.
$\LARGE{CONTOH SOAL}$.
HIPERBOLA (IRISAN KERUCUT)
A. Definisi
Hiperbola adalah tempat kedudukan (lokus) titik-titik pada bidang yang memiliki selisih mutlak jarak terhadap dua titik tetap yang disebut fokus bernilai konstan
B. Persamaan hiperbola pusat O(0,0)
Perhatikan ilustrasi berikut
$\begin{aligned}&\text{Keterangan}\\ &\bullet \quad \textrm{F}_{1}\quad \textrm{dan}\quad \textrm{F}_{2}\quad \textrm{disebut fokus}\\ &\bullet \quad \textrm{A dan B disebut puncak}\\ &\bullet \quad \textrm{O disebut puncak}\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu X sebagai sumbu utama/nyata/transversal}\\ &\qquad (\textrm{sumbu yang}\quad \textrm{F}_{1}\quad \textrm{dan}\quad \textrm{F}_{2}\quad \textrm{terletak})\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu Y sebagai sumbu sekawan/imajiner}\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu mayor}=AB=2a\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu minor}=RQ=2b\\ &\bullet \quad \textrm{garis}\quad g_{1}\quad \textrm{dan}\quad g_{2}\quad \textrm{disebut garis direktris}\\ &\bullet \quad \textrm{KL dan TS disebut latus rektum, panjangnya}=\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\ &\bullet \quad \textrm{garis}\quad y=\pm \displaystyle \frac{b}{a}x\quad \textrm{disebut asimtot miring}\\ &\bullet \quad \textrm{di antara}:a,b,\: \textrm{dan}\: c\quad \textrm{terdapat hubungan}\quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}+b^{\displaystyle 2}\\\end{aligned}$.
$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Hiperbola}\end{aligned}&\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{y^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1&\displaystyle \frac{y^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1\\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{kanan-kiri}&\textrm{atas-bawah}\\\hline \textrm{Fokus}&(\pm c,0)&(0,\pm c)\\\hline \textrm{Puncak}&(\pm a,0)&(0,\pm a)\\\hline \textrm{Asimtot}&y=\pm \displaystyle \frac{b}{a}x&y=\pm \displaystyle \frac{a}{b}x\\\hline \textrm{Direktris}&x=\pm \displaystyle \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}&y=\pm \displaystyle \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}\\\hline\begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=0,x=0&y=0,x=0\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \textrm{eksentrisitas}&\displaystyle \frac{c}{a}&\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline\end{array}$.
C. Persamaan hiperbola pusat (h,k)
Perhatikan tabel berikut
$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Hiperbola}\end{aligned}&\displaystyle \frac{(x-h)^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{(y-k)^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1&\displaystyle \frac{(y-k)^{\displaystyle 2}}{a^{\displaystyle 2}}-\displaystyle \frac{(x-h)^{\displaystyle 2}}{b^{\displaystyle 2}}=1\\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{kanan-kiri}&\textrm{atas-bawah}\\\hline \textrm{Fokus}&(h\pm c,k)&(h,k\pm c)\\\hline \textrm{Puncak}&(h\pm a,k)&(h,k\pm a)\\\hline \textrm{Asimtot}&y-k=\pm \displaystyle \frac{b}{a}(x-h)&y-k=\pm \displaystyle \frac{a}{b}(x-h)\\\hline \textrm{Direktris}&x=h\pm \displaystyle \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}&y=k\pm \displaystyle \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}\\\hline\begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=k,x=h&y=k,x=h\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \textrm{eksentrisitas}&\displaystyle \frac{c}{a}&\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline\end{array}$.
$\LARGE{CONTOH SOAL}$.
PARABOLA-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)
D. Persamaan garis singgung parabola
Perhatikan tabel berikut
$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{parabola}\end{aligned}&\qquad y^{\displaystyle 2}=4px&\qquad (y-b)^{\displaystyle 2}=4p(x-a)\\\hline \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx +\displaystyle \frac{p}{m}&y-b=m(x-a)-\displaystyle \frac{p}{m}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada }\\ &\textrm{parabola} \end{aligned}&\quad\displaystyle y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)&(y_{1}-b)(y-b)=2p(x_{1}-a)(x-a)\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar}\\ &\textrm{parabola}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan elips di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &y_{A}y=2p(x_{A}+x)\\ & \textrm{dan}\\ &y_{B}y=2p(x_{B}+x) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline \end{array}$.
$\LARGE{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\textrm{Tentukan persamaan garis singgung parabola}\\ &\textrm{a}\quad\textrm{yang bergradien 3}\\ &\textrm{b}\quad\textrm{yang melalui titik (2,4)}\\ &\textrm{c}\quad\textrm{yang melalui titik (2,5)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\Rightarrow 4p=8\Leftrightarrow p=2\\ &\begin{aligned}&\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{(a)}\quad \textrm{persamaan garis singgung dengan gradien}\:\: m=3\\ &\:\qquad y=mx+\displaystyle \frac{p}{m}\Leftrightarrow y=3x+\displaystyle \frac{2}{3}\Leftrightarrow 3y-9x-2=0\\ &\textrm{(b)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (2,4)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (2,4) ini pada parabola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\&\:\qquad y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\Leftrightarrow 4y=2.2(2+x)\\ &\:\qquad \Leftrightarrow 4y=8+4x\Leftrightarrow y-x-2=0\\ &\textrm{(c)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (2,5)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (2,5) ini di luar parabola}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Persamaan garis kutub(polar)}\\ &\quad\qquad\displaystyle y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\Leftrightarrow5y=2.2(2+x)\\ &\quad\qquad\Leftrightarrow 5y=8+4x\Leftrightarrow y=\displaystyle \frac{8+4x}{5}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Perpotongan garis kutub dengan parabola}\\ &\quad\qquad\displaystyle y=\displaystyle \frac{8+4x}{5}\Rightarrow y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 1}:\\&\quad\qquad \left( \displaystyle \frac{8+4x}{5} \right)^{\displaystyle 2}=8x\Rightarrow 64+64x+16x^{\displaystyle 2}=200x\\ &\quad\qquad \Leftrightarrow 8(2x-1)(x-8)=0\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{1}{2}\quad \textrm{atau}\quad x=8\\ &\quad\qquad \textrm{selanjutnya didapat titik potongnya di}\\ &\quad\qquad \textrm{titik}\quad \left( \displaystyle \frac{1}{2},2 \right)\quad \textrm{dan}\quad \left( 8,8 \right)\\ &\quad\qquad \textrm{sehingga kita tentukan garis singgungnya}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan rumus}\quad y_{1}y=2p\left( x_{1}+x \right)\\ &\quad\qquad \textrm{dan nantinya kita akan mendapatkan }\\ &\quad\qquad \textrm{ dua garis, yaitu}\\ &\quad\qquad y=2x+1\quad\textrm{dan}\quad y=\displaystyle \frac{1}{2}x+4\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 2}:\\ &\quad\qquad \textrm{Gunakan titik (2,5) dan substitusikan ke}\\ &\quad\qquad \textrm{garis}\quad y=mx+\displaystyle \frac{p}{m}\\ &\quad\qquad \textrm{Selanjutnya diserahkan ke pembaca}\\ \end{aligned} \end{array}$.
PARABOLA (IRISAN KERUCUT)
A. Definisi
Parabola adalah himpunan semua titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap dan garis tetap. Selanjutnya titik tetap disebut fokus dan garis tetap disebut direktris.
B. Persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0)
Perhatikan ilustrasi berikut
$\begin{aligned}&\text{Keterangan}\\ &\bullet \quad \textrm{F disebut fokus}\\ &\bullet \quad \textrm{g disebut garis direktris}\\ &\bullet \quad \textrm{O disebut puncak}\\ &\bullet \quad \textrm{TS disebut latus rektum (4p)}\\ &\bullet \quad \textrm{AF=AQ}\\ &\bullet \quad \textrm{Sumbu simetri sumbu X}\\\end{aligned}$.
Selanjutnya perhatikan tabel berikut.
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&y^{\displaystyle 2}=4px&y^{\displaystyle 2}=-4px&x^{\displaystyle 2}=4py&x^{\displaystyle 2}=-4py \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Fokus}&(p,0)&(-p,0)&(0,p)&(0,-p)\\\hline \textrm{Direktris}&x=-p&x=p&y=-p&y=p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=0&y=0&x=0&x=0\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p&4p&4p\\\hline \end{array}$.
C. Persamaan parabola yang berpuncak di (a,b)
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(y-b)^{\displaystyle 2}=4p(x-a)&(y-b)^{\displaystyle 2}=-4p(x-a) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a+p,b)&(a-p,b)\\\hline \textrm{Direktris}&x=a-p&x=a+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=b&y=b\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(x-a)^{\displaystyle 2}=4p(y-b)&(x-a)^{\displaystyle 2}=-4p(y-b) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a,b+p)&(a,b-p)\\\hline \textrm{Direktris}&y=b-p&y=b+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&x=a&x=a\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.
$\LARGE{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad y^{\displaystyle 2}=8x\\ &\textrm{Tentukan fokus, sumbu simetri, dan}\\ &\textrm{direktris parabola tersebut}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &y^{\displaystyle 2}=8x\quad \textrm{analog dengan}\quad y^{\displaystyle 2}=4px\\ &\textrm{Sehingga}\quad 4p=8\Leftrightarrow p=2,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{fokusnya}:\quad (p,0)=(2,0)\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetrinya }:\quad \textrm{sumbu-X}\\ &\bullet \quad \textrm{direktrisnya}:\quad x=-p\Leftrightarrow x=-2\\ \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui persamaan parabola}\quad x^{\displaystyle 2}=-8y\\ &\textrm{Tentukan fokus, sumbu simetri, dan}\\ &\textrm{direktris parabola tersebut}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &x^{\displaystyle 2}=-8y\quad \textrm{analog dengan}\quad x^{\displaystyle 2}=-4py\\ &\textrm{Sehingga}\quad -4p=-8\Leftrightarrow p=2,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{fokusnya}:\quad (0,-p)=(0,-2)\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetrinya }:\quad \textrm{sumbu-Y}\\ &\bullet \quad \textrm{direktrisnya}:\quad y=p\Leftrightarrow y=2\\ \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan persamaan parabola yang}\\ &\textrm{berpuncak di O(0,0) dan fokusnya}\\ &\textrm{di F(4,0)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Puncak suatu parabola di O(0,0) dan}\\ &\textrm{fokusnya (4,0) berarti}\quad p=4.\\ &\bullet \quad \textrm{karena}\quad y_{fokus}=y_{puncak}=0,\quad \textrm{maka}\\ &\:\:\quad\textrm{ini menunjukkan bahwa model}\\ &\:\:\quad\textrm{parabolnya horizaontal}\\ &\bullet \quad \textrm{dan karena}\quad x_{fokus}>x_{puncak},\quad \textrm{maka}\\ &\:\:\quad\textrm{ini menunjukkan bahwa model}\\ &\:\:\quad\textrm{parabolnya terbuka ke kanan}\\ &\textrm{Sehingga persamaan parabolnya adalah}:\\ &y^{\displaystyle 2}=4px\Leftrightarrow y^{\displaystyle 2}=4.4.x\Leftrightarrow y^{\displaystyle 2}=16x \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukan jarak fokus ke direktris pada }\\ &\textrm{parabola}\quad y^{2}+6y-6x+4=0\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:y^{2}+6y-6x+4=0\\ &\Leftrightarrow y^{2}+6y=6x-4\\ &\Leftrightarrow y^{2}+2.3y+3^{\displaystyle 2}=6x-4+3^{\displaystyle 2}\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6x+5\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6x+\displaystyle \frac{5.6}{6}\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6\left( x+\displaystyle \frac{5}{6} \right)\\ &\textrm{Sehingga didapatkan}\\ &4p=6\Leftrightarrow 2p=3\\ &\textrm{Karena jarak fokus ke direktris adalah}\:\: 2p\\ &\textrm{maka jaraknya adalah 3} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukan koordinat puncak, fokus,}\\ &\textrm{dirktris, sumbu simetri dan panjang}\\ &\textrm{latus rektum parabola}\quad y^{2}+6y-6x+4=0\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:y^{2}+6y-6x+4=0\\ &\Leftrightarrow (y+3)^{2}=6\left( x+\displaystyle \frac{5}{6} \right)\Rightarrow 4p=6\Leftrightarrow p=\displaystyle \frac{3}{2}\\ &\textrm{dengan}\quad a=-\displaystyle \frac{5}{6},\:b=-3,\quad \textrm{maka}\\ &\bullet \quad \textrm{puncak}:(a,b)=\left( \displaystyle -\frac{5}{6},-3 \right)\\ &\bullet \quad \textrm{fokus}:F(a+p,b)=\left( \displaystyle \left( -\frac{5}{6} \right)+\frac{3}{2},-3 \right)\\ &\:\:\qquad\qquad\quad\qquad\qquad =\left( \displaystyle \frac{2}{3},-3 \right)\\ &\bullet \quad \textrm{direktri}:x=a-p=\displaystyle \left( -\frac{5}{6} \right)-\frac{3}{2}=-\frac{7}{3}\\ &\bullet \quad \textrm{sumbu simetri}:y=b\Rightarrow y=-3\\ &\bullet \quad \textrm{latus rektum}:4p=6\\ \end{array}$.
ELIPS-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)
Perhatikan tabel berikut terkait persamaan garis singgung pada elips
$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{elips}\end{aligned}&\qquad\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1&\qquad\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1\\\hline \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}&y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada elips}\end{aligned}&\quad\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1&\qquad\begin{aligned}&\displaystyle \frac{(x_{1}-p)(x-p)}{a^{2}}\\ &\qquad+ \\ &\displaystyle \frac{(y_{1}-q)(y-q)}{b^{2}}=1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar elips}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan elips di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &\displaystyle \frac{x_{A}x}{a^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{A}y}{b^{\displaystyle 2}}\quad \textrm{dan}\\ &\displaystyle \frac{x_{B}x}{a^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{B}y}{b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline \end{array}$.
Dan juga tabel berikut
$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{elips}\end{aligned}&\qquad\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1&\qquad\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}m^{2}}&y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}m^{2}}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada elips}\end{aligned}&\quad\displaystyle \frac{x_{1}x}{b^{2}}+\frac{y_{1}y}{a^{2}}=1&\qquad\begin{aligned}&\displaystyle \frac{(x_{1}-p)(x-p)}{b^{2}}\\ &\qquad+ \\ &\displaystyle \frac{(y_{1}-q)(y-q)}{a^{2}}=1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar elips}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan elips di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &\displaystyle \frac{x_{A}x}{b^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{A}y}{a^{\displaystyle 2}}\quad \textrm{dan}\\ &\displaystyle \frac{x_{B}x}{b^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{B}y}{a^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline \end{array}$.
$\LARGE{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan elips}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\textrm{Tentukan persamaan garis singgung elips}\\ &\textrm{a}\quad\textrm{yang bergradien 1}\\ &\textrm{b}\quad\textrm{yang melalui titik (4,0)}\\ &\textrm{c}\quad\textrm{yang melalui titik (5,0)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{16}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{9}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{(a)}\quad \textrm{persamaan garis singgung dengan gradien}\:\: m=1\\ &\:\qquad y=mx\pm \sqrt{a^{\displaystyle 2}m^{\displaystyle 2}+b^{\displaystyle 2}}=1.x\pm \sqrt{16.1+9}\\ &\:\qquad \Leftrightarrow y=x\pm \sqrt{25}\Leftrightarrow y=x\pm 5\\ &\textrm{(b)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (4,0)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (4,0) ini pada elips}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\&\:\qquad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{4x}{16}+\displaystyle \frac{0.y}{9}=1\\ &\:\qquad \Leftrightarrow \displaystyle \frac{4x}{16}=1\Leftrightarrow 4x=16\Leftrightarrow x=4\\ &\textrm{(c)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (5,0)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (5,0) ini di luar elips}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Persamaan garis kutub(polar)}\\ &\quad\qquad\displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{5x}{16}+\displaystyle \frac{0.y}{9}=1\\ &\quad\qquad \Leftrightarrow \displaystyle \frac{5x}{16}=1\Leftrightarrow 5x=16\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{16}{5}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Perpotongan garis kutub dengan elips}\\ &\quad\qquad\displaystyle x=\displaystyle \frac{16}{5}\Rightarrow 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 1}:\\&\quad\qquad 9\left( \displaystyle \frac{16}{5} \right)^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\Rightarrow y=\pm \displaystyle \frac{9}{5}\\ &\quad\qquad \textrm{selanjutnya didapat titik potongnya di}\\ &\quad\qquad \textrm{titik}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{5},\displaystyle \frac{9}{5} \right)\quad \textrm{dan}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{5},\displaystyle -\frac{9}{5} \right)\\ &\quad\qquad \textrm{sehingga kita tentukan garis singgungnya}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan rumus}\quad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\\ &\quad\qquad \textrm{dan nantinya kita akan mendapatkan }\\ &\quad\qquad \textrm{ dua garis, yaitu}\\ &\quad\qquad y=-x+5\quad\textrm{dan}\quad y=x-5\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 2}:\\ &\quad\qquad \textrm{Gunakan titik (5,0) dan substitusikan ke}\\ &\quad\qquad \textrm{garis}\quad y=m(x-p)+q\\ &\quad\qquad \textrm{Selanjutnya diserahkan ke pembaca}\\ \end{aligned} \end{array}$.
ELIPS (IRISAN KERUCUT)
A. Definisi
Definisi 1
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.
Perhatikan ilustrasi berikut
Misalkan $\color{red}F_{1}$ dan $\color{red}F_{2}$ masing-masing adalah fokus dari elips sebagaimana ilustrasi gambar di atas dengan $\color{red}F_{1}F_{2}=2c$ dan misalkan juga jumlah jarak suatu titik pada elips ke $\color{red}F_{1}$ dan $\color{red}F_{2}$ sama dengan $2a$ ($\color{red}2a$ tetap dan $\color{red}2a>2c>0$)
Ilustrasi bantu dengan lingkaran
Buatlah lingkaran dengan pusat di $\color{red}F_{1}$ dengan $\color{red}r_{1}=a-c$ dan lingkaran kedua dengan pusat di $\color{red}F_{2}$ dengan $\color{red}r_{1}=a+c$ (atau diblaok balik), maka lingkaran di $\color{red}F_{2}$ akan memotong lingkaran di di $\color{red}F_{1}$ pada titik-titik yang yang memenuhi definisi elips tersebut di atas.
$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: F_{1}F_{2}=2c=6\: \: (c=3)\\ &\qquad\qquad\textrm{dan}\: \: 2a=8\: \: (a=4)\\ &\textrm{Dengan}\\ &a-c=4-3=1\: \: \textrm{dan}\: \: a+c=4+3=7\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline \color{red}r_{1}&1&2&3&4&5&6&7\\\hline \color{red}r_{2}&7&6&5&4&3&2&1\\\hline \end{array} \end{aligned}$.
$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \color{red}\textrm{Sumbu Simetri (Sb)}&\textrm{Sb. Utama}&\textrm{Sb. Sekawan}\\ &A_{1}A_{2}&B_{1}B_{2}\\\hline \color{red}\textrm{Titik Pusat}&O&O\\\hline \color{red}\textrm{Latus rectum}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{1}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{1}L_{1}' \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{2}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{2}L_{2}' \end{aligned}\\\hline \color{red}\textrm{Keterkaitan}\: \color{black}a,b,c&\begin{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2} \end{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2}\\\hline \end{array}$.
Sebagai catatan pada elips ada dua sumbu simetri, yaitu sumbu utama dan sumbu sekawan. Sumbu utama juga disebut sebagai sumbu mayor atau sumbu panjang atau sumbu transversal dan sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}A_{1}$ dan $\color{red}A_{2}$ yang selanjutnya masing-masing disebut sebagai pucak dari elips tersebut. Adapun sumbu yang satunya adalah sumbu sekawan atau sumbu minor atau sumbu pendek atau sumbu konjungsi yaitu sumbu simetri yang melalui titik tengah $\color{red}F_{1}F_{2}$ dan tegak lurus dengan $\color{red}F_{1}F_{2}$ serta sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}B_{1}$ dan $\color{red}B_{2}$.
B. Persamaan Elips
Persamaan Elips berpusat di O(0,0) dan (p,q)
$\LARGE\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\ &\qquad\textrm{atau}\\ &\color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} \end{aligned} \\\hline \end{array}$.
Perhatikan gambar pertama di atas
$\begin{aligned}&PF_{1}+PF_{2}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\Leftrightarrow (x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +(x+c)^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2cx+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +x^{2}+2cx+y^{2}\\ &\Leftrightarrow 4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=4a^{2}+4cx\\ &\Leftrightarrow a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=a^{2}+cx\\ &\Leftrightarrow a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})\\ &\Leftrightarrow \color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\\ &\Leftrightarrow \color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned}$.
Eksentrisitas dan Persamaan direktris
Perhatikan ilustrasi berikut
Perhatikan tabel berikut
$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \qquad\textrm{Elips}&\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1&\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline \textrm{Puncak}&\begin{aligned}&(a,0),(-a,0),\\ &(0,b),(0,-b) \end{aligned}&\begin{aligned}&(p+a,q),(p-a,q),\\ &(p,q+b),(p,q-b) \end{aligned}\\\hline \textrm{Fokus}&\begin{aligned}&(c,0),(-c,0)\\ &\textrm{dengan}\\ &c=\sqrt{a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&(p+c,q)\\ &\textrm{dan} \\ &(p-c,q) \end{aligned}\\\hline \textrm{Eksentrisitas}&e=\displaystyle \frac{c}{a}&e=\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline \textrm{Direktis}&\begin{aligned}&x=\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &x=\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}&\begin{aligned}&x=p\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &x=p\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-X}\\ &\textrm{atau}\quad y=0 \end{aligned}& y=q \\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-Y}\\ &\textrm{atau}\quad x=0 \end{aligned}&x=p\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&2a&2a\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&2b&2b\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Latus}\\ &\textrm{rectum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \end{array}$.
Perhatikan pula ilustrasi berikut
$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \qquad\textrm{Elips}&\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1&\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline \textrm{Puncak}&\begin{aligned}&(0,a),(0,-a),\\ &(b,0),(-b,0) \end{aligned}&\begin{aligned}&(p,q+a),(p,q-a),\\ &(p+b,q),(p-b,q) \end{aligned}\\\hline \textrm{Fokus}&\begin{aligned}&(0,c),(0,-c)\\ &\textrm{dengan}\\ &c=\sqrt{a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&(p,q+c)\\ &\textrm{dan} \\ &(p,q-c) \end{aligned}\\\hline \textrm{Eksentrisitas}&e=\displaystyle \frac{c}{a}&e=\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline \textrm{Direktis}&\begin{aligned}&y=\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &y=\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}&\begin{aligned}&y=q\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &y=q\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-Y}\\ &\textrm{atau}\quad x=0 \end{aligned}& x=p \\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-X}\\ &\textrm{atau}\quad y=0 \end{aligned}&y=q\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&2a&2a\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&2b&2b\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Latus}\\ &\textrm{rectum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \end{array}$.
$\LARGE{CONTOH SOAL}$.
Berikut sketsa gambarnya
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan koordinat pusat, puncak, fokus,}\\ &\textrm{sb. mayor, sb. minor, direktris, eksentrisitas}\\ &\textrm{dan panjang latus rektum dari elips}\\ &16x^{\displaystyle 2}+9y^{\displaystyle 2}=144\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 16x^{\displaystyle 2}+9y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{9}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{16}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\ast \quad \textrm{koordinat pusat}:(0,0)\\ &\ast \quad \textrm{koordinat puncak}:(0,\pm 4),(\pm 3,0)\\ &\ast \quad \textrm{koordinat fokus}:(0,\sqrt{7}),(0,-\sqrt{7})\\ &\ast \quad \textrm{sumbu mayor}:2a=2.4=8\\ &\ast \quad \textrm{sumbu minor}:2b=2.3=6\\ &\ast \quad \textrm{direktris}:y=\displaystyle \pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}=\frac{16}{\sqrt{7}}=\frac{16}{7}\sqrt{7}\\ &\ast \quad \textrm{eksentrisitas}:\displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{4}\sqrt{7}\\ &\ast \quad \textrm{latus rektum}:\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}=\displaystyle \frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ \end{aligned} \end{array}$.
Berikut ilustrasi sketsa gambarnya
CONTOH SOAL 8 LINGKARAN (TERKAIT HUBUNGAN DUA LINGKARAN)
$\begin{array}{ll}\\ 36.&\textrm{Persamaan lingkaran yang menyinggung}\\ &\textrm{sumbu X serta melalui titik potong}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=1\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\: \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-4x+2y+4=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}+4x+2y+4=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+4x+2y-4=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=1\\ &\qquad \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=-x+y=0\Leftrightarrow y=x\\ &\color{blue}\textrm{Dengan cara coba-coba, maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}+2x+4y+4+p(-x+y)=0\\ &\color{blue}\textrm{Untuk}\: \: p=1\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4+(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+x+5y+4=0\\ &\color{blue}\textrm{Untuk}\: \: p=-1\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4-(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\\ &\color{blue}\textrm{Dan untuk}\: \: p=-2\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4-2(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}+4x+2y+4=0 \end{aligned} \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnyanya} \end{array}$
DAFTAR PUSTAKA
- Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
- Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
- Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
- Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
- Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
CONTOH SOAL 7 LINGKARAN (TERKAIT HUBUNGAN DUA LINGKARAN)
$\begin{array}{ll}\\ 31.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ &(0,0)\: \: \textrm{dan titik potong kedua lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-8y-11=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-4x-6y-22=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-12x+10y=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}+8x-10y=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-8x+12y=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-10y=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+12x-8y=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-6x-8y-11=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-4x-6y-22=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=-2x-2y+11=0\\ &\textrm{Karena}\: \: L_{3}\: \: \textrm{melalui}\: \: (0,0), \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}-6x-8y-11 +p(-2x-2y+11)=0\\ &\Leftrightarrow 0^{2}+0^{2}-0-0-11+p(0+11)=0\\ &\Leftrightarrow p=\color{blue}1 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &L_{3}=x^{2}+y^{2}-6x-8y-11+(-2x-2y+11)=0\\ &\Leftrightarrow L_{3}=\color{red}x^{2}+y^{2}-8x-10y=0 \end{aligned} \end{array}$.
Berikut ilustrasi gambarnya
$\begin{array}{ll}\\ 32.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ & (8,4)\: \: \textrm{dan titik potong lingkaran}\: x^{2}+y^{2}=16\\ &\textrm{dan}\: \: x^{2}+y^{2}-4x-4y=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-8y-16=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-8x+8y+16=0\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-8y+16=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+8y-16=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+8y+16=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-16=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-4x-4y=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=4x+4y-16=0\\ &\Leftrightarrow x+y=4\\ &\textrm{Karena}\: \: L_{3}\: \: \textrm{melalui}\: \: (8,4), \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}-16+p(x+y-4)=0\\ &\Leftrightarrow 8^{2}+4^{2}-16+p(8+4-4)=0\\ &\Leftrightarrow -8p=\color{blue}64\color{black}\Leftrightarrow p=\color{blue}-8 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &L_{3}=x^{2}+y^{2}-16-8(x+y-4)=0\\ &\Leftrightarrow L_{3}=\color{red}x^{2}+y^{2}-8x-8y+16=0 \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnyanya} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 33.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ & (7,-4)\: \: \textrm{dan titik potong kedua lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x+8y-27=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-26x+4y+121=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-36x-2y+121=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}+24x-4y-222=0\\ &\textrm{c}.\quad 3x^{2}+3y^{2}-18x+2y-121=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-36x+2y+195=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+24x+2y+195=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-6x+8y-27=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-26x+4y+121=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=20x+4y-148=0\\ &\textrm{Karena}\: \: L_{3}\: \: \textrm{melalui}\: \: (7,-4), \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}-6x+8y-27\\ &\qquad+p(20x+4y-148)=0\\ &\Leftrightarrow 7^{2}+(-4)^{2}-42-32-27\\ &\qquad+p(140-16-148)=0\\ &\Leftrightarrow -24p=\color{blue}36\color{black}\Leftrightarrow p=\color{blue}-\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &L_{3}=x^{2}+y^{2}-6x+8y-27\\ &\qquad-\displaystyle \frac{3}{2}(20x+4y-148)=0\\ &\Leftrightarrow L_{3}=\color{red}x^{2}+y^{2}-36x+2y+195=0 \end{aligned} \end{array}$.
Berikut ilustrasi gambarnya
Jika dimensi gambar diperkecil menjadi
$\begin{array}{ll}\\ 34.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan}\\&\textrm{lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-12x+6y+20=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-16x-14y+64=0\: \: \textrm{serta pusatnya}\\ &\textrm{terletak pada garis}\: \: 8x-3y-19=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-20x-34y+108=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-16x+12y+96=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-12x+20y+88=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}+16x-24y+108=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+22x-34y+96=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa persamaan lingkaran}:\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-12x+6y+20=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-16x-14y+64=0\\ &\textrm{Persamaan tali busurnya (garis kuasa)}\\ &\textrm{adalah}:\\ &L_{1}(x,y)-L_{2}(x,y)\\ &=4x+20y-44=0\Leftrightarrow \color{blue}x=11-5y\\ &\textrm{Selanjutnya dengan substitusi }\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}-12x+6y+20=0\\ &\Leftrightarrow (x-6)^{2}+(y+3)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow (\color{blue}11-5y\color{black}-6)^{2}+(y+3)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow (y-5y)^{2}+(y+3)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow 26y^2-44y+9=0 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga dengan}\: \: \color{red}\textrm{memodifikasi}\\ &\begin{aligned}&26y^2-44y+9=0\\ &\Leftrightarrow 25y^2-44y+y^2+9=0\\ &\quad\textrm{arahkan ke bentuk kuadrat sempurna}\\ &\Leftrightarrow 25y^2-10y+1+y^2-34y+8=0\\ &\Leftrightarrow 25y^2-10y+1+y^2-34y+17^{2}-17^{2}+8=0\\ &\Leftrightarrow (5y-1)^{2}+(y-17)^{2}-281=0\\ &\quad \textrm{ingat bahwa ada tali busur}\: \: \color{blue}5y=11-x\\ &\Leftrightarrow (\color{blue}11-x\color{black}-1)^{2}+(y-17)^{2}-281=0\\ &\Leftrightarrow (10-x)^{2}+(y-17)^{2}-281=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-20x+100+y^{2}-34y+289-281=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-20x-34y+108=0 \end{aligned} \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 35.&\textrm{Persamaan lingkaran dengan titik pusat}\\ &\textrm{pada garis}\: \: x+2y-3=0\: \: \textrm{dan melalui}\\ &\textrm{titik potong dua lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-6x+7=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-3y+4=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-3x-2y+7=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\textrm{Gunakan cara pembahasan sebagaimana pada}\\ &\textrm{nomor-nomor sebelumnya}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0,\: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\\ &\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{tali busur}\: \color{black}\textrm{dari kedua}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}:\\ &\color{blue}L_{1}(x,y)- L_{2}(x,y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+1\\ &-(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4)=0\\ &\Leftrightarrow 2x-2y-3=0\\ &\textrm{Selanjutnya perlu ditentukan juga}\\&\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{berkas lingkaran}\: \color{black}\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik-titik potong kedua lingkaran}\\ &\textrm{di atas adalah}:\\ &L_{1}+\lambda L_{2}=0\\ &x^{2}+y^{2}-2x-4y+1\\ &\qquad+\lambda \left ( x^{2}+y^{2}-4x-2y+4 \right )=0\\ &\Leftrightarrow (1+\lambda )x^{2}+(1+\lambda )y^{2}-(2+4\lambda )x\\ &\qquad -(4+2\lambda )y+1+4\lambda =0\\ &\textrm{Saat}\: \: \lambda =-1,\: \textrm{maka persamaan berkas}\\ &\textrm{lingkarannya adalah}:\: 2x-2y-3=0\\ &\textrm{Hal ini hasilnya sama persis saat kita}\\ &\textrm{menentukan persamaan}\: \color{red}\textrm{tali busur}\: \color{black}\textrm{di atas}\\ &\textrm{Selanjutnya kita ambil}\\ &L_{2}-(L_{1}+\lambda L_{2})=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-4x-2y+4-(2x-2y-3)=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-6x+7=0 \end{aligned} \end{array}$.
Gambar mula-mula
Lingkaran baru yang berpusat di (3,0)
CONTOH SOAL 6 LINGKARAN (TERKAIT HUBUNGAN DUA LINGKARAN)
$\begin{array}{ll}\\ 26.&\textrm{Diketahui lingkaran-lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}-2x+3y+k=0\: \: \textrm{dan}\: \\ &x^{2}+y^{2}+8x-6y-7=0\: \: \textrm{saling}\\ &\textrm{berpotongan ortogonal saat}\: \: k=\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}-10\\ &\textrm{b}.\quad -3\\ &\textrm{c}.\quad 1\\ &\textrm{d}.\quad 5\\ &\textrm{e}.\quad 8\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-2x+3y+k=0&\begin{cases} P_{1} &=\left ( 1,-\displaystyle \frac{3}{2} \right ) \\ r_{1} & = \sqrt{\displaystyle \frac{13-4k}{4}} \end{cases}\\\hline \begin{aligned}L_{2}&\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y-7=0 \end{aligned}&\begin{cases} P_{2} &=\left ( -4,3 \right ) \\ r_{2} & = \sqrt{32} \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat dua lingkaran berpotongan ortogonal}\\ &\begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2} \right )^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\\ &\Leftrightarrow \left ( 1+4 \right )^{2}+\left ( -\displaystyle \frac{3}{2}-3 \right )^{2}=\left ( \sqrt{\displaystyle \frac{13-4k}{4}} \right )^{2}+\sqrt{32}^{2}\\ &\Leftrightarrow \: 25+\displaystyle \frac{81}{4}=\displaystyle \frac{13-4k}{4}+32\\ &\Leftrightarrow \: 100+81=13-4k+128\\ &\Leftrightarrow \: k=-10 \end{aligned} \\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 27.&\textrm{Persamaan lingkaran yang berpotongan}\\ &\textrm{lingkaran lain}\: \: x^{2}+y^{2}+2x+y-11=0\\ &\textrm{secara tegak lurus dan melalui}\: \: (4,3)\: \: \textrm{serta}\\ &\textrm{pusatnya pada}\: \: 9x+4y=37\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-10x+4y+3=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-8x+10y+6=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}+4x-8y+7=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}+6x+y+5=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+12x+6y+5=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x+y-11=0&\begin{cases} P_{1} &=\left ( -1,-\displaystyle \frac{1}{2} \right ) \\ r_{1} & = \sqrt{\displaystyle \frac{49}{4}}=\displaystyle \frac{7}{2} \end{cases}\\\hline \begin{aligned}L_{2}&\equiv (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \end{aligned}&\begin{cases} P_{2} &=\left ( a,b \right ) \\ r_{2} & = r \end{cases}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena berpotongan tegak lurus, maka}\\ &\begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2} \right )^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\\ &\Leftrightarrow \left ( -1-a \right )^{2}+\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}-b \right )^{2}=\displaystyle \frac{49}{4}+r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+2a+1+b^{2}+b+\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{49}{4}+r^{2}\\ &\Leftrightarrow \color{blue}a^{2}+b^{2}+2a+b+\displaystyle \frac{5}{4}=\displaystyle \frac{49}{4}+r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+2a+b-11=r^{2}\: .......(1)\\ \end{aligned} \\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Lingkaran}\: \: L_{2}\: \: \textrm{melalui titik}\: \: (4,3), \textrm{artinya}\\ &\textrm{bahwa}\: :\: (4-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}-8a+16+b^{2}-6b+9=r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-8a-6b+25=r^{2}\: .......(2)\\ &\textrm{Pusat lingkaran}\: \: L_{2}\: \: \textrm{melalui garis}\: \: 9x+4y=37\\ &\textrm{artinya}:\: 9a+4b=37\: ...............(3)\\ \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan eliminasi}\: 1\: \&\: 2\: \: \textrm{dapat diperoleh}:\\ &\begin{array}{rll} a^{2}+b^{2}-8a-6b+25&=r^{2}&\\ a^{2}+b^{2}+2a+b-11&=r^{2}&-\\\hline -10a-7b+36&=0&\textrm{atau}\\ 10a+7b&=36&......(4) \end{array}\\ &\textrm{Dari persamaan}\: 3\: \&\: 4\: \: \textrm{dapat diperoleh}:\\ & \end{aligned}\\ &\begin{array}{rll} 10a+7b&=36&(\times 4)\\ 9a+4b&=37&(\times 7)\\\hline 40a+28b&=144&\\ 63a+28b&=259&\\\hline -23a\: \quad\quad&=-115&\\ a&=\displaystyle \frac{-115}{-23}&=5\\ 10(5)+7b&=36&\\ 7b&=-14\\ b&=-2 \end{array}\\ &\textrm{Adapun langkah berikutnya}\\ &\begin{aligned}&L_{2}\equiv (4-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2}\\ &L_{2}\equiv (4-5)^{2}+(3+2)^{2}=r^{2}\\ &L_{2}\equiv r^{2}=25+1=26\\ &\textrm{Sehingga},\: L_{2}\equiv (x-5)^{2}+(y+2)^{2}=26\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-10x+4y+25+4-26=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-10x+4y+3=0 \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.
Jika diperjelas dengan tambahan garis 9x+4y=37
$\begin{array}{ll}\\ 28.&\textrm{Diketahui lingkaran pertama berpusat di}\: \: (1,2)\\ &\textrm{dan menyinggung garis}\: \: 3x-4y+10=0.\\ &\textrm{Jika ada lingkaran kedua dengan pusat}\: \: (4,6)\\ &\textrm{dan menyinggung lingkaran yang pertama},\\ &\textrm{maka persamaan lingkaran yang kedua}\\ &\textrm{tersebut adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+48=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+43=0\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-12y+36=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+27=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+16=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa kedua lingkaran saling}\\ &\color{blue}\textrm{bersinggungan di luar},\: \color{black}\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}r_{1}+r_{2}&=P_{1}P_{2}\\ &=\sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}\\ &=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-6)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{5^{2}}=5 \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}r_{\textrm{pertama}}&=\left |\displaystyle \frac{3(1)-4(2)+10}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right |\\ &=\left | \displaystyle \frac{3-8+10}{\sqrt{5^{2}}} \right |=\left | \displaystyle \frac{5}{5} \right |=\left | 1 \right |=1\\ \textrm{sehingga} &\\ r_{\textrm{kedua}}&=5-r_{\textrm{pertama}}=5-1=4 \end{aligned}\\ &\textrm{maka persamaan lingkaran keduanya adalah}:\\ &\begin{aligned}&(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=4^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}-12y+36=16\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-12y+36=0 \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 29.&\textrm{Garis kuasa (tali busur sekutu)}\\ &\textrm{dari lingkaran}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-4y-12=0\\ &\textrm{dan}\: \: L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-12y=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 3x+4y+9=0\\ &\textrm{b}.\quad 3x-4y-8=0\\ &\textrm{c}.\quad 3x-4y+7=0\\ &\textrm{d}.\quad 3x+4y-7=0\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}3x+4y-6=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-4y-12=0,\\ &\textrm{dan}\: \: L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-12y=0\\ &\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{garis kuasa}\: \color{black}\textrm{dari kedua}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}:\\ &\color{blue}L_{1}(x,y)- L_{2}(x,y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+6x-4y-12\\ &-(x^{2}+y^{2}-12y)=0\\ &\Leftrightarrow 6x+8y-12=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}3x+4y-6=0 \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 30.&\textrm{Jika dua lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=9\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-4y+2y+3=0\: \: \textrm{yang}\\ &\textrm{berpotongan di}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{dan}\: \: (x_{2},y_{2}),\\ &\textrm{maka nilai}\: \: 5(x_{1}+x_{2})\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}24\\ &\textrm{b}.\quad 26\\ &\textrm{c}.\quad 28\\ &\textrm{d}.\quad 30\\ &\textrm{e}.\quad 32\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-9=0\: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-4x+2y+3\\ &\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{garis kuasa}\: \color{black}\textrm{dari kedua}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}:\\ &\color{blue}L_{1}(x,y)- L_{2}(x,y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-9\\ &-(x^{2}+y^{2}-4y+2y+3)=0\\ &\Leftrightarrow 4x-2y-12=0\\ &\Leftrightarrow 2x-y-6=0\\ &\Leftrightarrow y=6-2x \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}-9=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+(6-2x)^{2}-9=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+36-24x+4x^{2}-9=0\\ &\Leftrightarrow 5x^{2}-24x+27=0\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}=\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{576-540}}{10}\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}=\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{36}}{10}=\frac{24\pm 6}{10}\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}=\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{36}}{10}=\frac{24\pm 6}{10}\\ &\Leftrightarrow \quad x_{1}=3\: \: \textrm{atau}\: \: x_{2}=1,8\\ &\textrm{maka}\: \: 5(x_{1}+x_{2})=5\left ( 3+1,8 \right )=\color{red}24 \end{aligned} \end{array}$.
CONTOH SOAL 5 LINGKARAN (TERKAIT HUBUNGAN DUA LINGKARAN)
$\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Titik Kuasa dari lingkaran-lingkaran}\\ &\textrm{berikut}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+x+y-14=0\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}=13\\ &L_{3}\equiv x^{2}+y^{2}+3x-2y-26=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}(3,-2)\\ &\textrm{b}.\quad (2,-3)\\ &\textrm{c}.\quad (-3,2)\\ &\textrm{d}.\quad (-2,3)\\ &\textrm{e}.\quad (3,2)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{lrlll} (L_{1})&x^{2}+y^{2}+x+y&=&14\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}&=&13&-\\\hline &x+y&=&1&....(1) \end{array}\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{3})&x^{2}+y^{2}+3x-2y&=&26\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}&=&13&-\\\hline &3x-2y&=&13&....(2) \end{array}\\ &\textrm{Selanjutnya kita eliminasi}\: (1)\& (2)\\ &\textrm{dan hasilnya adalah}:\\ &\begin{array}{rrlrl} \color{blue}(2)&3x-2y&=&13\\ \color{blue}(1)&3x+3y&=&3&-\qquad (\times 3)\\\hline &-5y&=&10&\\ &y&=&\color{red}-2&\Rightarrow x=\color{red}3 \end{array}\\ &\textrm{Jadi, titik kuasa ketiganya}: (3,-2) \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut} \end{array}$
$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Titik-titik potong dari persekutuan dua}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: L_{1}\equiv (x-2)^{2}+y^{2}=10\: \: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+(y-2)^{2}=10\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad (3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}(3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (-1,-1)\\ &\textrm{c}.\quad (3,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{d}.\quad (-3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{e}.\quad (-3,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (-1,-1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Dengan substitusi opsi pilihan jawaban}\\ &\textrm{maka akan ketemu jawabannya langsung}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan eliminasi dan ilustrasi gambar}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{1})&(x-2)^{2}+y^{2}&=&10\\ (L_{2})&x^{2}+(y-2)^{2}&=&10&\\&\color{blue}\textrm{menjadi}\\ (L_{1})&x^2+y^2-4x&=&6\\ (L_{2})&x^2+y^2-4y&=&6&-\\\hline &-4x+4y&=&0&\\ &\color{blue}\textrm{maka hasilnya}\\ &y&=&x \end{array} \\ &\textrm{Jelas opsi jawaban c, d salah}\\ &\textrm{karena}\: \: y=x,\\ &\textbf{Dengan bantuan ilustrasi, pilihan jawaban}\\ &\textbf{akan tampak dengan jelas} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 23.&\textrm{Persamaan tali busur persekutuan dua}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: L_{1}\equiv (x-3)^{2}+y^{2}=16\: \: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+(y-3)^{2}=16\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad y=-2x\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}y=x\\ &\textrm{d}.\quad y=2x\\ &\textrm{e}.\quad y=\displaystyle \frac{1}{2}x\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{1})&(x-3)^{2}+y^{2}&=&16\\ (L_{2})&x^{2}+(y-3)^{2}&=&16&\\&\color{blue}\textrm{menjadi}\\ (L_{1})&x^2+y^2-6x&=&9\\ (L_{2})&x^2+y^2-6y&=&9&-\\\hline &-6x+6y&=&0&\\ &\color{blue}\textrm{maka hasilnya}\\ &y&=&x \end{array}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 24.&\textrm{Banyaknya garis singgung persekutuan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0\\ &\textrm{dan}\: \: x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 0\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}1\\ &\textrm{c}.\quad 2\\ &\textrm{d}.\quad 3\\ &\textrm{e}.\quad 4\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0&\begin{cases} P_{1} &=(-1,3) \\ r_{1} & = 1 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0&\begin{cases} P_{2} &=(-4,3) \\ r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Perhatikan pula bahwa}\: \: r_{2}-r_{1}=4-1=3\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena}\: \: P_{1}P_{2}=r_{2}-r_{1},\: \textrm{hal ini berarti lingkaran}\\ &L_{1}\: \: \textrm{bersinggungan di dalam dengan lingkaran}\: L_{2}\\ &\textrm{Sehingga kedua lingkaran ini hanya akan }\\ &\textrm{memiliki}\: \: \color{red}\textrm{satu}\: \: \color{black}\textrm{garis singgung persekutuan} \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 25.&\textrm{Persamaan lingkaran dengan jari-jari}\: \: 5\\ &\textrm{dan menyinggung lingkaran lain}\\ & x^{2}+y^{2}-2x-4y-20=0\: \: \: \textrm{di titik}\\ &(5,5)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahi bahwa}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{rrlll} (L_{1})&(x-a)^2+(y-b)^{2}&=&5^{2}\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}-2x-4y&=&20& \end{array} \\ &\textrm{Titik singgung dua lingkaran}\\ &\textrm{di titik}\: \: (5,5),\: \textrm{artinya}\\ &\begin{pmatrix} 5\\ 5 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}}{2}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 10\\ 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10-1\\ 10-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\ 8 \end{pmatrix} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{maka persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\Leftrightarrow (x-9)^{2}+(y-8)^{2}=5^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-18x-16y+120=0 \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.
CONTOH SOAL 4 LINGKARAN
$\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Salah satu garis singgung yang bersudut}\: \: 120^{\circ}\\ &\textrm{terhadap sumbu x positif terhadap lingkaran}\\ &\textrm{dengan ujung diameter titik}\: \: (7,6)\: \textrm{dan}\: \: (1,-2)\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+12\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}+8\\ &\textrm{c}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}-4\\ &\textrm{d}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}-8\\ &\textrm{e}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+22\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Pusat Lingkaran}&\textrm{Gradien Garis Singgung}\\\hline \begin{aligned}&(a,b)\\ &=\left ( \displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{7+1}{2},\frac{6+(-2)}{2} \right )\\ &=(4,2) \end{aligned}&\begin{aligned}m&=\tan 120^{\circ}\\ &=-\tan \left ( 180^{\circ}-60^{\circ} \right )\\ &=-\tan 60^{\circ}\\ &=-\sqrt{3}\\ &\\ \end{aligned} \\\hline \textrm{Jari-jari}&\textrm{Garis Singgung}\\\hline \begin{aligned}r&=\textrm{jarak titik}\\ &\: \: \: \: \: \, \textrm{singgung ke pusat}\\ &=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-2)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned} &(y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ &\Leftrightarrow (y-2)=-\sqrt{3}(x-4)\pm 5\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}\\ &\Leftrightarrow y-2=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\pm 5\sqrt{1+4}\\ &\Leftrightarrow y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2\pm 10\\ &\Leftrightarrow y=\begin{cases} -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2+ 10 \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2- 10 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow y=\begin{cases} \color{red}-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+12 & \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}-8 & \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.
Dengan ilustrasi tambahan
$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Salah satu garis singgung lingkaran}\\\ & x^{2}+y^{2}=10\: \: \textrm{yang ditarik dari}\\ &\textrm{titik}\: \: (4,2)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x+3y=10\\ &\textrm{b}.\quad x-3y=10\\ &\textrm{c}.\quad -x-3y=10\\ &\textrm{d}.\quad 2x+y=10\\ &\textrm{e}.\quad x+2y=10\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Garis Singgung}\\ &\quad\quad \textrm{di titik}\\ &(x_{1},y_{1})=(4,2) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Tahapan menentukan}\\ &\quad\qquad \textrm{harga}\: \: m\\ & \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&y-y_{1}=m(x-x_{1})\\ &y-2=m(x-4)\\ &y=mx-4m+2\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=10\\ &x^{2}+\left ( mx-4m+2 \right )^{2}=10\\ &x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}+4-8m^{2}x+4mx-16m=10\\ &x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}-8m^{2}x+4mx-16m-6=0\\ &(1+m^{2})x^{2}+(4m-8m^{2})x+16m^{2}-16m-6=0\\ &\begin{cases} a & =1+m^{2} \\ b & =4m-8m^{2} \\ c & =16m^{2}-16m-6 \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Syarat menyinggung}\: \: D=0\\ &b^{2}-4ac=0\\ &\left ( 4m-8m^{2} \right )^{2}-4\left ( 1+m^{2} \right )\left ( 16m^{2}-16m-6 \right )=0\\ &16m^{2}-64m^{3}+64m^{4}-64m^{2}+64m+24-64m^{4}+64m^{3}+24m^{2}=0\\ &-24m^{2}+64m+24=0\\ &-3m^{2}+8m+3=0\\ &(m-3)(3m+1)=0\\ &m=3\: \: \textrm{atau}\: \: m=-\displaystyle \frac{1}{3}\\ &m=\begin{cases} 3 & \Rightarrow y=3x-10\\ &\Rightarrow 3x-y=10\\ -\displaystyle \frac{1}{3} & \Rightarrow y=-\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{4}{3}+2\\ &\Rightarrow \color{red}x+3y=10 \end{cases} \end{aligned} \end{array}$.
$.\qquad\begin{aligned}&\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}$
$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\textrm{dan sebuah titik di luar lingkaran}\: \: M(a,b)\\ &\textrm{Posisi garis}\: \: ax+by=r^{2}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{menyinggung lingkaran}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{memotong lingkaran di dua titik}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{melalui titik pusat lingkaran}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{tidak memotong lingkaran}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{tidak ada yang benar}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\bullet \quad L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \quad M(a,b)\: \: \textrm{di luar lingkaran}\: \: L\\ &\color{purple}\textrm{Selanjutnya perhatikan penjelasan berikut}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena}\: M(a,b)\: \textrm{di luar lingkaran}\: L,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{maka salah satu dari}\: \: a\: \: \textrm{atau}\: \: b\: \: \textrm{atau keduanya}\\ &\textrm{akan lebih besar nilanya dari pada}\: \: r.\\ &\textrm{Misalkan kita pilih}\: \: a>r\\ &\color{blue}\textrm{Ambil posisi saat memotong sumbu}-X,\: \color{black}y=0\\ &\begin{aligned}&\textrm{Untuk lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \quad y=0\Rightarrow x^{2}+0^{2}=r^{2}\Rightarrow x=\left | r \right |\\ &\textrm{Untuk garis}\: \: ax+by=r^{2}\\ &\bullet \quad y=0\Rightarrow ax=r^{2}\Rightarrow x=\displaystyle \frac{r^{2}}{a}\\ &\textrm{Dari sini tampak posisi}\: \: x=\color{red}\left | r \right |> \displaystyle \frac{r^{2}}{a}\geq 0 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga kesimpulannya adalah}:\\ &\color{red}\textrm{garis tersebut akan selalu memotong lingkaran} \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\\ &\textrm{dan}\: \: x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{berpotongan di luar titik}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{tidak berpotongan atau bersinggungan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{bersinggungan luar}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\textrm{bersinggungan dalam}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{sepusat}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0&\begin{cases} P_{1} &=(-3,4) \\ r_{1} & = 2 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0&\begin{cases} P_{2} &=(-5,4) \\ r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Jarak kedua pusat}&\textrm{Jumlah/selisih jari-jari}\\\hline \begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2} \right )\\ &=\sqrt{(-3+5)^{2}+(4-4)^{2}}\\ &=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2 \end{aligned}&\begin{aligned}\begin{cases} r_{1}+r_{2} & =2+4=6 \\ \left |r_{1}-r_{2} \right | & =\left | 2-4 \right |=2 \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena nilai}\: \: \color{red}P_{1}P_{2}\color{black}=\color{red}\left |r_{1}-r_{2} \right |\color{black}=\color{red}2\\ &\textrm{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ &\color{blue}\textrm{di dalam}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut} \end{array}$ .
$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0\\ &\textrm{dan}\: \: x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{berpotongan}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{bersinggungan di dalam}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{bersinggungan luar}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{tidak berpotongan}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{sepusat}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0&\begin{cases} P_{1} &=(-1,3) \\ r_{1} & = 1 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0&\begin{cases} P_{2} &=(-4,3) \\ r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Jarak kedua pusat}&\textrm{Jumlah/selisih jari-jari}\\\hline \begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2} \right )\\ &=\sqrt{(-1+4)^{2}+(3-3)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3 \end{aligned}&\begin{aligned}\begin{cases} r_{1}+r_{2} & =1+4=5 \\ \left |r_{1}-r_{2} \right | & =\left | 1-4 \right |=3 \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena nilai}\: \: \color{red}P_{1}P_{2}\color{black}=\color{red}\left |r_{1}-r_{2} \right |\color{black}=\color{red}3\\ &\textrm{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ &\color{blue}\textrm{di dalam}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut} \end{array}$.
DAFTAR PUSTAKA
- Budi, W. S. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sain Nasional/Internasional Matematika 3. Jakarta: ZAMRUD KEMALA.
- Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
- Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
- Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
- Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
- Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.
Langganan:
Postingan (Atom)