PAS MATEMATIKA BLOG: Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Dot Product)

$\begin{array}{ll} 6. & Diketahui \vec{a} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}), \\ jika \vec{p} tegak lurus \vec{q}, maka tentukanlah \\ nilai t adalah \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Karena & kedua vektor tersebut saling \\ tegak l & urus maka \\ \vec{a} . \vec{b} & = 0 \\ (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) & (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) = 0 \\ (- 2) .4 & + 1. (- 1) + 3. t = 0 \\ - 8 - 1 & + 3 t = 0 \\ 3 t & = 9 \\ t & = 3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 7. & Tentukanlah nilai \vec{a} . \vec{b} jika \\ a . | \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 6, ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} \\ b . \vec{a} = 2 \vec{i} + \vec{j} - 5 \vec{k} dan \vec{b} = 2 \vec{i} - 3 \vec{k} \\ c . \vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . \vec{a} . \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) \\ = 4.6 . \cos 60^{\circ} \\ = 24. (\frac{1}{2}) \\ = 12 \end{aligned} \\ b . \vec{a} . \vec{b} = 2.2 + 1.0 + (- 5) . (- 3) = 4 + 15 = 19 \\ c . \vec{a} . \vec{b} = 0.4 + (- 1) . (- 2) + 3.1 = 0 + 2 + 3 = 5 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8. & Diketahui | \vec{a} | = 10, | \vec{b} | = 3 \\ dan \vec{a} ∙ \vec{b} = 15 \sqrt{3} . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab \\ Dari bentuk \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ \\ dipe & roleh bentuk \\ \cos θ & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ \cos θ & = \frac{15 \sqrt{3}}{10.3} = \frac{15}{30} \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \cos θ & = \cos 30^{\circ} \\ θ & = 30^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 30^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 9. & Tentukanlah besar sudut antara vektor \\ \vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{(- 1)^{2} + 1^{2}} \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{- 1 - 2 + 0}{\sqrt{2} \sqrt{9}} \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}} = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ = - \cos 45^{\circ} \\ = \cos (180^{\circ} - 45^{\circ}) \\ \cos θ & = \cos 135^{\circ} \\ ∴ θ & = 135^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 10. & Diketahui bahwa | \vec{a} | = \sqrt{6}, (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \\ dan \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) = 3. Tentukanlah besar \\ sudut antara \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Perhatikan & bahwa \\ (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) & = 0 \\ {| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2} & = 0 \\ {| \vec{a} |}^{2} & = {| \vec{b} |}^{2} \Rightarrow | \vec{a} | = \vec{b} = \sqrt{6} \\ dan \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) & = 3 \\ {| \vec{a} |}^{2} - \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ 6 - \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ - \vec{a} \vec{b} & = 3 - 6 = - 3 \\ \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ & = 3 \\ \cos θ & = \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ \cos θ & = \cos 60^{\circ} \\ ∴ θ & = 60^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$Berikut dua contoh untuk sudut tidak istimewa$ .

$\begin{array}{ll} 11. & Diketahui \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k}, dan \\ \vec{b} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) dan \\ | \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ ▹ & \vec{b} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) dan \\ | \vec{b} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ \cos θ & = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})}{3.5} = \frac{3 + 8 + 0}{15} = \frac{11}{15} \\ \cos θ & = 0, 733 \\ θ & = \arccos (0.733) \\ gunakan alat bantu tabel trigonometri \\ atau kalkulator scientific \\ = 42, 9^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 42, 9^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12. & Diketahui \vec{p} = (1, 2, 2), dan \\ \vec{q} = (3, - 2, 6) . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{p} dan \vec{q} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{p} = (1, 2, 2) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) dan \\ | \vec{p} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ ▹ & \vec{q} = (3, - 2, 6) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) dan \\ | \vec{q} | = \sqrt{3^{2} + (- 2)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{49} = 7 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{p} ∙ \vec{q}}{| \vec{p} | | \vec{q} |} \\ \cos θ & = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 6 \end{array})}{3.7} = \frac{3 - 4 + 12}{21} = \frac{11}{21} \\ \cos θ & = 0, 524 \\ θ & = \arccos (0.524) \\ gunakan alat bantu tabel trigonometri \\ atau kalkulator scientific \\ = 58, 4^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 58, 4^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 13. & Diketahui vektor \vec{a} dan \vec{b} memiliki \\ panjang masing-masing adalah 2 dan 3 \\ serta ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} . Carilah nilai \\ a . | \vec{a} + \vec{b} | \\ b . | \vec{a} - \vec{b} | \\ b besar sudut antara \\ (\vec{a} + \vec{b}) dan (\vec{a} - \vec{b}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & {| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) \\ = \vec{a} \vec{a} + 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b} \\ = {| \vec{a} |}^{2} \cos 0^{\circ} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60^{\circ} + {| \vec{b} |}^{2} \cos 0^{\circ} \\ = 2^{2} .1 + 2.2 .3 . \frac{1}{2} + 3^{2} .1 \\ = 4 + 6 + 9 = 19 \\ Jadi, nilainya adalah | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{19} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . & {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) \\ = \vec{a} \vec{a} - 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b} \\ = {| \vec{a} |}^{2} \cos 0^{\circ} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60^{\circ} + {| \vec{b} |}^{2} \cos 0^{\circ} \\ = 2^{2} .1 - 2.2 .3 . \frac{1}{2} + 3^{2} .1 \\ = 4 - 6 + 9 = 7 \\ Jadi, nilainya adalah | \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7} \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . Untuk menentukan nilai \\ \cos ∠ (\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}) & = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) . (\vec{a} - \vec{b})}{| \vec{a} + \vec{b} | . | \vec{a} - \vec{b} |} \\ = \frac{\vec{a} \vec{a} - \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{a} - \vec{b} \vec{b}}{\sqrt{19} . \sqrt{7}} \\ = \frac{2^{2} - 3^{2}}{\sqrt{133}} = - \frac{5}{\sqrt{133}} \\ ∠ (\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}) & = \arccos (- \frac{5}{\sqrt{133}}) \end{aligned} \end{array}$

$Berikut contoh untuk bentuk sudutnya$ .

$\begin{array}{ll} 14. & Diketahui \vec{p} = (x, 3, 2), dan \\ \vec{q} = (2, - 6, 3) . Tentukan nilai x \\ agar kedua vektor \\ a membentuk sudut lancip \\ b membentuk sudut siku-siku \\ c membentuk sudut tumpul \\ d sama panjang \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{p} = (x, 3, 2) = (\begin{array}{c} x \\ 3 \\ 2 \end{array}) dan \\ ▹ & \vec{q} = (2, - 6, 3) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \vec{p} ∙ \vec{q} = (\begin{array}{c} x \\ 3 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) \\ = 2 x - 18 + 6 = 2 x - 12 \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} a & Syarat lancip, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} > 0 \\ 2 x - 12 > 0 \Leftrightarrow 2 x > 12 \Leftrightarrow x > 6 \\ b & Syarat siku-siku, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} = 0 \\ 2 x - 12 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 12 \Leftrightarrow x = 6 \\ c & Syarat tumpul, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} < 0 \\ 2 x - 12 < 0 \Leftrightarrow 2 x < 12 \Leftrightarrow x < 6 \\ d & Syarat panjang kedua vektor sama \\ yaitu : | \vec{p} | = | \vec{q} |, maka \\ \begin{aligned} \sqrt{x^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{2^{2} + (- 6)^{2} + 3^{2}} \\ x^{2} + 9 + 4 = 4 + 36 + 9 \\ x^{2} = 36 \\ x = \pm \sqrt{36} = \pm 6 \\ Jadi, x = - 6 atau x = 6 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri, Sucipto, E. 2003. Buku Pelajaran Matematika SMU untuk Kelas 3 Program IPA. Jakarta: ERLANGGA.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Dot Product)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar