Lanjutan Materi Polinom (Teorema Sisa)

6. Teorema Sisa

Sebelumnya telah diketahui bahwa jika suatu polinom  $\mathbf{\text{P(x)}}$ dibagi oleh  $\mathbf{\text{g(x)}}$ dengan hasil bagi  $\mathbf{\text{h(x)}}$  dan sisa pembagian berupa  $\mathbf{\text{s(x)}}$, maka kondisi tersebut dapat dituliskan dengan

$P(x)=g(x)\times h(x)+s(x)$

Selanjutnya apabila  $\mathbf{\text{P(x)}}$  berderajat  $n$  dibagi oleh  $\mathbf{\text{g(x)}}$ berderajat  $m$, maka hasil bagi  $\mathbf{\text{h(x)}}$  akan berderajat  $n-m$  dan sisa pembagian maksimum berderajat $m-1$.

Perhatikan kembali contoh soal sebelumnya yaitu:

Dari paparan di atas apabila disederhanakan, maka:

$\begin{array}{rl}\text{Jika}& \text{polinomial}P(x)\text{dibagi oleh}\\ \text{1}.& g(x)=(x-a),s(x)=P(a)\\ \text{2}.& g(x)=(x+a),s(x)=P(-a)\\ \text{3}.& g(x)=(ax-b),s(x)=P\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)\\ \text{4}.& g(x)=(ax+b),s(x)=P(-{\displaystyle \frac{b}{a}})\\ \text{5}.& g(x)=(x-a)(x-b)\\ & s(x)={\displaystyle \frac{x-a}{b-a}P(b)+\frac{x-b}{a-b}P(a)}\\ \text{6}.& g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\\ & s(x)={\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}P(c)}\\ & +{\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}P(b)}\\ & +{\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}P(a)}\end{array}$.

Sebagai bukti dari beberapa properti formula di atas adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}& \text{Untuk formula no.1 di atas adalah:}\\ & \text{Pandang}:P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & \text{atau}P(x)=(x-a).h(x)+s(x)\\ & \text{substitusikan}x-a=0\text{atau}x=a\\ & \text{maka akan diperoleh bentuk}\\ & P(a)=(a-a).h(a)+s(x)=0+s(x)\\ & =s(x)\\ & \text{Jadi},s(x)=P(a)\text{(terbukti)}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Dan untuk formula no.3 di atas adalah}:\\ & \text{Pandang}:P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & \text{atau}P(x)=(ax-b).h(x)+s(x)\\ & \text{substitusikan}ax-b=0\text{atau}x={\displaystyle \frac{b}{a}}\\ & \text{maka akan diperoleh bentuk}\\ & P\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)=(a\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)-b).h\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)+s(x)\\ & =0+s(x)\\ & \text{Jadi},s(x)=P\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)\text{(terbukti)}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Untuk formula no.5 di atas}\\ & \text{Pandang}:P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & \text{anggap sisanya}s(x)=ux+v\\ & \text{atau}\\ & P(x)=(x-a)(x-b).h(x)+ux+v\\ & \text{substitusikan}x-a=0\text{atau}x=a\\ & \text{maka akan diperoleh bentuk}\\ & P(a)=(a-a)(a-b).h(a)+ua+v\\ & =0+ua+v=ua+v.....(1)\\ & \text{Demikian pula}\\ & P(b)=(a-b)(b-b).h(b)+ub+v\\ & =0+ub+v=ub+v.....(2)\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{r}\\ P(a)& =& ua+v\\ P(b)& =& ub+v& -\\ P(a)-P(b)& =& u(a-b)\\ {\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}& =& u\\ \text{atau}\\ u& =& {\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}\end{array}\\ & \text{dan}\\ & \begin{array}{rl}& P(a)=ua+v\\ & P(a)=\left({\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}\right)a+v\\ & \iff v=P(a)-\left({\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}\right)a\\ & \iff v={\displaystyle \frac{(a-b)}{(a-b)}P(a)-\left({\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}}\right)a}\\ & \iff v={\displaystyle \frac{aP(a)-bP(a)-aP(a)+aP(b)}{a-b}}\\ & \iff v={\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b}}\end{array}\\ & \text{Sehingga},\\ & \begin{array}{rl}s(x)& =ux+v\\ & ={\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}x+{\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b}}}\\ & ={\displaystyle \frac{P(a)x-P(b)x-bP(a)+aP(b)}{a-b}}\\ & ={\displaystyle \frac{(x-b)P(a)+(a-x)P(b)}{a-b}}\\ & ={\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b)}\end{array}\\ & \text{Jadi},\\ & s(x)={\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b)\text{(terbukti)}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\text{Pembagi Linear}$.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Tentukan sisa pembagian}\\ & 1.12x^4-40x^3+27x^2+13x-6\\ & \text{jika dibagi oleh}x+1\\ & 2.2x^3+4x^2-6x+7\text{jika dibagi}\\ & \text{oleh}x+1\\ & 3.3x^4-5x^2+4\text{jika dibagi}\\ & \text{oleh}{x}^2+2\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}1.& \text{Polinom}P(x)=12x^4-40x^3+27x^2+13x-6\\ & \text{dibagi}x+1,\text{artinya}\\ & P(-1)=12(-1{)}^4-40(-1{)}^3+27(-1{)}^2+13(-1)-6\\ & \iff P(-1)=12+40+27-13-6=60\end{array}\\ & \begin{array}{rl}2.& \text{Polinom}P(x)=2x^3+4x^2-6x+7\\ & \text{dibagi}x+1,\text{artinya}\\ & P\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+4{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-6{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+7\\ & \iff P\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=5\frac{1}{4}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}3.& \text{Polinom}P(x)=3x^4-5x^2+4\\ & \text{dibagi}{x}^2+2,\text{gunakan bentuk sederhana}\\ & \text{misa}{x}^2=n=-2,\text{maka}\\ & P(-2)=3(-2{)}^2-5(-2)+4\\ & \iff P(-2)=12+10+4=26\end{array}\end{array}$.

$\text{Pembagi Kuadrat}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ & \text{a}.(3x^3-7x^2-11x+4)\text{oleh}(x^2-x-2)\\ & \text{b}.(2x^3+5x^2-7x+3):(x^2-4)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & P(x)=g(x).h(x)+ax+b\\ & \text{dengan}\\ & P(x)=3x^3-7x^2-11x+4\\ & g(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)\\ & \text{maka}\\ & 3x^3-7x^2-11x+4\\ & =(x-2)(x+1).h(x)+ax+b\\ & \text{Selanjutnya kita substitusikan}\\ & \text{pembuat nol fungsi, yaitu}\\ & x=2\text{atau}x=-1,\text{maka}\\ & \bullet x=2\Rightarrow -22=0+2a+b....(1)\\ & \bullet x=-1\Rightarrow 5=0-a+b........(2)\\ & \text{perhatikan eliminasi berikut}\\ & \begin{array}{r}\\ 2a& +& b& =& -22\\ -a& +& b& =& 5& -\\ 3a& & & =& -27\\ a& & & =& -9\\ \text{maka}& & b& =& -4\end{array}\\ & \text{Jadi, sisanya}=s(x)=-9x-4\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Dengan cara yang semisal di atas}\\ & g(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)\\ & \text{dengan}s(x)=ax+b\\ & \text{maka}\\ & P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ & \bullet x=2\Rightarrow 25=2a+b......(1)\\ & \bullet x=-2\Rightarrow 21=-2a+b....(2)\\ & \text{perhatikan eliminasi berikut}\\ & \begin{array}{r}\\ 2a& +& b& =& 25\\ -2a& +& b& =& 21& -\\ 4a& & & =& 4\\ a& & & =& 1\\ \text{maka}& & b& =& 23\end{array}\\ & \text{Jadi, sisanya}=s(x)=x+23\end{array}\end{array}$.

$\text{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Tentukan sisa pembagian}\\ & 1.3x^4-2x^3+27x^2+x-7\\ & \text{jika dibagi oleh}x-2\\ & 2.x^3+5x^2-3x-16\text{jika dibagi}\\ & \text{oleh}x+1\\ & 3.3x^4-5x^2+4\text{jika dibagi}\\ & \text{oleh}{x}^2-2\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ & \text{a}.(x^3-6x^2+3x-2):(x^2-3x+2)\\ & \text{b}.(x^3+2x^2-4):(x^2-9)\\ & \text{c}.(4x^3-x^2+7x+1):(x^2-x-2)\\ & \text{d}.(2x^4-2x^2-7):(x^2+x-6)\\ & \text{e}.(x^3+4x^2-x+2):(x^2+2x-3)\\ & \text{f}.(4x^3-x^2+4x-1):(x^2+2x-15)\\ & \text{g}.(2x^3-6x^2-5x+3):(2x^2-7x-4)\\ & \text{h}.(x^4-x^3+5):(x^2+4)\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 5.& \text{Polinom}f(x)=2x^3+p{x}^2+qx-7\text{saat}\\ & \text{dibagi}{x}^2+2x-3\text{bersisa}-4x-1.\\ & \text{Nilai}p-q=....\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 6.& (\mathbf{\text{SBMPTN 2015 Matematika IPA}})\\ & \text{Sisa pembagian}A{x}^{2014}+x^{2015}-B(x-2{)}^2\\ & \text{oleh}{x}^2-1\text{adalah}5x-4.\text{Nilai}A+B=....\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.& \text{Suatu perusahaan mulai beroperasi 1 Juni 2016}\\ & \text{Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut}\\ & \text{setelah}t\text{tahun adalah sebesar}x\text{juta rupiah}\\ & \text{dengan definisi fungsi}x\text{sebagai berikut}\\ & x=250.000+90.000t+3.000t^2\\ & \text{Tentukan}\\ & \text{a}.\text{Berapa besar pendapatkan kotor perusahaan}\\ & \text{tersebut pada awal}\text{Juni 2021}?\\ & \text{b}.\text{Setelah berapa tahun perusahaan tersebut}\\ & \text{akan memeperoleh pendapatan sebesar}\\ & 2.125\text{miliar rupiah}?\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.& \text{Suatu gelombang udara bergerak mendekati}\\ & \text{sebuah kota}.\text{Jika suhu}t\text{jam setelah tengah}\\ & \text{malam adalah}T\text{yang diformulasikan}\\ & T=0,01(400-40t+t^2),0\le t\le 10\\ & \text{Tentukan}\\ & \text{a}.\text{Berapa besar suhu di kota tersebut pada}\\ & \text{pukul}05.00\text{pagi}?\\ & \text{b}.\text{Pada pukul berapa suhu di kota tersebut}\\ & \text{mencapai}{15}^{\circ }C?\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA