Lanjutan Materi Perkalian Skalar Dua Vektor Di Ruang Dimensi Dua (Matematika Peminatan Kelas X)

$\text{L. Operasi Perkalian Dua Buah Vektor}$

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Bentuk perkalian dari ilustrasi dua vektor di atas dinotasikan dengan  $\overline{a}\bullet \overline{b}$. Dimisalkan sebuah vektor  $\overline{a}$  dan  vektor  $\overline{b}$  membentuk sudut  $\theta$ , maka perkalian skalar dua vektor didefinisikan dengan

$\overline{a}\bullet \overline{b}=\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|\cos \theta ,\text{dengan}{0}^{\circ }\le \theta \le {180}^{\circ }$

Misalkan diberikan dua vektor   

$\begin{array}{rl}& \overline{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\text{dan}\overline{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)\\ & \text{Sesuai definisi, maka}\\ & \overline{a}\bullet \overline{b}=\overline{a_1}\overline{b_1}+\overline{a_2}\overline{b_2}\end{array}$

Sebagai bukti diberikan uraian berikut

Perhatikanlah   $\mathrm{△}\mathbf{\text{AOB}}$   di atas, saat kita menentukan ruas garis  AB  yang terbentuk dari vektor posisi  $\overline{a}$  dan  $\overline{b}$ dengan sudut pengapitnya adalah  $\theta$, maka kita dapat menggunakan aturan COSINUS, yaitu:

$\begin{array}{rl}{\left|\overline{AB}\right|}^2& ={\left|\overline{OA}\right|}^2+{\left|\overline{OB}\right|}^2-2\left|\overline{OA}\right|\left|\overline{OB}\right|\cos \theta \\ (b_1-a_1{)}^2& +(b_2-a_2{)}^2=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-2\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|\cos \theta \\ -2a_1{b}_1-& 2a_2{b}_2=-2\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|\cos \theta \\ {\displaystyle 2a_1{b}_1+}& 2a_2{b}_2={\displaystyle 2\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|\cos \theta }\\ & \mathbf{\text{Karena}}\\ & \overline{a}\bullet \overline{b}={\displaystyle 2\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|\cos \theta }\\ {\displaystyle 2a_1{b}_1+}& 2a_2{b}_2=\overline{a}\bullet \overline{b}◼\end{array}$

Dan dari bentuk di atas kita juga akan mendapatkan bentuk:

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overline{a}\bullet \overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika diketahui}\left|\overline{a}\right|=5,\text{dan}\left|\overline{b}\right|=8\\ & \text{dan kedua vektor itu membentuk sudut}{60}^{\circ }\\ & \text{maka nilai}\overline{a}\bullet \overline{b}=....\\ \\ & \text{Jawab}\\ & \begin{array}{rl}\overline{a}\bullet \overline{b}& =\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|\cos \mathrm{\angle }(\overline{a},\overline{b})\\ & =5.8.\cos {60}^{\circ }\\ & =40\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =20\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Jika diketahui vektor}\overline{a}=\left(\begin{array}{c}15\\ -11\end{array}\right),\text{dan}\overline{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\\ & \text{Tentukanlah nilai}\overline{a}\bullet \overline{b}\\ \\ & \text{Jawab}\\ & \begin{array}{rl}\overline{a}\bullet \overline{b}& =\left(\begin{array}{c}15\\ -11\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\\ & =(15)(-2)+(-11)(1)\\ & =-30+(-11)\\ & =-30-11\\ & =-41\end{array}\end{array}$

$\text{M. Perbandingan Vektor}$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut!

Dari gambar tersebut di atas diketahui bahwa titik P dan Q dengan koordinat masing-masing adalah  $(x_1,y_1)$  dan  $(x_1,y_1)$, dan  $\overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}=m:n$ , mak vektor posisi titik T adalah $\overrightarrow{t}={\displaystyle \frac{n\overrightarrow{p}+m\overrightarrow{q}}{m+n}}$.

Berikut paparan buktinya

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{PT}:\overrightarrow{TQ}& =m:n\\ {\displaystyle \frac{\overrightarrow{PT}}{\overrightarrow{TQ}}}& =\frac{m}{n}\\ {\displaystyle \frac{\overrightarrow{t}-\overrightarrow{p}}{\overrightarrow{q}-\overrightarrow{t}}}& =\frac{m}{n}\\ n(\overrightarrow{t}-\overrightarrow{p})& =m(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{t})\\ n\overrightarrow{t}-n\overrightarrow{p}& =m\overrightarrow{q}-m\overrightarrow{t}\\ m\overrightarrow{t}+n\overrightarrow{t}& =m\overrightarrow{q}+n\overrightarrow{p}\\ \overrightarrow{t}(m+n)& =n\overrightarrow{p}+m\overrightarrow{q}\\ \overrightarrow{t}& ={\displaystyle \frac{n\overrightarrow{p}+m\overrightarrow{q}}{m+n}◼}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas. }\\ & \text{Jika titik T terletak pada}\overrightarrow{SP},\text{sehingga}\\ & \overrightarrow{ST}:\overrightarrow{TP}=1:3,\text{maka}\\ & \text{a}.\text{Tentukanlah koordinat titik T}\\ & \text{b}.\text{Jika titik M terletak di tengah-tengah}\overrightarrow{SP},\\ & \text{tentukanlah koordinat titik M}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}\text{a}.\overrightarrow{t}& ={\displaystyle \frac{3\overrightarrow{s}+\overrightarrow{p}}{3+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{3\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)}{3+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}(\left(\begin{array}{c}-9\\ 21\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right))}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}-4\\ 24\end{array}\right)}\\ & =\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\end{array}\right)\\ \text{jadi}& \text{koordinat titik}T(-1,6)\end{array}& \begin{array}{rl}\text{b}.\overrightarrow{m}& ={\displaystyle \frac{1}{2}(\overrightarrow{s}+\overrightarrow{p})}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}(\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right))}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}2\\ 10\end{array}\right)}\\ & =\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)\\ \text{Jadi}& \text{koordinat titik}M(1,5)\\ & \\ & \\ & \end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui}\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\end{array}\right)\text{dan}\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-4\\ m\end{array}\right).\\ & \text{Tentukan}m\text{jika}\overrightarrow{u}\text{dan}\overrightarrow{v}\text{sejajar dan searah}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}\overrightarrow{u}& =k\overrightarrow{v}\\ & (\text{vektor}\overrightarrow{u}\text{dan}\overrightarrow{v}\text{sejajar dan searah})\\ \left(\begin{array}{c}-8\\ 2\end{array}\right)& =k\left(\begin{array}{c}-4\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4k\\ mk\end{array}\right)\\ -8& =-4m\Rightarrow m={\displaystyle \frac{-8}{-4}=2}\\ \text{Jadi}& m=2\end{array}\end{array}$

$\text{LATIHAN SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Perhatikanlah gambar berikut}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ .& \text{Nyatakan vektor-vektor pada gambar }\\ & \text{di atas ke dalam bentuk}\\ & \text{a}.\text{Vektor kolom}\\ & \text{b}.\text{Vektor baris}\\ & \text{c}.\text{Vektor basis}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada soal No. 1 di atas, gambarkanlah }\\ & \text{vektor-vektor berikut pada kertas berpetak}\\ & \text{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\\ & \text{b}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\\ & \text{c}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\\ & \text{d}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}\\ & \text{e}.\overrightarrow{b}+(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\\ & \text{f}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\\ & \text{g}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})\\ & \text{h}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}\\ & \text{i}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{f}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Perhatikanlah gambar pada soal No. 6 di atas.}\\ & \text{Jika titik T terletak pada}\overrightarrow{SP},\text{sehingga}\\ & \overrightarrow{ST}:\overrightarrow{TP}=2:3,\text{maka}\\ & \text{a}.\text{Tentukanlah koordinat titik T}\\ & \text{b}.\text{Jika titik M terletak di tengah-tengah}\overrightarrow{SP},\\ & \text{tentukanlah koordinat titik M}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 4.& \text{Diketahui}\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}16\\ -2\end{array}\right)\text{dan}\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-4\\ m\end{array}\right).\\ & \text{Tentukan}m\text{jika}\overrightarrow{u}\text{dan}\overrightarrow{v}\text{sejajar dan searah}\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti, Sulistiyono, & Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama.
2. Yuana, R. A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.