Polinom / Suku Banyak (Matematika Peminatan Kelas XI)

$\text{A. Pendahuluan}$

Polinom disebut juga suku banyak. Polinom atau suku banyak adalah suatu bentuk variabel yang berpangkat/berderajat.

Secara definisi suku banyak (polinomial) dalam  $x$  berderajat $n$ adalah:

Suatu bentuk

${\displaystyle a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_2{x}^2+a_1{x}^1+a_0}$

dengan  $n$  bilangan cacah serta  $a_0,a_1,a_2,...,a_n$  koefisien dari suku  $x$  dan  $a_n\ne 0$  dengan  $a_0$  sebagai suku tetap (konstan)nya.

Selanjutnya perhatikanlah tabel berikut!

$\begin{array}{|ll|}\hline \begin{array}{rl}{a}_n& \text{adalah koefisien dari}{x}^n\\ a_{n-1}& \text{adalah koefisien dari}{x}^{n-1}\\ a_{n-2}& \text{adalah koefisien dari}{x}^{n-2}\\ ⋮& \\ a_2& \text{adalah koefisien dari}{x}^2\\ a_1& \text{adalah koefisien dari}{x}^1\\ a_0& \text{adalah konstanta}\\ & (\text{suku tetap})\end{array}& \begin{array}{rl}{a}_n& \ne 0\\ n:& \text{bilangan cacah},\\ :& \text{adalah derajat (pangkat)}\\ & \text{tertinggi dalam suku}\\ & \text{banyak tersebut}& \\ & \\ & \\ & \end{array}\\ \hline\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL 1}$

$\begin{array}{rl}1.& \text{Polinom}2x^3-6x^2+2020\text{dapat dinyatakan}\\ & \text{dengan}2x^3-6x^2+0x^1+2020x^0\\ & \text{Polinom tersebut memiliki suku tetap}2020\\ 2.& \text{Polinom}5x^4-8x^3+6x-2021\text{dapat dinyatakan}\\ & \text{dengan}5x^4-8x^3+0x^2+6x^1-2021x^0\\ & \text{Polinom tersebut memiliki suku tetap}-2021\\ 3.& \text{Polinom}{x}^4-2x^3+3x^2-2\sqrt{x}+1\text{tidak dapat}\\ & \text{dinamakan polinom, sebab ada variabel dari}x\\ & \text{yang berderajat bukan bilangan cacah}\\ 4.& \text{Sedangkan polinom}5-x+(2-x)(1+x+x^2)\\ & \text{adalah bentuk polinom, karena dapat dinayatakan}\\ & \text{dengan}-x^3+x^2+7\end{array}$

$\text{B. Nilai Polinom}$

Polinom atau suku banyak yang berderajat $n$ yang selanjutnya dinyatakan dengan 

$f(x)={\displaystyle a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_1{x}^1+a_0}$

Berkaitan dengan kebutuhan penentuan nilai ini, dapat ditentukan dengan dua cara:

$\mathbf{\text{a. Substitusi}}$

$\begin{array}{rl}& \text{Nilai suku banyak}f(x)\text{berderajat}\\ & n\text{saat}x=k\text{adalah}f(k).\\ & \text{Jika}f(k)=0\text{maka}x=k\text{akar dari}f(x),\\ & \text{dan}(x-k)\text{faktor dari}f(x)\\ & \end{array}$

$\text{CONTOH SOAL 2}$

Jika suatu polinom dinyatakan dengan  $f(x)$, maka nilai polinom itu untuk  $x=3$  adalah  $f(3)$.

Misalkan diketahui  

$\begin{array}{rl}1.f(x)& =x^3-1\\ \text{mak}& \text{a}\\ f(1)& =1^3-1=1-1=0\\ f(3)& =3^3-1=27-1=26\\ f(-4)& =(-4{)}^2-1=-64-1=-65\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui}h(x)=2x^3+5x^2-12x-6\\ & \text{Tentukanlah nilai untuk}h(-2),h(-1),\\ & h(0),h(1),\text{dan}h(2)\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{|ccl|}\hline x=k& h(k)& \text{Nilai}\\ x=-2& h(-2)& \begin{array}{rl}h(-2)& =2(-2{)}^3+5(-2{)}^2-12(-2)-6\\ & =-16+20+24-6\\ & =22\end{array}\\ x=-1& h(-1)& \begin{array}{rl}h(-1)& =2(-1{)}^3+5(-1{)}^2-12(-1)-6\\ & =-2+5+12-6\\ & =9\end{array}\\ x=0& h(0)& \begin{array}{rl}h(0)& =2(0{)}^3+5(0{)}^2-12(0)-6\\ & =-6\end{array}\\ x=1& h(1)& \begin{array}{rl}h(1)& =2(1{)}^3+5(1{)}^2-12(1)-6\\ & =2+5-12-6\\ & =-11\end{array}\\ x=2& h(2)& \begin{array}{rl}h(2)& =2(2{)}^3+5(2{)}^2-12(2)-6\\ & =16+20-24-6\\ & =6\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Diketahui}p(x)=x-2019\\ & \text{dan}q(x)=x^{2019}+1.\text{Tentukanlah}\\ & \text{nilai untuk}p(q(2))\text{dan}q(p(2))\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Yang dibahas yang bagian}p(q(2))\\ & q(2)=2^{2019}+1,\text{maka nilai}\\ & \begin{array}{rl}p(q(2))& =(2^{2019}+1)-2019\\ & =2^{2019}-2018\end{array}\\ \\ & \text{Untuk yang}q(p(2))\text{adalah}\\ & p(2)=\cdots ,\text{maka nilai}\\ & \begin{array}{rl}q(p(2))& =\because {\cdots }^{2019}+1\\ & =\cdots \end{array}\end{array}$

$\mathbf{\text{b. Horner/Sintetik}}$

Nilai suatu polinom dapat ditentukan dengan pembagian sintesis Horner

Misalkan:

$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{saat akan dibagi}\\ & x=h,\text{maka pembagian Horner itu}:\\ & \end{array}$

Perhatikan bahwa proses ke bawah adalah berup proses penjumlahan.

Proses di atas akan sama saat kita mensubstitusikan  $x=h$  ke dalam  $f(x)$, yaitu:

$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{saat}\\ & x=h,\text{maka}\\ f(h)& =a{h}^3+b{h}^2+ch+d\\ & \\ & \mathbf{\text{Cukup JELAS bukan}}?\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL 3}$

$\begin{array}{l}\\ \text{Tentukanlah nilai dari}f(4)\text{jika}\\ \text{diketahui}f(x)=x^3-x-5\\ \text{Jawab}:\\ \begin{array}{rl}(1).& \text{Cara substitusi langsung}\\ & f(x)=x^3-x-5\\ & f(4)=4^3-4-5\\ & =64-9=55\\ (2).& \text{Cara Horner}\\ & \text{Karena}f(x)=x^3-x-5\\ & \text{dan koefisiennya yang akan}\\ & \text{adalah}:\\ & a_3=1,a_2=0,a_1=-1,\mathrm{\&}{a}_0=-5\\ & \mathbf{\text{maka bagan pembagian Hornernya}}\\ & \begin{array}{l}\\ & x=4& 1& 0& -1& -5& \\ & & & & & & \\ & & & 4& 16& 60& +\\ & & 1& 4& 15& 55\end{array}\end{array}\end{array}$