PAS MATEMATIKA BLOG: Agustus 2022

Lanjutan 3 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 27}$.

Suatu permasalahan dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik berikut

maka nilai dari $a+b+c$ adalah ... .

$\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &-2\\ \textrm{b}.\quad &-1\\ \textrm{c}.\quad &0\\ \textrm{d}.\quad &1\\ \textrm{e}.\quad &2 \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 27}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa untuk grafik fungsi}\\ &\textrm{kuadrat di atas dapat dituliskan menjadi}\\ &y=ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\\ &\textrm{dengan}\\ &\quad \bullet \quad x_{1}=1\: (\textrm{grafik saat memotong sumbu}-X)\\ &\quad \bullet \quad x_{2}=3,\: (\textrm{grafik saat memotong sumbu}-X)\\ &\quad \bullet \quad \textrm{grafik juga memotong sumbu}-Y\: \: \textrm{di}\: \: (\color{red}0,4\color{black})\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned} y&=a(x-x_{1})(x-x_{2})\\ \Leftrightarrow \color{red}4\color{black}&=a(\color{red}0\color{black}-1)(\color{red}0\color{black}-3)\\ \Leftrightarrow \color{red}4\color{black}&=a(-1)(-3)=3a\\ \Leftrightarrow a&=\displaystyle \frac{\color{red}4\color{black}}{3}\end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &y=\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)(x-3)=\displaystyle \frac{4}{3}(x^{2}-4x+3)\\ &\: \: \, =\displaystyle \frac{4}{3}x^{2}-\frac{16}{3}x+4\\ &\textrm{Selanjutnya kita dapatkan nilai}\\ &a=\displaystyle \frac{4}{3},\: \: b=-\frac{16}{3},\: \: \textrm{dan}\: \: c=4\\ &\textrm{Jadi},\: a+b+c=\displaystyle \frac{4}{3}+\left (- \displaystyle \frac{16}{3} \right )+4=\color{blue}0 \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 28}$.

August De'Morgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Suatu ketika saat tahun terakhir masa hidupnya ia mengatakan, "Dulu aku berusia $X$ tahun pada tahun $X^{2}$". Pada tahun berapakah ia dilahirkan ...

$\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &1806\\ \textrm{b}.\quad &1822\\ \textrm{c}.\quad &1849\\ \textrm{d}.\quad &1851\\ \textrm{e}.\quad &1853 \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 28}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Bilangan kuadrat sempurna yang}\\ &\textrm{mengandung digit 1800-an adalah}\\ &42^{2}< 43^{2}< 44^{2}\Rightarrow 1764<1849<1936\\ &\textrm{pilih saja}\: \: 43^{2}=1849\\ &\textrm{Akibatnya, August De'Morgan berusia}\\ &\textrm{43 tahun pada tahun 1849, sehingga tahun}\\ &\textrm{lahirnya tokoh tersebut adalah}:\\ &=1849-43=\color{red}1806 \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 29}$.

Segitiga siku-siku OAB terbentuk dari sumbu-X, sumbu-Y, dan garis $y=8-2x$. Titik P(x,y) terletak pada garis tersebut. Jika dari titik P dibuat garis-garis tegak lurus sumbu-X dan sumbu-Y sehingga terbentuklah persegi panjang berdiagonal OP, maka koordinat P agar luas persegi panjang tersebut maksimum adalah ...

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 29}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\textrm{persegi panjang tersebut luasnya}\: =\: \: L(x)\\ &=panjang\times lebar=x\: \times \: y=x\: \times \: (8-2x)\\ &=8x-2x^{2}\qquad \color{blue}(a=-2,b=8,c=0)\\ &\textrm{Agar luas maksimum, maka}\\ &x=\displaystyle \frac{-b}{2a}\quad (x\: \: \textrm{sumbu simetri})\\ &\: \: \: =\displaystyle \frac{-8}{2(-2)}=\color{red}2\\ &\textrm{Selanjutnya kita cari}\: \: -\textrm{nya, yaitu}\\ &y=8-2x=8-2.2=8-4=\color{red}4\\ &\textrm{Jadi, koordinat}\: \: P(x,y)=\color{red}P(2,4) \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 30}$.

Tegangan listrik normal yang didistribusikan oleh PLN ke rumah-rumah adalah sebesar 220 volt. Akan tetapi, tegangan nyata di rumah-rumah toleransinya berbeda-beda dan paling tinggi adalah 11 volt dari normalnya.

Tentukanlah tegangan nyata yang masih ditolerans oleh PLN pada kasus di atas

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 30}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Dari informasi di atas diketahui bahwa}\\ &\left | x-220 \right |\leq 11\\ &\Leftrightarrow -11\leq x-220\leq 11\\ &\Leftrightarrow -11+\color{red}220\color{black}\leq x-220+\color{red}220\color{black}\leq 11+\color{red}220\color{black}\\ &\Leftrightarrow 209\leq x\leq 231\\ &\textrm{Jadi, tegangan yang ditoleransi PLN adalah}\\ &\textrm{209 volt sampai 231 volt} \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

Kanginan, M. 2016. Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMK-MAK Kelas X (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
Maulana, F. 2010. Juara Olimpiade Matematika SMA. Jakarta: WAHYUMEDIA
Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, & Subagya. 2004. Matematika IA untuk SMA Kelas I. Jakarta: BUMI AKSARA.
Kumpulan Soal ada pada penulis.

Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan Menghadapi AN BK 2022

Berikut link yang dapat Anda gunakan untuk membantu memahami AN BK 2022

Konsep Materi dan Contoh dan Pembahasan Numerasi Soal no. 1 - 5
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 6 - 10
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 11 - 12
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 13
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 14 - 15
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 16 - 18
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 19 - 20
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 21 - 26
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no, 27 - 30

Kumpulan Matematika Seluruh Kelas dari Kelas X, XI, dan XII MA/SMA/Sederajat

Materi Matematika Wajib
Materi Matematika Pendalaman/Peminatan

Lanjutan 2 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 21}$.

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Nilai eksak dari}\: \: \sin 36^{\circ}\: \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{|l|}\hline \bullet \quad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta\\ \bullet \quad \cos 2\theta =2\cos ^{2}\theta -1\\ \bullet \quad \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1 \\\hline \end{array}\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}&&&\textrm{d}.&\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ \textrm{b}.&\color{red}\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}&&\quad &\textrm{e}.&\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ \textrm{c}.&\displaystyle \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4} \end{array} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 21}$.

Perhatikanlah ilustrasi segitiga berikut ini

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\: \: \color{red}\bigtriangleup ABC\: \: \color{black}\textrm{sama kaki}\\ &\textrm{dengan}\: \: AD=DC=CB=1,\: AC=x\\ &\textrm{Diketahui pula}\: \: CD\: \: \textrm{adalah garis bagi}\\ &\textrm{serta}\: \: ABC\: \: \textrm{sebangun}\: \: \bigtriangleup BCD\\ &\textrm{akibatnya}:\\ &\color{red}\textrm{perbandingan sisi yang bersesuaian}\\ &\color{red}\textrm{akan sama},\: \: \color{black}\textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{AB}{BC}=\displaystyle \frac{BC}{AB-AD}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}\\ &\Leftrightarrow x(x-1)=1\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0\\ &\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\\ &\textrm{akibatnya}\: \: AB=AC=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ &\textrm{Selanjutnya gunakan}\: \: \color{blue}\textrm{aturan sinus}\\ &\displaystyle \frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{BC}{\sin \angle A}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{\sin \angle C}{\sin \angle A}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{ \left (\displaystyle \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right )}{1}=\frac{\sin 72^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}=\displaystyle \frac{2\sin 36^{\circ}\cos 36^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}=2\cos 36^{\circ}\\ &\Leftrightarrow \cos 36^{\circ}=\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}\\ &\textrm{Dari fakta di atas kita akan dengan}\\ &\textrm{mudah menentukan nilai sinusnya}\\ &\textrm{yaitu dengan menggunakan}\\ &\color{purple}\textrm{identitas trigonometri berikut}:\\ &\sin ^{2}36^{\circ}+\cos ^{2}36^{\circ}=1\\ &\Leftrightarrow \sin ^{2}36^{\circ}=1-\cos ^{2}36^{\circ}\\ &\Leftrightarrow \sin 36^{\circ}=\sqrt{1-\cos ^{2}36^{\circ}}\\ &\Leftrightarrow \: \: \quad\quad\quad =\sqrt{1-\left ( \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right )^{2}}\\ &\Leftrightarrow \: \: \quad\quad\quad =\sqrt{1-\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{16}}\\ &\Leftrightarrow \: \: \quad\quad\quad =\sqrt{\displaystyle \frac{10-2\sqrt{5}}{16}}\\ &\Leftrightarrow \: \: \quad\quad\quad =\color{red}\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}} \end{aligned}$.

Untuk menjawab soal no.22,23,24, 25 dan 26 perlu diketahui bahwa

$\left \lfloor x \right \rfloor=\textrm{bilangan bulat terbesar}\leq x$.

$\left \lfloor 3,14 \right \rfloor=3, \left \lfloor -7,2 \right \rfloor=-8,\: \: \left \lfloor 2 \right \rfloor=2$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 22}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: \left \lfloor a \right \rfloor\times a=68\: \: \textrm{dan}\: \: \left \lfloor b \right \rfloor\times b=109,\\ &\textrm{maka nilai dari}\: \: \left \lfloor a \right \rfloor\times \left \lfloor b \right \rfloor-\left \lfloor a+b \right \rfloor=\cdots \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 22}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\left \lfloor a \right \rfloor a=68\qquad \textrm{dan}\quad \left \lfloor b \right \rfloor b=109\\ &\Leftrightarrow \left \lfloor a \right \rfloor^{2}\leq \left \lfloor a \right \rfloor a\: \: \textrm{dan}\: \: \left \lfloor b \right \rfloor^{2}\leq \left \lfloor b \right \rfloor b\\ &\Leftrightarrow \left \lfloor a \right \rfloor^{2}\leq 68\: \: \quad \textrm{dan}\: \: \left \lfloor b \right \rfloor^{2}\leq 109\\ &\Leftrightarrow \left \lfloor a \right \rfloor= 8\: \: \qquad \textrm{dan}\: \: \left \lfloor a \right \rfloor=10\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\bullet \quad \left \lfloor a \right \rfloor a=68\Rightarrow 8a=68\Rightarrow a=\color{red}8,5\\ &\bullet \quad \left \lfloor b \right \rfloor b=109\Rightarrow 10b=109\Rightarrow b=\color{red}10,9\\ &\textrm{Sehingga nilai}\\ &\left \lfloor a \right \rfloor\times \left \lfloor b \right \rfloor-\left \lfloor a+ b \right \rfloor\\ &=8\times 10-\left \lfloor 8,5+ 10,9 \right \rfloor\\ &=80-\left \lfloor 19,4 \right \rfloor\\ &=80-19\\ &=\color{red}61 \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 23}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: a\left \lfloor a \right \rfloor=17\: \: \textrm{dan}\: \: b\left \lfloor b \right \rfloor =11,\: \: \textrm{maka}\\ &\textrm{nilai dari}\: \: a-b=\cdots \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 23}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &a\left \lfloor a \right \rfloor =17\qquad \textrm{dan}\quad b\left \lfloor b \right \rfloor =11\\ &\Leftrightarrow \left \lfloor a \right \rfloor^{2}\leq a\left \lfloor a \right \rfloor \: \: \textrm{dan}\: \: \left \lfloor b \right \rfloor^{2}\leq b\left \lfloor b \right \rfloor \\ &\Leftrightarrow \left \lfloor a \right \rfloor^{2}\leq 17\: \: \quad \textrm{dan}\: \: \left \lfloor b \right \rfloor^{2}\leq 11\\ &\Leftrightarrow \left \lfloor a \right \rfloor= 4\: \: \qquad \textrm{dan}\: \: \left \lfloor a \right \rfloor=3\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\bullet \quad a\left \lfloor a \right \rfloor =17\Rightarrow 4a=17\Rightarrow a=\color{red}\displaystyle \frac{17}{4}\\ &\bullet \quad b\left \lfloor b \right \rfloor =11\Rightarrow 3b=11\Rightarrow b=\color{red}\displaystyle \frac{11}{3}\\ &\textrm{Sehingga nilai}\\ &a-b=\displaystyle \frac{17}{4}-\frac{11}{3}\\ &=\displaystyle \frac{51-44}{12}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{7}{12} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 24}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: \left \lfloor x \right \rfloor +\left \lfloor y \right \rfloor +y=43,8\quad \textrm{dan}\\ &x+y-\left \lfloor x \right \rfloor=18,4\: ,\: \textrm{maka nilai}\\ &\textrm{dari}\quad 10(x+y)=\cdots \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 24}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\bullet \quad \left \lfloor x \right \rfloor +\left \lfloor y \right \rfloor +y=43,8\quad \textrm{dan}\\ &\bullet \quad x+y-\left \lfloor x \right \rfloor=18,4\\ &\textrm{Sekarang misalkan untuk}\\ &\bullet \quad a\leq x< a+1\Rightarrow \left \lfloor x \right \rfloor=\color{red}a\\ &\bullet \quad b\leq y\leq b+1\Rightarrow \left \lfloor y \right \rfloor=\color{red}b\\ &\textrm{Selanjutnya untuk}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\\ &\textrm{dapat kita nyatakan dengan}\\ &\bullet\quad x=a+m,\: \: \textrm{dengan}\: \: 0\leq m< 1\\ &\bullet\quad y=b+n,\: \: \: \: \textrm{dengan}\: \: \: 0\leq n< 1\\ &\begin{aligned}&\textbf{Untuk persamaan pertama}\\ &\left \lfloor x \right \rfloor +\left \lfloor y \right \rfloor +\quad y=43,8\\ &\Leftrightarrow a+b\quad+ b+n=43,8\\ &\Leftrightarrow a+2b+n=43,8\\ &\textrm{didapatkan}\: \: a+2b=43,\: \: \textrm{dan}\: \: n=0,8\\ &\textbf{Untuk persamaan kedua}\\ &x+y\quad-\quad\left \lfloor x \right \rfloor =18,4\\ &\Leftrightarrow a+m+ b+n-a=18,4\\ &\Leftrightarrow b+m+n\qquad=18,4\\ &\Leftrightarrow b+m+0,8\quad=18,4\\ &\Leftrightarrow b+m=17,6\\ &\textrm{didapatkan}\quad b=17,\: \: \textrm{dan}\: \: m=0,6\\ &\textbf{Selanjutnya perhatikan bahwa}\\ &a+2b=43\Leftrightarrow a+2.(17)=43\\ &\Leftrightarrow a+34=43\Leftrightarrow a=43-34=9\\ &\textbf{Sehingga kita akan mendapatkan nilai}\\ &\bullet \quad x=a+m=9+0,6=9,6\\ &\bullet \quad y=b+n=17+0,8=17,8\\ &\textrm{Jadi},\: 10(x+y)=10(9,6+17,8)=\color{red}274 \end{aligned} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 25}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: \left \lfloor 3x+y \right \rfloor=12\: \: \textrm{dan}\: \: \left \lfloor x+3y \right \rfloor=14,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: \left \lfloor x+y \right \rfloor=\cdots \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 25}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\bullet \quad\left \lfloor 3x+y \right \rfloor=12\Leftrightarrow \color{blue}12\leq 3x+y< 13\color{black}\cdots (1)\\ &\bullet \quad\left \lfloor x+3y \right \rfloor=14\Leftrightarrow \color{blue}14\leq x+3y< 15\color{black}\cdots (2)\\ &\textrm{Jika kedua ketaksamaan dijumlahkan, maka}\\ &26\leq 4x+4y< 28\Leftrightarrow \displaystyle \frac{26}{4}\leq x+y< \displaystyle \frac{28}{4}\\ &\Leftrightarrow 6\displaystyle \frac{1}{2}\leq x+y< 7\\ &\textrm{Jadi},\: \left \lfloor x+y \right \rfloor=\color{red}6 \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 26}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Jika}\: \: \left \lfloor \displaystyle \frac{3x-7}{5} \right \rfloor=\displaystyle \frac{x}{3}\: ,\: \textrm{maka untuk}\: \:x\: \: \textrm{bulat terkecil}=\cdots \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 26}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\left \lfloor \displaystyle \frac{3x-7}{5} \right \rfloor=\displaystyle \frac{x}{3}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{3}\leq \displaystyle \frac{3x-7}{5}< \displaystyle \frac{x}{3}+1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{3}-\color{red}\frac{x}{3}\color{black}\leq \displaystyle \frac{3x-7}{5}-\color{red}\frac{x}{3}\color{black}< \displaystyle \frac{x}{3}-\color{red}\frac{x}{3}\color{black}+1\\ &\Leftrightarrow 0\leq \displaystyle \frac{4x-21}{15}< 1\\ &\Leftrightarrow 0\leq 4x-21< 15\\ &\Leftrightarrow 0+\color{red}21\color{black}\leq 4x-21+\color{red}21\color{black}< 15+\color{red}21\color{black}\\ &\Leftrightarrow 21\leq 4x< 36\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{21}{4}\leq x< 9\\ &\textrm{Jadi}, \: x=\color{red}6 \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
Muslimin, M.S. 2018. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tahun 2007-2019 Tingkat Kota/Kabupaten. Bandung: YRAMA WIDYA.
Mustofa, O. 2016. Olimpiyatlarina Hazirlik 1 Temel Bilgiler-1.Ankara
Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap I. Bandung: LPPM ITB

Lanjutan Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 19}$.

Sebuah kolam berbentuk seperti gambar dengan panjang sampai ujung 10. Dua orang yang pada sebuah jalur lurus yang masing-masing berada pada posisi A dan B dan berjarak 8 kaki serta diketahui besar sudut sebagaimana ilustrasi pada gambar sebesar $60^{0}$. Tentukanlah jarak terpendek titik C ke jalur lurus tersebut

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 19}$.

Jika kita sederhanakan gambar ilustrasi di atas adalah sebagai berikut

Kita akan menentukan panjang ruas garis yang berwarna merah di atas. Selanjutnya perhatikanlah

$\begin{aligned}&\textrm{Pada soal di atas, kita diminta untuk}\\ &\textrm{menentukan garis merah yang selanjutnya}\\ &\textrm{di sebut tinggi di sini}\\ &\color{red}\textrm{Dengan bantuan luas segitiga ABC}\\ &\textrm{kita mendapatkan}\\ &\begin{aligned}\left [ ABC \right ]&=\left [ ABC \right ]\\ \displaystyle \frac{\textrm{alas}\times \textrm{tinggi}}{2}&=\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin \angle B\\ \displaystyle \frac{\textrm{AB}\times \textrm{tinggi}}{2}&=\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin 60^{0}\\ \textrm{tinggi}&=BC\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \right ) \end{aligned}\\ &\textrm{Dengan aturan cosinus kita juga akan}\\ &\textrm{dapatkan}\\ &\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}-2.AB.BC.\cos \angle B\\ 10^{2}&=8^{2}+BC^{2}-2.8.BC.\cos 60^{0}\\ 10^{2}&-8^{2}=BC^{2}-2.8.BC.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\\ BC^{2}&-8BC-36=0\\ BC_{1,2}&=\displaystyle \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4.(-36)}}{2}\\ &=\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+144}}{2}=\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{208}}{2}\\ &=\displaystyle \frac{8\pm 4\sqrt{13}}{2}=4\pm 2\sqrt{13}\\ &\color{purple}\textrm{pilih nilai BC yang positif, yaitu}\\ BC&=4+2\sqrt{13} \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{Tinggi}=\displaystyle \frac{1}{2}BC\sqrt{3}=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 4+2\sqrt{13} \right )\sqrt{3}\:\textrm{ m} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 20}$.

Sebuah kolam renang akan dibangun di area tanah yang berbentuk segitiga. Selain kolam renang juga akan dibangun ruang ganti kecil (lihat gambar berikut)

Tentukan jari-jari maksimu kolam renang jika tepi kolam renang bersinggungan dengan ruang ganti

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 20}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{aligned}\left [ \textrm{ruang ganti} \right ]&=\textrm{luas ruang ganti, dengan}\\ s&=\displaystyle \frac{1}{2}(\color{red}a\color{black}+b+c)\Leftrightarrow s=\frac{4+5+6}{2}=\displaystyle \frac{15}{2}\\ \left [ \textrm{ruang ganti} \right ]&=\sqrt{s(s-\color{red}a\color{black})(s-b)(s-c)}\\ &=\sqrt{\displaystyle \frac{15}{2}\left (\frac{15}{2}-4 \right )\left ( \frac{15}{2}-5 \right )\left (\frac{15}{2}-6 \right )}\\ &=\sqrt{\frac{15}{2}.\frac{7}{2}.\frac{5}{2}.\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\sqrt{\frac{7}{2}.\frac{2}{2}}=\frac{15}{4}\sqrt{14}\\ \textrm{Selain rumus}&\: \textrm{di atas, rumus luas juga berupa}\\ \left [ \textrm{ruang ganti} \right ]&=r_{\color{red}a\color{black}}(s-\color{red}a\color{black})\\ \displaystyle \frac{15}{4}\sqrt{14}&=r_{\color{red}a\color{black}}.\displaystyle \frac{7}{2}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}=r_{\color{red}a\color{black}} \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi, jari-jarinya adalah}\: \: \color{red}\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}\: \: \color{black}\textrm{m} \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 1 Kelas 1. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

Konsep Materi dan Contoh dan Pembahasan Numerasi Soal no. 1 - 5
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 6 - 10
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 11 - 12
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 13
Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 14 - 15

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 16}$.

(Di adaptasi dari soal OSN Matematika SD 2008)

Perhatikanlah Kertas yang diberi garis lurus berikut

dengan menggambar sebuah garis lurus akan didapatkan dua daerah (lihat gambar 1 di atas)
dengan menggambar dua garis lurus akan didapatkan paling banyak empat daerah (lihat gambar 2 di atas)
dengan menggambar tiga garis lurus akan didapatkan paling banyak tujuh daerah (lihat gambar 3 di atas)

(a) Dengan menggambar empat garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?

(b) Dengan menggambar tujuh garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 16}$.

$\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline \textrm{Banyak garis}&0&1&2&3&4\\\hline \textrm{Maksimum daerah}&1&2&4&7&11\\\hline &&\begin{matrix} \downarrow\\ U_{1} \end{matrix}&\begin{matrix} \downarrow\\ U_{2} \end{matrix}&\begin{matrix} \downarrow\\ U_{3} \end{matrix}&\begin{matrix} \downarrow\\ U_{4} \end{matrix}\\\hline \end{array}\\ &\textbf{Polanya adalah}\\ &\qquad\qquad\begin{aligned}&\underset{2}{\underbrace{\begin{matrix} 2 & 4 \end{matrix}}}\underset{3}{\underbrace{\begin{matrix} & 7 \end{matrix}}}\underset{4}{\underbrace{\begin{matrix} & 11 \end{matrix}}}\underset{\cdots }{\underbrace{\begin{matrix} & \cdots \end{matrix}}} \end{aligned}\\ &\textrm{Merupakan barisan aritmetika tingkat dua}\\ & \end{aligned}$.

Silahkan gunakan cara penyelesaian yang kurang lebih sama dengan yang di sini.

maka akan didapatkan rumus $U_{n}=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+1$.

$\begin{aligned}(\textrm{a}).\quad&n=4\rightarrow U_{4}=\color{red}11\\ (\textrm{b}).\quad&n=7\rightarrow U_{7}=\displaystyle \frac{7\times 8}{2}+1=\color{red}29\\ (\textrm{c}).\quad&n=20\rightarrow U_{20}=\displaystyle \frac{20\times 21}{2}+1=\color{red}211\\ \end{aligned}$.

$\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\textrm{Untuk Barisan dengan selisih tetap atau}\\ &\textrm{lebih dikenal dengan barisan aritmetika secar}\\ &\textrm{umum dapat dituliskan untuk suku}\: \: \textrm{ke}-n\\ &U_{n}=U_{1}+\begin{pmatrix} n-1\\ 1 \end{pmatrix}b_{1}^{1}+\begin{pmatrix} n-1\\ 2 \end{pmatrix}b_{1}^{2}+\cdots +\begin{pmatrix} n-1\\ k \end{pmatrix}b_{1}^{k}\\ &\textrm{dengan}\quad U_{1}=\textrm{suku pertama}\rightarrow U_{1}=2\\ &\qquad\qquad b_{1}^{1}=\textrm{selisih tingkat 1}\rightarrow b_{1}^{1}=4-2=2\\ &\qquad\qquad b_{1}^{2}=\textrm{selisih tingkat 2}\rightarrow b_{1}^{2}=1\\ &\textrm{Untuk tingkat 2},\\ &\begin{aligned}U_{n}&=U_{1}++\begin{pmatrix} n-1\\ 1 \end{pmatrix}b_{1}^{1}+\begin{pmatrix} n-1\\ 2 \end{pmatrix}b_{1}^{2}\\ &=U_{1}+(n-1)b_{1}^{1}+\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}b_{1}^{2}\\ &=2+(n-1)(2)+\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}(1)\\ &=2+2n-2+\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}\\ &=2n+\displaystyle \frac{n^{2}-3n+2}{2}\\ &=\displaystyle \frac{n^{2}+n+2}{2}=\displaystyle \frac{n^{2}+n}{2}+1\\ U_{n}&=\color{red}\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+1\color{black},\: \textrm{maka}\\ U_{4}&=\displaystyle \frac{4.5}{2}+1=\color{red}11\\ U_{7}&=\displaystyle \frac{7.8}{2}+1=\color{red}29\color{black},\: \: \textrm{serta}\\ U_{20}&=\displaystyle \frac{20.21}{2}+1=\color{red}211 \end{aligned} \end{aligned}$.

Diberikan teks berikut untuk soal 17 dan 18

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 17}$.

(Di adaptasi dari soal UMPTN 1997 IPA Terpadu)

KESEIMBANGAN ENERGI PADA DAUN

Laju fotosintesis total F didefinisikan sebagai jumlah total karbohidrat yang terbentuk dalam proses fotosintesis persatuan waktu. Hasil fotosintesis neto N didefinisikan sebagai sisa karbohidrat persatuan waktu setelah respirasi memecah karbohidrat sejumlah R persatuan waktu. Kelakuan besaran-besaran tersebut terhadap suhu antara $10^{0}$ C sampai $30^{0}$ C diamati sebagaimana berikut ini.

Ketika suhu naik, F bertambah lebih cepat dari pada R (yang naik secara eksponensial), tetapi segera mencapai harga yang tetap karena keterbatasan $CO_{2}$, sehingga N mulai menurun. Jadi N terhadap suhu hampir berbentuk parabola dengan puncak sekitar $18^{0}$ C.

Suhu daun dikendalikan oleh energi yang datang dan energi yang dikeluarkan. Energi dikeluarkan dari daun melalui proses konduksi ke sekelilingnya, dengan radiasi gelombang panjang, dan melalui transpirasi yang dapat berkisar antara 25% hingga 50%.

Bila pori daunnya tertutup untuk menahan penguapan air, maka suhunya naik. Radiasi terutama terjadi pada malam hari ketika tidak berawan sehingga daunnya mendingin.

$\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Jika jumlah N pada suhu}\: \: 10^{0}C\: \textrm{adalah a dan}\\ &\textrm{pada suhu}\: 30^{0}C\: \textrm{adalah b, maka N pada suhu t}\\ &\textrm{sekitar}\\ &(\textrm{a})\quad \displaystyle \frac{b-a}{80}t^{2}-\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+\displaystyle \frac{13b-9a}{4}\\ &(\textrm{b})\quad \displaystyle \frac{b-a}{80}t^{2}+\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+\displaystyle \frac{13b-9a}{4}\\ &(\textrm{c})\quad \displaystyle \frac{a-b}{80}t^{2}-\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+\displaystyle \frac{13b-9a}{4}\\ &(\textrm{d})\quad \displaystyle \frac{a-b}{80}t^{2}+\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+\displaystyle \frac{13b-9a}{4}\\ &(\textrm{e})\quad \displaystyle \frac{b-a}{80}t^{2}-\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t-\displaystyle \frac{13b-9a}{4}\\ \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{PEMBAHASAN SOAL NO.17}$.

$\begin{aligned}&\textrm{Diketahui fungsi berbentuk parabola dengan}\\ &f(t)=pt^{2}+qt+r.\: \: \textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{array}{llllr} &f(t)&=\color{red}pt^{2}+qt+r\\ &f(10)&=100p+10q+r&=a\: \: .......(1)\\ &f(30)&=900p+30q+r&=b\: \: .......(2)&-\\\hline &&-800p-20q&=a-b \end{array}\\ &\textrm{dan puncaknya di}\: \: t_{puncak}=-\displaystyle \frac{q}{2p}=18,\\ &\Leftrightarrow q=-36p\: \: ............(4)\\ &\textrm{Dari persamaan}\: (3)\: \&\: (4)\\ &-800p-20q=a-b\\ &\Leftrightarrow -800p-20(-36p)=a-b\\ &\Leftrightarrow -800p-720q=a-b\\ &\Leftrightarrow -80p=a-b\\ &\Leftrightarrow p=\displaystyle \frac{b-a}{80},\: \: \textrm{maka}\: \: q=\displaystyle \frac{-9b+9a}{20}\\ &\: \quad\textrm{dan}\: \: r=\displaystyle \frac{13b-9a}{4}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &f(t)=\color{red}\displaystyle \frac{b-a}{80}t^{2}-\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+\frac{13b-9a}{4} \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL 18}$.

$\begin{array}{ll} \textrm{Grafik F di atas terhadap suhu berbentuk seperti} \end{array}$.

$\LARGE\colorbox{silver}{SOLUSI SOAL 18}$.

Cukup Jelas opsi yang tepat adalah C

DAFTAR PUSTAKA

Departemen Operasi Lembaga Pendidikan Primagama. 1997. Siap UMPTN Kelompok IPA. Yogyakarta: PT. Mitra Prima Media.
Sobel, M. A., Maletsky, E.M. 2004. Mengajar Matematika Sebuah Buku Sumber Alat Peraga, Aktivitas, dan Strategi untuk Guru Matematika SD, SMP, SMA. Jakarta: ERLANGGA.
Wibowo, S.S. 2015. Kumpulan Soal & Pembahasan Olimpiade Matematika SD Jilid 1. Bandung: YRAMA WIDYA.

Lanjutan Materi Elips

Elips

A. Definisi

Definisi 1

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan $\color{red}F_{1}$ dan $\color{red}F_{2}$ masing-masing adalah fokus dari elips sebagaimana ilustrasi gambar di atas dengan $\color{red}F_{1}F_{2}=2c$ dan misalkan juga jumlah jarak suatu titik pada elips ke $\color{red}F_{1}$ dan $\color{red}F_{2}$ sama dengan $2a$ ($\color{red}2a$ tetap dan $\color{red}2a>2c>0$)

Ilustrasi bantu dengan lingkaran

Buatlah lingkaran dengan pusat di $\color{red}F_{1}$ dengan $\color{red}r_{1}=a-c$ dan lingkaran kedua dengan pusat di $\color{red}F_{2}$ dengan $\color{red}r_{1}=a+c$ (atau diblaok balik), maka lingkaran di $\color{red}F_{2}$ akan memotong lingkaran di di $\color{red}F_{1}$ pada titik-titik yang yang memenuhi definisi elips tersebut di atas.

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: F_{1}F_{2}=2c=6\: \: (c=3)\\ &\qquad\qquad\textrm{dan}\: \: 2a=8\: \: (a=4)\\ &\textrm{Dengan}\\ &a-c=4-3=1\: \: \textrm{dan}\: \: a+c=4+3=7\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline \color{red}r_{1}&1&2&3&4&5&6&7\\\hline \color{red}r_{2}&7&6&5&4&3&2&1\\\hline \end{array} \end{aligned}$.

Hal-hal yang berkaitan dengan elips.

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \color{red}\textrm{Sumbu Simetri (Sb)}&\textrm{Sb. Utama}&\textrm{Sb. Sekawan}\\ &A_{1}A_{2}&B_{1}B_{2}\\\hline \color{red}\textrm{Titik Pusat}&O&O\\\hline \color{red}\textrm{Latus rectum}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{1}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{1}L_{1}' \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{2}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{2}L_{2}' \end{aligned}\\\hline \color{red}\textrm{Keterkaitan}\: \color{black}a,b,c&\begin{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2} \end{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2}\\\hline \end{array}$.

Sebagai catatan pada elips ada dua sumbu simetri, yaitu sumbu utama dan sumbu sekawan. Sumbu utama juga disebut sebagai sumbu mayor atau sumbu panjang atau sumbu transversal dan sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}A_{1}$ dan $\color{red}A_{2}$ yang selanjutnya masing-masing disebut sebagai pucak dari elips tersebut. Adapun sumbu yang satunya adalah sumbu sekawan atau sumbu minor atau sumbu pendek atau sumbu konjungsi yaitu sumbu simetri yang melalui titik tengah $\color{red}F_{1}F_{2}$ dan tegak lurus dengan $\color{red}F_{1}F_{2}$ serta sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}B_{1}$ dan $\color{red}B_{2}$.

Definisi 2

Elips adalah kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu...

B. Persamaan Elips

B. 1 Persamaan Elips berpusat di O(0,0)

$\LARGE\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\ &\qquad\textrm{atau}\\ &\color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} \end{aligned} \\\hline \end{array}$.

Perhatikan gambar pertama di atas

$\begin{aligned}&PF_{1}+PF_{2}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\Leftrightarrow (x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +(x+c)^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2cx+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +x^{2}+2cx+y^{2}\\ &\Leftrightarrow 4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=4a^{2}+4cx\\ &\Leftrightarrow a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=a^{2}+cx\\ &\Leftrightarrow a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})\\ &\Leftrightarrow \color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\\ &\Leftrightarrow \color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned}$.

Eksentrisitas dan Persamaan direktris

Perhatikan ilustrasi berikut