Lanjutan Materi Kaidah Pencacahan

 $\color{blue}\textrm{B. Kaidah Pencacahan}$

Dalam kombinatorial kita harus melakukan perhitungan (counting) untuk mendapatkan semua kemungkinan dari pengaturan objekgar hasilnya didaptkan valid. Dua kaidah dasar yang digunakan dalam hal ini adalah adalah kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum). Kedua kaidah tersebut nantinya akan selalu digunakan secara terpisah atau secara gabungan tergantung kondisi yang diinginkan dalam penentuan aturan pengisian tempat.

 $\color{blue}\textrm{B. 1 Kaidah Perkalian}$

$\begin{cases} \color{red}\Rightarrow &\begin{array}{|c|}\hline \textrm{Kaidah Perkalian}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jika percobaan 1 mendapat hasil}\: \: m,\\ & \textrm{percobaan 2 mendapatkan hasil}\: n,\\ & \textrm{maka jika percobaan 1 dan 2 dilakukan},\\ &\textrm{maka akan mendapatkan hasil} \: \: m \times n \\ &\textrm{kemungkinan} \end{aligned}\\\hline \end{array} \\\\\\ \color{blue}\Rightarrow &\begin{array}{|c|}\hline \textrm{Kaidah Penjumlah}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Jika percobaan 1 mendapat hasil}\: \: m,\\ & \textrm{percobaan 2 mendapatkan hasil}\: \: n,\\ & \textrm{maka jika hanya}\: \: \color{magenta}\textbf{satu percobaan}\: \: \color{black}\textrm{saja}\\ & \textrm{yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2)},\\ & \textrm{maka akan mendapatkan hasil}\: \: m + n\\ & \textrm{kemungkinan} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{cases}$

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra}\\ & \textrm{dan 4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih}\\ & \textrm{satu orang wakil siswa dan satu orang wakil siswi}?\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa}\\ & \textrm{dan ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi}.\\ & \textrm{Jika 2 orang wakil harus dipilih yang terdiri}\\ & \textrm{dari 1 siswa dan 1 siswi, maka jumlah}\\ & \textrm{kemungkinan perwakilan tersebut adalah yang}\\ & \textrm{dapat dipilih adalah 5 x 4 = 20 cara} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah ruang sampel dan banyaknya}\\ &\textrm{anggota untuk percobaan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{melambungkan sebuah koin sebanyak 3 kali}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{melambungkan dua buah dadu sebanyak sekali}\\\\ &\color{blue}\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Jika S adalah ruang sampel dan n(S) adalah}\\ &\textrm{banyak anggota ruang sampel, maka}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{karena muka koin ada 2, maka n(S)}\\ &\qquad n(S)=2\times 2\times 2=2^{3}=8\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{karena muka dadu ada 6, maka n(S)}\\ &\qquad n(S)=6\times 6=6^{2}=36\\ &\textrm{Dan berikut ilustrasi untuk seluruh ruang}\\ &\color{red}\textrm{sampelnya untuk kedua kasus di atas}\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{a}&\textrm{b}\\\hline \left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=AAA\\ \\ G&=AAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=AGA\\ \\ G&=AGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=GAA\\ \\ G&=GAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=GGA\\ \\ G&=GGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \setminus&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array} \\\hline \textrm{n}(\textrm{S})=8&\textrm{n}(\textrm{S})=36\\\hline \end{array} \end{array}$

Catatan :

Sebuah koin di lempar 3 kali sama dengan hasilnya untuk ruang sampel 3 buah koin dilempar sekali. Demikian juga sebuah dadu diundi 2 kali akan sama hasilnya dengan 2 buah dadi diundi sekali.

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra dan}\\ & \textrm{4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih satu}\\ & \textrm{orang wakil pelajar tersebut(tidak masalah putra atau putri)}?\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa dan}\\ &\textrm{ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi. Jika}\\ &\textrm{hanya 1 orang wakil yang harus dipilih}\\ & \textrm{(tidak peduli putra atau putri)},\\ & \textrm{maka banyak cara memilih adalah 5 + 4 = 9 cara} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Sebuah bilangan dibentuk dari angka-angka}\\ & \textrm{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Jika pengulangan} \\ &\textrm{tidak diperbolehkan, tentukan banyaknya bilangan}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{yang terdiri dari 1 angka dan kurang dari 5}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{yang terdiri dari 2 angka dan kurang dari 50}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{yang terdiri dari 3 angka dan kurang dari 500}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{yang terdiri dari 4 angka dan kurang dari 5000}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{yang terdiri dari 5 angka dan kurang dari 50000}\\ &\textrm{f}.\quad \textrm{yang terdiri dari 6 angka dan kurang dari 500000 dan habis dibagi 5}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{jelas ada 4 angka yang memenuhi, yaitu: 1, 2, 3, dan 4}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{2 angka misalkan AB, posisi A dapat diisi dengan 4 cara dan posisi B dapat}\\ &\qquad \textrm{diisi dengan 8 cara, karena setelah diisikan ke A angka tinggal 8 buah dan}\\ &\qquad \textrm{semuanya memiliki kesempatan yang sama untuk diisikan ke B}.\\ &\qquad \textrm{sehingga AB dapat diisi dengan 4 x 8 = 32 cara}.\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{3 angka misalkan ABC, posisi A dapat diisi dengan 4 cara, posisi B dapat}\\ &\qquad \textrm{diisi dengan 8 cara, dan posisi C dapat diisi dengan 7 cara}.\\ &\qquad \textrm{sehingga ABC dapat diisi dengan 4 x 8 x 7 = 224 cara}.\\ &\\ &\textrm{Untuk jawaban d, e, dan f silahkan dicoba sendiri sebagai latihan} \end{array}$