -6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\vec{p}\bullet \vec{q}=\begin{pmatrix} x\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ -6\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\quad =2x-18+6=2x-12\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} \textrm{a}\quad&\textbf{Syarat lancip},\: \textrm{yaitu}:\: \vec{p}\bullet \vec{q}>0\\ &2x-12>0\Leftrightarrow 2x>12\Leftrightarrow x>6\\ \textrm{b}\quad&\textbf{Syarat siku-siku},\: \textrm{yaitu}:\: \vec{p}\bullet \vec{q}=0\\ &2x-12=0\Leftrightarrow 2x=12\Leftrightarrow x=6\\ \textrm{c}\quad&\textbf{Syarat tumpul},\: \textrm{yaitu}:\: \vec{p}\bullet \vec{q}<0\\ &2x-12<0\Leftrightarrow 2x<12\Leftrightarrow x<6\\ \textrm{d}\quad&\textbf{Syarat panjang kedua vektor sama}\\ & \textrm{yaitu}:\: \left |\vec{p} \right |= \left |\vec{q} \right |,\: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}&\sqrt{x^{2}+3^{2}+2^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-6)^{2}+3^{2}}\\ &x^{2}+9+4=4+36+9\\ &x^{2}=36\\ &x=\pm \sqrt{36}=\pm 6\\ &\textrm{Jadi},\: \color{red}x=-6\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: \color{red}x=6 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
2. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri, Sucipto, E. 2003. Buku Pelajaran Matematika SMU untuk Kelas 3 Program IPA. Jakarta: ERLANGGA.
4. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.