Ketaksamaan Muirhead

Ketaksamaan Muirhead

Diberikan  $a=(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n)$  dan   $b=(b_1,b_2,b_3,\cdots ,b_n)$ yang merupakan barisan bilangan real, dengan barisan  $a$ lebih utama dari barisan  $b$ dan selanjutnya dituliskan dengan  $a\succ b$ disebutkan demikian jika kedua barisan di atas memenuhi 3 kondisi berikut:

$\begin{array}{rl}1.& a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n\text{dan}{b}_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n\\ 2.& a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_k\\ 3.& a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_k,\\ & \text{untuk tiap}k,\text{dengan}:1\le k\le n\end{array}$.

Contoh:

$\begin{array}{rl}1.& (4,0,0)\succ (3,1,0)\\ 2.& (2,2,0)\succ (2,1,1)\\ 3.& (2,0,0,0)\text{⧸}\succ (1,1,0)\end{array}$.

Sebagai keterangan tambahan adalah:

• Jika  $(a)\succ (b)$, maka  $\left[a\right]\ge \left[b\right]$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika barisan a dan b identik atau semua sama untuk nilai $x_i$.
• Jika  (a) barisan bilangan real positif, $(x_n)\succ (y_n)$, maka  ${\displaystyle \sum _{sym}^{.}{a}_1^{x_1}{a}_2^{x_2}{a}_3^{x_3}\cdots a_n^{x_n}\ge {\displaystyle \sum _{sym}^{.}{a}_1^{y_1}{a}_2^{y_2}{a}_3^{y_3}\cdots a_n^{y_n}}}$. (untuk hal terkait symetri, silahkan klik link ini)