Contoh Soal 4 (Segitiga dan Ketaksamaan)

 $\begin{array}{ll}\\ 16.&\textrm{Buktikan bahwa setiap bilangan real}\\ &\textrm{positif}\: \: a\: \: \textrm{dan}\: \: b\: \: \textrm{berlaku}\: \: a^{2}+b^{2}\geq 2ab\\\\ &\textbf{Bukti}\\ &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\: \: (a-b)^{2}\geq 0\\ &\textrm{adalah benar, maka}\\ &(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab\qquad \blacksquare  \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 17.&\textrm{Buktikan bahwa setiap bilangan real}\\ &\textrm{positif}\: \: a,\: b\: \: \textrm{dan}\: \: c\: \: \textrm{berlaku}\\ & a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\\\\ &\textbf{Bukti}\\  &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa}\: \: (a-b)^{2}\geq 0\\  &(a-c)^{2}\geq 0,\: \: \textrm{dan}\: \: (b-c)^{2}\geq 0\\ &\textrm{adalah benar, maka}\\ &(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0\\ &\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab\: .....(1)\\ &\textrm{Dengan cara yang kurang lebih sama}\\ &\textrm{akan didapatkan}\\ &\bullet \quad a^{2}+c^{2}\geq 2ac\: .....(2)\\ &\bullet \quad b^{2}+c^{2}\geq 2bc\: .....(1)\\ &\textrm{Jika ketaksamaan}\quad (1),(2), \& \: (3)\: \: \textrm{dijumlahkan}\\ &\textrm{akan didapatkan bentuk}\\ &2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\geq 2ab+2ac+2bc\\ &\Leftrightarrow \: a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc\quad \blacksquare  \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 18.&\textrm{Untuk}\: \: a,b,c\: \: \textrm{bilangan real, dengan}\\ &a^{2}+b^{2}+c^{2}=7\: \: \textrm{dan}\: \: ab+bc+ca=4\\  &\textrm{Tentukan nilai terbesar dari}\: \: ab\\\\  &\textbf{Jawab}:\\   &\begin{aligned}&\textrm{Pada}\: \: \color{red}\textrm{no. 17}\: \:  \color{black}\textrm{di atas telah ditunjukkan}\\ & 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2ab+2bc+2ca\\  &\textrm{dari bukti di atas, kita mendapatkan}\\ &\textrm{bentuk}\: \:  2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2ab+\color{blue}bc+ca\\ &\textrm{Sehingga}\\ &2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq ab+ab+bc+ca\\ &\Leftrightarrow \: 2(7)\geq ab+(4)\\ &\Leftrightarrow \: 14-4\geq ab\\ &\Leftrightarrow \: \quad\quad 10\geq ab\\ &\textrm{Jadi, maksimum nilai}\: \: ab\: \: \textrm{adalah 10} \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 19.&\textrm{Diketahui}\: \: a,\: b,\: c\: \: \textrm{sisi segitiga}\\ &\textrm{Tunjukkan bahwa}\: \: \displaystyle \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\\\\ &\textbf{Bukti}\\  &\begin{aligned}a+b+c+\sqrt[3]{abc}&=(a+b)+\left (c+\sqrt[3]{abc}  \right )\\ &\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c\times \sqrt[3]{abc}}\\ &\geq 2\left ( 2\sqrt{\sqrt{ab}\times\sqrt{c\times \sqrt[3]{abc}}}  \right )\\ &\geq 4\sqrt{\sqrt{abc}\times\sqrt{ \sqrt[3]{abc}}}\\ &\geq 4\sqrt{(abc)^{.^{\frac{1}{2}}}\times (abc)^{.^{\frac{1}{6}}}}\\ &\geq 4\sqrt{(abc)^{.^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}}}\\ &\geq 4\sqrt{(abc)^{.^{\frac{2}{3}}}}\\ &\geq 4\sqrt{(abc)^{.^{\frac{1}{3}}}}\\ &\geq 4\sqrt[3]{abc}\\ a+b+c&\geq 4\sqrt[3]{abc}-\sqrt[3]{abc}\\ &\geq 3\sqrt[3]{abc}\\ \displaystyle \frac{a+b+c}{3}&\geq \sqrt[3]{abc}\qquad \blacksquare   \end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 20.&\textrm{Diketahui}\: \: a,\: b,\: c\: \: \textrm{sisi segitiga}\\ &\textrm{Tunjukkan bahwa}\: \: \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\\\\ &\textbf{Bukti}\\  &\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa sebelumnya}\\ &\textrm{telah ditunjukkan untuk sembarang}\\ &a,b,c\: \: \textrm{real positif akan berlaku}\\ &\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\\ &\color{red}\textrm{lihat bukti yang ditunjukkan no.18}\\ &\color{red}\textrm{di atas}\color{black},\: \textrm{maka}\\ &\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\geq \sqrt[3]{\displaystyle \frac{a}{b}\times \frac{b}{c}\times \frac{c}{a}}\\ &\Leftrightarrow \: \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\geq 1\\ &\Leftrightarrow \: \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\qquad \blacksquare  \end{aligned} \end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Idris, M., Rusdi, I. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.