Lanjutan Materi Polinom : Teorema Sisa dan Teorema Faktor

 $\textbf{1. Teorema Sisa}$

Sebelumnya telah diketahui bahwa jika suatu polinom  $\textbf{f(x)}$ dibagi oleh  $\textbf{g(x)}$ dengan hasil bagi  $\textbf{h(x)}$  dan sisa pembagian berupa  $\textbf{s(x)}$, maka kondisi tersebut dapat dituliskan dengan

$f(x)=g(x)\times h(x)+s(x)$

Selanjutnya apabila  $\textbf{f(x)}$  berderajat  $\color{blue}n$  dibagi oleh  $\textbf{g(x)}$ berderajat  $\color{blue}m$, maka hasil bagi  $\textbf{h(x)}$  akan berderajat  $\color{blue}n-m$  dan sisa pembagian maksimum berderajat $\color{blue}m-1$.

Perhatikan kembali contoh soal sebelumnya yaitu:

Dari paparan di atas apabila disederhanakan, maka:

$\begin{aligned}\textrm{Jika}\: &\textrm{polinomial}\: \: f(x)\: \: \textrm{dibagi oleh}\\ \textrm{a}.\quad&g(x)=(x-a),\: \: s(x)=\color{red}f(a)\\ \textrm{b}.\quad&g(x)=(x+a),\: \: s(x)=\color{red}f(-a)\\ \textrm{c}.\quad&g(x)=(ax-b),\: \: s(x)=\color{red}f\left ( \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{d}.\quad&g(x)=(ax+b),\: \: s(x)=\color{red}f\left (- \displaystyle \frac{b}{a} \right )\\ \textrm{e}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{x-a}{b-a}\color{red}f(b)\color{black}+\frac{x-b}{a-b}\color{red}f(a)\\ \textrm{f}.\quad&g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\\ &\quad s(x)=\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}\color{red}f(c)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}\color{red}f(b)\\ &\: \qquad +\displaystyle \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}\color{red}f(a) \end{aligned}$

$\textbf{2. Teorema Faktor}$

Pada pembagian sebuah bilangan bahwa suatu bilangan dikatakan habis terbagi jika pembaginya adalah faktor dari bilangan tersebut. Sebagai misal 15 faktornya adalah: 1,3,5, dan 15. Dan pada bahasan materi tentang pemfaktoran pada persamaan kuadrat saat Anda duduk di kelas X sebagai misal  $x^{2}+x-6$ akan habis terbagi oleh  $x+3$  dan  $x-2$. Demikian juga  ketika  $x^{2}+2x-8$  akan habis terbagi oleh  $x+4$  dan  $x-2$. Selanjutnya pembagi-pembagi tersebut kita namakan sebagai faktor dari yang dibagi tersebut.

Untuk selanjutnya toerema faktor dinyatakan:

• Jika  $(x-h)$ adalah faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f(h)=0$
• Jika  $(ax+h)$  merupakan faktor dari  $f(x)$  jika dan hanya jika  $f\left ( \displaystyle \frac{-h}{a} \right )=0$