Kombinatorika-Memecahkan soal terkait permasahan kombinasi (Bagian 1)

Materi kombinatorika ini adalah cabang matematika yang mempelajari cara menghitung, menyusun, memilih objke-objek dalam suatu himpunan dengan tanpa harus mendaftar satu persatu. 

Materi ini gampang-gampang sudah, kalau saya jujur,masih sangat lemah terutama dalam hal ini. Kalau pas lagi bisa, yang itu bagi saya sudah sangat luar biasa

Ok, kita langsung saja terkait permasalahan perama yaitu tentang pembuktian

Misalkan kita diminta membuktikan hal berikut

$\begin{aligned}&\text{Bila didefinisikan}\:\: 0!=1,1!=1,\:\: \text{dan}\:\: n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n\\ &\textrm{untuk}\: n\ge 2. \: \textrm{Sedangkan}\:\sum_{j=1}^{n}a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n},\\ &\textrm{buktikan bahwa}\\ &\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}(n-k)!(n+k)!=\displaystyle \frac{(n!)^{2}}{2}+\frac{(-1)^{n}(2n+1)!}{2(n+1)}\\ &\textrm{petunjuk}:\:  f(k)=(n+1-k)!(n+k)!,\: \textrm{untuk}\:\: 0\le k\le n+1\\\\   \end{aligned}$.

Perhatikan uraian berikut untuk menuju hasil buktinya

$\begin{aligned} &\begin{aligned}&\textrm{Diberikan petunjuk fungsi}:\: f(x)\:\: \textrm{untuk}\:\: 0\le k\le n+1\\ &\textrm{yaitu}:\quad f(k)=(n+1-k)!(n+k)!\\ &\bullet\quad \textrm{Perhitungan}\:\: f(x)\:\: \textrm{dan}\:\: f(x+1)\\ &\qquad \textrm{Untuk}:\:\:f(x)=(n+1-k)!(n+k)!\\ &\qquad \textrm{Dan untuk}:\:\:f(x+1)=(n-k)!(n+k+1)!\\ &\qquad \textrm{Selanjutnya}\\ &\qquad \textrm{untuk}:\:\: (n+1-k)!=(n+1-k)(n-k)!\\ &\qquad \textrm{Dan untuk}:\:\: (n+k+1)!=(n+k+1)(n+k)!\\ &\bullet\quad \textrm{Perhitungan}\:\: f(x)+f(x+1)\\ &\qquad =\left[\left(n+1-k  \right)+\left(n+k+1  \right) \right](n-k)!(n+k)!\\ &\qquad =(2n+2)(n-k)!(n+k)!\\ &\qquad =2(n+1)(n-k)!(n+k)!\\ &\qquad\textrm{Sehingga}\\ &\qquad (n-k)!(n+k)!=\displaystyle \frac{f(k)+f(k+1)}{2(n+1)}\\ &\bullet\quad \textrm{Substitu ke bagian ruas kiri deret, yaitu}:\\ &\qquad S=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\displaystyle k}(n-k)!(n+k)!\\ &\qquad\quad=\sum_{k=0}^{ n}(-1)^{\displaystyle k}\displaystyle \frac{f(k)+f(k+1)}{2(n+1)}\\ &\qquad\quad=\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\displaystyle k}\left( f(k)+f(k+1) \right)\\ &\bullet\quad \textrm{Evaluasi deret teleskopik}:\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=0\Rightarrow f(0)+f(1)\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=1\Rightarrow -f(1)-f(2)\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=2\Rightarrow f(2)+f(3)\\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=3\Rightarrow -f(3)-f(4)\\&\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=4\Rightarrow f(4)+f(5)\\ &\qquad \circ\quad \cdots \\ &\qquad \circ\quad \textrm{untuk}:k=n\Rightarrow (-1)^{\displaystyle n}f(n)+(-1)^{\displaystyle n}f(n+1)\\ &\bullet\quad \textrm{Suku yang tersisa akibat jumlah teleskopik}:\\ &\qquad \textrm{yaitu}:k=0\:\: \textrm{yaitu}\:\: f(0)\:\: \textrm{dan}\:\: k=n\:\: \textrm{yaitu}\:\: (-1)^{\displaystyle n}f(n+1)\\ &\bullet\quad \textrm{Evaluasi nilai}:f(0)\:\: \textrm{dan}\:\: f(n+1)\\&\qquad \circ\quad k=0\Rightarrow f(0)=(n+1-0)!(n+0)!=(n+1)!n!=(n+1)(n!)^{\displaystyle 2}\\ &\qquad \circ\quad k=n+1\Rightarrow f(n+1)=(n+1-(n+1))!(n+n+1)!=(2n+1)!\\&\bullet\quad \textrm{Langkah akhir pembuktian}\\ &\qquad S=\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\displaystyle k}\left( f(k)+f(k+1) \right)\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\left( f(0)+(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! \right)\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\left( (n+1)(n!)^{\displaystyle 2}+(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! \right)\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{(n+1)(n!)^{\displaystyle 2}+(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! }{2(n+1)}\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{(n+1)(n!)^{\displaystyle 2}}{2(n+1)}+\displaystyle \frac{(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! }{2(n+1)}\\ &\qquad\quad =\displaystyle \frac{(n!)^{\displaystyle 2}}{2}+\displaystyle \frac{(-1)^{\displaystyle n}(2n+1)! }{2(n+1)}\qquad \textbf{Terbukti} \end{aligned} \end{aligned}$