$\color{blue}\textrm{C. Operasi Pada Polinom}$
$\textbf{1. Kesamaan dua buah polinom}$
Dua buah polinom dikatakan sama jika keduanya memiliki pangkat/derajat sama dan koefisien-koefisien suku yang sejenis juga sama.
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{aligned}1.\quad \textrm{Misalkan diketahui}\: \quad&\\\color{red}x^{4}+Ax^{3}-4x^{2}-10x+3&=\color{red}(x^{2}+2x+3)(x^{2}+Bx+1)\\ x^{4}+Ax^{3}-4x^{2}-10x+3&=x^{4}+(B+2)x^{3}+(2B+4)x^{2}\\ &+(3B+2)x+3\\ \textrm{Elemen yang bersesuaian}&\\ \textrm{untuk}\: \: x^{1}\: :\: \color{red}-10&=\color{red}3B+2\\ \textrm{maka}\: \: \: B& =4\\ \textrm{untuk}\: \: x^{3}\: :\: \color{red}A&=\color{red}B+2\\ A&=-2 \end{aligned}$.
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: m\: \: \textrm{dan}\: \: n,\: \textrm{jika diketahui}\\ &\displaystyle \color{red}\frac{m}{x+1}+\frac{n}{x-2}=\frac{3x+4}{x^{2}-x-2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Kalikan kedua ruas dengan}\\ &\color{red}x^{2}-x-2\: \: \color{black}\textrm{atau}\: \: \color{red}(x+1)(x-2)\\ &\textrm{maka}\\ &\color{red}3x+4=m(x-2)+n(x+1)\\ &\Leftrightarrow 3x+4=(m+n)x+(-2m+n)\\ &\textrm{Dari bentuk kesamaan di atas didapatkan}\\ &\color{red}m+n=3\\ &\color{red}-2m+n=4\\ &\textrm{Dengan eliminasi substitusi akan}\\ &\textrm{didapatkan nilai}\: \: m=-\displaystyle \frac{1}{3}\: \: \textrm{dan}\: \: n=\frac{10}{3} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui kesamaan dua polinom}\\ &\displaystyle \color{red}5x^{2}-2x+3=ax^{2}+(b+c)x+7(b-c)\\ &\textrm{Tentukan nilai}\: \: a+8b-6c\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dari soal diketahui bahwa}\\ &\begin{cases} a &=5 \\ b+c &=-2 \\ 7(b-c) &=3 \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &7b+7c=-14\\ &7b-7c=3\qquad +\\\hline &14b=-11\Rightarrow b=-11/14\\ &\textrm{dan}\\ &7b+7c=-14\\ &7b-7c=3\qquad -\\\hline &14c=-17\Rightarrow c=-17/14\\ &\textrm{maka nilai}\: \: a+8b-6c\\ &=\color{red}5+8\left ( \displaystyle \frac{-11}{14} \right )-6\left (-\displaystyle \frac{17}{14} \right )\\ &=\color{red}5+\displaystyle \frac{14}{14}\color{black}=\color{red}5+1\color{black}=\color{red}6 \end{array}$.
$\textbf{2. Penjumlahan}$
Dua polinom dapat dijumlahkan jika hanya jika suku-sukunya sejenis, jika tidak maka tidak bisa
$\textbf{3. Pengurangan}$
Pada operasi pengurangan juga juga berlaku seperti pada operasi penjumlahan, yaitu pengurangan hanya bisa terjadi pada suku-suku yang sejenis saja yang lainnya tidak dapat dilakukan.
$\textbf{4. Perkalian}$
Pada jenis operasi ini dilakukan seperti mengalikan biasa yaitu mengalikan semua suku-suku secara distribusi dari kedua polinom tersebut.
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui 2 suku banyak berikut}\\ &\begin{cases} p(x) &=x^{3}+2x^{2}+x-1 \\ q(x) &=x^{4}+5x+2 \end{cases}\\ &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{penjumlahan keduanya}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{pengurangan}\: \: p(x)\: \: \textrm{oleh}\: \: q(x)\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{lllllllllll}\\ p(x)=&&x^{3}&+&2x^{2}&+&x&-&1&\\ q(x)=&x^{4}&&&&+&5x&+&2&(+)\\\hline &\color{red}x^{4}\: +&\color{red}x^{3}&+&\color{red}2x^{2}&+&\color{red}6x&+&\color{red}1& \end{array}\\ &\textrm{poin b Silahkan dicoba sebagai latihan} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah hasil kali perkalian}\\ &\textrm{dari dua polinom berikut}\\ &\textrm{a}.\quad 3x(-5x^{2})\\ &\textrm{b}.\quad 2a(7a-3)\\ &\textrm{c}.\quad (x+2)(x-5)\\ &\textrm{d}.\quad (3t-2)(2t^{2}-5t+3)\\ &\textrm{e}.\quad (5a^{2}+2)(5a^{2}-2)\\ &\textrm{f}.\quad (x^{3}-2x)(x^{2}+3x-4)\\ &\textrm{g}.\quad (2a^{3}+1)(-a-3)^{2}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&3x(-5x^{2})=-3.5x^{1+2}=\color{red}-15x^{3}\\ \textrm{b}.\quad&2a(7a-3)=2.7a^{1+1}-2.3a=\color{red}14a^{2}-6a\\ &\color{blue}\textrm{Selanjutnya kita langsungkan saja}\\ \textrm{c}.\quad&(x+2)(x-5)=x^{2}+(2-5)x-2.5\\ &\qquad\qquad \qquad\: =\color{red}x^{2}-3x-10\\ \textrm{d}.\quad&(3t-2)(2t^{2}-5t+3)\\ &\qquad = 6t^{3}-15t^{2}+9t-4t^{2}+10t-6\\ &\qquad = \color{red}6t^{3}-19t^{2}+19t-6\\ \textrm{e}.\quad&(5a^{2}+2)(5a^{2}-2)\\ &\qquad = 25a^{4}-10x^{2}+10a^{2}-4\\ &\qquad =\color{red}25a^{4}-4\\ \textrm{f}.\quad&(x^{3}-2x)(x^{2}+3x-4)\\ &x^{5}+3x^{4}-4x^{3}-2x^{3}-6x^{2}+8x\\ &\qquad =\color{red}x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-6x^{2}+8x\\ \textrm{g}.\quad&(2a^{2}+1)(-a-3)^{2}\\ &\qquad =(2a^{2}+1)(a^{2}+6a+9)\\ &\qquad =2a^{4}+12a^{3}+18a^{2}+a^{2}+6a+9\\ &\qquad =\color{red}2a^{4}+12a^{3}+19a^{2}+6a+9 \end{aligned} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah hasil dari perkalian}\\ &\textrm{dua polinom berikut}\\ &\textrm{a}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{2}-x-1 \\ q(x) &=x^{2}+x+1 \end{cases}\\\\ &\textrm{b}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{5}+3x^{3}-x-1 \\ q(x) &=x^{4}+2x+1 \end{cases}\\\\ &\textrm{c}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{6}+3x-6 \\ q(x) &=x^{3}-6x+3 \end{cases}\\\\ &\textrm{d}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{2020}-x \\ q(x) &=x^{2}+x-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{e}.\quad \begin{cases} p(x) &=x^{2021}-1 \\ q(x) &=x^{2019}+1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Poin a sampai d silahkan dicoba}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\begin{cases} p(x) &=x^{2021}-1 \\ q(x) &=x^{2019}+1 \end{cases}\\ &\textrm{maka}\: \: p(x)\times q(x)\\ &=\left ( x^{2021}-1 \right )\times \left ( x^{2019}+1 \right )\\ &=x^{2021+2019}+1\times x^{2021}-1\times x2019-1\times 1\\ &=\color{red}x^{4040}+x^{2021}-x^{2019}-1 \end{aligned} \end{array}$
$\textbf{5. Pembagian}$
Perhatikanlah ilustrasi pembagian bersusun panjang berikut
Misalkan untuk pembagian $x^{3}+4x^{2}-2x+4$ oleh $x-1$ adalah sebagai berikut:
Catatan hasil bagi adalah pada contoh no.1 s.d 3 adalah pada tiap pembahasan di tiap nomornya adalah terletak di bagian atas (berwarna biru) dan sisa pembagiannya adalah yang terletak di bagian paling bawah (berwarna merah).
DAFTAR PUSTAKA
- Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
- Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
- Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi