Contoh Soal 4 (Segitiga dan Ketaksamaan)

 $\begin{array}{l}\\ 16.& \text{Buktikan bahwa setiap bilangan real}\\ & \text{positif}a\text{dan}b\text{berlaku}{a}^2+b^2\ge 2ab\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}(a-b{)}^2\ge 0\\ & \text{adalah benar, maka}\\ & (a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\ge 0\\ & \iff a^2+b^2\ge 2ab◼\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 17.& \text{Buktikan bahwa setiap bilangan real}\\ & \text{positif}a,b\text{dan}c\text{berlaku}\\ & a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}(a-b{)}^2\ge 0\\ & (a-c{)}^2\ge 0,\text{dan}(b-c{)}^2\ge 0\\ & \text{adalah benar, maka}\\ & (a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\ge 0\\ & \iff a^2+b^2\ge 2ab.....(1)\\ & \text{Dengan cara yang kurang lebih sama}\\ & \text{akan didapatkan}\\ & \bullet a^2+c^2\ge 2ac.....(2)\\ & \bullet b^2+c^2\ge 2bc.....(1)\\ & \text{Jika ketaksamaan}(1),(2),\mathrm{\&}(3)\text{dijumlahkan}\\ & \text{akan didapatkan bentuk}\\ & 2a^2+2b^2+2c^2\ge 2ab+2ac+2bc\\ & \iff a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc◼\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 18.& \text{Untuk}a,b,c\text{bilangan real, dengan}\\ & a^2+b^2+c^2=7\text{dan}ab+bc+ca=4\\ & \text{Tentukan nilai terbesar dari}ab\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Pada}\text{no. 17}\text{di atas telah ditunjukkan}\\ & 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2ab+2bc+2ca\\ & \text{dari bukti di atas, kita mendapatkan}\\ & \text{bentuk}2(a^2+b^2+c^2)\ge 2ab+bc+ca\\ & \text{Sehingga}\\ & 2(a^2+b^2+c^2)\ge ab+ab+bc+ca\\ & \iff 2(7)\ge ab+(4)\\ & \iff 14-4\ge ab\\ & \iff 10\ge ab\\ & \text{Jadi, maksimum nilai}ab\text{adalah 10}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 19.& \text{Diketahui}a,b,c\text{sisi segitiga}\\ & \text{Tunjukkan bahwa}{\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \begin{array}{rl}a+b+c+\sqrt[3]{abc}& =(a+b)+(c+\sqrt[3]{abc})\\ & \ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c\times \sqrt[3]{abc}}\\ & \ge 2\left(2\sqrt{\sqrt{ab}\times \sqrt{c\times \sqrt[3]{abc}}}\right)\\ & \ge 4\sqrt{\sqrt{abc}\times \sqrt{\sqrt[3]{abc}}}\\ & \ge 4\sqrt{(abc{)}^{{.}^{\frac{1}{2}}}\times (abc{)}^{{.}^{\frac{1}{6}}}}\\ & \ge 4\sqrt{(abc{)}^{{.}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}}}\\ & \ge 4\sqrt{(abc{)}^{{.}^{\frac{2}{3}}}}\\ & \ge 4\sqrt{(abc{)}^{{.}^{\frac{1}{3}}}}\\ & \ge 4\sqrt[3]{abc}\\ a+b+c& \ge 4\sqrt[3]{abc}-\sqrt[3]{abc}\\ & \ge 3\sqrt[3]{abc}\\ {\displaystyle \frac{a+b+c}{3}}& \ge \sqrt[3]{abc}◼\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 20.& \text{Diketahui}a,b,c\text{sisi segitiga}\\ & \text{Tunjukkan bahwa}{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa sebelumnya}\\ & \text{telah ditunjukkan untuk sembarang}\\ & a,b,c\text{real positif akan berlaku}\\ & {\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}}\\ & \text{lihat bukti yang ditunjukkan no.18}\\ & \text{di atas},\text{maka}\\ & {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}}{3}\ge \sqrt[3]{{\displaystyle \frac{a}{b}\times \frac{b}{c}\times \frac{c}{a}}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}}{3}\ge 1}\\ & \iff {\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3◼}\end{array}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Idris, M., Rusdi, I. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.