LINGKARAN-BUSUR, TALI BUSUR, JURING, DAN TEMBERENG-LANJUTAN

C. Keliling Lingkaran

Perhatikan kembali gambar lingkaran berikut

Keliling lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut:

$\begin{aligned}&\bullet \: K=\pi d=2\pi r\\ &\textrm{Keterangan}:\\ &\qquad K:\textrm{keliling lingkarang}\\ &\qquad d:\textrm{diameter lingkarang}\\ &\qquad  r:\textrm{jar-jari lingkarang}\\ &\qquad \pi:\textrm{pi}=\displaystyle \frac{22}{7}=3,14\\ \end{aligned}$.

D. Panjang Busur Lingkaran

$\begin{aligned}&\bullet \:\displaystyle \frac{\textrm{Besar sudut pusat}}{\textrm{Besar sudut satu putaran}}=\frac{\textrm{Panjang busur}}{\textrm{Keliling lingkaran}}\\ &\bullet \:\textrm{Panjang busur}=\displaystyle \frac{\textrm{Besar sudut pusat}}{360^{\displaystyle 0}}\times 2\pi r\end{aligned}$.

E. Luas Lingkaran

$\begin{aligned}&\bullet \:L=\pi r^{\displaystyle 2}=\displaystyle \frac{1}{4}\pi d^{\displaystyle 2}\\ &\textrm{Keterangan}:\\ &\qquad L:\textrm{luas lingkarang}\\ &\qquad d:\textrm{diameter lingkarang}\\ &\qquad  r:\textrm{jar-jari lingkarang}\\ &\qquad \pi:\textrm{pi}=\displaystyle \frac{22}{7}=3,14\\\end{aligned}$.

F. Luas Juring Lingkaran

$\begin{aligned}&\bullet \:\displaystyle \frac{\textrm{Besar sudut pusat}}{\textrm{Besar sudut satu putaran}}=\frac{\textrm{Luas juring}}{\textrm{Luas lingkaran}}\\ &\bullet \:\textrm{Luas juring}=\displaystyle \frac{\textrm{Besar sudut pusat}}{360^{\displaystyle 0}}\times \pi r^{\displaystyle 2}\end{aligned}$.

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$.

LINGKARAN-BUSUR, TALI BUSUR, JURING, DAN TEMBERENG

A. Pendahuluan

Lingkaran adalah bangun datar yang dibatasi oleh sekumpulan titik-titik pada bidang yang semuanya meiliki jarak yang sama dari satu titik tetap. Titik tetap tersebut disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak dari pusat ke setiap titik pada lingkaran disebut jari-jari.

B. Beberapa Unsur Penting Lingkaran

• Pusat: titik tengah lingkaran
• Jari-jari (r): jarak dari pusat ke tepi lingkaran
• Diameter (d): garis yang melalui pusat dan menghubungkan dua titik pada lingkaran. Diameter = 2 x jari-jari.
• Busur: bagian lengkung pada keliling lingkaran
• Tali busur: garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran
• Juring: daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur
• Temberang: daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur
• Apotema: jarak tegak lurus dari pusat lingkaran ke sebuah tali busur
• Sudut pusat: sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran
• Sudut keliling: sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran
• Garis singgung: garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik
• Titik-titik singgung: Titik tempat garis singgung menyentuh lingkaran
• Garis sekan: garis yang memotong lingkaran di dua titik
• Sudut antara tali busur: sudut yang terbentuk oleh dua tali busur
• Busur setengah lingkaran: busur berukuran $180^{0}$, dibatasi oleh diameter.
• Busur minor: busur yang ukurannya kurang dari $180^{0}$
• Busur mayor: busur yang ukurannya lebih dari $180^{0}$.

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$.

Perhatikan gambar berikut

Yang tampak pada gambar di atas adalah:

• Pusat: O
• Jari-jari (r): OA, OB, OC, OD 
• Diameter (d): AC, BD
• Busur: $\widehat{AF},\widehat{AB}, \widehat{AC},\widehat{AD}$, dan lain-lain
• Tali busur: $\overline{\textrm{AC}},\overline{\textrm{BD}},\overline{\textrm{CF}},\overline{\textrm{CD}},\overline{\textrm{DF}}$
• Juring: juring AOB, BOC, COD, AOD, AOC, dan lain-lain
• Temberang: tembereng CD, tembereng CF, dan tembereng DF
• Apotema: OE
• Sudut pusat: $\angle \textrm{AOB}, \angle \textrm{BOC}, \angle \textrm{COD}, \angle \textrm{AOD},\angle \textrm{AOC}$, dan lain-lain
• Sudut keliling: $\angle \textrm{FCD}, \angle \textrm{CDF}, \angle \textrm{CFD}$.
• Garis singgung: tak tampak pada gambar
• Titik-titik singgung: tak tampak pada gambar
• Garis sekan: tak tampak pada gambar dan bedakan antara tali busur dengan garis sekan. Misalkan CD adalah tali busur, tetapi jika garis CD diperpanjang dapat menjadi garis sekan
• Sudut antara tali busur: $\angle \textrm{AGF},\angle \textrm{CGD}$. Bedakan dengan sudut keliling. Jika sudut keliling melibatkan dua tai busur dan titik sudutnya pada lingkaran, tetapi untuk sudut antara tali busur adalah yang ada dalam lingkaran.
• Busur setengah lingkaran: $\widehat{\textrm{AC}},\widehat{\textrm{BD}}$.
• Busur minor: $\widehat{AF},\widehat{AB}, \widehat{AC},\widehat{AD}$
• Busur mayor: $\widehat{ACF},\widehat{ACB},\widehat{ACD}$, dan lain-lain

CONTOH SOAL 10 MATRIKS DAN SPL

 $\begin{array}{l}\\ 16.&\textrm{Jika diketahui}\quad x_{0}\quad \textrm{dan}\quad y_{0}\quad \textrm{adalah selesaian}\\ &\textrm{dari sistem persamaan}\quad \begin{cases} 2x+3y & =60 \\ 3x+2y & =60 \end{cases}\\ &\textrm{dengan}\quad x_{0}=\displaystyle \frac{a}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}\quad \textrm{dan}\quad y_{0}=\displaystyle \frac{b}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}\:, \: \textrm{maka}\\ &\textrm{nilai}\quad a+b\quad\textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&-240\\ \textrm{b}.&-180\\ \textrm{c}.&-120\\ \textrm{d}.&-60\\ \textrm{e}.&0 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\textrm{Dengan aturan Cramer didapatkan}\\ &x_{0}=\displaystyle \frac{a}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 60 & 3 \\ 60 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{120-180}{4-9}=\displaystyle \frac{-60}{-5}\\ &y_{0}=\displaystyle \frac{b}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 60 \\ 3 & 60 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{120-180}{4-9}=\displaystyle \frac{-60}{-5}\\ &\textrm{Jadi, nilai}\quad a+b=(-60)+(-60)=-120 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 17.&\textrm{Sebuah garis}\quad k\quad \textrm{dinayatkan dalam bentuk}\\ &\begin{vmatrix} 1 & x &  y\\ a & 1 &  1\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=0.\quad \textrm{Nilai}\quad a\quad \textrm{saat garis tersebut}\\ &\textrm{melalui titik}\quad (1,1)\quad \textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&5\\ \textrm{b}.&4\\ \textrm{c}.&3\\ \textrm{d}.&2\\ \textrm{e}.&1 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\textrm{Dengan substitusi langsung ke garis, maka}\\ &\begin{vmatrix} 1 & x &  y\\ a & 1 &  1\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 &  1\\ a & 1 &  1\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=3+1+2a-1-3a-1=0\\ &\Leftrightarrow 4+2a-3a-2=0\Leftrightarrow 2-a=0\Leftrightarrow a=2 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 18.&\textrm{Jika garis yang dinyatakan dengan bentuk}\\ &\begin{vmatrix} x & y &  1\\ 2 & 1 &  1\\ 4 & 5 & 1 \end{vmatrix}=0\quad \textrm{sejajar dengan garis yang }\\ &\textrm{dinyatakan pula dalam bentuk}\quad \begin{vmatrix} x & y &  1\\ 4 & a &  1\\ 3 & 6 & 1 \end{vmatrix}=0\\ &\textrm{maka nilai}\quad a\quad \textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&2\\ \textrm{b}.&4\\ \textrm{c}.&5\\ \textrm{d}.&6\\ \textrm{e}.&8 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa untuk kedua garis tersebut adalah}\\ &\bullet \quad\begin{vmatrix} x & y &  1\\ 2 & 1 &  1\\ 4 & 5 & 1 \end{vmatrix}=0\Leftrightarrow  x+4y+10-4-2y-5x=0\\ &\Leftrightarrow -4x+2y+6=0\Leftrightarrow y=2x-3,\quad \textrm{maka},\:m_{1}=2\\ &\bullet \quad \begin{vmatrix} x & y &  1\\ 4 & a &  1\\ 3 & 6 & 1 \end{vmatrix}=0\Leftrightarrow ax+3y+24-3a-6x-4y=0\\ &\Leftrightarrow (a-6)x-y+24-3a=0\Leftrightarrow y=(a-6)x+24-3a\\ &\textrm{maka}\: m_{2}=a-6\\ &\textrm{Syarat dua garis lurus sejajar adalah}:m_{1}=m_{2}\\ &\Leftrightarrow 2=a-6 \Leftrightarrow a=8 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 19.&\textrm{Diketahui suatu sistem persamaan berupa}\\ &\begin{cases} x+y+2z & =4 \\ 2x-y-2z & =-1\\ 3x-2y-z&=3 \end{cases}\quad \textrm{memiliki selesaian}\\ &(x_{0},y_{0},z_{0}).\quad \textrm{Jika}\quad x_{0}=\displaystyle \frac{a}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}\\&\textrm{dan}\quad z_{0}=\displaystyle \frac{b}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}\\ &\textrm{maka nilai}\quad a+b\quad \textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&27\\ \textrm{b}.&25\\ \textrm{c}.&0\\ \textrm{d}.&-25\\ \textrm{e}.&-27 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\textrm{Dengan aturan Cramer kita akan mendapatkan}\\ &x_{0}=\displaystyle \frac{a}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 4 & 1 &  2\\ -1 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}\\ &\quad=\displaystyle \frac{4+(-6)+4-(-6)-16-1}{1+(-6)+(-8)-(-6)-4-(-2)}\\ &\quad =\displaystyle \frac{-9}{-9}\\ &z_{0}=\displaystyle \frac{b}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  4\\ 2 & -1 &  -1\\ 3 & -2 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 &  2\\ 2 & -1 &  -2\\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix}}\\ &\quad=\displaystyle \frac{(-3)+(-3)+(-16)-(-12)-2-6}{1+(-6)+(-8)-(-6)-4-(-2)}\\ &\quad =\displaystyle \frac{-18}{-9}\\ &\textrm{maka nilai}\quad a+b=(-9)+(-18)=-27 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 20.&\textrm{Diketahui matriks transformasi berikut}\\ &\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} &  \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}\\-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} & \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{pmatrix}\\ &\textrm{Peta berupa}\quad (x',y')\quad \textrm{merupakan}\:...\textrm{terhadap}\\&\textrm{titik}\quad (x,y)\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad 30^{0}\\ \textrm{b}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad 45^{0}\\ \textrm{c}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad -45^{0}\\ \textrm{d}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad 60^{0}\\ \textrm{e}.&\textrm{rotasi sejauh}\quad -60^{0} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\textrm{Ingat matriks rotasi dengan bentuk}\\ &\begin{pmatrix}\cos\alpha &  -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\\ &\textrm{dengan memilih}\quad \alpha=-45^{0},\quad \textrm{maka akan sama}\\ &\textrm{dengan yang diketahui pada soal di atas} \end{array}$.

CONTOH SOAL 9 MATRIKS DAN SPL

 $\begin{array}{l}\\ 11.&\textrm{SPL berikut memiliki selesaian}....\\ &\begin{cases} 4x+3y-11z & =-216 \\ 2x+5y+8z & =63\\ x+y+z & =0 \end{cases}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&x=-6,\quad y=-9\quad \textrm{dan}\quad z=15\\ \textrm{b}.&x=-6,\quad y=9\quad \textrm{dan}\quad z=15\\ \textrm{c}.&x=6,\quad y=-9\quad \textrm{dan}\quad z=15\\ \textrm{d}.&x=-6,\quad y=-9\quad \textrm{dan}\quad z=-15\\ \textrm{e}.&x=-6,\quad y=9\quad \textrm{dan}\quad z=-15 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\textrm{Dengan metode eliminasi Gauss didapatkan}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 4&3&-11&-216\\ 2&5&8&63\\ 1&1&1&0 \end{array} \right]\quad\begin{matrix}\bullet R_{\displaystyle 2}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 2}-R_{\displaystyle 1}\\ \bullet R_{\displaystyle 3}\longleftarrow 4R_{\displaystyle 3}-R_{\displaystyle 1}\end{matrix}\\ &=2(2,5,8|63)-(4,3,-11|-216)=(0,7,27|342)\:\:\textrm{dan}\\ &=4(1,1,1|0)-(4,3,-11|-216)=(0,1,15|216)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 4&3&-11&-216\\ 0&7&27&342\\ 0&1&15&216 \end{array} \right]\quad \bullet R_{\displaystyle 3}\longleftarrow 7R_{\displaystyle 3}-R_{\displaystyle 2}\\ &=7(0,1,15|216)-(0,7,27|342)=(0,0,78|1170)\\ &\textrm{sehingga}\quad z=\displaystyle \frac{1170}{78}=15,\quad \textrm{maka}\quad y=-9,\:\: x=-6 \end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 12.&\textrm{Bayu membeli sebuah buku tulis dan dua buah pensil}\\ &\textrm{Rp}10.000,00.\:\: \textrm{Di toko yang sama, Giri membeli dua }\\ &\textrm{buku tulis dan tiga buah pensil seharga Rp17.500,00}\\ &\textrm{Bentuk perkalian matriks dari narasi di atas adalah}....\\  &\begin{array}{llllllll} \textrm{a}.&\begin{pmatrix} 2 &  1\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10.000\\ 17.500 \end{pmatrix}\\ \textrm{b}.&\begin{pmatrix} 1 &  2\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10.000\\ 17.500 \end{pmatrix}\\ \textrm{c}.&\begin{pmatrix} 1 &  2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 17.500\\ 10.000 \end{pmatrix}\\ \textrm{d}.&\begin{pmatrix} 1 &  2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10.000\\ 17.500 \end{pmatrix}\\ \textrm{e}.&\begin{pmatrix} 2 &  1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 17.500\\ 10.000 \end{pmatrix} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &x=\textrm{buku},\:\: y=\textrm{pensil}\\ & \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 13.&\textrm{Penyelesaian dari sistem persamaan berikut}\\ &\begin{cases} 4x+3y+9& =0 \\ -x+y & =4 \end{cases}\\ &\textrm{Model matriks yang menyatakan bentuk di atas}....\\  &\begin{array}{llllllll} \textrm{a}.&\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 1 &  -3\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -9\\ -4 \end{pmatrix}\\ \textrm{b}.&\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 1 &  3\\ -1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -9\\ 4 \end{pmatrix}\\ \textrm{c}.&\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=-\displaystyle \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 1 &  -3\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -9\\ 4 \end{pmatrix}\\ \textrm{d}.&\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 1 &  -3\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -9\\ 4 \end{pmatrix}\\ \textrm{e}.&\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 1 &  -3\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9\\ 4 \end{pmatrix} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{cases} 4x+3y & =-9 \\-x+y & =4 \end{cases}\Rightarrow \begin{pmatrix} 4 &  3\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9\\ 4 \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{\begin{vmatrix}4 &  3\\ -1 & 1\end{vmatrix}}\begin{pmatrix} 1 &  -3\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -9\\ 4 \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 1 &  -3\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -9\\ 4 \end{pmatrix} \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 14.&\textrm{Diberikan SPL berikut}\\ &\begin{cases} 4x+3y & =12 \\ 3x+2y & =7 \end{cases}\\ &\textrm{Nilai}\quad x+y\quad \textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&-5\\ \textrm{b}.&5\\ \textrm{c}.&11\\ \textrm{d}.&-11\\ \textrm{e}.&10 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\textrm{Dengan metode eliminasi Gauss didapatkan}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} 4&3&12\\ 3&2&7 \end{array} \right]\quad\bullet R_{\displaystyle 1}\longleftarrow R_{\displaystyle 1}-R_{\displaystyle 2}\\ &=(4,3|12)-(3,2|7)=(1,1|5)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&5\\ 3&2&7 \end{array} \right]\\ &\textrm{sehingga}\quad x+y=5 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 15.&\textrm{Perpotongan dua garis yang tersaji sebagai}\\ &\textrm{persamaan matriks berikut}\\ &\begin{pmatrix} -1 &  3\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 5 \end{pmatrix}\\ & \textrm{adalah}\:....\\&\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&(2,-1)\\ \textrm{b}.&(1,-2)\\ \textrm{c}.&(-1,2)\\ \textrm{d}.&(-1,-2)\\ \textrm{e}.&(1,2) \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\textrm{Dengan metode eliminasi Gauss didapatkan}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} -1&3&5\\ 1&2&5 \end{array} \right]\quad \begin{aligned}&\bullet R_{\displaystyle 2}\longleftarrow R_{\displaystyle 1}+R_{\displaystyle 2}\\ &\bullet R_{\displaystyle 1}\longleftarrow -R_{\displaystyle 1}\end{aligned}\\ &=(1,2|5)+(-1,3|5)=(0,5|10)\quad \textrm{dan}\\ &=(1,-3|-5)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} 1&-3&-5\\ 0&5&10 \end{array} \right]\quad \begin{aligned}&\bullet R_{\displaystyle 1}\longleftarrow \displaystyle \frac{3}{5}R_{\displaystyle 1}+R_{\displaystyle 2}\\ &\bullet R_{\displaystyle 2}\longleftarrow \displaystyle \frac{1}{5}R_{\displaystyle 1}\end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya diperoleh}\\&\left[ \begin{array}{cc|c} 1&0&1\\ 0&1&2 \end{array} \right]\\ &\textrm{Jadi, koordinat titik potongnya}: (1,2) \end{array}$.

CONTOH SOAL 8 MATRIKS DAN SPL

 $\begin{array}{l}\\ 6.&\textrm{SPL berikut memiliki selesaian}....\\ &\begin{cases} 2x-7y & =-19 \\ 3x-y & =0 \end{cases}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&x=-3\quad \textrm{dan}\quad y=-1\\ \textrm{b}.&x=3\quad \textrm{dan}\quad y=1\\ \textrm{c}.&x=1\quad \textrm{dan}\quad y=3\\ \textrm{d}.&x=-3\quad \textrm{dan}\quad y=1\\ \textrm{e}.&x=1\quad \textrm{dan}\quad y=-3 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\textrm{Dengan metode eliminasi Gauss didapatkan}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} 2&-7&-19\\ 3&-1&0 \end{array} \right]\quad\bullet R_{\displaystyle 2}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 2}-3R_{\displaystyle 1}\\ &=2(3,-1|0)-3(2,-7|-19)=(0,19|57)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} 2&-7&-19\\ 0&19&57 \end{array} \right]\\ &\textrm{sehingga}\quad y=\displaystyle \frac{57}{19}=3,\quad \textrm{maka}\quad x=1 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 7.&\textrm{SPL berikut memiliki selesaian}....\\ &\begin{cases} 4x-3y & =14 \\ -x+2y & =-1 \end{cases}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&x=2\quad \textrm{dan}\quad y=5\\ \textrm{b}.&x=5\quad \textrm{dan}\quad y=-2\\ \textrm{c}.&x=5\quad \textrm{dan}\quad y=2\\ \textrm{d}.&x=-5\quad \textrm{dan}\quad y=-2\\ \textrm{e}.&x=-2\quad \textrm{dan}\quad y=-5 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\textrm{Dengan metode eliminasi Gauss didapatkan}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} 4&-3&14\\ -1&2&-1 \end{array} \right]\quad\bullet R_{\displaystyle 2}\longleftarrow R_{\displaystyle 2}+\displaystyle \frac{1}{4}R_{\displaystyle 1}\\ &=(-1,2|-1)+\displaystyle \frac{1}{4}(4,-3|14)=(0,\displaystyle \frac{5}{4}|\displaystyle \frac{10}{4})\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} 4&-3&14\\ 0&\displaystyle \frac{5}{4}&\displaystyle \frac{10}{4} \end{array} \right]\\ &\textrm{sehingga}\quad y=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{10}{4}}{\displaystyle \frac{5}{4}}=2,\quad \textrm{maka}\quad x=1 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 8.&\textrm{SPL berikut memiliki selesaian}....\\ &\begin{cases} 8x+3y & =37 \\ 4x+y & =15 \end{cases}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&x=2\quad \textrm{dan}\quad y=7\\ \textrm{b}.&x=2\quad \textrm{dan}\quad y=-7\\ \textrm{c}.&x=7\quad \textrm{dan}\quad y=-2\\ \textrm{d}.&x=7\quad \textrm{dan}\quad y=2\\ \textrm{e}.&x=-2\quad \textrm{dan}\quad y=-7 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\textrm{Dengan metode eliminasi Gauss didapatkan}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} 8&3&37\\ 4&1&15 \end{array} \right]\quad\bullet R_{\displaystyle 2}\longleftarrow R_{\displaystyle 2}-\displaystyle \frac{1}{2}R_{\displaystyle 1}\\ &=(4,1|15)-\displaystyle \frac{1}{2}(8,3|37)=(0,-\displaystyle \frac{1}{2}|-\displaystyle \frac{7}{2})\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{cc|c} 8&3&37\\ 0&-\displaystyle \frac{1}{2}&-\displaystyle \frac{7}{2} \end{array} \right]\\ &\textrm{sehingga}\quad y=\displaystyle \frac{-\displaystyle \frac{7}{2}}{-\displaystyle \frac{2}{2}}=7,\quad \textrm{maka}\quad x=2 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 9.&\textrm{SPL berikut memiliki selesaian}....\\ &\begin{cases} 4x+2y+3z & =0 \\ 2x+3y+5z & =9\\ 3x+y+7z & =9 \end{cases}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&x=-2,\quad y=1\quad \textrm{dan}\quad z=2\\ \textrm{b}.&x=2,\quad y=1\quad \textrm{dan}\quad z=2\\ \textrm{c}.&x=-2,\quad y=-1\quad \textrm{dan}\quad z=-2\\ \textrm{d}.&x=-2,\quad y=1\quad \textrm{dan}\quad z=-2\\ \textrm{e}.&x=-2,\quad y=-1\quad \textrm{dan}\quad z=2 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\textrm{Dengan metode eliminasi Gauss didapatkan}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 4&2&3&0\\ 2&3&5&9\\ 3&1&7&9 \end{array} \right]\quad\begin{matrix} \bullet R_{\displaystyle 2}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 2}-R_{\displaystyle 1}\: .\\ \bullet R_{\displaystyle 3}\longleftarrow 4R_{\displaystyle 3}-3R_{\displaystyle 1} \end{matrix}\\ &=2(2,3,5|9)-(4,2,3|0)=(0,4,7|18)\quad \textrm{dan}\\ &=4(2,3,5|9)-3(4,2,3|0)=(0,-2,19|36)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 4&2&3&0\\ 0&4&7&18\\ 0&-2&19&36 \end{array} \right]\quad \bullet R_{\displaystyle 3}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 3}+R_{\displaystyle 2}\\ &=2(0,-2,19|36)+(0,4,7|18)=(0,0,45|90)\\ &\textrm{sehingga}\quad z=\displaystyle \frac{90}{45}=2,\quad \textrm{maka}\quad y=1,\:\: x=-2 \end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 10.&\textrm{SPL berikut memiliki selesaian}....\\ &\begin{cases} 7x+2y+z & =-40 \\ 2x+7y+4z & =45\\ 5x-4y+6z & =8 \end{cases}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&x=-8,\quad y=-3\quad \textrm{dan}\quad z=10\\ \textrm{b}.&x=-8,\quad y=3\quad \textrm{dan}\quad z=10\\ \textrm{c}.&x=-8,\quad y=3\quad \textrm{dan}\quad z=-10\\ \textrm{d}.&x=8,\quad y=3\quad \textrm{dan}\quad z=10\\ \textrm{e}.&x=8,\quad y=-3\quad \textrm{dan}\quad z=10 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\textrm{Dengan metode eliminasi Gauss didapatkan}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 7&2&1&-40\\ 2&7&4&45\\ 5&-4&6&8 \end{array} \right]\quad\begin{matrix}\bullet R_{\displaystyle 2}\longleftarrow 7R_{\displaystyle 2}-2R_{\displaystyle 1}\\ \bullet R_{\displaystyle 3}\longleftarrow 7R_{\displaystyle 3}-5R_{\displaystyle 1}\end{matrix}\\ &=7(2,7,4|45)-2(7,2,1|-40)=(0,45,26|395)\:\:\textrm{dan}\\ &=7(5,-4,6|8)-5(7,2,1|-40)=(0,-38,37|256)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 7&2&1&-40\\ 0&45&26&395\\ 0&-38&37&256 \end{array} \right]\quad \bullet R_{\displaystyle 3}\longleftarrow \displaystyle \frac{1}{45}R_{\displaystyle 3}+\displaystyle \frac{1}{38}R_{\displaystyle 2}\\ &=\displaystyle \frac{1}{45}(0,-38,37|256)+\displaystyle \frac{1}{38}(0,45,26|395)=(0,0,\displaystyle \frac{2653}{1710}|\displaystyle \frac{26530}{1710})\\ &\textrm{sehingga}\quad z=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{226530}{1710}}{\displaystyle \frac{2653}{1710}}=10,\quad \textrm{maka}\quad y=3,\:\: x=-8 \end{array}$.

CONTOH SOAL 7 MATRIKS DAN SPL

 $\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Untuk sistem persamaan linear dua variabel}\\ &\textrm{berikut, jika dinyatakan dalam perkalian}\\ &\textrm{matriks adalah}....\\ &\begin{cases} 2x+3y & =5 \\ 3x+y & =1 \end{cases}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\left( \begin{matrix} 2 &  3\\ 3 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \right)\\ \textrm{b}.&\left( \begin{matrix} 2 &  1\\ 3 & 3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \right)\\ \textrm{c}.&\left( \begin{matrix} 3 &  2\\ 1 & 3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \right)\\ \textrm{d}.&\left( \begin{matrix} 2 &  3\\ 3 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right)\\ \textrm{e}.&\left( \begin{matrix} 3 &  2\\ 1 & 3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right)\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Cukup jelas} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui persamaan}\begin{cases} x-y & =2 \\ kx+y & =3 \end{cases}\\ &\textrm{memiliki solusi}\: \: (x,y)\: \: \textrm{di kuadran I}\\ &\textrm{Jika dan hanya jika nilai}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\displaystyle k=-1\\ \textrm{b}.&k>-1\\ \textrm{c}.&k<\displaystyle \frac{3}{2}\\ \textrm{d}.&0<k<\displaystyle \frac{3}{2}\\ \textrm{e}.&-1<k<\displaystyle \frac{3}{2} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui sistem persamaan}\\ &\left\{\begin{matrix} x-y=2\: \: \: \quad....(1)\\ kx+y=3\quad\: ....(2)\end{matrix}\right.\\ &\textrm{Dengan metode matriks didapatkan}\\ &x=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 3& 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ k & 1 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{2-(-3)}{1+k}=\frac{5}{k+1}\\ &\textrm{Dengan cara yang sama pula}\\ &y=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2\\ k & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ k & 1 \end{vmatrix}}=\displaystyle \frac{3-2k}{k+1}\\ &\textrm{Supaya memiliki solusi di kwadran I},\\ &\textrm{maka baik}\: \: x\: \: \textrm{maupun}\: \: y\\ &\textrm{haruslah positif, akibatnya}:\\ & k+1>0\Rightarrow k>-1\\ &\textrm{Sebagai akibat yang lain adalah}:\\ &3-2k>0\Rightarrow k<\displaystyle \frac{3}{2}\\ &\textrm{Jadi},\: \: -1<k<\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Untuk sistem persamaan linear dua variabel}\\ &\textrm{berikut, jika dinyatakan dalam perkalian}\\ &\textrm{matriks adalah}....\\ &\begin{cases} x+y+z & =5 \\ 2x-5y+7z & =4\\ x-y+4z&=9 \end{cases}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\left( \begin{matrix} 1 &  1&1\\ 2 & 5&7\\ 1&-1&4 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 4\\ 9 \end{matrix} \right)\\ \textrm{b}.&\left( \begin{matrix} 1 &  1&1\\ 2 & -5&7\\ 1&1&4 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 4\\ 9 \end{matrix} \right)\\ \textrm{c}.&\left( \begin{matrix} 1 &  1&1\\ 2 & -5&7\\ 1&-1&4 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 4\\ 9 \end{matrix} \right)\\ \textrm{d}.&\left( \begin{matrix} 1 &  1&1\\ 2 & -5&7\\ 1&-1&-4 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 4\\ 9 \end{matrix} \right)\\ \textrm{e}.&\left( \begin{matrix} -1 &  1&1\\ 2 & -5&7\\ 1&-1&4 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y\\ z \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 4\\ 9 \end{matrix} \right) \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{c}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Cukup jelas} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Perhatikanlah sistem persamaan berikut}\\ &\begin{cases} 3x+2y-5z & =3 \\ 2x-6y+kz & =9 \\ 5x-4y-z & =5 \end{cases}\\ &\textrm{agar sistem persamaan ini tidak}\\ &\textrm{memiliki penyelesaian, maka nilai}\: \: k=....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-4\\ \textrm{b}.&2\\ \textrm{c}.&3\\ \textrm{d}.&4\\ \textrm{e}.&6 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Agar sistem persamaan}\\ &\begin{cases} 3x+2y-5z & =3 \\ 2x-6y+kz & =9 \\ 5x-4y-z & =5 \end{cases}\\ &\textrm{tidak berpenyelesaian, maka}\\ &\textrm{ingat penyelesaian metode matrik}\\ &\textrm{buatlah penyebutnya}=0,\: \: \textrm{yaitu}:\\ &\begin{vmatrix} 3 & 2 & -5\\ 2 & -6 & k\\ 5 & -4 & -1 \end{vmatrix}=0\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &3\begin{vmatrix} -6 & k\\ -4 & -1 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 2 & k\\ 5 & -1 \end{vmatrix}-5\begin{vmatrix} 2 & -6\\ 5 & -4 \end{vmatrix}=0\\ &3(6+4k)-2(-2-5k)-5(-8+30)=0\\ &18+12k+4+10k+40-150=0\\ &22x=88\\ &\quad x=4 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Himpunan penyelesaian dari}\\ &\left\{\begin{matrix} x+y+4z=15\quad\\ x-y+z=2\qquad\\ x+2y-3z=-4 \end{matrix}\right.\\ &\textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&\left \{ (-1,1,3) \right \}\\ \textrm{b}.&\left \{ (1,2,3) \right \}\\ \textrm{c}.&\left \{ (-2,1,1) \right \}\\ \textrm{d}.&\left \{ (3,2,-1) \right \}\\ \textrm{e}.&\left \{ (1,-2,3) \right \} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\textrm{Semunya dikerjakan dengan metode}\\ &\textrm{matriks}\: (\textbf{Cara Cramer})\\ &\begin{aligned} x&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 15 & 1 & 4\\ 2& -1 & 1\\ -4& 2 & -3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}}\\ &=\displaystyle \frac{15\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 2 & 1\\ -4 & -3 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix} 2 & -1\\ -4 & 2 \end{vmatrix}}{1\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}}\\ &=\displaystyle \frac{15(3-2)-1(-6+4)+4(4-4)}{1(3-2)-1(-3-1)+4(2+1)}\\ &=\displaystyle \frac{15(1)-1(-2)+4(0)}{1(1)-1(-4)+4(3)}=\frac{17}{17}=1 \\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 1 & 15 & 4\\ 1& 2 & 1\\ 1& -4 & -3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}}\\ &=\displaystyle \frac{1\begin{vmatrix} 2 & 1\\ -4 & -3 \end{vmatrix}-15\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & -4 \end{vmatrix}}{1\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}}\\ &=\displaystyle \frac{1(-6+4)-15(-3-1)+4(-4-2)}{1(3-2)-1(-3-1)+4(2+1)}\\ &=\displaystyle \frac{1(-2)-15(-4)+4(-6)}{1(1)-1(-4)+4(3)}=\frac{34}{17}=2\\ z&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 15\\ 1& -1 & 2\\ 1& 2 & -4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}}\\ &=\displaystyle \frac{1\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 2 & -4 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & -4 \end{vmatrix}+15\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}}{1\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}}\\ &=\displaystyle \frac{1(4-4)-1(-4-2)+15(2+1)}{1(3-2)-1(-3-1)+4(2+1)}\\ &=\displaystyle \frac{1(0)-1(-6)+15(3)}{1(1)-1(-4)+4(3)}=\frac{51}{17}=3 \end{aligned} \end{array}$

$.\quad\quad \textrm{Cara di atas}$  full matriks-Cramer

MATRIKS-PENERAPAN MATRIKS

 H. Penggunaan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear (SPL)

H.1 Tokoh yang Sangat Terkenal Terkait Penggunaan Matriks dalam SPL

Dalam mempelajari determinan dan SPL, kedua tokoh berikut akan selalu dikenang akan sumbangsihnya yang sangat luar biasa. Pertama Gabriel Cramer seorang matematikawan Swiss (1704-1752) dengan aturan Cramer dalam penggunaan determinan untuk mencari nilai variabel. Sedangkan yang kedua adalah Carl Friedrich Gauss seorang matematikawan Jerman (1777-1855) dengan eliminasi Gaussnya dalam penggunaan operasi baris pada matriks untuk menyelesaikan SPL.

H.2 Aturan Cramer untuk SPL dua variabel 

Misalkan diberikan

$\begin{aligned}&\begin{cases} a_{1}x &+&b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x &+&b_{2}y=c_{2} \end{cases} \end{aligned}$.

maka koefisiennya adalah:

$\begin{pmatrix} a_{1} &  b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{pmatrix}$.

Determinan utama:

$D=\begin{vmatrix} a_{1} &  b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$.

syaratnya $D\neq 0$.

Kemudian kolom x diganti dengan konstanta:

$D_{x}=\begin{vmatrix} c_{1} &  b_{1}\\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}$.

dan kolom y diganti dengan konstanta:

$D_{y}=\begin{vmatrix} a_{1} &  c_{1}\\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}=a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}$,

maka solusi SPLDV adalah: $x=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D},\quad y=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle y}}{D}$.

H.3 Aturan Cramer untuk SPL tiga variabel 

Misalkan diketahui sistem persamaan berikut:

$\begin{aligned}&\begin{cases} a_{1}x &+&b_{1}y&+&c_{1}z&=&d_{1} \\ a_{2}x &+&b_{2}y&+&c_{2}z&=&d_{2}\\ a_{3}x &+&b_{3}y&+&c_{3}z&=&d_{3} \end{cases} \end{aligned}$.

Dengan cara yang sama seperti pada penyelesaian di bagian H.2 di atas dalam penyelesaian SPL tersebut dengan determinan, yaitu: $D=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &  c_{1}\\ a_{2} & b_{2} &  c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}\neq 0$,  $D_{\displaystyle x}=\begin{vmatrix} d_{1} & b_{1} &  c_{1}\\ d_{2} & b_{2} &  c_{2}\\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$, $D_{\displaystyle y}=\begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} &  c_{1}\\ a_{2} & d_{2} &  c_{2}\\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$, dan $D_{\displaystyle z}=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &  d_{1}\\ a_{2} & b_{2} &  d_{2}\\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{vmatrix}$.

Selanjutnya untuk mendapatkan nilai variabel x, y, dan z adalah: $x=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D},\quad y=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle y}}{D},\quad \textrm{dan}\quad z=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle z}}{D}$.

Sebagai catatan bahwa untuk mencarai nilai dterminan ada banyak cara, baik dari cara Sarrus, maupun ekspansi baris atau ekspansi kolom 

H.4 Metode Eliminasi Gauss untuk SPL tiga variabel 

Langkah-langkah untuk metode eliminasi Gauss adalah sebagai berikut:

• Ubahlah SPLTV menjadi matriks augmented (matriks berupa koefisien variabel yang diperluas dengan kolom konstanta
• Mengenolkan elemen di bawah pivot (elemen utama) pertama dan kedua dan usahakan dapat membentuk sperti matriks identitas ordo 3x3
• Lakukan sedikit/bebrapa langkah yang perlu agar minimal menjadi bentuk eselon baris, yaitu bentuk matriks yang susunan elemennya sudah dibuat seperti tangga, sehingga lebih mudah digunakan untuk mencari solusi SPL dengan eliminasi Gauss 

Terkait model matriks bentuk eselon baris, perhatikan 3 hal mendasar berikut

1. Semua baris yang seluruh elemennya nol berada di bagian paling bawah
2. Pada setipa baris yang tidak seluruhnya nol, elemen pertama yang bukan nol disebut pivot, posisi pivot pada baris berikutnya harus semakin ke kanan
3. Semua elemen di bawah setiap pivot harus nol.

I. Penggunaan Matriks dalam Transformasi Geometri

Lihat materi tentang transformasi ini di sini

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLDV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x-y & =7 \\ x-y & =-1 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{7(-1)-(-1).(-1)}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-7-1}{-2+1}=\frac{-8}{-1}=8\\ y&=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2(-1)-(7).1}{2.(-1)-(-1).1}\\ &=\displaystyle \frac{-2-7}{-2+1}=\frac{-9}{-1}=9\\ \textrm{J}&\textrm{adi}\: \: (x,y)=(8,9) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(cara Cramer) SPLTV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+2y+3z & =14 \\ 3x-y+4z & =8\\ 5x+y+2z&=12 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}x&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle x}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 14 & 2&3\\ 8 & -1&4\\ 12&1&2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 2&3\\ 3 & -1&4\\ 5&1&2 \end{vmatrix}}\\ x&=\displaystyle \frac{14\begin{vmatrix} -1&4\\ 1&2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 8 & 4\\ 12 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 8 & -1\\ 12 & 1 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{14(-2-4)-2(16-48)+3(8+12)}{2(-2-4)-2(6-20)+3(3+5)}\\ &=\displaystyle \frac{14(-6)-2(-32)+3(20)}{2(-6)-2(-14)+3(8)}=\displaystyle \frac{-84+64+60}{-12+28+24}\\ &=\frac{40}{40}=1\\  \end{aligned}\\ &\begin{aligned}y&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle y}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 14&3\\ 3 & 8&4\\ 5&12&2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 2&3\\ 3 & -1&4\\ 5&1&2 \end{vmatrix}}\\ y&=\displaystyle \frac{2\begin{vmatrix} 8&4\\ 12&2 \end{vmatrix}-14\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & 8\\ 5 & 12 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{2(16-48)-14(6-20)+3(36-40)}{2(-2-4)-2(6-20)+3(3+5)}\\ &=\displaystyle \frac{2(-32)-14(-14)+3(-4)}{2(-6)-2(-14)+3(8)}=\displaystyle \frac{-64+196-12}{-12+28+24}\\ &=\frac{120}{40}=3\\  \end{aligned}\\ &\begin{aligned}z&=\displaystyle \frac{D_{\displaystyle z}}{D}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} 2 & 2&14\\ 3 & -1&8\\ 5&1&12 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 2&3\\ 3 & -1&4\\ 5&1&2 \end{vmatrix}}\\ z&=\displaystyle \frac{2\begin{vmatrix} -1&8\\ 1&12 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 8\\ 5 & 12 \end{vmatrix}+14\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} -1 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}} \\ &=\displaystyle \frac{2(-12-8)-2(36-40)+14(3+5)}{2(-2-4)-2(6-20)+3(3+5)}\\ &=\displaystyle \frac{2(-20)-2(-4)+14(8)}{2(-6)-2(-14)+3(8)}=\displaystyle \frac{-40+8+112}{-12+28+24}\\ &=\frac{80}{40}=2\\  \textrm{J}&\textrm{adi, nilai }\: \: (x,y,y)=\left ( \displaystyle 1,3,2 \right ) \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah dengan metode matriks}\\ &\textrm{(metode eliminasi Gauss) SPLTV berikut}:\\ &\begin{cases} 2x+2y+3z & =14 \\ 3x-y+4z & =8\\ 5x+y+2z&=12 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Matriks augmentednya adalah}:\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&2&3&14\\ 3&-1&4&8\\ 5&1&2&12 \end{array} \right]\\ &\textrm{Jadikan elemen di bawah pivot pertama menjadi nol}\\ &(\textrm{gunakan baris pertama sebagai pivot})\\ &\bullet \quad R_{\displaystyle 2}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 2}-3R_{\displaystyle 1}\\ &\bullet \quad R_{\displaystyle 3}\longleftarrow 2R_{\displaystyle 3}-5R_{\displaystyle 1}\\ &\textrm{maka}\\ &R_{\displaystyle 2}=2(3,-1,4|8)-3(2,2,3|14)=(0,-8,-1|-26)\\ &R_{\displaystyle 3}=2(5,1,2|12)-5(2,2,3|14)=(0,-8,-11|-46)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&2&3&14\\ 0&-8&-1&-26\\ 0&-8&-11&-46 \end{array} \right]\\ &\textrm{Buat elemen di bawah pivot kedua menjadi nol}\\ &\bullet \quad R_{\displaystyle 3}\longleftarrow R_{\displaystyle 3}-R_{\displaystyle 2}\\ &\textrm{maka}\\ &R_{\displaystyle 3}=(0,-8,-11|-46)-(0,-8,-1|-26)\\ &\:\:\:\quad=(0,0,-10|-20)\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&2&3&14\\ 0&-8&-1&-26\\ 0&0&-10&-20 \end{array} \right]\\ &\textrm{Bentuk di atas sudah}\,\: \textbf{membentuk eselon baris}\\ &\textrm{Langkah berikutnya adalah substitusi, yaitu}\\ &\textrm{Dari baris ke tiga didapatkan}:-10z=-20\Leftrightarrow z=2\\  &\textrm{Pada baris ke dua}:-8y-z=-26\Leftrightarrow -8y-2=-26\\ &\Leftrightarrow -8y=-24\Leftrightarrow y=3\\ &\textrm{Dari baris pertama }:2x+2y+3z=14\\ &\Leftrightarrow 2x+2(3)+3(2)=14 \Leftrightarrow x=1\\ &\textrm{Jadi, penyelesaiansaiannya adalah}\\ &x=1,\quad, y=3,\quad \textrm{dan} \quad z=2\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Aprilianto, B. ..... Buku Ajar Fokus Matematika (Program IPA) untuk SMA/MA Kelas XII. Solo: CV. SINDUNATA.
2. Johanes, Kastola & Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
3. Kusnandar, Muharman, I., Saputra, E.S. 2017. Pendalaman Buku Teks Matematika 2A SMA Kelas XI Program Wajib. Jakarta: YUDHISTIRA.

DIRGAHAYU REPUBLIK INDONESIA KE-81

Dirgahayu Republik Indonesia Ke-81

Indonesia Berdaulaut, Adil, dan Makmur

Kemerdekaan adalah momentum untuk merawat persatuan, bersemangat gotong royong, serta mengisi hari jadi bangsa melalui karya nyata dan kontribusi terbaik bagi negeri

MATRIKS-INVERS MATRIKS ORDO 3x3

 G. Invers Matriks Ordo 3x3

Invers matriks ordo 3x3 adalah suatu matriks berordo 3x3 yang apabila dikalikan dengan matriks asalnya akan menghasilkan matris identitas. Salah satu metode untuk memperolehnya metode adjoin. Dan untuk menentukan invers matriks ordo 3x3 dengan metode adjoin ini, kita perlu memahami beberapa istilah seperti minor dan kofaktor, determinan matriks ordo 3x3, serta transpose matriks kofaktor sehingga menjadi adjoin untuknantinya kita bagi dengan determinan sehingga mengasilkan invers matriks yang kita inginkan.

G. 1 Matrik Identitas Ordo 3x3

Matriks identitas ordo 3x3 dinyatakan sebagai berikut:

$\textrm{I}=\begin{pmatrix} 1 & 0 &  0\\ 0 & 1 &  0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

G.2 Minor 

Jika unsur-unsur pada baris ke-i kolom ke-j pada sebuah matriks ordo 3x3 dihapus, maka akan diperoleh matriks persegi ordo 2x2. Determinan matriks ordo 2x2 setelah penghapusan tersebut dinamakan minor $a_{ij}$ dan dinotasikan dengan $\left| M_{ij} \right|$.

G.3 Kofaktor

Setelah kita mendapatkan $\left| M_{ij} \right|$ sebagai minor $a_{ij}$ dari matriks A, selanjutnya kita bisa mendapatkan kofaktor $a_{ij}$ denga formula $\alpha_{\displaystyle ij}=(-1)^{\displaystyle i+j}.\left| M_{\displaystyle ij} \right|$.

G.4 Determinan

Determinan dibahas di sini adalah determinan matriks yang tidak bernilai nol atau disebut juga matriks non singular, sedangkan matriks yang nilai determinannya nol adalah matriks singular. Untuk mendapatkan invers sebuah matriks ordo 3x3, maka matriks tersebut haruslah matriks non singular.

G.5 Adjoin

Jika sebuah matriks $\textrm{A}=\begin{pmatrix} a_{\displaystyle 11} & a_{\displaystyle 12} & a_{\displaystyle 13} \\ a_{\displaystyle 21} & a_{\displaystyle 22} & a_{\displaystyle 23} \\ a_{\displaystyle 31} & a_{\displaystyle 32} & a_{\displaystyle 33} \end{pmatrix}$ dengan $\alpha_{\displaystyle ij}$ sebagai kofaktor $a_{\displaystyle ij}$, maka formulasi untuk adjoin matriks A adalah:

$\textrm{adj A}=\begin{pmatrix} \alpha_{\displaystyle 11} & \alpha_{\displaystyle 21} & \alpha_{\displaystyle 31} \\ \alpha_{\displaystyle 12} & \alpha_{\displaystyle 22} & \alpha_{\displaystyle 32} \\ \alpha_{\displaystyle 13} & \alpha_{\displaystyle 23} & \alpha_{\displaystyle 33} \end{pmatrix}$.

G.6 Invers Matriks Ordo 3x3

Perhatikan kembali matriks persegi yaitu matriks A di atas, formulasi invers yang dimaksud adalah:

$\textrm{A}^{\displaystyle -1}=\displaystyle \frac{1}{\textrm{det A}}.\textrm{Adj A}$.

$\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$.

$\begin{aligned}1.\quad&\textrm{Tentukan invers dari matriks A berikut}\\&A=\begin{pmatrix} 2 & 1 &  1\\ 1 & 2 &  1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Kita tentukan adjoinya, yaitu}\\ &\alpha_{\displaystyle 11}=(-1)^{\displaystyle 1+1}\left| M_{\displaystyle 11} \right|=1.\begin{vmatrix} 2 &  1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(4-1)=3\\&\alpha_{\displaystyle 12}=(-1)^{\displaystyle 1+2}\left| M_{\displaystyle 12} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 1 &  1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-1)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 13}=(-1)^{\displaystyle 1+3}\left| M_{\displaystyle 13} \right|=1.\begin{vmatrix} 1 &  2\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(1-2)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 21}=(-1)^{\displaystyle 2+1}\left| M_{\displaystyle 21} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 1 &  1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-1)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 22}=(-1)^{\displaystyle 2+2}\left| M_{\displaystyle 22} \right|=1.\begin{vmatrix} 2 &  1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(4-1)=3\\&\alpha_{\displaystyle 23}=(-1)^{\displaystyle 2+3}\left| M_{\displaystyle 23} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 2 &  1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-1)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 31}=(-1)^{\displaystyle 3+1}\left| M_{\displaystyle 31} \right|=1.\begin{vmatrix} 1 &  1\\ 2 & 1 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(1-2)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 32}=(-1)^{\displaystyle 3+2}\left| M_{\displaystyle 32} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 2 &  1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-1)=-1\\&\alpha_{\displaystyle 33}=(-1)^{\displaystyle 3+3}\left| M_{\displaystyle 33} \right|=1.\begin{vmatrix} 2 &  1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(4-1)=3\\&\textrm{Dengan menggunakan data kofaktor-kofaktor}\\ &\textrm{di atas dari matriks A, diperoleh}\\ &\textrm{adj A}=\begin{pmatrix} \alpha_{\displaystyle 11} & \alpha_{\displaystyle 21} & \alpha_{\displaystyle 31} \\ \alpha_{\displaystyle 12} & \alpha_{\displaystyle 22} & \alpha_{\displaystyle 32} \\ \alpha_{\displaystyle 13} & \alpha_{\displaystyle 23} & \alpha_{\displaystyle 33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Sedangkan nilai det A atau}\:\left| A \right|\\&\begin{aligned}\quad &=\begin{vmatrix} 2 & 1&1\\ 1 & 2&1\\ 1&1&2 \end{vmatrix}\\ &=(2)(2)(2)+\\ &\: \: \quad (1)(1)(1)+\\ &\: \: \quad (1)(1)(1)+\\ &\: \: \quad -(1)(2)(1)\\ &\: \: \quad -(1)(1)(2)\\ &\: \: \quad -(2)(1)(1)\\ &=8+1+1\\ &\: \: \: -2-2-2\\ &=4 \\\end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \textrm{A}^{\displaystyle -1}=\displaystyle \frac{1}{\left| A \right|}.\textrm{Adj A}=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}2.\quad&\textrm{Tunjukkan bahwa untuk matriks A pada soal no.1}\\&\textrm{di atas dan matriks inversnya yaitu}\quad A^{\displaystyle -1}\\ &\textrm{jika dikalikan akan mengahsilkan matriks identitas}\\\\ &\textrm{Bukti}:\\ &\textrm{Akan dibuktikan secara langsung bahwa}:A.A^{\displaystyle -1}=I\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 &  1\\ 1 & 2 &  1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & -1 &  -1\\ -1 & 3 &  -1\\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 6-1-1 & 3-2-1 &  3-1-2\\ -2+3-1 & -1+6-1 &  -1+3-2\\ -2-1+3 & -1-2+3 & -1-1+6 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 4 & 0 &  0\\ 0 & 4 &  0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 &  0\\ 0 & 1 &  0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \textbf{terbukti} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}3.\quad&\textrm{Tentukan invers dari matriks B berikut}\\&B=\begin{pmatrix} 1 & 2 &  3\\ 4 & 5 &  6\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Kita tentukan adjoinya, yaitu}\\ &\alpha_{\displaystyle 11}=(-1)^{\displaystyle 1+1}\left| M_{\displaystyle 11} \right|=1.\begin{vmatrix} 5 &  6\\ 2 & 0 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(0-12)=-12\\&\alpha_{\displaystyle 12}=(-1)^{\displaystyle 1+2}\left| M_{\displaystyle 12} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 4 &  6\\ 1 & 0 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(0-6)=6\\&\alpha_{\displaystyle 13}=(-1)^{\displaystyle 1+3}\left| M_{\displaystyle 13} \right|=1.\begin{vmatrix} 4 &  5\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(8-5)=3\\&\alpha_{\displaystyle 21}=(-1)^{\displaystyle 2+1}\left| M_{\displaystyle 21} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 2 &  3\\ 2 & 0 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(0-6)=6\\&\alpha_{\displaystyle 22}=(-1)^{\displaystyle 2+2}\left| M_{\displaystyle 22} \right|=1.\begin{vmatrix} 1 &  3\\ 1 & 0 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(0-3)=-3\\&\alpha_{\displaystyle 23}=(-1)^{\displaystyle 2+3}\left| M_{\displaystyle 23} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 1 &  2\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(2-2)=0\\&\alpha_{\displaystyle 31}=(-1)^{\displaystyle 3+1}\left| M_{\displaystyle 31} \right|=1.\begin{vmatrix} 2 &  3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(12-15)=-3\\&\alpha_{\displaystyle 32}=(-1)^{\displaystyle 3+2}\left| M_{\displaystyle 32} \right|=(-1).\begin{vmatrix} 1 &  3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}\\ &\qquad=(-1).(6-12)=6\\&\alpha_{\displaystyle 33}=(-1)^{\displaystyle 3+3}\left| M_{\displaystyle 33} \right|=1.\begin{vmatrix} 1 &  2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}\\ &\qquad=1.(5-8)=-3\\&\textrm{Dengan menggunakan data kofaktor-kofaktor}\\ &\textrm{di atas dari matriks B, diperoleh}\\ &\textrm{adj B}=\begin{pmatrix} \alpha_{\displaystyle 11} & \alpha_{\displaystyle 21} & \alpha_{\displaystyle 31} \\ \alpha_{\displaystyle 12} & \alpha_{\displaystyle 22} & \alpha_{\displaystyle 32} \\ \alpha_{\displaystyle 13} & \alpha_{\displaystyle 23} & \alpha_{\displaystyle 33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -12 & 6 &  -3\\  6 & -3 & 6 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Sedangkan nilai det B atau}\:\left| B \right|\\&\begin{aligned}\quad &=\begin{vmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 1&2&0 \end{vmatrix}\\ &=(1)(5)(0)+\\ &\: \: \quad (2)(6)(1)+\\ &\: \: \quad (3)(2)(4)+\\ &\: \: \quad -(1)(5)(3)\\ &\: \: \quad -(2)(6)(1)\\ &\: \: \quad -(0)(4)(2)\\ &=0+12+24\\ &\: \: \: -15-12-0\\ &=9 \\\end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \textrm{B}^{\displaystyle -1}=\displaystyle \frac{1}{\left| B \right|}.\textrm{Adj B}=\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix} -12 & 6 & -3 \\ 6 & -3 & 6 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$.

$\begin{aligned}4.\quad&\textrm{Tunjukkan bahwa untuk matriks B pada soal no.3}\\&\textrm{di atas dan matriks inversnya yaitu}\quad B^{\displaystyle -1}\\ &\textrm{jika dikalikan akan mengahsilkan matriks identitas}\\\\ &\textrm{Bukti}:\\ &\textrm{Akan dibuktikan secara langsung bahwa}:B.B^{\displaystyle -1}=I\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 &  3\\ 4 & 5 &  6\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix} -12 & 6 &  -3\\ 6 & -3 &  6\\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix} -12+12+9 & 6-6+0 &  -3+12-9\\ -48+30+18 & 24-15+0 &  -12+30-18\\ -12+12+0 & 6-6+0 & -3+12+0 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 9 & 0 &  0\\ 0 & 9 &  0\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 &  0\\ 0 & 1 &  0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \textbf{terbukti} \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kuntarti, Sulistiyono, Kurnianingsih, S. 2005. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: GELORA AKSARA PRATAMA.

.

 

MATRIKS-CONTOH 6

 $\begin{array}{ll}\\ 26.&(\textbf{UM UGM 2004})\\ &\textrm{Nilai-nilai}\: \: x\: \: \textrm{agar matriks}\\ &\qquad\quad\quad\begin{pmatrix} 5x & 5\\ 4 & x \end{pmatrix}\\ &\textrm{tidak memiliki invers adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&4\: \: \textrm{atau}\: \: 5\\ \textrm{b}.&-2\: \: \textrm{atau}\: \: 2\\ \textrm{c}.&-4\: \: \textrm{atau}\: \: 5\\ \textrm{d}.&-6\: \: \textrm{atau}\: \: 4\\ \textrm{e}.&0 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}&\textrm{supaya matriks}\: \: \begin{pmatrix} 5x & 5\\ 4 & x \end{pmatrix}\\ &\textrm{tidak memiliki invers},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{determinan matriks}\: \: \begin{pmatrix} 5x & 5\\ 4 & x \end{pmatrix}=0\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{vmatrix} 5x & 5\\ 4 & x \end{vmatrix}=0\\ &\Leftrightarrow 5x^{2}-20=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}=4\\ &\Leftrightarrow x=\pm 2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 27.&(\textbf{UM UGM 2005})\\ &\textrm{Matriks}\: \: \begin{pmatrix} x & 1\\ -2 & 1-x \end{pmatrix}\\ &\textrm{tidak memiliki invers untuk}\\ &\textrm{nilai}\: \: x=\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-1\: \: \textrm{atau}\: \: -2\\ \textrm{b}.&-1\: \: \textrm{atau}\: \: 0\\ \textrm{c}.&-1\: \: \textrm{atau}\: \: 1\\ \textrm{d}.&-1\: \: \textrm{atau}\: \: 2\\ \textrm{e}.&1\: \: \textrm{atau}\: \: 2 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\textrm{Mirip dengan pembahasan no. 26}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Nilai}\: \: \begin{vmatrix} x & 1\\ -2 & 1-x \end{vmatrix}=0\\ &\Leftrightarrow x-x^{2}-(-2)=0\\ &\Leftrightarrow 2+x-x^{2}=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0\\ &\Leftrightarrow (x-2)(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow x=2\: \: \textrm{atau}\: \: x=-1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 28.&(\textbf{Mat Das SIMAK UI 2014})\\ &\textrm{Jika matriks}\: \: \textrm{A}\: \: \textrm{adalah invers}\\ &\textrm{dari matriks}\: \: \displaystyle \frac{1}{3}.\begin{pmatrix} -1 & -3\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{A}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\: \: \textrm{maka nilai}\: \: 2x+y\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&-\displaystyle \frac{10}{3}\\ \textrm{b}.&-\displaystyle \frac{1}{3}\\ \textrm{c}.&1\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{9}{7}\\ \textrm{e}.&\displaystyle \frac{20}{3} \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Misalkan diketahui matriks}\\ &\textrm{B}=\displaystyle \frac{1}{3}.\begin{pmatrix} -1 & -3\\ 4 & 5 \end{pmatrix},\\ &\textrm{maka}\: \: \textrm{A}=\left ( \displaystyle \frac{1}{3}.\begin{pmatrix} -1 & -3\\ 4 & 5 \end{pmatrix} \right )^{-1}\\ &\textrm{selanjutnya}\: \: \textrm{A}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix},\\ & \textrm{ingat bahwa}\: \: \left (\textbf{A}^{-1} \right )^{-1}=\textbf{A}\\ &\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\left ( \left ( \displaystyle \frac{1}{3}.\begin{pmatrix} -1 & -3\\ 4 & 5 \end{pmatrix} \right )^{-1} \right )^{-1}\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{3}.\begin{pmatrix} -1 & -3\\ 4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\\ &\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1-9\\ 4+15 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \displaystyle -\frac{10}{3}\\ \displaystyle \frac{19}{3} \end{pmatrix}\\ &2x+y=2\left ( -\displaystyle \frac{10}{3} \right )+\frac{19}{3}\\ &\qquad\: \: \: \, =\displaystyle \frac{-20+19}{3}=-\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned} \end{array}$

 

MATRIKS-CONTOH 5

 $\begin{array}{ll}\\ 21.&(\textbf{SPMB 2003})\\ &\textrm{Diketahu matriks}\: \: \textrm{A}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d \end{pmatrix}.\\ &\textrm{Jika}\: \: \: \textrm{A}^{t}=\textrm{A}^{-1}\: \: \textrm{dengan}\: \: \textrm{A}^{t}\\ &\textrm{adalah transpose matriks A},\\ &\textrm{maka nilai}\: \: ad-bc=....\\ &\begin{array}{lllllll}\\ \textrm{a}.&-1\: \: \textrm{atau}\: \: -\sqrt{2}\\ \textrm{b}.&1\: \: \textrm{atau}\: \: \sqrt{2}\\ \textrm{c}.&-\sqrt{2}\: \: \textrm{atau}\: \: -\sqrt{2}\\ \textrm{d}.&-1\: \: \textrm{atau}\: \: 1\\ \textrm{e}.&1\: \: \textrm{atau}\: \: -\sqrt{2}\\ \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\: \textrm{matriks}\: \: \textrm{A}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\\ &\textrm{dan}\: \: \textrm{A}^{t}=\textrm{A}^{-1},\: \textrm{maka}\\ &\textrm{A}^{t}=\textrm{A}^{-1}\\ &\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}^{t}=\displaystyle \frac{1}{ad-bc}\times \textrm{Adjoin Matriks}\: \: \textrm{A}\\ &\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix},\\ & \textrm{didapatkan hubungan}\\ &c=\displaystyle \frac{-b}{ad-bc}\quad ...............(1)\\ &b=\displaystyle \frac{-c}{ad-bc}\quad ...............(2)\\ &\textrm{Persamaan}\: \:  (2)\: \: \textrm{disubstitusikan ke persamaan}\: \: (1)\\ &c=\displaystyle \displaystyle \frac{-\displaystyle \frac{-c}{ad-bc}}{ad-bc}\\ &1=(ad-bc)^{2}\\ &(ad-bc)= -1\: \: \textrm{atau}\: \: 1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Diketahu matriks}\: \: \textrm{H}\\ &\textrm{yang memenuhi persamaan}\\ &\textrm{H}\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 8\\ 4 & 6 \end{pmatrix},\\ &\textrm{maka nilai dari}\: \: \: det\: \textrm{H}\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&-3\\ \textrm{b}.&-2\\ \textrm{c}.&-1\\ \textrm{d}.&1\\ \textrm{e}.&2 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{array}{|c|}\hline \textbf{Alternatif 1}\\\hline \begin{aligned}\textrm{H.A}&=\textrm{B}\\ \textrm{H.A.A}^{-1}&=\textrm{B.A}^{-1}\\ \textrm{H}&=\textrm{B.A}^{-1}\\ &=\begin{pmatrix} 7 & 8\\ 4 & 6 \end{pmatrix}.\displaystyle \frac{1}{\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 1 & 4 \end{vmatrix}}\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -1 & 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 7 & 8\\ 4 & 6 \end{pmatrix}.\displaystyle \frac{1}{12-2}\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -1 & 3 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 28+(-8) & (-14)+24\\ 16+(-6) & (-8)+18 \end{pmatrix}\\ \textrm{H}&=\displaystyle \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 20 & 10\\ 10 & 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\ det\: \textrm{H}&=\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}=2.1-1.1=2-1=\color{purple}1 \end{aligned}\\\hline \textbf{Alternatif 2}\\\hline \begin{aligned}\textrm{H.A}&=\textrm{B}\begin{cases} det\: \textrm{H} &=\left | \textrm{H} \right | \\ det\: \textrm{A} &=\left | \textrm{A} \right |=\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 2 & 1 \end{vmatrix}\\ &=12-2=10 \\ det\: \textrm{B} &=\left | \textrm{B} \right |=\begin{vmatrix} 7 & 8\\ 4 & 6 \end{vmatrix}\\ &=42-32=10 \end{cases}\\ \left | \textrm{H} \right |.\left | \textrm{A} \right |&=\left | \textrm{B} \right |\\ \left | \textrm{H} \right |&=\displaystyle \frac{\left | \textrm{B} \right |}{\left | \textrm{A} \right |}\\ &=\displaystyle \frac{10}{10}\\ &=1 \end{aligned} \\\hline \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 23.&(\textbf{UM UGM 2006})\\ &\textrm{Apabila}\: \: x\: \: \textrm{dan}\: \: y\: \: \textrm{memenuhi}\\ &\textrm{persamaan matriks}\\ &\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix},\\ &\textrm{maka}\: \: x+y=\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&1\\ \textrm{b}.&2\\ \textrm{c}.&3\\ \textrm{d}.&4\\ \textrm{e}.&5 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\\ A.X&=B\\ A^{-1}.A.X&=A^{-1}.B\\ A^{0}.X&=A^{-1}.B\\ X&=A^{-1}.B\\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -1 & 3 \end{vmatrix}}&\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{1}{3-2}&\begin{pmatrix} 3.(-1)+2.2 \\ 1.(-1)+1.2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\\ x+y&=1+1=2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 24.&(\textbf{KSM Matematika Kabupten 2019})\\ &\textrm{Matriks}\: \: A\: \: \textrm{dengan entri bulat dan}\\ &\textrm{berukuran 2x2},\: \textrm{dikalikan dengan matriks}\\ &\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}\: \: \textrm{dari kanan menghasilkan matriks}\\ &\textrm{yang semua entrinya bilangan prima}.\\ &\textrm{Jika determinan dari matriks}\: \: A\: \: \textrm{juga}\\ &\textrm{bilangan prima, maka nilai minimum dari}\\ &det\: A\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&2\\ \textrm{b}.&3\\ \textrm{c}.&5\\ \textrm{d}.&7 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}&\times A_{2\times 2}=\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\\ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & 2 \end{vmatrix}&\times \left | A_{2\times 2} \right |=\begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix}\\ &\left | A_{2\times 2} \right |=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & 2 \end{vmatrix}}\\ &\left | A_{2\times 2} \right |=\displaystyle \frac{(\alpha \delta -\beta \gamma )}{-2}\\ &\left | A_{2\times 2} \right |=\displaystyle \frac{(\beta \gamma -\alpha \delta )}{2}\\ \textrm{Karena}&\: \: \left | A_{2\times 2} \right |\: \: \textrm{bilangan prima}\\ \textrm{akan m}&\textrm{engakibatkan}\: \: ( \beta \gamma -\alpha \delta)\\ \textrm{harus h}&\textrm{abis dibagi}\: \: 2,\: \: \textrm{oleh karenanya}\\ \textrm{menyeb}&\textrm{abkan}\: \: ( \beta \gamma -\alpha \delta)\: \: \textrm{berupa bilangan}\\ \textrm{genap.}\, \, \, &\textrm{Dan karena}\: \: ( \beta \gamma -\alpha \delta)\: \: \textrm{genap},\\ \textrm{maka p}&\textrm{astilah}\: \: \left | A_{2\times 2} \right |\: \: \textrm{juga bernilai genap}\\ \textrm{sehingg}&\textrm{a nilai}\: \: \left | A_{2\times 2} \right |\: \: \textrm{pastilah 2} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 25.&(\textbf{UM UGM 2005})\textrm{Jika}\\ &\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sin A & \cos A \end{pmatrix}\\ &\textrm{dan}\: \: A\: \: \textrm{suatu konstanta, maka}\: \: x+y=\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&-2\\ \textrm{b}.&-1\\ \textrm{c}.&0\\ \textrm{d}.&1\\ \textrm{e}.&2 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}&\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sin A & \cos A \end{pmatrix}\\ &\begin{pmatrix} x\sin \alpha -y\cos \alpha & x\cos \alpha +y\sin \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sin A & \cos A \end{pmatrix}\\ &\begin{cases} \sin A & =x\sin \alpha -y\cos \alpha =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\cos \left ( \alpha -\tan ^{-1}\displaystyle \frac{x}{-y} \right ) \\ \cos A & =x\cos \alpha +y\sin \alpha =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\cos \left (\alpha -\tan ^{-1}\displaystyle \frac{y}{x} \right ) \end{cases}\\ &\textrm{Supaya}\: \: \cos A=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\cos \left (\alpha -\tan ^{-1}\displaystyle \frac{y}{x} \right ),\: \: \textrm{maka}\\ &\begin{cases} \sqrt{x^{2}+y^{2}} & =1 \\ \tan ^{-1}\displaystyle \frac{y}{x} & =0\Rightarrow \begin{cases} y & =0 \\ x & =1 \end{cases} \end{cases}\\ &\textrm{Sehingga}\: \: x+y=1+0=1 \end{aligned} \end{array}$

MATRIKS-CONTOH 4

 $\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Determinan untuk matriks}\: \: \begin{pmatrix} 2 & -5\\ 3 & -1 \end{pmatrix}=....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&-17\\ \textrm{b}.&-13\\ \textrm{c}.&11\\ \textrm{d}.&13\\ \textrm{e}.&17 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}\textrm{Determinan}&\: \textrm{dari matriks}\: \: \begin{pmatrix} 2 & -5\\ 3 & -1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 2 & -5\\ 3 & -1 \end{vmatrix}=2(-1)-3(-5)\\ &=-2+15\\ &=13 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Determinan untuk matriks}\\ &\begin{pmatrix} 2 & -1&-1\\ 1 & 4&-1\\ 1&-2&3 \end{pmatrix}=....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&10\\ \textrm{b}.&18\\ \textrm{c}.&22\\ \textrm{d}.&30\\ \textrm{e}.&36 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{a}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Determinan}\: \: \textrm{dari matriks}\\ &\begin{pmatrix} 2 & -1&-1\\ 1 & 4&-1\\ 1&-2&3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 2 & -1&-1\\ 1 & 4&-1\\ 1&-2&3 \end{vmatrix}\\ &=+(2.4.3)+(-1.-1.1)+(-1.1.-2)\\ &\quad -(1.4.-1)-(-2.-1.2)-(3.1.-1)\\ &=24+1+2+4-24+3\\ &=10 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Jika diketahu matriks}\\ &\textrm{A}=\begin{pmatrix} x+3&-2\\ -16&2x-6 \end{pmatrix},\\ &\textrm{maka nilai dari}\: \: \: x\: \: \textrm{supaya matriks}\\ &\textrm{A tidak memiliki invers adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&1\\ \textrm{b}.&2\\ \textrm{c}.&3\\ \textrm{d}.&4\\ \textrm{e}.&5 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{e}\\ &\begin{aligned}\textrm{Invers}&\: \textrm{dari matriks A adalah}\: \: \: \textrm{A}^{-1}.\\ \textrm{A}^{-1}&=\displaystyle \frac{1}{det\: \textrm{A}}\times Adjoin\: \textrm{A}.\\ \textrm{Karen}&\textrm{a}\: \textrm{tidak memiliki invers},\\ \textrm{maka}\: \, & det\: \textrm{A}=0,\: \textrm{sehingga}\\ det\: \textrm{A}&=\begin{vmatrix} x+3 & -2\\ -16 & 2x-6 \end{vmatrix}=0\\ &\Leftrightarrow (x+3)(2x-6)-(-16.-2)=0\\ &(\textrm{masing-masing ruas dibagi 2})\\ &\Leftrightarrow (x+3)(x-3)-16=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-9-16=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-25=0\\ &\Leftrightarrow (x+5)(x-5)=0\\ &\Leftrightarrow x+5=0\quad \textrm{atau}\quad x-5=0\\ &\Leftrightarrow \: \: \: \, \, x=-5\quad \textrm{atau}\quad x=5 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Jika}\: \: \begin{vmatrix} 5^{2x} & -5\\ 1 & 1 \end{vmatrix}=6.5^{x}\\ &\textrm{maka}\: \: 5^{2x}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&625\: \: \textrm{atau}\: \: 1\\ \textrm{b}.&25\: \: \textrm{atau}\: \: 1\\ \textrm{c}.&25\: \: \textrm{atau}\: \: 0\\ \textrm{d}.&5\: \: \textrm{atau}\: \: 1\\ \textrm{e}.&5\: \: \textrm{atau}\: \: 0 \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\quad \textbf{b}\\ &\begin{aligned}&5^{2x}+5=6.5^{x}\\ &5^{2x}-6.5^{x}+5=0\\ &\left ( 5^{x}-1 \right )\left ( 5^{x}-5 \right )=0\\ &5^{x}-1=0\: \: \textrm{atau}\: \: 5^{x}-5=0\\ &5^{x}=1\: \: \textrm{atau}\: \: 5^{x}=5\\ &5^{x}=5^{0}\: \: \textrm{atau}\: \: 5^{x}=5^{1}\\ &x=0\: \: \textrm{atau}\: \: x=1\\ &\textrm{maka}\\ &5^{2x}=\begin{cases} 5^{2.1} &=5^{2}=25 \\ 5^{2.0} &=5^{0}=1 \end{cases} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Diketahu determinan suatu}\\ &\textrm{matriks adalah}\: \: \begin{vmatrix} x & 1 & 2\\ x & 1 & x\\ 5 & -3 & 7 \end{vmatrix}=0.\\ &\textrm{Jika}\: \: p\: \: \textrm{dan}\: \: q\: \: \textrm{adalah akar-akar}\\ &\textrm{yang memenuhi persamaan tersebut}\\ &\textrm{maka nilai dari}\: \: \: p+q\: \: \textrm{adalah}....\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&-3\\ \textrm{b}.&-\displaystyle \frac{1}{3}\\ \textrm{c}.&-1\\ \textrm{d}.&\displaystyle \frac{1}{3}\\ \textrm{e}.&3 \end{array}\\\\ &\textbf{Jawab}:\quad \textbf{d}\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui ba}&\textrm{hwa}:\\ \begin{vmatrix} x & 1 & 2\\ x & 1 & x\\ 5 & -3 & 7 \end{vmatrix}&=0\\ +(x.1.7)+&(1.x.5)+(2.x.-3)\\ -(5.1.2)&-(-3.x.x)-(7.x.1)=0\\ 7x+5x-6x&-10+3x^{2}-7x=0\\ 3x^{2}-x-10&=0\begin{cases} p & \textrm{salah satu akar} \\ q & \textrm{salah satu akar yang lain}, \end{cases}\\ \textrm{dengan}\: \: \: &\begin{cases} a &=3 \\ b &=-1 \\ c &=-10 \end{cases}.\\ \textrm{maka}\: \: \: p+q\: \: &=-\displaystyle \frac{b}{a}=-\displaystyle \frac{-1}{3}\\ &=\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned} \end{array}$