Menemukan Konsep Sederhana Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Dari gambar di atas, misalkan sebuah lingkaran yang berpusat di titik $S$  dengan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran yang masih-masing memiliki koordinat $(a,0)$ dan $(b,0)$. Dari sani koordinat titik S adalah $\left({\displaystyle \frac{a+b}{2},0}\right)$. Selain itu terdapat garis singgung lingkaran melalui sebuah titik di luar lingkaran tersebut sebagaimana ilustrasi gambar di atas yaitu titik $O(0,0)$.

$\begin{array}{|l|}\hline \begin{array}{rl}1.TS& =BS=OS-OB=\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)-b\\ & ={\displaystyle {\displaystyle \frac{a-b}{2}}}\end{array}\\ \begin{array}{rl}2.OT& =\sqrt{O{S}^2-T{S}^2}\\ & =\sqrt{{\left({\displaystyle {\displaystyle \frac{a+b}{2}}}\right)}^2-{\left({\displaystyle {\displaystyle \frac{a-b}{2}}}\right)}^2}\\ & =\sqrt{ab}\end{array}\\ \begin{array}{rl}3.TP& =...\\ & \text{Kita gunakan luas}\mathrm{△}OTS\\ & OS\times TP=OT\times TS\\ & TP={\displaystyle \frac{OT\times TS}{OS}=\sqrt{ab}\left({\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}\right)}\\ & \begin{array}{rl}4.OP& =\sqrt{O{T}^2-P{T}^2}\\ & =\sqrt{{\left(\sqrt{ab}\right)}^2-{\left(\sqrt{ab}\right)}^2{\left({\displaystyle {\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}\right)}^2}\\ & =\sqrt{ab(1-{\left({\displaystyle \frac{a-b}{a+}}\right)}^2)}\\ & =\sqrt{ab\left(\frac{4ab}{(a+b{)}^2}\right)}\\ & ={\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}\end{array}\\ & \begin{array}{rl}5.OK& =\sqrt{O{S}^2+S{K}^2}\\ & =\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)}^2}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}}\end{array}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

 Perhatikan bahwa dari ilustrasi gambar lingkaran beserta hal-hal yang terkait dengan lingkaran tersebut termasuk garis sinngungnya melalui sebuah titik di luar lingkaran, maka

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{array}{rl}& \left|OB\right|<\left|OP\right|<\left|OT\right|<\left|OS\right|<\left|OK\right|<\left|OA\right|\\ & \text{maka}\\ & b<{\displaystyle \frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<{\displaystyle \frac{a+b}{2}<\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}}<b}}\\ & \text{Selanjutnya dapat dituliskan sebagai bentuk}\\ & b<{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}<\sqrt{ab}<{\displaystyle \frac{a+b}{2}<\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}}<b}}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Bentuk akhir pada tabel terakhir di atas selanjutnya yang kita kenal dengan ketaksamaan HM-GM-AM-QM

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan diberikan}{x}_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n\\ & \text{bilangan real positif, maka hubungan }\\ & \text{ketaksamaan}\text{QM-AM-GM-HM}\\ & \text{dapat dituliskan}\\ & \begin{array}{rl}\bullet & \text{QM}(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)=\sqrt{{\displaystyle \frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots +x_n^2}{n}}}\\ & QuadraticMean(\text{rata-rata kuadrat})\\ \bullet & \text{AM}(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)={\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}}\\ & ArithmeticMean(\text{rata-rata aritmetika})\\ \bullet & \text{GM}(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1.x_2.x_3\cdots x_n}\\ & GeometricMean(\text{rata-rata geometri})\\ \bullet & \text{HM}(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)={\displaystyle \frac{n}{{\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}}\\ & HarmonicMean(\text{rata-rata harmoni})\end{array}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika}a,b\text{bilangan real positif bahwa}\\ & (a+b)\left({\displaystyle \frac{1}{a}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}\right)\ge 4\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \text{Alternatif 1}\\ & \begin{array}{rl}& (a+b)\left({\displaystyle \frac{1}{a}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}\right)\\ & =1+{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}\\ & =2+{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\\ & \text{Dengan}\mathbf{\text{AM-GM}}\\ & \ge 2+2\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}\times \frac{b}{a}}}\\ & \ge 2+2.1=4◼\end{array}\\ & \text{Alternatif 2}\\ & \begin{array}{rl}& (a+b)\left({\displaystyle \frac{1}{a}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}\right)\\ & \text{Dengan}\mathbf{\text{AM-GM}}\\ & \ge 2\sqrt{ab}\times {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{ab}}=4◼}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika}a,b,c\text{bilangan real, tunjukkan}\\ & \text{bahwa}{a}^2+b^2+y^2\ge ab+ac+bc\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \text{Dengan ketaksamaan}\mathbf{\text{AM-GM}}\\ & \text{pada bilangan}a,b,c\text{bilangan real}\\ & \text{kita akan peroleh}\\ & \begin{array}{ll}{a}^2+b^2\ge 2ab& \\ a^2+c^2\ge 2ac& \\ b^2+c^2\ge 2bc& +\\ 2(a^2+b^2+c^2)& \ge 2ab+2ac+2bc\\ a^2+b^2+c^2& \ge ab+ac+bc\\ & \mathbf{\text{terbukti}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}{a}_i\ge 0,i\in \{1,2,3,4\}\\ & \text{tunjukkan bahwa}\\ & {\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\ge \sqrt[4]{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & {\displaystyle \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a_1+a_2}{2}+\frac{a_3+a_4}{2}}}{2}}}\\ & \ge {\displaystyle \frac{\sqrt{a_1{a}_2}+\sqrt{a_3{a}_4}}{2}}\\ & \ge \sqrt{\sqrt{a_1{a}_2}.\sqrt{a_3{a}_4}}\\ & =\sqrt[4]{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}◼\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Leo Bocek.----. Nerovnosti a Nerovnice. dalam : https://olympiada.karlin.mff.cuni.cz/prednasky/bocek1.pdf