6. Teorema Sisa
Sebelumnya telah diketahui bahwa jika suatu polinom $\textbf{P(x)}$ dibagi oleh $\textbf{g(x)}$ dengan hasil bagi $\textbf{h(x)}$ dan sisa pembagian berupa $\textbf{s(x)}$, maka kondisi tersebut dapat dituliskan dengan
$P(x)=g(x)\times h(x)+s(x)$
Selanjutnya apabila $\textbf{P(x)}$ berderajat $\color{blue}n$ dibagi oleh $\textbf{g(x)}$ berderajat $\color{blue}m$, maka hasil bagi $\textbf{h(x)}$ akan berderajat $\color{blue}n-m$ dan sisa pembagian maksimum berderajat $\color{blue}m-1$.
Perhatikan kembali contoh soal sebelumnya yaitu:
Dari paparan di atas apabila disederhanakan, maka:
$\begin{aligned}\textrm{Jika}\: &\textrm{polinomial}\: \: P(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\\ \textrm{1}.\quad&g(x)=(x-a),\: \: s(x)=\color{red}P(a)\\ \textrm{2}.\quad&g(x)=(x+a),\: \: s(x)=\color{red}P(-a)\\ \textrm{3}.\quad&g(x)=(ax-b),\: \: s(x)=\color{red}P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{4}.\quad&g(x)=(ax+b),\: \: s(x)=\color{red}P\left (- \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{5}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{x-a}{b-a}\color{red}P(b)\color{black}+\frac{x-b}{a-b}\color{red}P(a)\\ \textrm{6}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}\color{red}P(c)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}\color{red}P(b)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\color{red}P(a) \end{aligned}$.
Sebagai bukti dari beberapa properti formula di atas adalah sebagai berikut
$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Untuk formula no.1 di atas adalah:}\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{atau}\: \: \color{red}P(x)=(x-a).h(x)+s(x)\\ &\textrm{substitusikan}\: \: x-a=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=a\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P(a)=(a-a).h(a)+s(x)=0+s(x)\\ &\qquad\, =s(x)\\ &\textrm{Jadi},\: \: s(x)=P(a)\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.
$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Dan untuk formula no.3 di atas adalah}:\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{atau}\: \: \color{red}P(x)=(ax-b).h(x)+s(x)\\ &\textrm{substitusikan}\: \: ax-b=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=\displaystyle \frac{b}{a}\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )=\left (a\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )-b \right ).h\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )+s(x)\\ &\qquad\quad\, =0+s(x)\\ &\textrm{Jadi},\: \: s(x)=P\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.
$\begin{aligned}&\color{blue}\textrm{Untuk formula no.5 di atas}\\ &\textrm{Pandang}:\: P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\textrm{anggap sisanya}\: \: s(x)=ux+v\\ &\textrm{atau}\\ &\color{red}P(x)=(x-a)(x-b).h(x)+ux+v\\ &\textrm{substitusikan}\: \: x-a=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=a\\ &\textrm{maka akan diperoleh bentuk}\\ &P(a)=(a-a)(a-b).h(a)+ua+v\\ &\qquad\, =0+ua+v=ua+v\: .....(1)\\ &\textrm{Demikian pula}\\ &P(b)=(a-b)(b-b).h(b)+ub+v\\ &\qquad\, =0+ub+v=ub+v\: .....(2)\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{rllll}\\ P(a)&=&ua+v\\ P(b)&=&ub+v&-\\\hline P(a)-P(b)&=&u(a-b)\\ \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}&=&u\\ \textrm{atau}\\ u&=&\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \end{array}\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{aligned}&P(a)=ua+v\\ &P(a)=\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a+v\\ &\Leftrightarrow v=P(a)-\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a\\ &\Leftrightarrow v=\displaystyle \frac{(a-b)}{(a-b)}P(a)-\left ( \displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b} \right )a\\ &\Leftrightarrow v=\displaystyle \frac{aP(a)-bP(a)-aP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &\Leftrightarrow v=\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b} \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga},\\ &\begin{aligned}s(x)&=ux+v\\ &=\displaystyle \frac{P(a)-P(b)}{a-b}x+\displaystyle \frac{-bP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &=\displaystyle \frac{P(a)x-P(b)x-bP(a)+aP(b)}{a-b}\\ &=\displaystyle \frac{(x-b)P(a)+(a-x)P(b)}{a-b}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b) \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\\ &s(x)=\displaystyle \frac{a-b}{x-b}P(a)+\frac{x-a}{b-a}P(b)\qquad \textrm{(terbukti)} \end{aligned}$.
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.
$\colorbox{yellow}{Pembagi Linear}$.
$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukan sisa pembagian}\\ &1.\quad 12x^{4}-40x^{3}+27x^{2}+13x-6\\ &\qquad \textrm{jika dibagi oleh}\: \: \: x+1\\ &2.\quad 2x^{3}+4x^{2}-6x+7\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x+1\\ &3.\quad 3x^{4}-5x^{2}+4\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x^{2}+2\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}1.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=12x^{4}-40x^{3}+27x^{2}+13x-6\\ &\textrm{dibagi}\: \: x+1,\: \textrm{artinya}\\&P(-1)=12(-1)^{4}-40(-1)^{3}+27(-1)^{2}+13(-1)-6\\&\Leftrightarrow P(-1)=12+40+27-13-6=\color{red}60 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}2.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=2x^{3}+4x^{2}-6x+7\\ &\textrm{dibagi}\: \: x+1,\: \textrm{artinya}\\ &P\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=2\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}+4\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}-6\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+7\\&\Leftrightarrow P\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=\color{red}5\frac{1}{4} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}3.\quad &\textup{Polinom}\: \: P(x)=3x^{4}-5x^{2}+4\\ &\textrm{dibagi}\: \: x^{2}+2,\: \textrm{gunakan bentuk sederhana}\\ &\textrm{misa}\: \: x^{2}=n=-2,\: \: \textrm{maka}\\ &P(-2)=3(-2)^{2}-5(-2)+4\\ &\Leftrightarrow P(-2)=12+10+4=\color{red}26 \end{aligned} \end{array}$.
$\colorbox{yellow}{Pembagi Kuadrat}$.
$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ &\textrm{a}.\quad (3x^{3}-7x^{2}-11x+4)\: \: \textrm{oleh}\: \: (x^{2}-x-2)\\ &\textrm{b}.\quad (2x^{3}+5x^{2}-7x+3):(x^{2}-4)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &P(x)=g(x).h(x)+ax+b\\ &\textrm{dengan}\\ &P(x)=3x^{3}-7x^{2}-11x+4\\ &g(x)=x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)\\ &\textrm{maka}\\ &\color{red}3x^{3}-7x^{2}-11x+4\\ &=(x-2)(x+1).h(x)+\color{blue}ax+b\\ &\textrm{Selanjutnya kita substitusikan}\\ &\textrm{pembuat nol fungsi, yaitu}\\ &x=2\: \: \textrm{atau}\: \: x=-1,\: \: \textrm{maka}\\ &\bullet \: \: x=2\Rightarrow -22=0+2a+b\: ....(1)\\ &\bullet \: \: x=-1\Rightarrow 5=0-a+b\: ........(2)\\ &\color{red}\textrm{perhatikan eliminasi berikut}\\ &\begin{array}{rlllll}\\ 2a&+&b&=&-22\\ -a&+&b&=&5&-\\\hline 3a&&&=&-27\\ a&&&=&-9\\ \textrm{maka}&&b&=&-4\end{array}\\ &\textrm{Jadi, sisanya}=s(x)=\color{red}-9x-4 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan cara yang semisal di atas}\\ &g(x)=x^{2}-4=(x-2)(x+2)\\ &\textrm{dengan}\: \: s(x)=\color{blue}ax+b\\ &\textrm{maka}\\ &P(x)=g(x).h(x)+s(x)\\ &\bullet \: \: x=2\Rightarrow 25=2a+b\: ......(1)\\ &\bullet \: \: x=-2\Rightarrow 21=-2a+b\: ....(2)\\ &\color{red}\textrm{perhatikan eliminasi berikut}\\ &\begin{array}{rlllll}\\ 2a&+&b&=&25\\ -2a&+&b&=&21&-\\\hline 4a&&&=&4\\ a&&&=&1\\ \textrm{maka}&&b&=&23\end{array}\\ &\textrm{Jadi, sisanya}=s(x)=\color{red}x+23 \end{aligned} \end{array}$.
$\LARGE\colorbox{yellow}{LATIHAN SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukan sisa pembagian}\\ &1.\quad 3x^{4}-2x^{3}+27x^{2}+x-7\\ &\qquad \textrm{jika dibagi oleh}\: \: \: x-2\\ &2.\quad x^{3}+5x^{2}-3x-16\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x+1\\ &3.\quad 3x^{4}-5x^{2}+4\: \: \textrm{jika dibagi}\\ &\qquad \textrm{oleh}\: \: \: x^{2}-2 \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan sisa pembagian suku banyak}\\ &\textrm{a}.\quad (x^{3}-6x^{2}+3x-2): (x^{2}-3x+2)\\ &\textrm{b}.\quad (x^{3}+2x^{2}-4):(x^{2}-9)\\ &\textrm{c}.\quad (4x^{3}-x^{2}+7x+1):(x^{2}-x-2)\\ &\textrm{d}.\quad (2x^{4}-2x^{2}-7):(x^{2}+x-6)\\ &\textrm{e}.\quad (x^{3}+4x^{2}-x+2):(x^{2}+2x-3)\\ &\textrm{f}.\quad (4x^{3}-x^{2}+4x-1):(x^{2}+2x-15)\\ &\textrm{g}.\quad (2x^{3}-6x^{2}-5x+3):(2x^{2}-7x-4)\\ &\textrm{h}.\quad (x^{4}-x^{3}+5):(x^{2}+4) \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 5. &\textrm{Polinom}\: \: f(x)=2x^{3}+px^{2}+qx-7\: \: \textrm{saat}\\ &\textrm{dibagi}\: \: x^{2}+2x-3\: \: \textrm{bersisa}\: \: -4x-1.\\ &\textrm{Nilai}\: \: p-q=\: .... \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 6.&(\textbf{SBMPTN 2015 Matematika IPA})\\ &\textrm{Sisa pembagian}\: \: Ax^{2014}+x^{2015}-B(x-2)^{2}\\ &\textrm{oleh}\: \: x^{2}-1\: \: \textrm{adalah}\: \: 5x-4.\: \: \textrm{Nilai}\: \: A+B=\: .... \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 7. &\textrm{Suatu perusahaan mulai beroperasi 1 Juni 2016}\\ &\textrm{Pendapatan kotor tahunan perusahaan tersebut}\\ &\textrm{setelah}\: \: t\: \: \textrm{tahun adalah sebesar}\: \: x\: \: \textrm{juta rupiah}\\ &\textrm{dengan definisi fungsi}\: \: x\: \: \textrm{sebagai berikut}\\ &\qquad x=250.000+90.000t+3.000t^{2}\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Berapa besar pendapatkan kotor perusahaan}\\ &\qquad \textrm{tersebut pada awal}\: \: \textrm{Juni 2021}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Setelah berapa tahun perusahaan tersebut}\\ &\qquad \textrm{akan memeperoleh pendapatan sebesar}\\ &\qquad 2.125\: \textrm{miliar rupiah}? \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 8. &\textrm{Suatu gelombang udara bergerak mendekati}\\ &\textrm{sebuah kota}.\: \textrm{Jika suhu}\: \: t\: \: \textrm{jam setelah tengah}\\ &\textrm{malam adalah}\: \: T\: \: \textrm{yang diformulasikan}\\ &\qquad T=0,01(400-40t+t^{2}),\: \: 0\leq t\leq 10\\ &\textrm{Tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Berapa besar suhu di kota tersebut pada}\\ &\qquad \textrm{pukul}\: \: 05.00\: \: \textrm{pagi}?\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Pada pukul berapa suhu di kota tersebut}\\ &\qquad \textrm{mencapai}\: \: 15^{\circ}C? \end{array}$.
DAFTAR PUSTAKA
- Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
- Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
- Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi