Lanjutan 1 Distribusi Normal

 B. Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal adalah salah satu distribusi model variabel acak kontinue yang sangat penting dalam probabilitas.

Distribusi normal yang juga dikenal dengan distribusi Gaussian ini memiliki grafik berbentuk bel/lonceng yang selanjutnya juga dikenal dengan kurva normal karena bentuk kurvanya seperti lonceng. Persamaan kurva  tersebut dinamakan dengan fungsi distribusi normal. Adapun fungsi distribusi normal untuk variabel acak kontinue X atau $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ didefinisikan dengan.

$\begin{array}{rl}& f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}.e^{{.}^{-\frac{1}{2}{\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)}^2}}}\\ & \text{Dengan}\\ & \sigma :\text{parameter untuk standar deviasi}\\ & \mu :\text{parameter untuk rata-rata (mean)}\\ & e:\text{Kontanta alam (2,718...)}\\ & \text{Dengan domain fungsi}f-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\end{array}$.

 B. Pengertian Distribusi Normal Standar (Baku)

Jika pada fungsi distribusi probabilitas memilii nilai $\mu =0$  dan  $\sigma =1$, maka aan didapatkan bentu distribusi normal standar.  Variabel acak z yang berdistribusi normal satndar dinotasian dengan $Z\sim N(0,1)$. Adapun untuk gambar kurva normalnya $\text{N}(0,1)$  adalah sebagai berikut

Untuk variabel acak X berdistribusi normal dilambangkan dengan $\text{X}\sim \text{N}(\mu ,{\sigma }^2)$. Selanjutnya jika $\mu =0$ dan $\sigma =1$, maka akan diperoleh distribusi normal standar (baku) yaitu $\text{N}(0,1)$ seperti keterangan di atas. Dan rumus fungsi variabel acak Z yang berdistribusi normal  baku adalahh: $f(z)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{{.}^{-\frac{1}{2}{Z}^2}}}$.

Karena kurva di atas adalah kurva dari grafik fungsi peluang, maka luas yang dibatasi adalah garfik fungsi dan sumbu mendatarnya adalah berharga 1, atau dapat juga dituliskan

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(z)dz={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{{.}^{-\frac{1}{2}{Z}^2}}dz=1}$.

Karena grafik simetris terhadap garis $\mu =0$, maka luas di kiri dan kanan garis $\mu =0$ bernilai $0,5$ atau

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(z)dz={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{{.}^{-\frac{1}{2}{Z}^2}}dz=0,5}$ dan ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(z)dz={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{{.}^{-\frac{1}{2}{Z}^2}}dz=0,5}$.

C. Penghitungan luas di Bawah Kurva Distribusi Normal Standar

C. 1 Penghitungan luasan di bawah kurva Normal Standar

Penentuan luas wilayah ini sangatlah tidak mudah karena melibatkan banyak aspek, tetapi ada cara lain dalam penentuan luas daerah di bawah kurva normal standar, yaitu dengan bantuan tabel distribusi $\text{Z}$ sebagaimana tabel sederhana berikut

Sumber dari gambar di atas adalah dari screenshot dari youtube Channel Ari Susanti  

Probabilitas variabel acak $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ luasan di bawah kurvanya akan senilai dengan luasan di bawah kurva normal standar $Z\sim N(0,1)$ dengan cara mentransformasikan dari variabel acak normal $X$ menjadi variabel acak $Z$ dengan rumus:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Diketahui}X\sim N(28,169).\text{Tentukan}\\ & \text{nilai}P(15,8\le \text{x}\le 56,6)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)\iff X\sim N(28,169)\\ & \mu =28,{\sigma }^2=169\Rightarrow \sigma =\sqrt{169}=13\\ & \text{Penentuan nilai}P(15,8<x<56,6)\text{adalah}:\\ & \text{Untuk}\text{x}=15,8\\ & \bullet {\text{x}}_1=15,8\Rightarrow z_1={\displaystyle \frac{{\text{x}}_1-\mu }{\sigma }}\\ & ={\displaystyle \frac{15,8-28}{13}=-0,94}\\ & \text{Untuk}\text{x}=56,6\\ & \bullet {\text{x}}_2=56,6\Rightarrow z_1={\displaystyle \frac{{\text{x}}_2-\mu }{\sigma }}\\ & ={\displaystyle \frac{56,6-28}{13}=2,2}\\ & \text{maka nilai}\\ & P(15,8\le \text{x}\le 56,6)\\ & =P(-0,94\le z\le 2,2)\\ & =P(0\le z\le 0,94)+P(0\le z\le 2,2)\\ & =0,3264+0,4861\\ & =0,8125\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan}P(78<x<116)\text{jika mean}\mu =104\\ & \text{dan simpangan baku}\sigma =10\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahu bahwa}\mu =104,\sigma =10\\ & \text{Penentuan nilai}P(78<x<116)\text{adalah}:\\ & \text{Untuk}\text{x}=78\\ & \bullet {\text{x}}_1=78\Rightarrow z_1={\displaystyle \frac{{\text{x}}_1-\mu }{\sigma }}\\ & ={\displaystyle \frac{78-104}{10}=\frac{26}{10}=-2,6}\\ & \text{Untuk}\text{x}=116\\ & \bullet {\text{x}}_2=116\Rightarrow z_1={\displaystyle \frac{{\text{x}}_2-\mu }{\sigma }}\\ & ={\displaystyle \frac{116-104}{10}=\frac{12}{10}=1,2}\\ & \text{maka nilai}\\ & P(78<x<116)=P(78\le \text{x}\le 116)\\ & =P(-2,6\le z\le 1,2)\\ & =P(0\le z\le 2,6)+P(0\le z\le 1,2)\\ & =0,4953+0,3849\\ & =0,8802\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Sebuah mesin memproduksi baut dengan}\\ & \text{bahan logam. Panjang baut yang diproduksi}\\ & \text{berdistribusi normal dengan mean}19,8\text{cm}\\ & \text{dan standar deviasi}0,3\text{cm}.\text{Jika diambil baut}\\ & \text{secara acak, tentuan terambil baut dengan}\\ & \text{panjang antara 19,7 cm dan 20 cm}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \mu =19,8\text{cm},\sigma =0,3\text{cm}\\ & \text{Penentuan panjang}P(19,7<x<20)\text{adalah}:\\ & \text{Untuk}\text{x}=19,7\\ & \bullet {\text{x}}_1=19,7\Rightarrow z_1={\displaystyle \frac{{\text{x}}_1-\mu }{\sigma }}\\ & ={\displaystyle \frac{19,7-19,8}{0,3}=-0,33}\\ & \text{Untuk}\text{x}=20\\ & \bullet {\text{x}}_2=20\Rightarrow z_1={\displaystyle \frac{{\text{x}}_2-\mu }{\sigma }}\\ & ={\displaystyle \frac{20-19,8}{0,3}=0,67}\\ & \text{maka nilai}\\ & P(19,7\le \text{x}\le 20)\\ & =P(-0,33\le z\le 0,67)\\ & =P(0\le z\le 0,33)+P(0\le z\le 0,67)\\ & =0,1293+0,2486\\ & =0,3779\end{array}\end{array}$.

C. 2 Penghitungan luasan di bawah dengan Interval  Tertentu

Luasan daerah dibawah kurva normal baku pada interval  $z_1<\text{Z}<z_2$ dapat dituliskan sebagai  $P(z_1<\text{Z}<z_2)={\displaystyle {\int }_{z_1}^{z_2}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{{.}^{-\frac{1}{2}{Z}^2}}dz}}$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Perhatikanlahdaerah berarsir pada kurva normal}\\ & \text{berikut untuk interval}0<\text{Z}<1,25\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{a}.\text{Nyatakan dengan bentuk integral yang menyatakan}\\ & \text{luas daerah yang terarsir}\\ & \text{b}.\text{Tentukan luas daerah yang diarsir dengan bantuan}\\ & \text{tabel distribusi normal baku}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Diketahui fungsi normal baku dalam variabel}z\text{adalah}:\\ & f(z)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{{.}^{-\frac{1}{2}{Z}^2}}}\\ & \text{maka daerah yang diarsir pada interval}0<\text{Z}<1,25\\ & \text{Yaitu}:\\ & L={\displaystyle {\int }_0^{1,25}f(z)dz={\displaystyle {\int }_0^{1,25}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{{.}^{-\frac{1}{2}{Z}^2}}dz}}}\\ \text{b}.& \text{Adapaun cara tabel adalah sebagai berikut}\\ & \text{Lihat gambar di atas, yaitu}:0,3944\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Pada interval berikut, tentukanlah luas}\\ & \text{daerah dibawah kurva normbal baku}\\ & \text{a}.\text{Z}>0,96\\ & \text{b}.-0,72<\text{Z}<2,08\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Karena luas daerah di kanan garis}z=0\\ & \text{maka luas}:0,96<\text{Z}<\mathrm{\infty }\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline z& z& \begin{array}{c}6\\ \downarrow \end{array}\\ 0& 0,9\to & 0,3315\\ \hline\end{array}\\ & \text{Jadi, luasnya}=0,5-0,3315=0,1685\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Karena luas daerah di kiri dan kanan garis}z=0\\ & \text{maka luas}:-0,72<\text{Z}<2,08\text{atau}\text{P}(-0,72<\text{Z}<2,08)\\ & \underset{―}{\text{Untuk}}:-0,72<\text{Z}<0=0<\text{Z}<0,72\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline z& z& \begin{array}{c}2\\ \downarrow \end{array}\\ 0& 0,7\to & 0,2642\\ \hline\end{array}\\ & \underset{―}{\text{Sedangkan untuk}}:0<\text{Z}<2,08\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline z& z& \begin{array}{c}8\\ \downarrow \end{array}\\ 0& 2,0\to & 0,4812\\ \hline\end{array}\\ & \text{Jadi, luasnya}=0,2642+0,4812=0,7454\\ & \text{Berikut ilustrasinya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukanlah besar peluang dari variabel}\\ & \text{variabel acak Z berdistribusi normal baku}\\ & \text{a}.\text{P}(\text{Z}<1,2)\\ & \text{b}.\text{P}(0,32<\text{Z}<1,5)\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{3. a. Perhatikan ilustrasi berikut ini}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Karena luas daerah di kiri dan kanan garis}z=0\\ & \text{maka luas}:\text{P}(\text{Z}<1,2)=\text{P}(-\mathrm{\infty }<\text{Z}<1,2)\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline z& z& \begin{array}{c}0\\ \downarrow \end{array}\\ 0& 1,2\to & 0,3849\\ \hline\end{array}\\ & \text{Jadi, luasnya}=0,5+0,3315=0,8849\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}3.b& \text{Untuk}\text{P}(0,32<\text{Z}<1,5)\\ & \text{Perhatikan ilsutrasi berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Karena luas daerah di kanan garis}z=0\\ & \text{maka luas}:0,32<\text{Z}<1,5\\ & \underset{―}{\text{Untuk}}:0<\text{Z}<0,32\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline z& z& \begin{array}{c}2\\ \downarrow \end{array}\\ 0& 0,3\to & 0,1255\\ \hline\end{array}\\ & \underset{―}{\text{Sedangkan untuk}}:0<\text{Z}<1,5\\ & \begin{array}{|ccc|}\hline z& z& \begin{array}{c}0\\ \downarrow \end{array}\\ 0& 1,5\to & 0,4332\\ \hline\end{array}\\ & \text{Jadi, luasnya}=0,4332-0,1255=0,3077\end{array}$ .

DAFTAR PUSTAKA

1. Tasari, Aksin, N., Miyanto, Muklis. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Noormandiri, B.K. 2017. Matematika Jilid 3 untuk SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.