PAS MATEMATIKA BLOG: Lanjutan Materi Polinom (Teorema Faktor)

7. Teorema Faktor

Pada pembagian sebuah bilangan bahwa suatu bilangan dikatakan habis terbagi jika pembaginya adalah faktor dari bilangan tersebut. Sebagai misal 15 faktornya adalah: 1,3,5, dan 15. Dan pada bahasan materi tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat saat Anda duduk di kelas X sebagai misal $x^{2} + x - 6$ akan habis terbagi oleh $x + 3$ dan $x - 2$ . Demikian juga ketika $x^{2} + 2 x - 8$ akan habis terbagi oleh $x + 4$ dan $x - 2$ . Selanjutnya pembagi-pembagi tersebut kita namakan sebagai faktor dari yang dibagi tersebut.

Untuk selanjutnya toerema faktor dinyatakan:

Jika $(x - h)$ adalah faktor dari $f (x)$ jika dan hanya jika $f (h) = 0$
Jika $(a x + h)$ merupakan faktor dari $f (x)$ jika dan hanya jika $f (\frac{- h}{a}) = 0$ .

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Tentukanlah apakah (x - 2) dan (x - 4) \\ apakah faktor dari 2 x^{3} + x^{2} - 22 x + 24 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ P (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 22 x + 24 \\ ∙ x = 2 \Rightarrow P (2) = {2.2}^{3} + 2^{2} - 22.2 + 24 = 0 \\ ∙ x = 4 \Rightarrow P (4) = {2.4}^{3} + 4^{2} - 22.4 + 24 = 80 \neq 0 \\ Jadi, (x - 4) bukan faktor dari P (x) di atas \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tentukanlah apakah (x + 1) dan (x - 1) \\ apakah faktor dari x^{6} - x^{5} + x^{3} - 1 \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ P (x) = x^{6} - x^{5} + x^{3} - 1 \\ ∙ x = - 1 \Rightarrow P (- 1) = (- 1)^{6} - (- 1)^{5} + (- 1)^{3} - 1 = 0 \\ ∙ x = 1 \Rightarrow P (1) = 1^{6} - 1^{5} + 1^{3} - 1 = 0 \\ Jadi, (x + 1) dan (x - 1) faktor dari P (x) di atas \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Faktorkanlah polinom x^{3} - 11 x^{2} + 30 x - 8 \\ ke faktor rasional \\ Jawab : \\ Diketahui bahwa \\ P (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 30 x - 8 \\ Misalkan salah satu faktor polinom adalah : (x - k) \\ maka k adalah faktor dari - 8, yaitu : \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \\ dengan mencoba-coba kita harapkan ketemu \\ ∙ x = 1 \Rightarrow P (1) = 1^{3} - {11.1}^{2} + 30.1 - 8 = 12 \neq 0 \\ ∙ x = - 1 \Rightarrow P (- 1) = (- 1)^{3} - 11. (- 1)^{2} + 30. (- 1) - 8 \\ = - 66 \neq 0 \\ ∙ x = 4 \Rightarrow P (4) = 4^{3} - {11.4}^{2} + 30.4 - 8 = 0 \\ dengan metode sintetis Horner kita tampilkan \\ \begin{array}{lllllll} 4 & 1 & - 11 & 30 & - 8 \\ 4 & - 28 & 8 & + \\ 1 & - 7 & 2 & 0 \end{array} \\ Jadi, (x - 4) faktor dari P (x) di atas \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Jika diketahui (x - 2) dan (2 x + 1) \\ adalah faktor dari 2 x^{3} + a x^{2} + b x - 2 \\ Tentukanlah nilai a dan b \\ Jawab : \\ Misalkan polinom P (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x - 2 \\ ∙ x = 2 \Rightarrow P (2) = {2.2}^{3} + a {.2}^{2} + b .2 - 2 = 0 \\ \Rightarrow P (2) = 14 + 8 a + 2 b = 0 . . . . . . . (1) \\ ∙ x = \frac{1}{2} \Rightarrow P (- \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + a {(- \frac{1}{2})}^{2} + b (- \frac{1}{2}) - 2 = 0 \\ \Rightarrow P (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{8} + \frac{a}{4} - \frac{b}{2} - 2 = 0 \\ \Rightarrow P (- \frac{1}{2}) = a - 2 b = 9 . . . . . . . . . (2) \\ Dengan eliminasi diperoleh a = - 1 dan b = - 5 \\ Jadi, a = - 1 dan b = - 5 \end{array}

\begin{array}{ll} 5. & (OSK 2016) \\ Misalkan a bilangan real sehingga polinom \\ P (x) = x^{4} + 4 x + a habis dibagi (x - c)^{2} \\ untuk suatu bilangan real c . Nilai a \\ yang memenuhi adalah . . . . \\ Jawab : \\ Alternatif 1 \\ Diketahui polinom P (x) = x^{4} + 4 x + a \\ Dengan metode Horner sebanyak 2 kali \\ yaitu : \\ \begin{array}{llllllll} c & 1 & 0 & 0 & 4 & a \\ c & c^{2} & c^{3} & c^{4} + 4 c^{3} & + \\ c & 1 & c & c^{2} & c^{3} + 4 & c^{4} + 4 c^{3} + a \\ c & 2 c^{2} & 3 c^{3} \\ 1 & 2 c & 3 c^{2} & 4 c^{3} + 4 \end{array} \\ Dari bentuk di atas diperoleh \\ ∙ 4 c^{3} + 4 = 0 \Rightarrow c = - 1 \\ ∙ c^{4} + 4 c^{3} + a = 0 \Rightarrow 1 - 4 + a = 0 \Rightarrow a = 3 \\ Jadi, a = 3 \\ Alternatif 2 \\ Silahkan Anda coba sebagai latihan mandiri \end{array}

LATIHAN SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Buktikan bahwa x + 3 dan x - 8 adalah \\ faktor dari polinom \\ f (x) = 2 x^{4} + 6 x^{3} - 114 x^{2} - 454 x - 336 \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tentukan nilai k, k \neq 0 agar x + k \\ dan x - k keduanya adalah faktor dari \\ x^{3} - x^{2} - 9 x + 9 \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Bila x^{2} - x - 2 adalah faaktor dari \\ sebuah  polinom \\ P (x) = 6 x^{4} - x^{3} + a x^{2} - 6 x + b \\ tentukanlah nilai a + b \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Bila x + 1 dan x - 3 adalah faktor \\ dari  polinom \\ P (x) = x^{4} + p x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + q \\ tentukanlah nilai p dan q serta \\ dua faktor lainnya yang belum \\ diketahui dari polinom tersebut \end{array}

\begin{array}{ll} 5. & (OSK 2019) \\ Kedua akar dari persamaan kuadrat \\ x^{2} - 111 x + k = 0 adalah bilangan prima \\ Nilai k adalah . . . . \end{array}

\begin{array}{ll} 6. & (OSK 2015) \\ Diketahui a, b, c adalah akar dari persamaan \\ x^{3} - 5 x - 9 x + 10 = 0. Jika polinom \\ P (x) = A x^{3} + B x^{2} + C x - 2015 memenuhi \\ P (a) = b + c, P (b) = a + c, P (c) = a + b, \\ maka nilai dari A + B + C adalah . . . . \end{array}

\begin{array}{ll} 7. & (OSK 2014) \\ Semua bilangan bulat n sehingga \\ n^{4} - 51 n^{2} + 225 merupakan bilangan \\ prima adalah . . . . \end{array}

\begin{array}{ll} 8. & Diketahui bahwa salah satu dari penyelesaian \\ x^{4} - 14 n^{3} + 54 x^{2} - 62 x + 13 = 0 adalah \\ 2 + \sqrt{3} . Carilah tiga buah akar yang lain \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Muslim, M.S. 2020. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2009-2019. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: ITB

PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan Materi Polinom (Teorema Faktor)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar