PARABOLA-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)

PARABOLA (IRISAN KERUCUT)

 A. Definisi

Parabola adalah himpunan semua titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap dan garis tetap. Selanjutnya titik tetap disebut fokus dan garis tetap disebut direktris.

B. Persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0)

Perhatikan ilustrasi berikut

$\begin{aligned}&\text{Keterangan}\\ &\bullet \quad \textrm{F disebut fokus}\\ &\bullet \quad \textrm{g disebut garis direktris}\\ &\bullet \quad \textrm{O disebut puncak}\\ &\bullet \quad \textrm{TS disebut latus rektum (4p)}\\ &\bullet \quad \textrm{AF=AQ}\\ &\bullet \quad \textrm{Sumbu simetri sumbu X}\\\end{aligned}$.

Selanjutnya perhatikan tabel berikut.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&y^{\displaystyle 2}=4px&y^{\displaystyle 2}=-4px&x^{\displaystyle 2}=4py&x^{\displaystyle 2}=-4py \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Fokus}&(p,0)&(-p,0)&(0,p)&(0,-p)\\\hline \textrm{Direktris}&x=-p&x=p&y=-p&y=p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=0&y=0&x=0&x=0\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p&4p&4p\\\hline \end{array}$.

C. Persamaan parabola yang berpuncak di (a,b)

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(y-b)^{\displaystyle 2}=4p(x-a)&(y-b)^{\displaystyle 2}=-4p(x-a) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke kanan}&\textrm{ke kiri}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a+p,b)&(a-p,b)\\\hline \textrm{Direktris}&x=a-p&x=a+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&y=b&y=b\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Parabola}\end{aligned}&(x-a)^{\displaystyle 2}=4p(y-b)&(x-a)^{\displaystyle 2}=-4p(y-b) \\\hline \textrm{Terbuka}&\textrm{ke atas}&\textrm{ke bawah}\\\hline \textrm{Puncak}&(a,b)&(a,b)\\\hline \textrm{Fokus}&(a,b+p)&(a,b-p)\\\hline \textrm{Direktris}&y=b-p&y=b+p\\\hline \begin{aligned}&\text{Sumbu}\\ &\textrm{simetri} \end{aligned}&x=a&x=a\\\hline \begin{aligned}&\text{Latus}\\ &\textrm{rektum} \end{aligned}&4p&4p\\\hline \end{array}$.

ELIPS-PERSAMAAN GARIS SINGGUNG (IRISAN KERUCUT)

Perhatikan tabel berikut  terkait persamaan garis singgung pada elips

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{elips}\end{aligned}&\qquad\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1&\qquad\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1\\\hline   \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}&y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada elips}\end{aligned}&\quad\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1&\qquad\begin{aligned}&\displaystyle \frac{(x_{1}-p)(x-p)}{a^{2}}\\ &\qquad+ \\ &\displaystyle \frac{(y_{1}-q)(y-q)}{b^{2}}=1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar elips}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan elips di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &\displaystyle \frac{x_{A}x}{a^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{A}y}{b^{\displaystyle 2}}\quad \textrm{dan}\\ &\displaystyle \frac{x_{B}x}{a^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{B}y}{b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline  \end{array}$.

Dan juga tabel berikut

$\begin{array}{|l|l|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan}\\&\textrm{elips}\end{aligned}&\qquad\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1&\qquad\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline   \begin{aligned}&\textrm{dengan}\\ &\textrm{gradien}\;\: m\end{aligned}&y=mx\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}m^{2}}&y-q=m(x-p)\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}m^{2}}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{di titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{pada elips}\end{aligned}&\quad\displaystyle \frac{x_{1}x}{b^{2}}+\frac{y_{1}y}{a^{2}}=1&\qquad\begin{aligned}&\displaystyle \frac{(x_{1}-p)(x-p)}{b^{2}}\\ &\qquad+ \\ &\displaystyle \frac{(y_{1}-q)(y-q)}{a^{2}}=1 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik}\\ &\left( x_{1},y_{1} \right)\\ &\textrm{di luar elips}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\\end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosesnya}:\\\\ &Pertama:\\ &\textrm{cari persamaan garis}\\ &\textrm{kutubnya (polar)}\\ &\textrm{dengan rumus pada}\\ &\textrm{baris 3 kolom 2}\\ &\textrm{di tabel ini}\\\\ &Kedua:\\ &\textrm{Potongkan garis kutub}\\ &\textrm{dengan elips di titik}\\ &A\left( x_{A},y_{A} \right)\: \textrm{dan di titik}\\ &B\left( x_{B},y_{B} \right)\\\\ &Ketiga:\\ &\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung yang dicari}:\\ &\displaystyle \frac{x_{A}x}{b^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{A}y}{a^{\displaystyle 2}}\quad \textrm{dan}\\ &\displaystyle \frac{x_{B}x}{b^{\displaystyle 2}}+\frac{y_{B}y}{a^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Prosenya kurang lebih sama}\\ &\textrm{dengan proses sebelah kiri}\\ &\textrm{tersebut}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ \end{aligned}\\\hline  \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui persamaan elips}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\textrm{Tentukan persamaan garis singgung elips}\\ &\textrm{a}\quad\textrm{yang bergradien 1}\\ &\textrm{b}\quad\textrm{yang melalui titik (4,0)}\\ &\textrm{c}\quad\textrm{yang melalui titik (5,0)}\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{16}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{9}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{(a)}\quad \textrm{persamaan garis singgung dengan gradien}\:\: m=1\\ &\:\qquad y=mx\pm \sqrt{a^{\displaystyle 2}m^{\displaystyle 2}+b^{\displaystyle 2}}=1.x\pm \sqrt{16.1+9}\\ &\:\qquad \Leftrightarrow y=x\pm \sqrt{25}\Leftrightarrow y=x\pm 5\\ &\textrm{(b)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (4,0)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (4,0) ini pada elips}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\&\:\qquad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{4x}{16}+\displaystyle \frac{0.y}{9}=1\\ &\:\qquad  \Leftrightarrow  \displaystyle \frac{4x}{16}=1\Leftrightarrow 4x=16\Leftrightarrow x=4\\ &\textrm{(c)}\quad \textrm{persamaan garis singgung melalui titik}\:\: (5,0)\\ &\:\quad \quad \textrm{dan cukup jelas bahwa titik (5,0) ini di luar elips}\\ &\:\quad \quad \textrm{Sehingga kita dapat gunakan rumus berikut:}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Persamaan garis kutub(polar)}\\ &\quad\qquad\displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\Rightarrow \displaystyle \frac{5x}{16}+\displaystyle \frac{0.y}{9}=1\\ &\quad\qquad  \Leftrightarrow  \displaystyle \frac{5x}{16}=1\Leftrightarrow 5x=16\Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{16}{5}\\ &\:\qquad \bullet\:\: \textrm{Perpotongan garis kutub dengan elips}\\ &\quad\qquad\displaystyle x=\displaystyle \frac{16}{5}\Rightarrow 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 1}:\\&\quad\qquad 9\left( \displaystyle \frac{16}{5} \right)^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\Rightarrow y=\pm \displaystyle \frac{9}{5}\\ &\quad\qquad \textrm{selanjutnya didapat titik potongnya di}\\ &\quad\qquad \textrm{titik}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{5},\displaystyle \frac{9}{5} \right)\quad \textrm{dan}\quad \left( \displaystyle \frac{16}{5},\displaystyle -\frac{9}{5} \right)\\ &\quad\qquad \textrm{sehingga kita tentukan garis singgungnya}\\ &\quad\qquad \textrm{dengan rumus}\quad \displaystyle \frac{x_{1}x}{16}+\displaystyle \frac{y_{1}y}{9}=1\\ &\quad\qquad \textrm{dan nantinya kita akan mendapatkan }\\ &\quad\qquad \textrm{ dua garis, yaitu}\\ &\quad\qquad y=-x+5\quad\textrm{dan}\quad y=x-5\\ &\quad\qquad \textrm{Alternatif 2}:\\ &\quad\qquad \textrm{Gunakan titik (5,0) dan substitusikan ke}\\  &\quad\qquad \textrm{garis}\quad y=m(x-p)+q\\ &\quad\qquad \textrm{Selanjutnya diserahkan ke pembaca}\\ \end{aligned} \end{array}$.

ELIPS (IRISAN KERUCUT)

 A. Definisi

Definisi 1

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di mana jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.

Perhatikan ilustrasi berikut

Misalkan $\color{red}F_{1}$  dan  $\color{red}F_{2}$ masing-masing adalah fokus dari elips sebagaimana ilustrasi gambar di atas dengan $\color{red}F_{1}F_{2}=2c$ dan misalkan juga jumlah jarak suatu titik pada elips ke $\color{red}F_{1}$  dan  $\color{red}F_{2}$ sama dengan $2a$ ($\color{red}2a$ tetap dan $\color{red}2a>2c>0$)

Ilustrasi bantu dengan lingkaran

Buatlah lingkaran dengan pusat di $\color{red}F_{1}$ dengan $\color{red}r_{1}=a-c$ dan lingkaran kedua dengan pusat di $\color{red}F_{2}$ dengan $\color{red}r_{1}=a+c$ (atau diblaok balik), maka lingkaran di $\color{red}F_{2}$ akan memotong lingkaran di di $\color{red}F_{1}$ pada titik-titik yang yang memenuhi definisi elips tersebut di atas.

$\begin{aligned}&\textrm{Misalkan}\: \: F_{1}F_{2}=2c=6\: \: (c=3)\\ &\qquad\qquad\textrm{dan}\: \: 2a=8\: \: (a=4)\\ &\textrm{Dengan}\\ &a-c=4-3=1\: \: \textrm{dan}\: \: a+c=4+3=7\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline \color{red}r_{1}&1&2&3&4&5&6&7\\\hline \color{red}r_{2}&7&6&5&4&3&2&1\\\hline  \end{array} \end{aligned}$.

Hal-hal yang berkaitan dengan elips.

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \color{red}\textrm{Sumbu Simetri (Sb)}&\textrm{Sb. Utama}&\textrm{Sb. Sekawan}\\ &A_{1}A_{2}&B_{1}B_{2}\\\hline \color{red}\textrm{Titik Pusat}&O&O\\\hline \color{red}\textrm{Latus rectum}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{1}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{1}L_{1}' \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Garis melalui}\\ &F_{2}\: \: \textrm{dan tegak}\\ &\textrm{lurus sumbu}\\ &\textrm{utama, yaitu}\\ &L_{2}L_{2}' \end{aligned}\\\hline \color{red}\textrm{Keterkaitan}\: \color{black}a,b,c&\begin{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2} \end{aligned}&a^{2}=b^{2}+c^{2}\\\hline \end{array}$.

Sebagai catatan pada elips ada dua sumbu simetri, yaitu sumbu utama dan sumbu sekawan. Sumbu utama juga disebut sebagai sumbu mayor atau sumbu panjang atau sumbu transversal dan sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}A_{1}$ dan $\color{red}A_{2}$ yang selanjutnya masing-masing disebut sebagai pucak dari elips tersebut. Adapun sumbu yang satunya adalah sumbu sekawan atau sumbu minor atau sumbu pendek atau sumbu konjungsi yaitu sumbu simetri yang melalui titik tengah $\color{red}F_{1}F_{2}$ dan tegak lurus dengan $\color{red}F_{1}F_{2}$ serta sumbu ini berpotongan dengan elips di titik $\color{red}B_{1}$ dan $\color{red}B_{2}$.

B. Persamaan Elips

Persamaan Elips berpusat di O(0,0) dan (p,q)

$\LARGE\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\ &\qquad\textrm{atau}\\ &\color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} \end{aligned} \\\hline \end{array}$.

Perhatikan gambar pertama di atas

$\begin{aligned}&PF_{1}+PF_{2}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\Leftrightarrow (x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +(x+c)^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-2cx+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +x^{2}+2cx+y^{2}\\ &\Leftrightarrow 4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=4a^{2}+4cx\\ &\Leftrightarrow a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=a^{2}+cx\\ &\Leftrightarrow a^{2}((x+c)^{2}+y^{2})=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ &\Leftrightarrow (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})\\ &\Leftrightarrow \color{red}b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\\ &\Leftrightarrow \color{red}\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned}$.

Eksentrisitas dan Persamaan direktris

Perhatikan ilustrasi berikut

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \qquad\textrm{Elips}&\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1&\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline  \textrm{Puncak}&\begin{aligned}&(a,0),(-a,0),\\ &(0,b),(0,-b) \end{aligned}&\begin{aligned}&(p+a,q),(p-a,q),\\ &(p,q+b),(p,q-b) \end{aligned}\\\hline \textrm{Fokus}&\begin{aligned}&(c,0),(-c,0)\\ &\textrm{dengan}\\ &c=\sqrt{a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&(p+c,q)\\ &\textrm{dan} \\ &(p-c,q) \end{aligned}\\\hline \textrm{Eksentrisitas}&e=\displaystyle \frac{c}{a}&e=\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline \textrm{Direktis}&\begin{aligned}&x=\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &x=\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}&\begin{aligned}&x=p\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &x=p\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-X}\\ &\textrm{atau}\quad y=0 \end{aligned}& y=q \\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-Y}\\ &\textrm{atau}\quad x=0 \end{aligned}&x=p\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&2a&2a\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&2b&2b\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Latus}\\ &\textrm{rectum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \end{array}$.

Perhatikan pula ilustrasi berikut

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \qquad\textrm{Elips}&\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1&\displaystyle \frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}=1\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)\\\hline  \textrm{Puncak}&\begin{aligned}&(0,a),(0,-a),\\ &(b,0),(-b,0) \end{aligned}&\begin{aligned}&(p,q+a),(p,q-a),\\ &(p+b,q),(p-b,q) \end{aligned}\\\hline \textrm{Fokus}&\begin{aligned}&(0,c),(0,-c)\\ &\textrm{dengan}\\ &c=\sqrt{a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}} \end{aligned}&\begin{aligned}&(p,q+c)\\ &\textrm{dan} \\ &(p,q-c) \end{aligned}\\\hline \textrm{Eksentrisitas}&e=\displaystyle \frac{c}{a}&e=\displaystyle \frac{c}{a}\\\hline \textrm{Direktis}&\begin{aligned}&y=\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &y=\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}&\begin{aligned}&y=q\pm \displaystyle \frac{a}{e}\\ &\textrm{atau}\\ &y=q\pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c} \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-Y}\\ &\textrm{atau}\quad x=0 \end{aligned}& x=p \\\hline \begin{aligned}&\textrm{Sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Sumbu-X}\\ &\textrm{atau}\quad y=0 \end{aligned}&y=q\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{utama} \end{aligned}&2a&2a\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Panjang}\\ &\textrm{sumbu}\\ &\textrm{sekawan} \end{aligned}&2b&2b\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Latus}\\ &\textrm{rectum} \end{aligned}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}&\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}\\\hline \end{array}$.

$\LARGE{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukan koordinat pusat, puncak, fokus,}\\ &\textrm{sb. mayor, sb. minor, direktris, eksentrisitas}\\ &\textrm{dan panjang latus rektum dari elips}\\ &9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 9x^{\displaystyle 2}+16y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{16}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{9}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat pusat}:(0,0)\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat puncak}:(\pm 4,0),(0,\pm 3)\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat fokus}:(\sqrt{7},0),(-\sqrt{7},0)\\ &\ast  \quad \textrm{sumbu mayor}:2a=2.4=8\\ &\ast  \quad \textrm{sumbu minor}:2b=2.3=6\\ &\ast  \quad \textrm{direktris}:x=\displaystyle \pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}=\frac{16}{\sqrt{7}}=\frac{16}{7}\sqrt{7}\\ &\ast  \quad \textrm{eksentrisitas}:\displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{4}\sqrt{7}\\ &\ast  \quad \textrm{latus rektum}:\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}=\displaystyle \frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ \end{aligned} \end{array}$.

Berikut sketsa gambarnya

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan koordinat pusat, puncak, fokus,}\\ &\textrm{sb. mayor, sb. minor, direktris, eksentrisitas}\\ &\textrm{dan panjang latus rektum dari elips}\\ &16x^{\displaystyle 2}+9y^{\displaystyle 2}=144\\\\ &\textrm{Solusi}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\quad 16x^{\displaystyle 2}+9y^{\displaystyle 2}=144\\ &\displaystyle \frac{x^{\displaystyle 2}}{9}+\frac{y^{\displaystyle 2}}{16}=1\\ &\begin{aligned}&\bullet \quad a^{\displaystyle 2}=16\Longrightarrow a=4\\ &\bullet \quad b^{\displaystyle 2}=9\Longrightarrow b=3\\ &\bullet \quad c^{\displaystyle 2}=a^{\displaystyle 2}-b^{\displaystyle 2}=16-9=7\Longrightarrow c=\sqrt{7}\\ &\textrm{Sehingga diperoleh}\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat pusat}:(0,0)\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat puncak}:(0,\pm 4),(\pm 3,0)\\ &\ast  \quad \textrm{koordinat fokus}:(0,\sqrt{7}),(0,-\sqrt{7})\\ &\ast  \quad \textrm{sumbu mayor}:2a=2.4=8\\ &\ast  \quad \textrm{sumbu minor}:2b=2.3=6\\ &\ast  \quad \textrm{direktris}:y=\displaystyle \pm \frac{a^{\displaystyle 2}}{c}=\frac{16}{\sqrt{7}}=\frac{16}{7}\sqrt{7}\\ &\ast  \quad \textrm{eksentrisitas}:\displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{4}\sqrt{7}\\ &\ast  \quad \textrm{latus rektum}:\displaystyle \frac{2b^{\displaystyle 2}}{a}=\displaystyle \frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ \end{aligned} \end{array}$.

Berikut ilustrasi sketsa gambarnya

CONTOH SOAL 8 LINGKARAN (TERKAIT HUBUNGAN DUA LINGKARAN)

 $\begin{array}{ll}\\ 36.&\textrm{Persamaan lingkaran yang menyinggung}\\ &\textrm{sumbu X serta melalui titik potong}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=1\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\: \: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-4x+2y+4=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}+4x+2y+4=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+4x+2y-4=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=1\\ &\qquad \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=-x+y=0\Leftrightarrow y=x\\ &\color{blue}\textrm{Dengan cara coba-coba, maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}+2x+4y+4+p(-x+y)=0\\ &\color{blue}\textrm{Untuk}\: \: p=1\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4+(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+x+5y+4=0\\ &\color{blue}\textrm{Untuk}\: \: p=-1\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4-(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+3x+3y+4=0\\ &\color{blue}\textrm{Dan untuk}\: \: p=-2\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+4y+4-2(-x+y)=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}+4x+2y+4=0 \end{aligned} \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnyanya}  \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
4. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
5. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

CONTOH SOAL 7 LINGKARAN (TERKAIT HUBUNGAN DUA LINGKARAN)

 $\begin{array}{ll}\\ 31.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ &(0,0)\: \: \textrm{dan titik potong kedua lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-8y-11=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-4x-6y-22=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-12x+10y=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}+8x-10y=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-8x+12y=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-10y=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+12x-8y=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-6x-8y-11=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-4x-6y-22=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=-2x-2y+11=0\\ &\textrm{Karena}\: \: L_{3}\: \: \textrm{melalui}\: \: (0,0), \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}-6x-8y-11 +p(-2x-2y+11)=0\\ &\Leftrightarrow 0^{2}+0^{2}-0-0-11+p(0+11)=0\\ &\Leftrightarrow p=\color{blue}1 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &L_{3}=x^{2}+y^{2}-6x-8y-11+(-2x-2y+11)=0\\ &\Leftrightarrow L_{3}=\color{red}x^{2}+y^{2}-8x-10y=0  \end{aligned}  \end{array}$.

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{ll}\\ 32.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ & (8,4)\: \: \textrm{dan titik potong lingkaran}\: x^{2}+y^{2}=16\\ &\textrm{dan}\: \: x^{2}+y^{2}-4x-4y=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-8y-16=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-8x+8y+16=0\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-8y+16=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+8y-16=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+8x+8y+16=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-16=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-4x-4y=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=4x+4y-16=0\\ &\Leftrightarrow x+y=4\\ &\textrm{Karena}\: \: L_{3}\: \: \textrm{melalui}\: \: (8,4), \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}-16+p(x+y-4)=0\\ &\Leftrightarrow 8^{2}+4^{2}-16+p(8+4-4)=0\\ &\Leftrightarrow -8p=\color{blue}64\color{black}\Leftrightarrow p=\color{blue}-8 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &L_{3}=x^{2}+y^{2}-16-8(x+y-4)=0\\ &\Leftrightarrow L_{3}=\color{red}x^{2}+y^{2}-8x-8y+16=0  \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnyanya}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 33.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui titik}\\ & (7,-4)\: \: \textrm{dan titik potong kedua lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x+8y-27=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-26x+4y+121=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-36x-2y+121=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}+24x-4y-222=0\\ &\textrm{c}.\quad 3x^{2}+3y^{2}-18x+2y-121=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-36x+2y+195=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+24x+2y+195=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\: \: L_{3}=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &\textrm{dengan}\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-6x+8y-27=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-26x+4y+121=0\\ &\textrm{Untuk}\: \: L_{1}-L_{2}=20x+4y-148=0\\ &\textrm{Karena}\: \: L_{3}\: \: \textrm{melalui}\: \: (7,-4), \: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}L_{3}&=L_{1}+p(L_{1}-L_{2})=0\\ &=x^{2}+y^{2}-6x+8y-27\\ &\qquad+p(20x+4y-148)=0\\ &\Leftrightarrow 7^{2}+(-4)^{2}-42-32-27\\ &\qquad+p(140-16-148)=0\\ &\Leftrightarrow -24p=\color{blue}36\color{black}\Leftrightarrow p=\color{blue}-\displaystyle \frac{3}{2} \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &L_{3}=x^{2}+y^{2}-6x+8y-27\\ &\qquad-\displaystyle \frac{3}{2}(20x+4y-148)=0\\ &\Leftrightarrow L_{3}=\color{red}x^{2}+y^{2}-36x+2y+195=0  \end{aligned}  \end{array}$.

Berikut ilustrasi gambarnya

Jika dimensi gambar diperkecil menjadi

$\begin{array}{ll}\\ 34.&\textrm{Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan}\\&\textrm{lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-12x+6y+20=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-16x-14y+64=0\: \: \textrm{serta pusatnya}\\ &\textrm{terletak pada garis}\: \: 8x-3y-19=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-20x-34y+108=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-16x+12y+96=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-12x+20y+88=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}+16x-24y+108=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+22x-34y+96=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa persamaan lingkaran}:\\ &\bullet \: L_{1}=x^{2}+y^{2}-12x+6y+20=0\\ &\bullet \: L_{2}=x^{2}+y^{2}-16x-14y+64=0\\ &\textrm{Persamaan tali busurnya (garis kuasa)}\\ &\textrm{adalah}:\\ &L_{1}(x,y)-L_{2}(x,y)\\ &=4x+20y-44=0\Leftrightarrow \color{blue}x=11-5y\\ &\textrm{Selanjutnya dengan substitusi }\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}-12x+6y+20=0\\ &\Leftrightarrow (x-6)^{2}+(y+3)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow (\color{blue}11-5y\color{black}-6)^{2}+(y+3)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow (y-5y)^{2}+(y+3)^{2}=25\\ &\Leftrightarrow 26y^2-44y+9=0 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga dengan}\: \: \color{red}\textrm{memodifikasi}\\ &\begin{aligned}&26y^2-44y+9=0\\ &\Leftrightarrow 25y^2-44y+y^2+9=0\\ &\quad\textrm{arahkan ke bentuk kuadrat sempurna}\\ &\Leftrightarrow 25y^2-10y+1+y^2-34y+8=0\\ &\Leftrightarrow 25y^2-10y+1+y^2-34y+17^{2}-17^{2}+8=0\\ &\Leftrightarrow (5y-1)^{2}+(y-17)^{2}-281=0\\ &\quad \textrm{ingat bahwa ada tali busur}\: \: \color{blue}5y=11-x\\ &\Leftrightarrow (\color{blue}11-x\color{black}-1)^{2}+(y-17)^{2}-281=0\\ &\Leftrightarrow (10-x)^{2}+(y-17)^{2}-281=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}-20x+100+y^{2}-34y+289-281=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-20x-34y+108=0 \end{aligned}  \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 35.&\textrm{Persamaan lingkaran dengan titik pusat}\\ &\textrm{pada garis}\: \: x+2y-3=0\: \: \textrm{dan melalui}\\ &\textrm{titik potong dua lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-6x+7=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-3y+4=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-3x-2y+7=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\textrm{Gunakan cara pembahasan sebagaimana pada}\\ &\textrm{nomor-nomor sebelumnya}\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\  &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0,\: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\\ &\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{tali busur}\: \color{black}\textrm{dari kedua}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}:\\ &\color{blue}L_{1}(x,y)- L_{2}(x,y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+1\\ &-(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4)=0\\ &\Leftrightarrow 2x-2y-3=0\\ &\textrm{Selanjutnya perlu ditentukan juga}\\&\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{berkas lingkaran}\: \color{black}\textrm{melalui}\\ &\textrm{titik-titik potong kedua lingkaran}\\ &\textrm{di atas adalah}:\\ &L_{1}+\lambda L_{2}=0\\ &x^{2}+y^{2}-2x-4y+1\\ &\qquad+\lambda \left ( x^{2}+y^{2}-4x-2y+4 \right )=0\\ &\Leftrightarrow (1+\lambda )x^{2}+(1+\lambda )y^{2}-(2+4\lambda )x\\ &\qquad -(4+2\lambda )y+1+4\lambda =0\\ &\textrm{Saat}\: \: \lambda =-1,\: \textrm{maka persamaan berkas}\\ &\textrm{lingkarannya adalah}:\: 2x-2y-3=0\\ &\textrm{Hal ini hasilnya sama persis saat kita}\\ &\textrm{menentukan persamaan}\: \color{red}\textrm{tali busur}\: \color{black}\textrm{di atas}\\ &\textrm{Selanjutnya kita ambil}\\ &L_{2}-(L_{1}+\lambda L_{2})=0\\ &\Leftrightarrow  x^{2}+y^{2}-4x-2y+4-(2x-2y-3)=0\\ &\Leftrightarrow  \color{red}x^{2}+y^{2}-6x+7=0 \end{aligned}  \end{array}$.

Gambar mula-mula

Lingkaran baru yang berpusat di (3,0) 

CONTOH SOAL 6 LINGKARAN (TERKAIT HUBUNGAN DUA LINGKARAN)

 $\begin{array}{ll}\\ 26.&\textrm{Diketahui lingkaran-lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}-2x+3y+k=0\: \: \textrm{dan}\: \\  &x^{2}+y^{2}+8x-6y-7=0\: \: \textrm{saling}\\ &\textrm{berpotongan ortogonal saat}\: \: k=\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}-10\\ &\textrm{b}.\quad -3\\ &\textrm{c}.\quad 1\\ &\textrm{d}.\quad 5\\ &\textrm{e}.\quad 8\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-2x+3y+k=0&\begin{cases} P_{1} &=\left ( 1,-\displaystyle \frac{3}{2} \right ) \\  r_{1} & = \sqrt{\displaystyle \frac{13-4k}{4}} \end{cases}\\\hline \begin{aligned}L_{2}&\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y-7=0  \end{aligned}&\begin{cases} P_{2} &=\left ( -4,3 \right ) \\  r_{2} & = \sqrt{32} \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Syarat dua lingkaran berpotongan ortogonal}\\ &\begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\\ &\Leftrightarrow \left ( 1+4 \right )^{2}+\left ( -\displaystyle \frac{3}{2}-3 \right )^{2}=\left ( \sqrt{\displaystyle \frac{13-4k}{4}} \right )^{2}+\sqrt{32}^{2}\\ &\Leftrightarrow \: 25+\displaystyle \frac{81}{4}=\displaystyle \frac{13-4k}{4}+32\\ &\Leftrightarrow \: 100+81=13-4k+128\\ &\Leftrightarrow \: k=-10 \end{aligned} \\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 27.&\textrm{Persamaan lingkaran yang berpotongan}\\ &\textrm{lingkaran lain}\: \:  x^{2}+y^{2}+2x+y-11=0\\ &\textrm{secara tegak lurus dan melalui}\: \: (4,3)\: \: \textrm{serta}\\ &\textrm{pusatnya pada}\: \: 9x+4y=37\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-10x+4y+3=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-8x+10y+6=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}+4x-8y+7=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}+6x+y+5=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}+12x+6y+5=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan tabel berikut}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x+y-11=0&\begin{cases} P_{1} &=\left ( -1,-\displaystyle \frac{1}{2} \right ) \\  r_{1} & = \sqrt{\displaystyle \frac{49}{4}}=\displaystyle \frac{7}{2} \end{cases}\\\hline \begin{aligned}L_{2}&\equiv (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}  \end{aligned}&\begin{cases} P_{2} &=\left ( a,b \right ) \\  r_{2} & = r \end{cases}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena berpotongan tegak lurus, maka}\\ &\begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\\ &\Leftrightarrow \left ( -1-a \right )^{2}+\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}-b \right )^{2}=\displaystyle \frac{49}{4}+r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+2a+1+b^{2}+b+\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{49}{4}+r^{2}\\ &\Leftrightarrow \color{blue}a^{2}+b^{2}+2a+b+\displaystyle \frac{5}{4}=\displaystyle \frac{49}{4}+r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+2a+b-11=r^{2}\: .......(1)\\ \end{aligned} \\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Lingkaran}\: \: L_{2}\: \: \textrm{melalui titik}\: \: (4,3), \textrm{artinya}\\ &\textrm{bahwa}\: :\: (4-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}-8a+16+b^{2}-6b+9=r^{2}\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-8a-6b+25=r^{2}\: .......(2)\\ &\textrm{Pusat lingkaran}\: \: L_{2}\: \: \textrm{melalui garis}\: \: 9x+4y=37\\ &\textrm{artinya}:\: 9a+4b=37\: ...............(3)\\  \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan eliminasi}\: 1\: \&\: 2\: \: \textrm{dapat diperoleh}:\\ &\begin{array}{rll} a^{2}+b^{2}-8a-6b+25&=r^{2}&\\ a^{2}+b^{2}+2a+b-11&=r^{2}&-\\\hline -10a-7b+36&=0&\textrm{atau}\\ 10a+7b&=36&......(4) \end{array}\\ &\textrm{Dari persamaan}\: 3\: \&\: 4\: \: \textrm{dapat diperoleh}:\\ & \end{aligned}\\ &\begin{array}{rll} 10a+7b&=36&(\times 4)\\ 9a+4b&=37&(\times 7)\\\hline 40a+28b&=144&\\ 63a+28b&=259&\\\hline -23a\: \quad\quad&=-115&\\ a&=\displaystyle \frac{-115}{-23}&=5\\ 10(5)+7b&=36&\\ 7b&=-14\\ b&=-2 \end{array}\\ &\textrm{Adapun langkah berikutnya}\\ &\begin{aligned}&L_{2}\equiv (4-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2}\\ &L_{2}\equiv (4-5)^{2}+(3+2)^{2}=r^{2}\\ &L_{2}\equiv r^{2}=25+1=26\\ &\textrm{Sehingga},\: L_{2}\equiv (x-5)^{2}+(y+2)^{2}=26\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-10x+4y+25+4-26=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-10x+4y+3=0 \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.

Jika diperjelas dengan tambahan garis 9x+4y=37

$\begin{array}{ll}\\ 28.&\textrm{Diketahui lingkaran pertama berpusat di}\: \:  (1,2)\\ &\textrm{dan menyinggung garis}\: \: 3x-4y+10=0.\\ &\textrm{Jika ada lingkaran kedua dengan pusat}\: \: (4,6)\\ &\textrm{dan menyinggung lingkaran yang pertama},\\ &\textrm{maka persamaan lingkaran yang kedua}\\ &\textrm{tersebut adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+48=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+43=0\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-12y+36=0\\ &\textrm{d}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+27=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-8x-12y+16=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa kedua lingkaran saling}\\ &\color{blue}\textrm{bersinggungan di luar},\: \color{black}\textrm{maka}\\ &\begin{aligned}r_{1}+r_{2}&=P_{1}P_{2}\\ &=\sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}\\ &=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-6)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{5^{2}}=5 \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}r_{\textrm{pertama}}&=\left |\displaystyle \frac{3(1)-4(2)+10}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}   \right |\\ &=\left | \displaystyle \frac{3-8+10}{\sqrt{5^{2}}} \right |=\left | \displaystyle \frac{5}{5} \right |=\left | 1 \right |=1\\ \textrm{sehingga} &\\ r_{\textrm{kedua}}&=5-r_{\textrm{pertama}}=5-1=4 \end{aligned}\\ &\textrm{maka persamaan lingkaran keduanya adalah}:\\ &\begin{aligned}&(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=4^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}-12y+36=16\\ &\Leftrightarrow \color{red}x^{2}+y^{2}-8x-12y+36=0 \end{aligned}\\ &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 29.&\textrm{Garis kuasa (tali busur sekutu)}\\ &\textrm{dari lingkaran}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-4y-12=0\\ &\textrm{dan}\: \: L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-12y=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 3x+4y+9=0\\ &\textrm{b}.\quad 3x-4y-8=0\\ &\textrm{c}.\quad 3x-4y+7=0\\ &\textrm{d}.\quad 3x+4y-7=0\\ &\textrm{e}.\quad \color{red}3x+4y-6=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-4y-12=0,\\ &\textrm{dan}\: \: L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-12y=0\\ &\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{garis kuasa}\: \color{black}\textrm{dari kedua}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}:\\ &\color{blue}L_{1}(x,y)- L_{2}(x,y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+6x-4y-12\\ &-(x^{2}+y^{2}-12y)=0\\ &\Leftrightarrow 6x+8y-12=0\\ &\Leftrightarrow \color{red}3x+4y-6=0 \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 30.&\textrm{Jika dua lingkaran}\\ & x^{2}+y^{2}=9\: \: \textrm{dan}\\ &x^{2}+y^{2}-4y+2y+3=0\: \: \textrm{yang}\\ &\textrm{berpotongan di}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{dan}\: \: (x_{2},y_{2}),\\ &\textrm{maka nilai}\: \: 5(x_{1}+x_{2})\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}24\\ &\textrm{b}.\quad 26\\ &\textrm{c}.\quad 28\\ &\textrm{d}.\quad 30\\ &\textrm{e}.\quad 32\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}-9=0\: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}-4x+2y+3\\ &\textrm{Persamaan}\: \: \color{red}\textrm{garis kuasa}\: \color{black}\textrm{dari kedua}\\ &\textrm{lingkaran tersebut adalah}:\\ &\color{blue}L_{1}(x,y)- L_{2}(x,y)=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-9\\ &-(x^{2}+y^{2}-4y+2y+3)=0\\ &\Leftrightarrow 4x-2y-12=0\\ &\Leftrightarrow 2x-y-6=0\\ &\Leftrightarrow y=6-2x \end{aligned}\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}-9=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+(6-2x)^{2}-9=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+36-24x+4x^{2}-9=0\\ &\Leftrightarrow 5x^{2}-24x+27=0\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}=\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{576-540}}{10}\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}=\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{36}}{10}=\frac{24\pm 6}{10}\\ &\Leftrightarrow x_{1,2}=\displaystyle \frac{24\pm \sqrt{36}}{10}=\frac{24\pm 6}{10}\\ &\Leftrightarrow \quad x_{1}=3\: \: \textrm{atau}\: \: x_{2}=1,8\\ &\textrm{maka}\: \: 5(x_{1}+x_{2})=5\left ( 3+1,8 \right )=\color{red}24 \end{aligned} \end{array}$.

CONTOH SOAL 5 LINGKARAN (TERKAIT HUBUNGAN DUA LINGKARAN)

 $\begin{array}{ll}\\ 21.&\textrm{Titik Kuasa dari lingkaran-lingkaran}\\ &\textrm{berikut}\\ &L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+x+y-14=0\\ &L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}=13\\ &L_{3}\equiv x^{2}+y^{2}+3x-2y-26=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}(3,-2)\\ &\textrm{b}.\quad (2,-3)\\ &\textrm{c}.\quad (-3,2)\\ &\textrm{d}.\quad (-2,3)\\ &\textrm{e}.\quad (3,2)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{lrlll} (L_{1})&x^{2}+y^{2}+x+y&=&14\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}&=&13&-\\\hline &x+y&=&1&....(1) \end{array}\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{3})&x^{2}+y^{2}+3x-2y&=&26\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}&=&13&-\\\hline &3x-2y&=&13&....(2) \end{array}\\ &\textrm{Selanjutnya kita eliminasi}\: (1)\& (2)\\ &\textrm{dan hasilnya adalah}:\\ &\begin{array}{rrlrl} \color{blue}(2)&3x-2y&=&13\\ \color{blue}(1)&3x+3y&=&3&-\qquad (\times 3)\\\hline &-5y&=&10&\\ &y&=&\color{red}-2&\Rightarrow x=\color{red}3 \end{array}\\ &\textrm{Jadi, titik kuasa ketiganya}: (3,-2) \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 22.&\textrm{Titik-titik potong dari persekutuan dua}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: L_{1}\equiv (x-2)^{2}+y^{2}=10\: \: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+(y-2)^{2}=10\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad (3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}(3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (-1,-1)\\ &\textrm{c}.\quad (3,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{d}.\quad (-3,3)\: \: \textrm{dan}\: \: (1,1)\\ &\textrm{e}.\quad (-3,-3)\: \: \textrm{dan}\: \: (-1,-1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 1}\\ &\textrm{Dengan substitusi opsi pilihan jawaban}\\ &\textrm{maka akan ketemu jawabannya langsung}\\ &\color{blue}\textrm{Alternatif 2}\\ &\textrm{Dengan eliminasi dan ilustrasi gambar}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{1})&(x-2)^{2}+y^{2}&=&10\\ (L_{2})&x^{2}+(y-2)^{2}&=&10&\\&\color{blue}\textrm{menjadi}\\ (L_{1})&x^2+y^2-4x&=&6\\ (L_{2})&x^2+y^2-4y&=&6&-\\\hline &-4x+4y&=&0&\\ &\color{blue}\textrm{maka hasilnya}\\ &y&=&x \end{array} \\ &\textrm{Jelas opsi jawaban c, d salah}\\ &\textrm{karena}\: \: y=x,\\ &\textbf{Dengan bantuan ilustrasi, pilihan jawaban}\\ &\textbf{akan tampak dengan jelas}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 23.&\textrm{Persamaan tali busur persekutuan dua}\\ &\textrm{lingkaran}\: \: L_{1}\equiv (x-3)^{2}+y^{2}=16\: \: \: \textrm{dan}\\ &L_{2}\equiv x^{2}+(y-3)^{2}=16\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad y=-2x\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\\ &\textrm{c}.\quad \color{red}y=x\\ &\textrm{d}.\quad y=2x\\ &\textrm{e}.\quad y=\displaystyle \frac{1}{2}x\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Dengan eliminasi, kita mendapatkan}\\ &\begin{array}{lrlll} (L_{1})&(x-3)^{2}+y^{2}&=&16\\ (L_{2})&x^{2}+(y-3)^{2}&=&16&\\&\color{blue}\textrm{menjadi}\\ (L_{1})&x^2+y^2-6x&=&9\\ (L_{2})&x^2+y^2-6y&=&9&-\\\hline &-6x+6y&=&0&\\ &\color{blue}\textrm{maka hasilnya}\\ &y&=&x \end{array}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 24.&\textrm{Banyaknya garis singgung persekutuan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0\\ &\textrm{dan}\: \:  x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad 0\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}1\\ &\textrm{c}.\quad 2\\ &\textrm{d}.\quad 3\\ &\textrm{e}.\quad 4\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0&\begin{cases} P_{1} &=(-1,3) \\  r_{1} & = 1 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0&\begin{cases} P_{2} &=(-4,3) \\  r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Perhatikan pula bahwa}\: \: r_{2}-r_{1}=4-1=3\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena}\: \: P_{1}P_{2}=r_{2}-r_{1},\: \textrm{hal ini berarti lingkaran}\\ &L_{1}\: \: \textrm{bersinggungan di dalam dengan lingkaran}\: L_{2}\\ &\textrm{Sehingga kedua lingkaran ini hanya akan }\\ &\textrm{memiliki}\: \: \color{red}\textrm{satu}\: \: \color{black}\textrm{garis singgung persekutuan} \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 25.&\textrm{Persamaan lingkaran dengan jari-jari}\: \: 5\\ &\textrm{dan menyinggung lingkaran lain}\\ & x^{2}+y^{2}-2x-4y-20=0\: \: \: \textrm{di titik}\\ &(5,5)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{b}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{c}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\ &\textrm{e}.\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-120=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahi bahwa}\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{rrlll} (L_{1})&(x-a)^2+(y-b)^{2}&=&5^{2}\\ (L_{2})&x^{2}+y^{2}-2x-4y&=&20& \end{array} \\ &\textrm{Titik singgung dua lingkaran}\\ &\textrm{di titik}\: \: (5,5),\: \textrm{artinya}\\ &\begin{pmatrix} 5\\  5 \end{pmatrix}=\displaystyle \frac{\begin{pmatrix} a\\  b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\  2 \end{pmatrix}}{2}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 10\\  10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\  b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\  2 \end{pmatrix}\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\  b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10-1\\  10-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\  8 \end{pmatrix} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\textrm{maka persamaan lingkarannya adalah}:\\ &\Leftrightarrow (x-9)^{2}+(y-8)^{2}=5^{2}\\ &\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-18x-16y+120=0 \end{aligned}\\  &\textbf{Berikut ilustrasi gambarnya}  \end{array}$.

CONTOH SOAL 4 LINGKARAN

 $\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Salah satu garis singgung yang bersudut}\: \: 120^{\circ}\\ &\textrm{terhadap sumbu x positif terhadap lingkaran}\\ &\textrm{dengan ujung diameter titik}\: \: (7,6)\: \textrm{dan}\: \: (1,-2)\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+12\\ &\textrm{b}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}+8\\ &\textrm{c}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}-4\\ &\textrm{d}.\quad y=-x\sqrt{3}-4\sqrt{3}-8\\ &\textrm{e}.\quad y=-x\sqrt{3}+4\sqrt{3}+22\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Pusat Lingkaran}&\textrm{Gradien Garis Singgung}\\\hline \begin{aligned}&(a,b)\\ &=\left ( \displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )\\ &=\left ( \displaystyle \frac{7+1}{2},\frac{6+(-2)}{2} \right )\\ &=(4,2) \end{aligned}&\begin{aligned}m&=\tan 120^{\circ}\\ &=-\tan \left ( 180^{\circ}-60^{\circ} \right )\\ &=-\tan 60^{\circ}\\ &=-\sqrt{3}\\ &\\  \end{aligned} \\\hline \textrm{Jari-jari}&\textrm{Garis Singgung}\\\hline \begin{aligned}r&=\textrm{jarak titik}\\ &\: \: \: \: \: \, \textrm{singgung ke pusat}\\ &=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-2)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned} &(y-b)=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ &\Leftrightarrow (y-2)=-\sqrt{3}(x-4)\pm 5\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}\\ &\Leftrightarrow y-2=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\pm 5\sqrt{1+4}\\ &\Leftrightarrow y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2\pm 10\\ &\Leftrightarrow y=\begin{cases} -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2+ 10 \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+2- 10 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow y=\begin{cases} \color{red}-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}+12 & \\ -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}-8 & \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{array}$.

Dengan ilustrasi tambahan

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Salah satu garis singgung lingkaran}\\\ & x^{2}+y^{2}=10\: \: \textrm{yang ditarik dari}\\ &\textrm{titik}\: \: (4,2)\: \: \textrm{adalah}....\\ &\textrm{a}.\quad \color{red}x+3y=10\\ &\textrm{b}.\quad x-3y=10\\ &\textrm{c}.\quad -x-3y=10\\ &\textrm{d}.\quad 2x+y=10\\ &\textrm{e}.\quad x+2y=10\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Garis Singgung}\\ &\quad\quad \textrm{di titik}\\ &(x_{1},y_{1})=(4,2) \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Tahapan menentukan}\\ &\quad\qquad \textrm{harga}\: \: m\\ & \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&y-y_{1}=m(x-x_{1})\\ &y-2=m(x-4)\\ &y=mx-4m+2\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=10\\ &x^{2}+\left ( mx-4m+2 \right )^{2}=10\\ &x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}+4-8m^{2}x+4mx-16m=10\\ &x^{2}+m^{2}x^{2}+16m^{2}-8m^{2}x+4mx-16m-6=0\\ &(1+m^{2})x^{2}+(4m-8m^{2})x+16m^{2}-16m-6=0\\ &\begin{cases} a & =1+m^{2} \\ b & =4m-8m^{2} \\ c & =16m^{2}-16m-6 \end{cases} \end{aligned}\\\hline  \end{array}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Syarat menyinggung}\: \: D=0\\ &b^{2}-4ac=0\\ &\left ( 4m-8m^{2} \right )^{2}-4\left ( 1+m^{2} \right )\left ( 16m^{2}-16m-6 \right )=0\\ &16m^{2}-64m^{3}+64m^{4}-64m^{2}+64m+24-64m^{4}+64m^{3}+24m^{2}=0\\ &-24m^{2}+64m+24=0\\ &-3m^{2}+8m+3=0\\ &(m-3)(3m+1)=0\\ &m=3\: \: \textrm{atau}\: \: m=-\displaystyle \frac{1}{3}\\ &m=\begin{cases} 3 & \Rightarrow y=3x-10\\ &\Rightarrow 3x-y=10\\ -\displaystyle \frac{1}{3} & \Rightarrow y=-\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{4}{3}+2\\ &\Rightarrow \color{red}x+3y=10 \end{cases}  \end{aligned}  \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\textrm{dan sebuah titik di luar lingkaran}\: \:  M(a,b)\\ &\textrm{Posisi garis}\: \: ax+by=r^{2}\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{menyinggung lingkaran}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{memotong lingkaran di dua titik}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{melalui titik pusat lingkaran}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{tidak memotong lingkaran}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{tidak ada yang benar}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Diketahui bahwa}\\ &\bullet \quad L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \quad M(a,b)\: \: \textrm{di luar lingkaran}\: \: L\\ &\color{purple}\textrm{Selanjutnya perhatikan penjelasan berikut}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Karena}\: M(a,b)\: \textrm{di luar lingkaran}\: L,\: \textrm{maka}\\ &\textrm{maka salah satu dari}\: \: a\: \: \textrm{atau}\: \: b\: \: \textrm{atau keduanya}\\ &\textrm{akan lebih besar nilanya dari pada}\: \: r.\\ &\textrm{Misalkan kita pilih}\: \: a>r\\ &\color{blue}\textrm{Ambil posisi saat memotong sumbu}-X,\: \color{black}y=0\\ &\begin{aligned}&\textrm{Untuk lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ &\bullet \quad y=0\Rightarrow x^{2}+0^{2}=r^{2}\Rightarrow x=\left | r \right |\\ &\textrm{Untuk garis}\: \: ax+by=r^{2}\\ &\bullet \quad y=0\Rightarrow ax=r^{2}\Rightarrow x=\displaystyle \frac{r^{2}}{a}\\ &\textrm{Dari sini tampak posisi}\: \: x=\color{red}\left | r \right |> \displaystyle \frac{r^{2}}{a}\geq 0 \end{aligned}\\ &\textrm{Sehingga kesimpulannya adalah}:\\ &\color{red}\textrm{garis tersebut akan selalu memotong lingkaran}   \end{aligned}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\\ &\textrm{dan}\: \:  x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{berpotongan di luar titik}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{tidak berpotongan atau bersinggungan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{bersinggungan luar}\\ &\textrm{d}.\quad \color{red}\textrm{bersinggungan dalam}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{sepusat}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0&\begin{cases} P_{1} &=(-3,4) \\  r_{1} & = 2 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0&\begin{cases} P_{2} &=(-5,4) \\  r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Jarak kedua pusat}&\textrm{Jumlah/selisih jari-jari}\\\hline \begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )\\ &=\sqrt{(-3+5)^{2}+(4-4)^{2}}\\ &=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2 \end{aligned}&\begin{aligned}\begin{cases} r_{1}+r_{2}   & =2+4=6 \\  \left |r_{1}-r_{2}  \right |  & =\left | 2-4 \right |=2  \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena nilai}\: \: \color{red}P_{1}P_{2}\color{black}=\color{red}\left |r_{1}-r_{2}  \right |\color{black}=\color{red}2\\ &\textrm{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ &\color{blue}\textrm{di dalam}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Dua lingkaran dengan persamaan}\\ &\textrm{lingkaran-lingkaran}\: x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0\\ &\textrm{dan}\: \:  x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{berpotongan}\\ &\textrm{b}.\quad \color{red}\textrm{bersinggungan di dalam}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{bersinggungan luar}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{tidak berpotongan}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{sepusat}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\begin{array}{|l|l|l|}\hline \qquad\qquad\textrm{Lingakaran}&\qquad\textrm{Pusat/r}\\\hline L_{1}\equiv x^{2}+y^{2}+2x-6y+9=0&\begin{cases} P_{1} &=(-1,3) \\  r_{1} & = 1 \end{cases}\\\hline L_{2}\equiv x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0&\begin{cases} P_{2} &=(-4,3) \\  r_{2} & = 4 \end{cases}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Jarak kedua pusat}&\textrm{Jumlah/selisih jari-jari}\\\hline \begin{aligned}&\left (P_{1}P_{2}  \right )\\ &=\sqrt{(-1+4)^{2}+(3-3)^{2}}\\ &=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3 \end{aligned}&\begin{aligned}\begin{cases} r_{1}+r_{2}   & =1+4=5 \\  \left |r_{1}-r_{2}  \right |  & =\left | 1-4 \right |=3  \end{cases} \end{aligned}\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Karena nilai}\: \: \color{red}P_{1}P_{2}\color{black}=\color{red}\left |r_{1}-r_{2}  \right |\color{black}=\color{red}3\\ &\textrm{hal ini menunjukkan keduanya bersinggungan}\\ &\color{blue}\textrm{di dalam}\\ &\textbf{Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut}  \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Budi, W. S. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sain Nasional/Internasional Matematika 3. Jakarta: ZAMRUD KEMALA.
2. Kartini, Suprapto, Subandi, dan Setiadi, U. 2005. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA dan MA. Klaten: INTAN PARIWARA.
3. Kanginan M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
4. Noormandiri. 2017. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA
5. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SEWU
6. Sukino. 2017. Matematika Jilid 2 untuk Kelas SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.

CONTOH SOAL 3 LINGKARAN

 $\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\\ &\textrm{menyinggung sumbu Y jika}\: \: c\: =....\\ &\textrm{A}.\quad ab\\ &\textrm{B}.\quad ab^{2}\\ &\textrm{C}.\quad a^{2}b\\ &\textrm{D}.\quad a^{2}\\ &\textrm{E}.\quad \color{red}b^{2}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 1}\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\\ &x=0\Rightarrow 0^{2}+y^{2}+2a.0+2by+c=0\\ &y^{2}+2by+c=0\begin{cases} a & =1 \\ b & =2b \\ c & =c \end{cases}\\ &\textrm{Syarat menyinggung}\: \textrm{adalah}:\\ &D=b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow (2b)^{2}-4.1.c=0\\ &\Leftrightarrow 4c=4b^{2}\\ &\Leftrightarrow c=\color{red}b^{2} \end{aligned} \\\\ &\color{blue}\textbf{Alternatif 2}\\  &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+2ax+2by+c=0\\ &\Leftrightarrow x^{2}+2ax+a^{2}+y^{2}+2by+b^{2}+c-a^{2}-b^{2}=0\\ &\Leftrightarrow (x+a)^{2}+(y+b)^{2}=a^{2}+b^{2}-c\\ &\textrm{Karena menyinggung sumbu-Y, maka}\: \: R=a \\ &\textrm{Sehingga}\: \: R^{2}=a^{2}+b^{2}-c=a^{2}\\ &\Leftrightarrow b^{2}-c=0\\ &\Leftrightarrow b^{2}=c\\ &\Leftrightarrow c=\color{red}b^{2} \end{aligned}    \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Diketahui pusat lingkaran L terletak dikuadran}\\ &\textrm{I dan berada di sepanjang garis}\: \: y=2x.\: \: \textrm{Jika}\\ &\textrm{lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik}\\ &(0,6),\: \textrm{maka persamaan lingkaran L adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad x^{2}+y^{2}-3x-6y=0\\ &\textrm{B}.\quad x^{2}+y^{2}+6x+12y-108=0\\ &\textrm{C}.\quad x^{2}+y^{2}+12x+6y-72=0\\ &\textrm{D}.\quad x^{2}+y^{2}-12x-6y=0\\ &\textrm{E}.\quad \color{red}x^{2}+y^{2}-6x-12y+36=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},\\ &\textrm{menyinggung titik}\: \: (0,6)\\ &\textrm{berarti pusat lingkaran L juga terletak}\\ &\textrm{pada garis}\: \: y=6.\: \: \textrm{Hal ini menunjukkan bahwa }\\ &\textrm{pusat lingkaran}\: \: \, \: \textrm{L berpusat di}\: \: (x,2x)=(\frac{y}{2},y),\\ &\textrm{dengan}\: \: y=6.\, \: \textrm{Dari informasi di atas, }\\ &\textrm{didapatlah pusat lingkaran berada di titik}\: \: (3,6).\\ &\textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ &(x-3)^{2}+(y-6)^{2}=3^{2}\: \: \textrm{ingat}\: \: r=\textrm{absis}\: \: x=3\\ &\Leftrightarrow (x-3)^{2}+(y-6)^{2}=x^{2}-6x+9+y^{2}+12x+36=9\\ &\Leftrightarrow \, \color{red}x^{2}+y^{2}-6x+12y+36=0\\ &\color{purle}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Persamaan garis singgung lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}+8x-3y-24=0,\: \: \textrm{di titik}\\ & (2,4)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad 12x-5y-44=0\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}12x+5y-44=0\\ &\textrm{C}.\quad 12x-y-50=0\\ &\textrm{D}.\quad 12x+y-50=0\\ &\textrm{E}.\quad 12x+y+50=0\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+8x-3y-24\\ &\Leftrightarrow x^{2}+8x+16+y^{2}-3y+\displaystyle \frac{9}{4}-24=16+\frac{9}{4}\\ &\Leftrightarrow \: (x+4)^{2}+(y-\frac{3}{2})^{2}=16+\frac{9}{4}+24=42\frac{1}{4}\\ &\textrm{Persamaan garis singgung lingkar}\textrm{an lingkaran }\\ &\textrm{di titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{adalah}:\\ &(x_{1}+4)(x+4)+(y_{1}-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})=42\frac{1}{4},\\ &\textrm{untuk}\: \: (x_{1},y_{1})=(2,4),\: \textrm{maka}\\ &(2+4)(x+4)+(4-\frac{3}{2})(y-\frac{3}{2})=\frac{169}{4}\\ &\Leftrightarrow 6(x+4)+\frac{5}{2}(y-\frac{3}{2})=\frac{169}{4}\\ &\Leftrightarrow 24(x+4)+5(2y-3)=169\\ &\Leftrightarrow 24x+96+10y-15=169\\ &\Leftrightarrow 24x+10y=169-96+15=88\\ &\Leftrightarrow \color{red}12x+5y-44=0\\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Sebuah garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{menyinggung }\\ &\textrm{lingkaran yang berpusat di}\: \: (-2,5)\: \: \textrm{dan}\\ &\textrm{berjari-jari}\: \: 2\sqrt{10}\: \: \textrm{di titk}\: \: (4,3),\: \textrm{maka }\\ &\textrm{persamaan garis singgung}\: \: g\: \: \textrm{adalah}\: .... \\ &\textrm{A}.\quad y=3x+9\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}y=3x-9\\ &\textrm{C}.\quad y=-3x+9\\ &\textrm{D}.\quad y=-3x-9\\ &\textrm{E}.\quad y=3x+21\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\ &\begin{cases} \textrm{Pusat} & =(-2,5) \\ \textrm{r} & =2\sqrt{10} \end{cases} \\ &\textrm{maka persamaan lingkarannya}:\\ &(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=(2\sqrt{10})^{2}\\ &\Leftrightarrow (x_{1}+2)(x+2)+(y_{1}-5)(y-5)=40,\\ &\textrm{menyingung garis}\: \: g\: \: \textrm{di}\: (4,3)\\ &(4+2)(x+2)+(3-5)(y-5)=40\\ &\Leftrightarrow 6x+12-2y+10=40\\ &\Leftrightarrow 6x-2y=40-12-10\\ &\Leftrightarrow 3x-y=9\\ &\Leftrightarrow -y=-3x+9\\ &\Leftrightarrow \color{red}y=3x-9\\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Suatu lingkaran dengan titik pusatnya terletak }\\ &\textrm{pada kurva}\: \: y=\sqrt{x}\: \: \textrm{dan melalui titik asal}\: \:  O(0,0).\\ & \textrm{Jika diketahui absis titik pusat lingkaran tersebut }\\ &\textrm{adalah}\: \: a,\: \: \textrm{maka persamaan garis singgung }\\ &\textrm{lingkaran yang melalui titik}\: \: O\: \: \textrm{tersebut adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad y=-x\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}y=-x\sqrt{a}\\ &\textrm{C}.\quad y=-ax\\ &\textrm{D}.\quad y=-2x\sqrt{2}\\ &\textrm{E}.\quad y=-2ax\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{array}{|l|c|l|}\hline \begin{aligned}&\textrm{Pusat}\\ &\textrm{lingkaran}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Gradien garis singgung}\\ &\textrm{yang tegak lurus dengan }\\ &\textrm{garis yang melalui titik}\\ &\textrm{pusat lingkaran yang }\\ &\textrm{bergradien}\: \: m_{L} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis }\\ &\textrm{singgung yang }\\ &\textrm{melalui titik asal}\\ &O(0,0)\\ & \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&(a,b)\\ &=\left ( a,\sqrt{a} \right )\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\color{blue}\begin{aligned}&m.m_{1}=-1\\ &m.\frac{y}{x}=-1\\ &m=-\frac{x}{y}=-\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}\\ &\: \: \: \, =-\sqrt{a} \end{aligned}&\begin{aligned}y&=mx,\\ & \textrm{karena melalui}\\ &\textrm{titik asal}\\ y&=-\sqrt{a}x,\\ y&=\color{red}-x\sqrt{a} \end{aligned}\\\hline \end{array}  \end{array}$.

CONTOH SOAL 2 LINGKARAN

 $\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Diketahui lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+4x+ky-12=0\\ &\textrm{melalui titik}\: \: (-2,8)\: \: \textrm{maka jari-jari lingkaran}\\ &\textrm{tersebut adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad 1\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}5\\ &\textrm{C}.\quad 6\\ &\textrm{D}.\quad 12\\ &\textrm{E}.\quad 25\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui ingkaran berpusat di}\: \left ( -2,-\displaystyle \frac{1}{2}k \right ),\\ &\textrm{yaitu}:\\ &x^{2}+y^{2}+4x+ky-12=0\\ & \textrm{melalui}\: \: (-2,8)\: \: \textrm{berarti }\\ &(-2)^{2}+8^{2}+4(-2)+k.8-12=0\\ &4+64-8-12+8k=0\\ &48+8k=0\\ &k=\color{blue}-6\\ &\textrm{Sehingga}\: \:  r=\sqrt{\displaystyle \frac{4^{2}}{4}+\frac{(-6)^{2}}{4}-(-12)}\\ &\qquad\qquad \: \: \: =\sqrt{\displaystyle 4+9+12}=\sqrt{25}=\color{red}5\\ \end{aligned}  \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Persmaan lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+px+8y+9=0\\ &\textrm{menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut }\\ &\textrm{adalah}\: ....\\ &\textrm{A}.\quad (6,-4)\\ &\textrm{B}.\quad (6,6)\\ &\textrm{C}.\quad \color{red}(3,-4)\\ &\textrm{D}.\quad (-6,-4)\\ &\textrm{E}.\quad (3,4)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textbf{Lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}+px+8y+9=0\\ &\textrm{maka,}\\ &x^{2}+px+y^{2}+8y+9=0\\ &\left ( x+\displaystyle \frac{1}{2}p \right )^{2}-\displaystyle \frac{1}{4}p^{2}+(y+4)^{2}-16+9=0\\ &\Leftrightarrow \left ( x+\displaystyle \frac{1}{2}p \right )^{2}+(y+4)^{2}=7+\displaystyle \frac{1}{4}p^{2}\\ &\textrm{karena menyinggung sumbu-X,}\: \: \: \: R=b=4,\\ & \textrm{sehingga}\\ &7+\displaystyle \frac{1}{4}p^{2}=4^{2}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{4}p^{2}=16-7=9\Leftrightarrow p^{2}=36\Leftrightarrow p=\color{blue}\pm 6\\ &p=-6\: \Rightarrow \: x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0\\ &\quad\Rightarrow \textrm{pusatnya adalah}\: \: \left ( -\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )=\color{red}(3,-4)\\ &p=6\: \: \: \, \: \Rightarrow \: x^{2}+y^{2}+6x+8y+9=0\\ &\quad\Rightarrow \textrm{pusatnya adalah}\: \: \left ( -\displaystyle \frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )=\color{red}(-3,-4)\\ &\color{purple}\textrm{dan berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}   \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Titik-titik berikut yang posisinya berada di luar }\\ &\textrm{lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-2x+8y-32=0\: \: \textrm{adalah}.... \\ &\textrm{A}.\quad (0,0)\\ &\textrm{B}.\quad (-6,-4)\\ &\textrm{C}.\quad \color{red}(-3,2)\\ &\textrm{D}.\quad (3,1)\\ &\textrm{E}.\quad (4,1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\begin{array}{|c|c|l|c|}\hline \color{blue}\textrm{Opsi}&\color{blue}\textrm{Titik}&\qquad\qquad\quad\color{blue}\textrm{Lingkaran}&\color{blue}\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{A}&(0,0)&0^{2}+0^{2}-2.0+8.0-32=-32&\textrm{dalam}\\\hline \textrm{B}&(-6,-4)&(-6)^{2}+(-4)^{2}-2(-6)+8(-4)-32=0&\textrm{pada}\\\hline \color{red}\textrm{C}&(-3,2)&(-3)^{2}+(2)^{2}-2(-3)+8(2)-32=3&\textbf{di luar}\\\hline \textrm{D}&(3,1)&3^{2}+1^{2}-2.3+8.1-32=-20&\textrm{dalam}\\\hline \textrm{E}&(4,1)&4^{2}+1^{2}-2.4+8.1-32=-15&\textrm{dalam}\\\hline \end{array} \\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Diketahui garis}\: \: x-2y=5\: \: \textrm{memotong lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-4y+8y+10=0\: \: \textrm{di titik A dan B}.\\ &\textrm{Panjang ruas garis AB adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad 4\sqrt{2}\\ &\textrm{B}.\quad \color{red}2\sqrt{5}\\&\textrm{C}.\quad \sqrt{10}\\ &\textrm{D}.\quad 5\\ &\textrm{E}.\quad 4\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Perhatikanlah bahwa garis}\: \: \color{blue}x-2y=5\\&\textrm{memotong lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0,\\ &\textrm{maka garis}\: \: \color{blue}x=2y+5\: \: \color{black}\textrm{disubstitusikan ke}\\ &\textrm{lingkaran tersebut, yaitu}:\\ &(\color{blue}2y+5\color{black})^{2}+y^{2}-4(\color{blue}2y+5\color{black})+8y+10=0\\ &4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10=0\\ &5y^{2}+20y+15=0\\ &y^{2}+4y+3=0\\ &(y+1)(y+3)=0\\ &y=-1\: \: \vee \: \: y=-3\\ &\textrm{untuk nilai}\\ & y=-3\Rightarrow x=2(-3)+5=-1,\quad A(-1,-3)\\ &y=-1\Rightarrow x=2(-1)+5=3,\qquad B(3,-1)\\ &\textrm{maka},\qquad \textrm{AB}=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(-1-(-3))^{2}}\\ &=\sqrt{4^{2}+2^{2}}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}\\ &=\color{red}2\sqrt{5} \end{aligned}\\ &\color{purple}\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Kekhususan persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-6y+6=0\: \:  \textrm{adalah}....\\ &\textrm{A}.\quad \textrm{menyinggung sumbu X}\\ &\textrm{B}.\quad \textrm{menyinggung sumbu Y}\\ &\textrm{C}.\quad \textrm{berpusat di}\: \: O(0,0)\\ &\textrm{D}.\quad \color{red}\textrm{titik pusatnya terletak pada}\: \: x-y=0\\ &\textrm{E}.\quad \textrm{berjari-jari 3}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\  &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui persamaan lingkaran}\\ &x^{2}+y^{2}-6x-6y+6=0\\ &x^{2}-6x+9+y^{2}-6y+9+6=9+9\\ &(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=18-6\\ &(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=12\\ &(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=\left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}\\ &\textrm{lingkaran ini}\begin{cases} \textrm{Pusat} &=\color{blue}(3,3) \\ \textrm{Jari-jari}  &=\color{blue}2\sqrt{3} \end{cases}\\ &\begin{array}{|c|l|c|}\hline  \textrm{Opsi}&\qquad\qquad\qquad\textrm{Pernyataan}&\textrm{Keterangan}\\\hline \textrm{A}&\textrm{menyinggung sumbu X}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \textrm{B}&\textrm{menyinggung sumbu Y}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \textrm{C}&\textrm{berpusat di}\: \: O(0,0)&\textrm{tidak tepat}\\\hline \color{red}\textrm{D}&\color{red}\textrm{titik pusatnya terletak pada garis}\: \: x-y=0&\textbf{tepat}\\\hline \textrm{E}&\textrm{berjari-jari 3}&\textrm{tidak tepat}\\\hline \end{array} \\ &\textrm{Berikut ilustrasi gambarnya} \end{aligned}  \end{array}$.