Lanjutan Materi 1 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

 2. Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear Kuadrat (SPtDVLK)

Bentuk Persamaan (SPDVLK)

$\begin{aligned}&\textrm{Bentuk Umum}:\\ &\qquad\begin{cases} ax+by+c=0 \\ px^{2}+qy^{2}+rxy+sx+ty+u=0 \end{cases} \end{aligned}$.

Perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{|c|l|}\hline 1.&\textrm{Penyelesaian}\\ &y=y\\\hline 2.&\textrm{Proses}:\\ &\begin{aligned}&ax+b=px^{2}+qx+r\\ &\textrm{diubah ke bentuk umum}\\ &Ax^{2}+Bx+C=0\\ &\textrm{dengan}\\ &D=B^{2}-4AC \end{aligned}\\\hline 3.&\textrm{Sebagai Penjelasan}\\ &\begin{aligned} D&> 0\\ &\textrm{SPDVLK mempunyai }\\ &\textrm{2 penyelesaian berbeda}\\ D&=0\\ &\textrm{SPDVLK mempunyai }\\ &\textrm{1 penyelesaian saja}\\ D&< 0\\ &\textrm{SPDVLK tidak }\\ &\textrm{mempunyai penyelesaian} \end{aligned}\\\hline \end{array}$.

Bentuk Pertidaksamaan (SPtDVLK)

$\begin{aligned}&\textrm{Bentuk Umum}:\\ &y\geq ax^{2}+bx+c\\ &y\leq px+q\\\\ &\underline{\textrm{Catatan}}:\\ &\textrm{Tanda Ketaksamaan bisa diganti}\\ &\textrm{dengan tanda ketaksamaan yang}\\ &\textrm{lainnya} \end{aligned}$

Bentuk Pertidaksamaan dari SPtDVLK adalah wilayah atau daerah dengan menentukan penyelesaian seperti persamaan langkah awalnya kemudian dibuatkan wilayah yang menunjukkan pertidaksamaannya. Wilayah SPtDVLK ini adalah irisan antara wilayah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dan wilayah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Carilah ada/tidaknya penyelesaian }\\ &\textrm{dari SPDVLK berikut ini}\\ &\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x^{2}-3x+2 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jika ada, sketsalah tafsiran geometrinya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\\ &\begin{cases} y=-x+2 \\ y= x^{2}-3x+2 \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &y=y\\ &x^{2}-3x+2=-x+2\\ &x^{2}-2x=0\\ &x(x-2)=0\\ &x=0\quad \textrm{atau}\quad x=2\\ &\textrm{selanjutnya}\: \textbf{hasil ini dapat kita}\\ &\textrm{substitusikan ke}\: \: y=-x+2\\ &\textrm{untuk mendapatkan nilai}\: \: \: \: y\: \: \: \: \textrm{yaitu}:\\ &\begin{cases} x=0 & \Rightarrow y=-0+2=2 ,\quad \textrm{diperoleh titik}\quad (0,2)\\ x=2 & \Rightarrow y=-2+2=0 ,\quad \textrm{diperoleh juga titik}\quad (2,0) \end{cases}\\ &\\ &\textrm{sehingga HP-nya}=\left \{ (0,2),(2,0) \right \}\end{aligned} \end{array}$.

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian }\\ &\textrm{dari SPtDVLK berikut ini}\\ &\begin{cases} x+y<4 \\ y\geq x^{2}-9 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jika ada, sketsalah tafsiran geometrinya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{array}{ll}\\ \textbf{a}.&\textrm{Pembuat nol fungsi}\: ,\: y=f(x)=x^{2}-9,\\ & \textrm{yaitu}:\\ &x^{2}-9=0\Rightarrow x^{2}=9\Rightarrow x=\pm 3\\ &\textrm{Jadi titik potongnya}:(-3,0)\: \: \textrm{dan}\: \: (3,0)\\ &\textrm{Titik puncak grafik fungsinya}\: \left ( x_{ss},y \right ),\\ &\textrm{yaitu}:\\ &x_{ss}=-\displaystyle \frac{b}{a}\: \: \textrm{atau}\: \: x_{ss}=\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\\ &\Rightarrow x_{ss}=\displaystyle \frac{3+(-3)}{2}=\frac{0}{2}=\color{red}0\color{black},\: \: \textrm{maka}\\ &y=f(\color{red}0\color{black})=0^{2}-9=-9\\ &\textrm{Jadi, titik puncaknya}:\: (0,-9)\\ \textbf{b}.&\textrm{Melakukan uji titik untuk menentukan}\\ &\textrm{wilayah pertidaksamaan, yaitu}:\\ &\textrm{Ambil titik bebas saja, misal kita pilih}\\ &\textrm{titik}\: \: (0,0),\: \textrm{maka}\\ &\begin{aligned}(0,0)&\Rightarrow y\geq x^{2}-9\\ &0\geq 0^{2}-9\Rightarrow 0\geq -9\: \: \textbf{benar}\\ (0,0)&\Rightarrow x+y<4\: \: \textrm{juga}\: \textbf{benar}\\ &0+0<4\Rightarrow 0<4 \end{aligned}\\ &\textrm{ini berarti wilayah yang di dalamnya}\\ &\textrm{terdapat titik uji}\: \: (0,0)\: \: \textrm{merupakan}\\ &\textrm{wilayah penyelesaian kedua pertidaksamaan}\\ &\textrm{tersebut}\\ \textbf{c}.&\textrm{Menggambar wilayah pertidaksamaan}\\ &\textrm{berikut ilustrasi gambarnya} \end{array} \end{array}$.

atau

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukan himpunan penyelesaian }\\ &\textrm{dari SPtDVLK berikut ini}\\ &\begin{cases} y\leq -x+2 \\ y\geq x^{2}-3x+2 \end{cases}\\\\ &\textrm{Jika ada, sketsalah tafsiran geometrinya}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan cara sama seperti no. 2}:\\ &\textrm{ditambah dengan}\\ &\begin{cases} y=-x+2 \\ y= x^{2}-3x+2 \end{cases}\\ &\textrm{maka}\\ &y=y\\ &x^{2}-3x+2=-x+2\\ &x^{2}-2x=0\\ &x(x-2)=0\\ &x=0\quad \textrm{atau}\quad x=2\\ &\textrm{selanjutnya}\: \textbf{hasil ini dapat kita}\\ &\textrm{substitusikan ke}\: \: y=-x+2\\ &\textrm{untuk mendapatkan nilai}\: \: \: \: y\: \: \: \: \textrm{yaitu}:\\ &\begin{cases} x=0 & \Rightarrow y=-0+2=2 ,\quad \textrm{diperoleh titik}\quad (0,2)\\ x=2 & \Rightarrow y=-2+2=0 ,\quad \textrm{diperoleh juga titik}\quad (2,0) \end{cases}\\ &\\ &\textrm{sehingga titik potongnya}=\left \{ (0,2),(2,0) \right \}\\ &\textrm{Dan wilayah solusinya adalah irisan}\\ &\textrm{dari kedua pertidaksamaan tersebut}\\ &\textrm{Berikut Gambar wilayahnya} \end{aligned} \end{array}$.

atau