Operasi Polinom

 $\text{C. Operasi Pada Polinom}$

$\mathbf{\text{1. Kesamaan dua buah polinom}}$

Dua buah polinom dikatakan sama jika keduanya memiliki pangkat/derajat  sama dan koefisien-koefisien suku yang sejenis juga sama.

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{rl}1.\text{Misalkan diketahui}& \\ x^4+A{x}^3-4x^2-10x+3& =(x^2+2x+3)(x^2+Bx+1)\\ x^4+A{x}^3-4x^2-10x+3& =x^4+(B+2)x^3+(2B+4)x^2\\ & +(3B+2)x+3\\ \text{Elemen yang bersesuaian}& \\ \text{untuk}{x}^1:-10& =3B+2\\ \text{maka}B& =4\\ \text{untuk}{x}^3:A& =B+2\\ A& =-2\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah nilai}m\text{dan}n,\text{jika diketahui}\\ & {\displaystyle \frac{m}{x+1}+\frac{n}{x-2}=\frac{3x+4}{x^2-x-2}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Kalikan kedua ruas dengan}\\ & x^2-x-2\text{atau}(x+1)(x-2)\\ & \text{maka}\\ & 3x+4=m(x-2)+n(x+1)\\ & \iff 3x+4=(m+n)x+(-2m+n)\\ & \text{Dari bentuk kesamaan di atas didapatkan}\\ & m+n=3\\ & -2m+n=4\\ & \text{Dengan eliminasi substitusi akan}\\ & \text{didapatkan nilai}m=-{\displaystyle \frac{1}{3}\text{dan}n=\frac{10}{3}}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Diketahui kesamaan dua polinom}\\ & {\displaystyle 5x^2-2x+3=a{x}^2+(b+c)x+7(b-c)}\\ & \text{Tentukan nilai}a+8b-6c\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Dari soal diketahui bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}a& =5\\ b+c& =-2\\ 7(b-c)& =3\end{array}\\ & \text{maka}\\ & 7b+7c=-14\\ & 7b-7c=3+\\ & 14b=-11\Rightarrow b=-11/14\\ & \text{dan}\\ & 7b+7c=-14\\ & 7b-7c=3-\\ & 14c=-17\Rightarrow c=-17/14\\ & \text{maka nilai}a+8b-6c\\ & =5+8\left({\displaystyle \frac{-11}{14}}\right)-6(-{\displaystyle \frac{17}{14}})\\ & =5+{\displaystyle \frac{14}{14}=5+1=6}\end{array}$.

$\mathbf{\text{2. Penjumlahan}}$

 Dua polinom dapat dijumlahkan jika hanya jika suku-sukunya sejenis, jika tidak maka tidak bisa

$\mathbf{\text{3. Pengurangan}}$

Pada operasi pengurangan juga juga berlaku seperti pada operasi penjumlahan, yaitu pengurangan hanya bisa terjadi pada suku-suku yang sejenis saja yang lainnya tidak dapat dilakukan.

$\mathbf{\text{4. Perkalian}}$

Pada jenis operasi ini dilakukan seperti mengalikan biasa yaitu mengalikan semua suku-suku secara distribusi dari kedua polinom tersebut.

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui 2 suku banyak berikut}\\ & \{\begin{array}{ll}p(x)& =x^3+2x^2+x-1\\ q(x)& =x^4+5x+2\end{array}\\ & \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{penjumlahan keduanya}\\ & \text{b}.\text{pengurangan}p(x)\text{oleh}q(x)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{l}\\ p(x)=& & x^3& +& 2x^2& +& x& -& 1& \\ q(x)=& x^4& & & & +& 5x& +& 2& (+)\\ & x^4+& x^3& +& 2x^2& +& 6x& +& 1& \end{array}\\ & \text{poin b Silahkan dicoba sebagai latihan}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah hasil kali perkalian}\\ & \text{dari dua polinom berikut}\\ & \text{a}.3x(-5x^2)\\ & \text{b}.2a(7a-3)\\ & \text{c}.(x+2)(x-5)\\ & \text{d}.(3t-2)(2t^2-5t+3)\\ & \text{e}.(5a^2+2)(5a^2-2)\\ & \text{f}.(x^3-2x)(x^2+3x-4)\\ & \text{g}.(2a^3+1)(-a-3{)}^2\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& 3x(-5x^2)=-3.5x^{1+2}=-15x^3\\ \text{b}.& 2a(7a-3)=2.7a^{1+1}-2.3a=14a^2-6a\\ & \text{Selanjutnya kita langsungkan saja}\\ \text{c}.& (x+2)(x-5)=x^2+(2-5)x-2.5\\ & =x^2-3x-10\\ \text{d}.& (3t-2)(2t^2-5t+3)\\ & =6t^3-15t^2+9t-4t^2+10t-6\\ & =6t^3-19t^2+19t-6\\ \text{e}.& (5a^2+2)(5a^2-2)\\ & =25a^4-10x^2+10a^2-4\\ & =25a^4-4\\ \text{f}.& (x^3-2x)(x^2+3x-4)\\ & x^5+3x^4-4x^3-2x^3-6x^2+8x\\ & =x^5+3x^4-6x^3-6x^2+8x\\ \text{g}.& (2a^2+1)(-a-3{)}^2\\ & =(2a^2+1)(a^2+6a+9)\\ & =2a^4+12a^3+18a^2+a^2+6a+9\\ & =2a^4+12a^3+19a^2+6a+9\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah hasil dari perkalian}\\ & \text{dua polinom berikut}\\ & \text{a}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^2-x-1\\ q(x)& =x^2+x+1\end{array}\\ \\ & \text{b}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^5+3x^3-x-1\\ q(x)& =x^4+2x+1\end{array}\\ \\ & \text{c}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^6+3x-6\\ q(x)& =x^3-6x+3\end{array}\\ \\ & \text{d}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^{2020}-x\\ q(x)& =x^2+x-1\end{array}\\ \\ & \text{e}.\{\begin{array}{ll}p(x)& =x^{2021}-1\\ q(x)& =x^{2019}+1\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Poin a sampai d silahkan dicoba}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Diketahui bahwa}\\ & \{\begin{array}{ll}p(x)& =x^{2021}-1\\ q(x)& =x^{2019}+1\end{array}\\ & \text{maka}p(x)\times q(x)\\ & =(x^{2021}-1)\times (x^{2019}+1)\\ & =x^{2021+2019}+1\times x^{2021}-1\times x2019-1\times 1\\ & =x^{4040}+x^{2021}-x^{2019}-1\end{array}\end{array}$

$\mathbf{\text{5. Pembagian}}$

Perhatikanlah ilustrasi pembagian bersusun panjang berikut

Misalkan untuk pembagian  $x^3+4x^2-2x+4$  oleh   $x-1$ adalah sebagai berikut:

Selanjutnya dari caontoh di atas kita mendapatkan, 

$\begin{array}{rl}{x}^3& +4x^2-2x+4\\ & =(x-1)(x^2+5x+3)+7\end{array}$

Sehingga dari uraian di atas secara umum pembagian polinom dapat dinyatakan bahwa:

$\text{Polinomial}=\text{Pembagi}\times \text{Hasil bagi}+\text{Sisa}$

$\mathbf{\text{a. Pembagian bentuk}}(x-h)$

$\mathbf{\text{b. Pembagian bentuk}}(ax+b)$

$\mathbf{\text{c. Pembagian bentuk}}(a{x}^2+bx+c)$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian}\\ & \text{jika}{x}^3+4x^2-2x+4\text{oleh}x-1\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian}\\ & \text{jika}4x^3-8x^2-x+5\text{oleh}2x-1\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian}\\ & \text{jika}{x}^4-2x^2-13x-19\text{oleh}{x}^2-2x-3\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \end{array}$

Catatan hasil bagi adalah pada contoh no.1 s.d 3 adalah pada tiap pembahasan di tiap nomornya adalah terletak di bagian atas (berwarna biru) dan sisa pembagiannya adalah yang terletak di bagian paling bawah (berwarna merah).

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA