Contoh Soal Distribusi Binomial (1)

$\color{blue}\textbf{Contoh Peluang dan Kombinasi}$

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Seorang melempar sebuah dadu dengan enam muka}\\ &\textrm{Tentukukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{ruang sampel}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu ganjil}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu genap}\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu angka prima}\\ &\textrm{e}.\quad \textrm{peluang muncul mata dadu kurang dari 6}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Mata}&\: \textrm{dadu ada 6, yaitu}:\color{red}1,2,3,4,5,\: \& \: 6\\ \textrm{a}.\quad&\textrm{Raung sampel}\\ &S=\color{red}\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\: \color{black}\Rightarrow n(S)=6\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu ganjil}\color{black}(J)\\ &\textrm{Mata dadu ganjil}:1,3,5\: \Rightarrow n(J)=3\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(J)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \textrm{c}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu ganap}\color{black}(P)\\ &\textrm{Mata dadu ganap}:2,4,6\: \Rightarrow n(P)=3\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(P)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \textrm{d}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu angka prima}\color{black}(R)\\ &\textrm{Mata dadu angka prima}:2,3,5\: \Rightarrow n(R)=3\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(R)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \textrm{e}.\quad&\textrm{peluang}\: \color{red}\textrm{muncul mata dadu kurang dari 6}\color{black}(Z)\\ &\textrm{Mata dadu kurang dari 6}:1,2,3,4,5\: \Rightarrow n(Z)=5\\ &\textrm{Peluangnya}=\displaystyle \frac{n(Z)}{n(S)}=\frac{5}{6} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Andi akan mengambil 4 buah bola dari}\\ &\textrm{10 warna yang berbeda. Berapakah banyak}\\ &\textrm{kombinasi warna yang berbeda yang diambil}\\ &\textrm{oleh Andi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}n=10&\: \: \textrm{dan}\: \: r=4\\ C(n,r)&=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\ C(10,4)&=\displaystyle \frac{10!}{4!(10-4)!}\\ &=\displaystyle \frac{10!}{4!\times 6!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{(4\times 3\times 2\times 1)\times 6!}\\ &=420\: \: \textrm{kombinasi warna bola berbeda} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Dua kantong berisi bola merah dan biru}\\ &\textrm{Kantong I memuat 4 bola merah dan }\\ &\textrm{6 bola biru. Sedangkan kantong II memuat}\\ &\textrm{5 bola merah dan 3 bola biru. Jika pada}\\ &\textrm{masing-masing kantong diambil 2 bola}\\ &\textrm{sekaligus, maka peluang terambilnya}\\ &\textrm{1 bola merah dan 1 bola biru pada kantong}\\ &\textrm{I serta 2 bola biru pada kantong II}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Kejadian di atas adalah kejadian saling}\\ &\textrm{bebas karena tidak saling mempengaruhi}\\ &\begin{aligned}\textrm{Misal}&\: X=\textrm{kejadian terambil}\: 1M,1B\\ \bullet \quad&\color{red}\textrm{pada kantong I}\\ P(X)&=\displaystyle \frac{C(4,1)\times C(6,1)}{C(10,2)}\\ &=\displaystyle \frac{4\times 6}{\displaystyle \frac{10\times 9}{2}}=\frac{8}{15}\\ \textrm{Misal}&\: Y=\textrm{kejadian terambil}\: 2B\\ \bullet \quad&\color{red}\textrm{pada kantong II}\\ P(Y)&=\displaystyle \frac{C(3,2)}{C(8,2)}\\ &=\displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{8\times 7}{2}}=\frac{3}{28}\\ \color{magenta}\textrm{maka}&\: \textrm{peluang dari}\: \: X\: \: \textrm{dan}\: \: Y\\ P(X\cap Y)&=P(X)\times P(Y)\\ &=\displaystyle \frac{8}{15}\times \frac{3}{28}\\ &=\displaystyle \frac{2}{35} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih untuk}\\ &\textrm{3 perwakilan dari 10 anggota suatu}\\ &\textrm{kelompok, jika}\\ &\textrm{a. tanpa perlakuan khusus}\\ &\textrm{b. salah seorang harus terpilih}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad&\textrm{Dengan tanpa perlakuan}\\ &\textrm{memilih 3 orang dari 10 orang adalah}:\\ &C(10,3)=\displaystyle \frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!\times 7!}=\color{blue}120\\ \textrm{b}.\quad&\textrm{Dengan perlakuan 1 orang terpilih}\\ &\color{red}(\textrm{1 orang ini artinya tidak perlu diperhitungkan})\\ &\textrm{memilih 2 orang dari 9 orang adalah}:\\ &C(9,2)=\displaystyle \frac{9!}{2!(9-2)!}=\frac{9!}{2!\times 8!}=\color{blue}36 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Berapa banyak cara dapat memilih 2 buku}\\ &\textrm{matematika dan 3 buku fisika serta 4 buku}\\ &\textrm{ekonomi pada suatu lemari buku yang}\\ &\textrm{di dalamnya terdapat 10 buku matematika,}\\ &\textrm{11 buku fisika dan 12 buku ekonomi}\\\\ &\color{blue}\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Banyak}&\: \textrm{cara pemilihan tersebut adalah}:\\ &=C(10,2)\times C(11,3)\times C(12,4)\\ &=\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}\times \frac{11!}{3!\times 8!}\times \frac{12!}{4!\times 8!}\\ &=\displaystyle \frac{10\times 9}{1\times 2}\times \frac{11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3}\times \frac{12\times 11\times 10\times 9}{1\times 2\times 3\times 4}\\ &=\color{red}3675375 \end{aligned} \end{array}$