PAS MATEMATIKA BLOG: Lanjutan 3 Materi Ketaksamaan : Ketaksamaan Renata (Rearrangement)

1. Ketaksamaan Pengaturan Ulang / Renata (Rearrangement)

Diberikan

a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots \leq a_{n}

dan

c_{1} \leq c_{2} \leq c_{3} \leq \dots \leq c_{n}

bilangan real dan sembarang susunan

(b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n})

dari

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n})

, maka akan berlaku:

\begin{aligned} a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} + \dots + a_{n} c_{n} \\ \geq b_{1} c_{1} + b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3} + . . . + b_{n} c_{n} \\ \geq a_{n} c_{1} + a_{n - 1} c_{2} + a_{n - 2} c_{3} + . . . + a_{1} c_{n} \end{aligned}

Perhatikan bentuk

a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots \leq a_{n}

dengan

(b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n})

adalah sembarang permutasi dari

a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots \leq a_{n}

, maka akan memiliki akibat

\begin{aligned} 1. & a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} \geq a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} \\ 2. & \frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + \frac{b_{3}}{a_{3}} + \dots + \frac{b_{n}}{a_{n}} \geq n \end{aligned}

Penjelasan akibat no.1

Misalkan

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}

adalah bilangan real positif asumsikan monoton naik, dengan akibat no. 1 akan diperoleh

\begin{aligned} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} & \geq a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{1} \\ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} & \geq a_{1} a_{3} + a_{2} a_{4} + \dots + a_{n} a_{2} \\ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} & \geq a_{1} a_{4} + a_{2} a_{5} + \dots + a_{n} a_{3} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} & \geq a_{1} a_{n} + a_{2} a_{1} + \dots + a_{n} a_{n - 1} \end{aligned}

Jika kedua ruas setelah dijumlahkan ditambahkan dengan

a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}

, maka akan didapatkan bentuk:

\begin{aligned} n (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) \geq {(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})}^{2} \\ \Leftrightarrow \frac{n (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2})}{n^{2}} \geq \frac{{(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})}^{2}}{n^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2})}{n} \geq \frac{{(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})}^{2}}{n^{2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2})}{n}} \geq \sqrt{\frac{{(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})}^{2}}{n^{2}}} \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2})}{n}} \geq \frac{(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})}{n} \\ Dan bentuk terakhir di atas adalah bentuk QM-AM \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui a, b bilangan real positif \\ Tunjukkan bahwa a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \\ Bukti \\ \begin{aligned} Alternatif 1 \\ Perhatikan bahwa \\ (a - b)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b ◼ \end{aligned} \\ \begin{aligned} Alternatif 2 \\ Dengan AM-GM diperoleh \\ \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq \sqrt{(a b)^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq a b \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b ◼ \end{aligned} \\ Alternatif 3 \\ Asumsikan bahwa a \geq b, dengan \\ ketaksamaan Renata diperoleh \\ a . a + b . b \geq a . b + b . a \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq a b + a b \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b ◼ \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui a, b bilangan real positif \\ Tunjukkan bahwa \frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a} \geq a + b \\ Bukti \\ Asumsikan bahwa a \geq b, maka a^{2} \geq b^{2} \\ dan \frac{1}{b} \geq \frac{1}{a} . \\ Perhatikan bahwa baik (a^{2}, b^{2}) dan (\frac{1}{b}, \frac{1}{a}) \\ adalah kumpulan dua barisan yang monoton \\ sama yaitu sama-sama naik. Sehingga \\ dengan ketaksamaan Renata diperoleh \\ a^{2} . \frac{1}{b} + b^{2} . \frac{1}{a} \geq a^{2} . \frac{1}{a} + b^{2} . \frac{1}{b} \\ \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a} \geq a + b ◼ \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Buktikan bahwa setiap bilangan real \\ positif a, b dan c berlaku \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c \\ Bukti \\ \begin{aligned} Alternatif 1 \\ Perhatikan bahwa (a - b)^{2} \geq 0 \\ (a - c)^{2} \geq 0, dan (b - c)^{2} \geq 0 \\ adalah benar, maka \\ (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b . . . . . (1) \\ Dengan cara yang kurang lebih sama \\ akan didapatkan \\ ∙ a^{2} + c^{2} \geq 2 a c . . . . . (2) \\ ∙ b^{2} + c^{2} \geq 2 b c . . . . . (1) \\ Jika ketaksamaan (1), (2), & (3) dijumlahkan \\ akan didapatkan bentuk \\ 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} \geq 2 a b + 2 a c + 2 b c \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c ◼ \\ Alternatif 2 \\ Dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz \\ (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2} + a^{2}) \geq (a b + b c + c a)^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c ◼ \\ Alternatif 3 \\ Untuk barisan (a, b, c), asumsikan a \geq b \geq c \\ maka dengan Ketaksamaan Renata diperoleh \\ a . a + b . b + c . c \geq a b + b c + c a \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + a c + b c ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 4. & Diberikan a, b, c > 0, tunjukkan bahwa \\ \frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} \geq a + b + c \\ Bukti : \\ Alternatif 1 \\ Dengan AM-GM  diperoleh \\ ∙ \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{c}{a} \geq 2 - \frac{a}{c} \\ ∙ \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{b}{c} \geq 2 - \frac{c}{b} \\ ∙ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} \geq 2 - \frac{b}{a} \\ Sehingga \\ \begin{aligned} \frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} & \geq a (2 - \frac{c}{b}) + b (2 - \frac{a}{c}) + c (2 - \frac{b}{a}) \\ = 2 a - \frac{a c}{b} + 2 b - \frac{a b}{c} + 2 c - \frac{b c}{a} \\ \frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} & \geq 2 (a + b + c) - (\frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b}) \\ 2 & (\frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b}) \geq 2 (a + b + c) \\ \frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} & \geq a + b + c ◼ \end{aligned} \\ Alternatif 2 \\ Dengan ketaksamaan Renata \\ \begin{aligned} Asumsikan a \geq b \geq c, maka a b \geq c a \geq b c \\ dan \frac{1}{c} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{a} . \\ Perhatikan bahwa \\ (a b \geq c a \geq b c) dan (\frac{1}{c} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{a}) \\ memiliki kemonotonan yang sama \\ maka dengan ketaksamaan Renata \\ dapat diperoleh bentuk \\ a b . \frac{1}{c} + a c . \frac{1}{b} + b c . \frac{1}{a} \geq a b . \frac{1}{b} + a c . \frac{1}{a} + b c . \frac{1}{c} \\ \Leftrightarrow \frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} \geq a + c + b \\ \Leftrightarrow \frac{a b}{c} + \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} \geq a + b + c ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 5. & Diberikan a, b, c > 0, tunjukkan kebenaran \\ ketaksamaan Nesbitt berikut \\ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} \\ Bukti : \\ Alternatif 1 \\ Dengan AM-GM  diperoleh \\ \frac{(a + b) + (b + c) + (c + a)}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}} \\ \Leftrightarrow ((a + b) + (b + c) + (c + a)) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}) \geq 9 \\ \Leftrightarrow 2 (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) + 6 \geq 9 \\ \Leftrightarrow 2 (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) \geq 3 \\ \Leftrightarrow (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) \geq \frac{3}{2} ◼ \\ Alternatif 2 \\ Dengan ketaksamaan Renata \\ \begin{aligned} Asumsikan a \leq b \leq c, maka a + b \leq a + c \leq b + c \\ dan \frac{1}{b + c} \leq \frac{1}{a + c} \leq \frac{1}{a + b} . \\ Perhatikan bahwa \\ (a \leq b \leq c) dan \frac{1}{b + c} \leq \frac{1}{a + c} \leq \frac{1}{a + b} \\ memiliki kemonotonan yang sama \\ maka dengan ketaksamaan Renata \\ dapat diperoleh bentuk \\ a . \frac{1}{b + c} + b . \frac{1}{a + c} + c . \frac{1}{a + b} \geq b . \frac{1}{b + c} + c . \frac{1}{a + c} + a . \frac{1}{a + b} \\ dan \\ a . \frac{1}{b + c} + b . \frac{1}{a + c} + c . \frac{1}{a + b} \geq c . \frac{1}{b + c} + a . \frac{1}{a + c} + b . \frac{1}{a + b} \\ Jika dijumlahkan keduanya, maka \\ 2 (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) \geq 3 \\ \Leftrightarrow (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) \geq \frac{3}{2} ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 6. & (OSN 2015) \\ Diberikan a, b, c > 0, Buktikan bahwa \\ \sqrt{\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a}} + \sqrt{\frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}} + \sqrt{\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c}} \geq 3 \\ Bukti : \\ Perhatikan bukti soal no. 4 di atas \\ Dengan keksamaan Renata dapat diperoleh \\ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} \geq \frac{b}{b + c} + \frac{a}{a + c} \\ Misalkan \\ x = b + c, y = c + a, y = a + b, maka \\ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} \geq \frac{b}{b + c} + \frac{a}{a + c} \\ \Leftrightarrow \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} \geq \frac{y + z - x}{2 x} + \frac{x + z - y}{2 y} \\ \begin{aligned} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}} \geq \sqrt{\frac{y + z - x}{2 x} + \frac{x + z - y}{2 y}} \\ \Leftrightarrow = \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{y}{x} + \frac{z}{x} - 1 + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} - 1} \\ \Leftrightarrow dengan AM-GM \\ \Leftrightarrow \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 2 \sqrt{\frac{y}{x} . \frac{x}{y}} - 2} \\ \Leftrightarrow = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 2 - 2} \\ \Leftrightarrow \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{z}{x} + \frac{z}{y}} \\ \Leftrightarrow \geq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{z^{2}}{x y}} = \sqrt{\frac{z^{2}}{x y}} \end{aligned} \\ \begin{aligned} ∙ \sqrt{\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}} \geq \sqrt{\frac{z^{2}}{x y}} \\ ∙ \sqrt{\frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}} \geq \sqrt{\frac{x^{2}}{y z}} \\ ∙ \sqrt{\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c}} \geq \sqrt{\frac{y^{2}}{x z}} \end{aligned} \\ \begin{aligned} Selanjutnya \\ \sqrt{\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a}} + \sqrt{\frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}} + \sqrt{\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c}} \\ \geq \sqrt{\frac{z^{2}}{x y}} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y z}} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x z}} \\ Dengan AM-GM lagi \\ \geq 3 \sqrt[3]{\sqrt{\frac{z^{2}}{x y}} \times \sqrt{\frac{x^{2}}{y z}} \times \sqrt{\frac{y^{2}}{x z}}} \\ \geq 3 \sqrt[3]{\sqrt{\frac{(x y z)^{2}}{(x y z)^{2}}}} \\ \geq 3 ◼ \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 7. & Diberikan a, b, c > 0, tunjukkan bahwa \\ \frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} \geq 6 \\ Bukti : \\ Alternatif 1 \\ Dengan mengaplikasikan AM-GM-HM \\ pada \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} kita dapat menemukan \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{3}{(a b c)^{.^{\frac{1}{3}}}} \geq \frac{9}{a + b + c} \\ Jika kedua ruas dikalikan dengan a + b + c, \\ maka \\ 3 + \frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} \geq \frac{9 (a + b + c)}{a + b + c} \\ \Leftrightarrow \frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} \geq 6 ◼ \\ \begin{aligned} Alternatif 2 \\ Asumsikan a \leq b \leq c, maka a + b \leq a + c \leq b + c \\ dan \frac{1}{c} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{a} . \\ Perhatikan bahwa \\ (a + b \leq a + c \leq b + c) dan \frac{1}{c} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{a} \\ memiliki kemonotonan yang sama \\ maka dengan ketaksamaan Renata \\ dapat diperoleh bentuk \\ (b + c) . \frac{1}{a} + (c + a) . \frac{1}{b} + (a + b) . \frac{1}{c} \geq (b + c) . \frac{1}{b} + (c + a) . \frac{1}{c} + (a + b) . \frac{1}{a} \\ ≐ 1 + \frac{c}{b} + 1 + \frac{a}{c} + 1 + \frac{b}{a} \\ ≐ 3 + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} \\ ≐ 3 + 3 {(\frac{a b c}{a b c})}^{.^{\frac{1}{3}}} \\ ≐ 3 + 3 \\ ≐ 6 ◼ \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.

WEBSITE

https://holdenlee.github.io/high_school/omc/23-rearrange.pdf diakses 18 Januari 2022.
https://www.gotohaggstrom.com/Advanced%20inequality%20manipulations.pdf diakses 20 Januari 2022

PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan 3 Materi Ketaksamaan : Ketaksamaan Renata (Rearrangement)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar