Contoh Soal Distribusi Normal

 $\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Fungsi distribusi normal variabel acak X}\\ &\textrm{dengan}\: \: \mu =8\: \: \textrm{dan}\: \: \sigma =2\: \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{2}}}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{4}}}\\&\textrm{c}.\quad \displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{2}}}\\&\textrm{d}.\quad \displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{4}}}\\&\textrm{e}.\quad \color{red}\displaystyle f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8\pi }}e^{.^{-\frac{(x-8)^{2}}{8}}}\\\\&\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\&\begin{aligned}\displaystyle f(x)&=\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\left (\frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}},\: \:  \textrm{dengan}\: \: \left\{\begin{matrix} \mu =8\\ \sigma =2 \end{matrix}\right.\\&=\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\left (\frac{x-8}{2 } \right )^{2}}}\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{(x-8)^{2}}{8}}} \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Jika variabel acak}\: \: Z\: \: \textrm{berdistribusi normal}\\ &\textrm{N}(0,1),\:  \textrm{nilai}\: \: \textrm{P}(Z< 2)\: \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \int_{0}^{2}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle z^{2}}}\: dz\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \int_{2}^{\infty }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle z^{2}}}\: dz\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}\displaystyle \int_{-\infty }^{2}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle z^{2}}}\: dz\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \int_{0}^{2}\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma } \right )^{2}}}\: dz\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \int_{0}^{2}\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma } \right )^{2}}}\: dz\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\begin{aligned}&P(\textrm{Z}<2)\: ,\qquad \textrm{Z}\sim \textrm{N}(0,1)\\ &=P(-\infty <\textrm{Z}<0)+P(0<\textrm{Z}<2)\\ &=\color{red}\displaystyle \int_{-\infty }^{2}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle z^{2}}}\: dz \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika luas daerah di bawah kurva}\\ &\textrm{berdistribusi normal pada interval}\: \: \textrm{Z}>z\\ &\textrm{adalah}\: \: L,\: \: \textrm{nilai}\: \: \textrm{P}(-z<Z< z)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 0,5+L\\ &\textrm{b}.\quad 0,5-L\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle 1-L\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\displaystyle 1-2L\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle 2L\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}P&(-z<Z<z)\\ &=0,5-L+0,5-L\\ &=\color{red}1-2L\\ &\textrm{Berikut ilustrasi kurva beserta luasnya} \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diketahui}\: \: \textrm{X}\: \: \sim \textrm{N}(20,4)\: \: \textrm{dan}\: \:  Z\sim N(0,1)\\ &\textrm{Jika}\: \: P(0<Z<1)=0,3413,\: \: \textrm{maka nilai}\\ &P(X<24)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle 0,1587\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle 0,3174\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle 0,3413\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle 0,6826\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}\displaystyle 0,8413\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}\: \: X\sim N(20,4)\begin{cases} \mu  & =20 \\  \sigma  & =4  \end{cases}\\ &\textrm{Dan diketahui pula}\: \: P(0<Z<1)=0,3413\\ &\textrm{Jika}\: \: Z\sim N(0,1),\: \: \textrm{maka untuk}\: P(X<24)\\ &\textrm{transformasi}\: \: \textrm{x}=24\: \: \textrm{menjadi}\\ &\textrm{z}=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma }=\frac{24-20}{4}=\frac{4}{4}=1\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}P(X<24)&=P(Z<1)\\ &=0,5+P(0<Z<1)\\ &=0,5+0,3413\\ &=\color{red}0,8413 \end{aligned} \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Nilai kuartil atas dari data}\\ &\textrm{berdistribusi normal baku}=q\\ & \textrm{Pernyataan berikut yang tepat adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}\textrm{Luas daerah pada}\: (Z<q)=0,25\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Luas daerah pada}\: (Z>q)=0,25\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Luas daerah pada}\: (0<Z<q)=0,25\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Luas daerah pada}\: (Z<-0,25)=q\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{Luas daerah pada}\: (0<Z<0,25)=q\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\textrm{Pembahasan diserahkan kepada pembaca}\\ &\textrm{yang budiman}  \end{array}$.

Lanjutan 2 Distribusi Normal

D. Menentukan nilai k (batas interval)

Penentuan batas ini adalah kebalikan dari pencarian nilai luasan di bawah kurva

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dengan bantuan tabel distribusi normal}\\ &\textrm{tentukan nilai}\: \: k\: \: \textrm{pada}\: \: P(Z\leq k)=0,9834\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}P(Z\leq k)&=P(Z\leq 0)+P(0\leq Z\leq k)\\ &=0,9834> 0,5\\ 0,9834&=0,5+P(0\leq Z\leq k)\\ P(0\leq Z\leq k)&=0,9834-0,5=0,4834\\ &=P(0\leq Z\leq \color{red}2,13\color{black})\\ \therefore \quad k&=\color{red}2,13 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Dengan bantuan tabel distribusi normal}\\ &\textrm{tentukan nilai}\: \: k\: \: \textrm{pada}\: \: P(Z\geq k)=0,3669\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}P(0\leq Z\leq \infty )&=P(0\leq Z\leq k)+P(k\leq Z\leq \infty )\\ 0,5&=P(0\leq Z\leq k)+0,3669\\ P(0\leq Z\leq k)&=0,5-0,3669=0,1331\\ &=P(0\leq Z\leq \color{red}0,34\color{black})\\ \therefore \quad k&=\color{red}0,34 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Dengan tabel distribusi normal, tentukan}\\ &\textrm{nilai}\: \: k\: \: \textrm{pada}\: \: P(-k\leq Z\leq k)=0,9854\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}P(-k\leq Z\leq k)&=P(-k\leq Z\leq 0)+P(0\leq Z\leq k)\\ &=2\times P(0\leq Z\leq k)\\ 0,9854&=2\times P(0\leq Z\leq k)\\ P(0\leq Z\leq k)&=\displaystyle \frac{0,9854}{2}=0,4972\\ &=P(0\leq Z\leq \color{red}2,77\color{black})\\ \therefore \quad k&=\color{red}2,77 \end{aligned} \end{array}$.

E. Pendekatan distribusi binomial dengan distribusi normal

Pada kasus distribusi binomial (distribusi Bernoulli) terdapat jumlah sampel yang besar, misalkan untuk $n=\color{red}60$, maka penghitungan dengan menggunakan metode ini akan memakan waktu yang lama. Penghitungan yang lebih ringkas dengan tingkat ketelitian hasil yang baik adalah dapat kita gunakan penghitungan dengan distribusi normal (distibusi Gauss) dengan syarat  $Np\geq 5$  dan  $N(1-p)\geq 5$.

$\begin{array}{|c|c|l|l|}\hline \textrm{Notasi}&\textrm{Dibaca}&\textrm{Istilah}&\textrm{Rumus}\\\hline \mu &\textrm{mu}&\textrm{rata-rata}&\mu =Np\\\hline \sigma ^{2}&&\textrm{Variansi}&\sigma ^{2}=Npq\\\hline \sigma &\textrm{sigma}&\textrm{simpangan baku}&\sigma =\sqrt{Npq}\\\hline \end{array}$.

Dengan

$\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Dengan rumus distribusi binomial}\\ &P(X=\textrm{x})=b(\textrm{x};n;p)\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{n!}{\textrm{x}!.(n-\textrm{x})!}.p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}=\begin{pmatrix} n\\ \textrm{x} \end{pmatrix}..p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}\\ &\color{red}\textrm{Dengan rumus distribusi normal}\\ &\textrm{nilai}\: \: Z-\textrm{score, untuk x adalah}\: :\: Z=\displaystyle \frac{\textrm{x}-\mu }{\sigma } \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Dari 64 kali percobaan melempar sebuah}\\ &\textrm{uang logam peubah acak}\: \: X\: \: \textrm{menyatakan}\\ &\textrm{banyak kemunculan sisi angka, tentukan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{mean}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{standar deviasi atau simpangan baku}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misal}\: p=\textrm{peluang kejadian muncul angka}\\ &p=\color{red}\displaystyle \frac{1}{2}\color{black},\: \: \textrm{maka}\: \:  q=1-p=1-\displaystyle \frac{1}{2}=\color{blue}\frac{1}{2}\\ &\textrm{dengan}\: \:  N=64\\ &\textrm{maka}\\ &\textrm{a}.\quad\mu =N.p=64\times \displaystyle \frac{1}{2}=\color{red}32\\ &\textrm{b}.\quad \sigma  =\sqrt{N.p.q}=\sqrt{64\times \displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}=\sqrt{16}\\ &\qquad\: \: =\color{red}4 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan probabilitas perolehan 5 sisi angka}\\&\textrm{pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak }\\ &\textrm{12 kali}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Dengan rumus distribusi binomial}\\ &\textrm{Diketahui}\: \: n=12,\: \textrm{x}=5,\: \textrm{dan}\: \: p=\displaystyle \frac{1}{2},\: q=1-p\\ &P(X=\textrm{x})=b(\textrm{x};n;p)\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{n!}{\textrm{x}!.(n-\textrm{x})!}.p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}=\begin{pmatrix} n\\ \textrm{x} \end{pmatrix}..p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}\\ &P(\textrm{x}=5)=b(5;12;\displaystyle \frac{1}{2})\\ &\qquad\qquad\: =\begin{pmatrix} 12\\ 5 \end{pmatrix}.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{5}.\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2} \right )^{12-5}\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{12!}{5!.7!}.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{12}\\ &\qquad\qquad \: =\displaystyle \frac{792}{4048}=\color{red}0,1934\quad \color{black}(\textrm{Pembulatan 4D}) \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\color{red}\textrm{Dengan rumus distribusi normal}\\ &\mu =n.p=12.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )=6\\ &\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{12.\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )\left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2} \right )}=\sqrt{3}\\ &\: \: \: =1,7321\\ &\textrm{nilai}\: \: Z-\textrm{score, untuk x di antara}\\ &4,5\: \: \textrm{dan}\: \: 5,5\\ &Z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{4,5-6}{1,7321}=-0,87\\ &\Rightarrow P(Z=0,87)=0,3078\\ &Z_{2}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }=\displaystyle \frac{5,5-6}{1,7321}=-0,29\\ &\Rightarrow P(Z=0,29)=0,1141\\ &\textrm{Luasan}\: \: 4,5\: \: \textrm{hingga}\: \: 5,5\\ &=0,3078-0,1141=\color{red}0,1937 \end{aligned}\\ &\color{blue}\textrm{Perbedaan selisihnya adalah}\\ &=0,1937-0,1934=\color{red}0,0003 \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Pada soal nomor 1 di atas, carilah probabilitas}\\&\textrm{mendapatakan 2 sisi angka dan probabilitas}\\ &\textrm{mendapatkan sisi angka kurang dari 50}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned} &\bullet \quad \textrm{untuk}\: \: x=2,\: n=64,\: \textrm{dan}\: \: p=\displaystyle \frac{1}{2},\: q=1-p\\ &P(X=\textrm{x})=b(\textrm{x};n;p)\\ &\qquad\qquad\: =\displaystyle \frac{n!}{\textrm{x}!.(n-\textrm{x})!}.p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}=\begin{pmatrix} n\\ \textrm{x} \end{pmatrix}..p^{\textrm{x}}.q^{n-\textrm{x}}\\ &\qquad \textrm{maka}\: \: P(X=2)=P(x=2)\\ &\qquad P(x=2)=\begin{pmatrix} 64\\ 2 \end{pmatrix}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{64-2}\\ &\qquad =\displaystyle \frac{64\times 63}{2}\times \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{64}=\displaystyle \frac{4032}{2^{65}}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\bullet \quad P(X< 50)=P(x=0)+P(x=1)\\ &\qquad +P(x=2)+P(x=3)+...+P(x=49)\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\textrm{Diketahui}\: \: \mu =32,\: \: \sigma =4,\: \: \textrm{dan}\: \: x=50\\ &z=\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{50-32}{4}=\frac{18}{4}=4,5\\ &\textrm{maka nilai}\\ &P(x< 50)=P(z< 4,5)\\ &\qquad\: \: \qquad =P(z\leq 0)+P(0\leq z< 4,5)\\ &\qquad\: \: \qquad =0,5+0,4999\\ &\qquad\: \: \qquad =\color{red}0,9999 \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
3. Sari, B.-------. Pendekatan Binomial untuk Kasus Distribusi Normal. pada https://dosen.yai.ac.id/v5/dokumen/materi/030013/103_20211207093237_Pertemuan%2010_Pendekatan%20Binomial%20Untuk%20Kasus%20Distribusi%20Normal.pdf 

Lanjutan 1 Distribusi Normal

 B. Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal adalah salah satu distribusi model variabel acak kontinue yang sangat penting dalam probabilitas.

Distribusi normal yang juga dikenal dengan distribusi Gaussian ini memiliki grafik berbentuk bel/lonceng yang selanjutnya juga dikenal dengan kurva normal karena bentuk kurvanya seperti lonceng. Persamaan kurva  tersebut dinamakan dengan fungsi distribusi normal. Adapun fungsi distribusi normal untuk variabel acak kontinue X atau $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ didefinisikan dengan.

$\begin{aligned}&f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}.e^{.^{-\frac{1}{2}\left ( \displaystyle \frac{x -\mu }{\sigma } \right )^{2}}}\\ &\textrm{Dengan}\\ &\sigma :\: \textrm{parameter untuk standar deviasi}\\ &\mu :\: \textrm{parameter untuk rata-rata (mean)}\\ &e:\: \textrm{Kontanta alam (2,718...)}\\ &\textrm{Dengan domain fungsi}\: \: f\: \: -\infty < x< \infty\\   \end{aligned}$.

 B. Pengertian Distribusi Normal Standar (Baku)

Jika pada fungsi distribusi probabilitas memilii nilai $\mu =0$  dan  $\sigma =1$, maka aan didapatkan bentu distribusi normal standar.  Variabel acak z yang berdistribusi normal satndar dinotasian dengan $Z\sim N(0,1)$. Adapun untuk gambar kurva normalnya $\textrm{N}(0,1)$  adalah sebagai berikut

Untuk variabel acak X berdistribusi normal dilambangkan dengan $\textrm{X}\sim \textrm{N}(\mu,\sigma^{2})$. Selanjutnya jika $\mu=0$ dan $\sigma=1$, maka akan diperoleh distribusi normal standar (baku) yaitu $\textrm{N}(0,1)$ seperti keterangan di atas. Dan rumus fungsi variabel acak Z yang berdistribusi normal  baku adalahh: $f(z)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}$.

Karena kurva di atas adalah kurva dari grafik fungsi peluang, maka luas yang dibatasi adalah garfik fungsi dan sumbu mendatarnya adalah berharga 1, atau dapat juga dituliskan

$\int_{-\infty }^{\infty }f(z)dz=\int_{-\infty }^{\infty }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz=1$.

Karena grafik simetris terhadap garis $\mu=0$, maka luas di kiri dan kanan garis $\mu=0$ bernilai $0,5$ atau

$\int_{-\infty }^{0 }f(z)dz=\int_{-\infty }^{0 }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz=0,5$ dan $\int_{0 }^{\infty }f(z)dz=\int_{0}^{\infty }\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz=0,5$.

C. Penghitungan luas di Bawah Kurva Distribusi Normal Standar

C. 1 Penghitungan luasan di bawah kurva Normal Standar

Penentuan luas wilayah ini sangatlah tidak mudah karena melibatkan banyak aspek, tetapi ada cara lain dalam penentuan luas daerah di bawah kurva normal standar, yaitu dengan bantuan tabel distribusi $\textrm{Z}$ sebagaimana tabel sederhana berikut

Sumber dari gambar di atas adalah dari screenshot dari youtube Channel Ari Susanti  

Probabilitas variabel acak $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ luasan di bawah kurvanya akan senilai dengan luasan di bawah kurva normal standar $Z\sim N(0,1)$ dengan cara mentransformasikan dari variabel acak normal $X$ menjadi variabel acak $Z$ dengan rumus:

$Z=\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui}\: \: X\sim N(28,169).\: \textrm{Tentukan}\\ &\textrm{nilai}\: \: P(15,8\leq \textrm{x}\leq 56,6)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\Leftrightarrow X\sim N(28,169)\\ &\mu =28,\: \: \sigma ^{2}=169\Rightarrow \sigma =\sqrt{169}=13\\ &\textrm{Penentuan nilai}\: \: P(15,8<x<56,6)\: \: \textrm{adalah}:\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}15,8\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{1}=15,8\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }\\ &\: \: \: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{15,8-28}{13}=-0,94\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}56,6\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{2}=56,6\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }\\ &\: \: \: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{56,6-28}{13}=2,2\\ &\textrm{maka nilai}\\ &P(15,8\leq \textrm{x}\leq 56,6)\\ &=P(-0,94\leq z\leq 2,2)\\ &=P(0\leq z\leq 0,94)+P(0\leq z\leq 2,2)\\ &=0,3264+0,4861\\ &=\color{red}0,8125 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan}\: \: P(78<x<116)\: \: \textrm{jika mean}\: \: \mu =104\\ &\textrm{dan simpangan baku}\: \: \sigma =10\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned} &\textrm{Diketahu bahwa}\: \: \: \color{blue}\mu =104\color{black},\: \: \color{blue}\sigma =10\\ &\textrm{Penentuan nilai}\: \: P(78<x<116)\: \: \textrm{adalah}:\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}78\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{1}=78\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{78-104}{10}=\frac{26}{10}=-2,6\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}116\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{2}=116\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }\\ &\: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{116-104}{10}=\frac{12}{10}=1,2\\ &\textrm{maka nilai}\\ &P(78<x<116)=P(78\leq \textrm{x}\leq 116)\\ &=P(-2,6\leq z\leq 1,2)\\ &=P(0\leq z\leq 2,6)+P(0\leq z\leq 1,2)\\ &=0,4953+0,3849\\ &=\color{red}0,8802 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sebuah mesin memproduksi baut dengan}\\ &\textrm{bahan logam. Panjang baut yang diproduksi}\\ &\textrm{berdistribusi normal dengan mean}\: 19,8\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{dan standar deviasi}\: 0,3\: \: \textrm{cm}.\: \textrm{Jika diambil baut}\\ &\textrm{secara acak, tentuan terambil baut dengan}\\ &\textrm{panjang antara 19,7 cm dan 20 cm}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\mu =19,8\: \: \textrm{cm},\: \: \sigma =0,3\: \: \textrm{cm}\\ &\textrm{Penentuan panjang}\: \: P(19,7<x<20)\: \: \textrm{adalah}:\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}19,7\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{1}=19,7\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{1}-\mu }{\sigma }\\ &\: \: \: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{19,7-19,8}{0,3}=-0,33\\ &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{x}=\color{red}20\\ &\bullet \quad\textrm{x}_{2}=20\Rightarrow z_{1}=\displaystyle \frac{\textrm{x}_{2}-\mu }{\sigma }\\ &\: \: \: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\displaystyle \frac{20-19,8}{0,3}=0,67\\ &\textrm{maka nilai}\\ &P(19,7\leq \textrm{x}\leq 20)\\ &=P(-0,33\leq z\leq 0,67)\\ &=P(0\leq z\leq 0,33)+P(0\leq z\leq 0,67)\\ &=0,1293+0,2486\\ &=\color{red}0,3779 \end{aligned} \end{array}$.

C. 2 Penghitungan luasan di bawah dengan Interval  Tertentu

Luasan daerah dibawah kurva normal baku pada interval  $z_{1}<\textrm{Z}<z_{2}$ dapat dituliskan sebagai  $P(z_{1}<\textrm{Z}<z_{2})=\displaystyle \int_{z_{1}}^{z_{2}}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Perhatikanlahdaerah berarsir pada kurva normal}\\ &\textrm{berikut untuk interval}\: \: 0<\textrm{Z}<1,25 \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{a}.\quad \textrm{Nyatakan dengan bentuk integral yang menyatakan}\\ &\: \: \: \, \quad \textrm{luas daerah yang terarsir}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Tentukan luas daerah yang diarsir dengan bantuan}\\ &\: \: \: \, \quad \textrm{tabel distribusi normal baku}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Diketahui fungsi normal baku dalam variabel}\: z\: \: \textrm{adalah}:\\ &f(z)=\color{purple}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}\\ &\textrm{maka daerah yang diarsir pada interval}\: \: 0<\textrm{Z}<1,25\\ &\textrm{Yaitu}:\\ &L=\displaystyle \int_{0}^{1,25}f(z)dz=\color{red}\displaystyle \int_{0}^{1,25}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{.^{-\frac{1}{2}Z^{2}}}dz\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Adapaun cara tabel adalah sebagai berikut}\\ &\textrm{Lihat gambar di atas, yaitu}:\: \color{blue}0,3944  \end{aligned} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Pada interval berikut, tentukanlah luas}\\ &\textrm{daerah dibawah kurva normbal baku}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Z}>0,96\\ &\textrm{b}.\quad -0,72<\textrm{Z}<2,08\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Karena luas daerah di kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: 0,96<\textrm{Z}<\infty \\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}6\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}0,9\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,3315\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=0,5-0,3315=0,1685 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad&\textrm{Karena luas daerah di kiri dan kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: -0,72<\textrm{Z}<2,08\: \textrm{atau}\: \: \textrm{P}(-0,72<\textrm{Z}<2,08)\\ &\underline{\textrm{Untuk}}\: :\: -0,72<\textrm{Z}<0=0<\textrm{Z}<0,72\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}2\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}0,7\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,2642\\\hline \end{array}\\ &\underline{\textrm{Sedangkan untuk}}\: :\: 0<\textrm{Z}<2,08\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}8\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}2,0\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,4812\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=\color{blue}0,2642\color{black}+\color{blue}0,4812\color{black}=\color{blue}0,7454\\ &\textrm{Berikut ilustrasinya} \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah besar peluang dari variabel}\\ &\textrm{variabel acak Z berdistribusi normal baku}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{P}(\textrm{Z}<1,2)\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{P}(0,32<\textrm{Z}<1,5)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{3. a. Perhatikan ilustrasi berikut ini} \end{array}$.

$.\: \qquad\begin{aligned}&\textrm{Karena luas daerah di kiri dan kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: \textrm{P}(\textrm{Z}<1,2)=\textrm{P}(-\infty <\textrm{Z}<1,2) \\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}0\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}1,2\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,3849\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=0,5+0,3315=0,8849 \end{aligned}$.

$.\quad\begin{aligned}3.b\: \: &\textrm{Untuk}\: \: \textrm{P}(0,32<\textrm{Z}<1,5)\\ &\textrm{Perhatikan ilsutrasi berikut} \end{aligned}$.

$.\: \: \qquad\begin{aligned}&\textrm{Karena luas daerah di kanan garis}\: z=0\\ &\textrm{maka luas}:\: 0,32<\textrm{Z}<1,5\\ &\underline{\textrm{Untuk}}\: :\: 0<\textrm{Z}<0,32\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}2\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}0,3\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,1255\\\hline \end{array}\\&\underline{\textrm{Sedangkan untuk}}\: :\: 0<\textrm{Z}<1,5\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline z&z&\begin{matrix} \color{red}0\\  \downarrow \end{matrix} \\\hline 0&\color{red}1,5\color{black}\rightarrow &\color{blue}0,4332\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, luasnya}=\color{blue}0,4332\color{black}-\color{blue}0,1255\color{black}=\color{blue}0,3077\\ \end{aligned}$ .

DAFTAR PUSTAKA

1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

Distribusi Normal

A. Fungsi Probabilitas Kontinu

Jika pada distribusi peluang diskrit nilai  x diperjelas lagi menjadi nilai eksak atau kontinue, maka distribusi peluangnya akan berubah menjadi distribusi peluang kontinu.

Luas seluruh daerah di dalam kurva memiliki luas 1. Luas daerah pada wilayah yang diarsi (warna kuning) yang terletak antara X=a  dan X=b dapat dinyatakan dengan :  $P(a\leq X\leq b)=\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx$.

Sehingga peluang untu semua nilai x yang berada pada selang  $(a,b)$ adalah sama dengan luas kerapatan di bawah kurva antara batas  $x=a$  dan  $x=b$.

• $0\leq f(x)\leq 1$ untuk setiap nilai $x$.
• $\int_{-\infty }^{\infty }\displaystyle f(x)\: dx=1$
• $P(a\leq x\leq b)=\int_{a}^{b}\displaystyle f(x)\: dx$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Fungsi peluang lama bicara seorang}\\ &\textrm{operator sebagai berikut}\\ &f(x)=\begin{cases} kx &\textrm{untuk}\: \: 0\leq k\leq 5 \\ k(10-x)&\textrm{untuk}\: \: 5\leq k\leq 10\\ \qquad 0 &\textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{cases}\\ &\textrm{Tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Nilai}\: \: k\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Peluang operator telpon berbicara}\\ &\qquad \textrm{lebih dari 8 menit}\\ &\qquad \textrm{Peluang operator telpon berbicara}\\ &\qquad \textrm{2 sampai 4 menit}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Karena}\: \: f(x)\: \: \textrm{adalah fungsi peluang, maka}\\ &\displaystyle \int_{0}^{5}kx\: dx+\int_{5}^{10}k(10-x)\: dx=1\\ &\Leftrightarrow \left [ \displaystyle \frac{1}{2}kx^{2} \right ]_{0}^{5}+\left [ 10kx-\displaystyle \frac{1}{2}kx^{2} \right ]_{5}^{10}=1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}k(5^{2}-0^{2})+\left ( 10k(10-5)-\displaystyle \frac{1}{2}k(10^{2}-5^{2}) \right )=1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}k(25)+10k(5)-\displaystyle \frac{1}{2}k(100-25)=1\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{25}{2}k+50k-\displaystyle \frac{75}{2}k=1\\ &\Leftrightarrow 50k-25k=1\\ &\Leftrightarrow 25k=1\\ &\Leftrightarrow k=\color{red}\displaystyle \frac{1}{25}\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Misalkan saja}\\ &X=\textrm{lama operator telpon bicara}\\ &\textrm{Peluang operator berbicara lebih}\\ &\textrm{dari 8 menit}=P(X>8),\\ &P(X>8)=P(8<X\leq 10)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \int_{8}^{10}k(10-x)\: dx\\ &\quad\qquad =\displaystyle \int_{8}^{10}\frac{1}{25}(10-x)\: dx\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left [ 10x-\displaystyle \frac{1}{2}x^{2} \right ]_{8}^{10}\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left ( 10(10-8)-\displaystyle \frac{1}{2}(10^{2}-8^{2}) \right )\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left ( 10.(2)-\displaystyle \frac{1}{2}(100-64) \right )\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}\left ( 20-\displaystyle \frac{1}{2}(36) \right )\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}(20-18)\\ &\quad\qquad =\displaystyle \frac{1}{25}(2)=\color{red}\frac{2}{25}=0,08\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{Peluang operator telpon berbicara}\\ &P(2\leq X\leq 4)\\ &=\displaystyle \int_{2}^{4}kx\: dx\\ &=\displaystyle \int_{2}^{4}\displaystyle \frac{1}{25}x\: dx\\ &=\displaystyle \frac{1}{25}\left [ \displaystyle \frac{1}{2}x^{2} \right ]_{2}^{4}\\ &=\displaystyle \frac{1}{25}\times \frac{1}{2}(4^{2}-2^{2})\\ &=\displaystyle \frac{1}{50}(16-4)\\ &=\color{red}\displaystyle \frac{12}{50}=0,24 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: x\: \: \textrm{adalah variabel acak kontinu}\\ &\textrm{yang nilanya berada pada rentang 2 dan 6}\\ &\textrm{dengan fungsi kepekatannya}\: \: f(x)=\displaystyle \frac{1}{20}(x+1).\\ &\textrm{Tunjukkan bahwa}\: \: \: P(2< x< 6)=\textbf{1}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}P(2<x<6)&=\int_{2}^{6}\displaystyle f(x)\: dx\\ &=\int_{2}^{6}\displaystyle \frac{1}{20}(x+1)\: dx\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}\int_{2}^{6}\displaystyle (x+1)\: dx\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}\left (\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+x  \right )|_{2}^{6}\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}\left (\displaystyle \frac{6^{2}}{2}+6  \right )-\displaystyle \frac{1}{20}\left (\displaystyle \frac{2^{2}}{2}+2  \right )\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}(18+6)-\displaystyle \frac{1}{20}(2+2)\\ &=\displaystyle \frac{1}{20}(24-4)\\ &=\displaystyle \frac{20}{20}\\ &=1\: \: \quad (\textbf{terbukti}) \end{aligned}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}P(2<x<6)&=\int_{2}^{6}\displaystyle f(x)\: dx=1\\ 1&=\int_{2}^{6}\displaystyle \frac{1}{20}(x+1)\: dx\\ 1&=\displaystyle \frac{1}{20}\int_{2}^{6}\displaystyle (x+1)\: dx\\ 20&=\int_{2}^{6}\displaystyle (x+1)\: dx\\ 20&=\left (\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+x  \right )|_{2}^{6}\\ 20&=\left (\displaystyle \frac{6^{2}}{2}+6  \right )-\left (\displaystyle \frac{2^{2}}{2}+2  \right )\\ 20&=(18+6)-(2+2)\\ 20&=20\: \: \quad (\textbf{terbukti}) \end{aligned} \end{array}$.

Sifat-sifat fungsi probabilitas kontinu adalah sebagai berikut

• Modusnya berupa nilai x tertinggi pada interval [a,b]
• Median ($m $) adalah hasil dari persamaan yang melibatan  $\int_{a}^{m}\displaystyle f(x)dx=\displaystyle \frac{1}{2}$.
• Mean ($\mu $) dirumuskan dengan $\mu =\int_{a}^{b}\displaystyle xf(x)\: dx$.
• Varian dirumuskan dengan  $var\: (X)=\int_{a}^{b}x^{2}f(x)\: dx-\mu ^{2}$.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Diketahui suatu fungsi probabilitas}\\ &f(x)=\left\{\begin{matrix}1-\displaystyle \frac{1}{2}x\: ,\: \textrm{pada}\: \: [0,2]\\ \\ 0,\: \:  \textrm{pada}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{matrix}\right.\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Buktian pernyataan di atas benar}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Carilah mean, modus, dan mediannya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad &\textrm{Akan ditunjukkan}\: \: \int_{0}^{2}\displaystyle f(x)\: dx=1\\ &\int_{0}^{2}\displaystyle f(x)\: dx=\int_{0}^{2}\displaystyle \left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2}x \right )\: dx\\ &=\left (x-\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}  \right )|_{0}^{2}\\ &=\left ( 2-\displaystyle \frac{1}{4}.2^{2} \right )-(0-\displaystyle \frac{1}{4}.0^{2})\\ &=(2-1)-(0-0)=1\: \: (\textbf{Terbukti}) \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad (1)\: &\textrm{Mean}=\mu =\: \: \int_{a}^{b}x\displaystyle f(x)\: dx\\ &=\int_{0}^{2}x\displaystyle \left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2}x \right )\: dx=\int_{0}^{2}\displaystyle \left (x-\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}  \right )dx\\ &=\left (\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}-\displaystyle \frac{1}{6}x^{3}  \right )|_{0}^{2}\\ &=\left ( 2-1\displaystyle \frac{2}{6} \right )-(0)\\ &=\displaystyle \frac{2}{3} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad (2)\: &\textrm{Medus}=\textrm{nilai maksimum dari}\: \: f(x)\\ &f(x)=1-\displaystyle \frac{1}{2}x,\: \: \textrm{akan maksimum saat}\: x=0\\&\textrm{maka},\: \: f(0)=1-\displaystyle \frac{1}{2}.0=1-0=1 \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad (3)\: &\textrm{Median}=\textrm{nilai}\: \: m\: \: \textrm{pada}\: \: \int_{0}^{m}\displaystyle f(x)dx=\displaystyle \frac{1}{2}\\ &\textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{1}{2}=\int_{0}^{m}\displaystyle \left ( 1-\displaystyle \frac{1}{2}x \right )dx=\left ( x-\displaystyle \frac{1}{4}x^{2} \right )|_{0}^{m}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2}=\left ( m-\displaystyle \frac{1}{4}m^{2} \right )-0\\ &\Leftrightarrow m^{2}-4m+2=0\\&\Leftrightarrow m_{1,2}=\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-4(1)(2)}}{2}\\ &\Leftrightarrow \: \, \quad\quad =\displaystyle \frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm \sqrt{2}\\ &\Leftrightarrow \quad m_{1}=2+\sqrt{2}\: \: (\textrm{tidak memenuhi})\\ &\quad\qquad\qquad\textrm{lihat batas interval tertutup}\: [0,2]\\ &\Leftrightarrow \quad m_{2}=2-\sqrt{2}\: \: (\textbf{memenuhi}) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Diberikan fungsi}\\ &f(x)=\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{3}{x^{2}}\: ,\: \textrm{pada}\: \: [1,2]\\ \\ 0,\: \:  \textrm{pada}\: \: x\: \: \textrm{yang lain} \end{matrix}\right.\\ &\textrm{Selidikilah apakah fungsi tersebut}\\ &\textrm{fungsi probabilitas atau bukan}\\\\ &\textbf{Bukti}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Kita selidiki apakah}\: \: 0\leq f(x)\leq 1\\ &f(0)=0,\: f(1)=3,\: f(2)=\displaystyle \frac{3}{2^{3}}=\frac{3}{8}\\ &\textrm{Karena terdapat}\: f(1)=3\geq 1,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{telah ditunjuan bahwa fungsi}\: \: f(x)\\ &\textrm{tersebut bukan}\: \textbf{fungsi distribusi}\\ &\textbf{probabilitas} \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kurnia, N., dkk. 2018. Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA. Bogor: YUDHISTIRA.
2. Tasari. Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.