Lanjutan Materi 2 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

 3. Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Kuadrat dan Kuadrat (SPDVKK)

Bentuk Persamaan (SPDVKK)

$\begin{array}{rl}& \text{Bentuk Umum}:\\ & \{\begin{array}{l}a{x}^2+b{y}^2+cxy+dx+ey+f=0\\ p{x}^2+q{y}^2+rxy+sx+ty+u=0\end{array}\end{array}$.

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|cl|}\hline 1.& \text{Penyelesaian}\\ & y=y\\ 2.& \text{Proses}:\\ & \begin{array}{rl}& a{x}^2+bx+c=p{x}^2+qx+r\\ & \text{dengan}\text{syarat}\\ & a-p\ne 0\\ & \text{diubah kebentuk umum}\\ & A{x}^2+Bx+C=0\\ & \text{dengan}\\ & D=B^2-4AC\end{array}\\ 3.& \text{Sebagai Penjelasan}\\ & \begin{array}{rl}D& >0\\ & \text{SPDVKK mempunyai }\\ & \text{2 penyelesaian berbeda}\\ D& =0\\ & \text{SPDVKK mempunyai }\\ & \text{1 penyelesaian saja}\\ D& <0\\ & \text{SPDVKK tidak }\\ & \text{mempunyai penyelesaian}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Bentuk Pertidaksamaan (SPtDVKK)

$\begin{array}{rl}& \text{Bentuk Umum}:\\ & y\ge a{x}^2+bx+c\\ & y\le p{x}^2+qx+r\\ \\ & \underset{―}{\text{Catatan}}:\\ & \text{Tanda Ketaksamaan bisa diganti}\\ & \text{dengan tanda ketaksamaan yang}\\ & \text{lainnya}\end{array}$

Bentuk Pertidaksamaan dari SPtDVKK adalah wilayah atau daerah dengan menentukan penyelesaian seperti persamaan langkah awalnya kemudian dibuatkan wilayah yang menunjukkan pertidaksamaannya. Wilayah SPtDVKK ini adalah irisan antara wilayah penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat yang pertama dengan wilayah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yang kedua.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Carilah ada/tidaknya penyelesaian }\\ & \text{dari SPDVKK berikut ini}.\\ \\ & \{\begin{array}{l}y=-x^2\\ y=x^2+2x+1\end{array}\\ \\ & \text{dan sketsalah tafsiran geometrinya}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:\\ & \{\begin{array}{l}y=-x^2\\ y=x^2+2x+1\end{array}\\ & \text{substitusikan}y=-x^2\text{ke}y=x^2+2x+1\\ & \text{sehingga diperoleh}\\ & -x^2=x^2+2x+1\\ & 2x^2+2x+1=0\\ & \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-2\\ c=1\end{array}\\ & \text{Karena, nilai}D=b^2-4ac\\ & =(-2{)}^2-4(2)(1)=4-8=-4<0\\ & \text{maka diperoleh keterangan }\\ & \text{bahwa kedua parabola tersebut}\\ & \mathbf{\text{tidak berpotongan dan tidak bersinggungan}}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian }\\ & \text{dari SPtDVLK berikut ini}\\ & \{\begin{array}{l}y\le 4-x^2\\ y\le x^2-2x-3\end{array}\\ \\ & \text{Jika ada, sketsalah tafsiran geometrinya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{l}\\ \mathbf{\text{a}}.& \text{Pembuat nol fungsi},\{\begin{array}{ll}y& =4-x^2\\ y& =x^2-2x-3\end{array},\\ & \text{yaitu}:\\ & \mathbf{\text{Untuk}}:y=f(x)=4-x^2\\ & 4-x^2=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2\\ & \text{Jadi titik potongnya}:(-2,0)\text{dan}(2,0)\\ & \text{Titik puncak grafik fungsinya}(x_{ss},y),\\ & \text{yaitu}:\\ & x_{ss}=-{\displaystyle \frac{b}{a}\text{atau}{x}_{ss}={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}}\\ & \Rightarrow x_{ss}={\displaystyle \frac{2+(-2)}{2}=\frac{0}{2}=0,\text{maka}}\\ & y=f(0)=4-0^2=4\\ & \text{Jadi, titik puncaknya}:(0,4)\\ & \mathbf{\text{Dan untuk}}:y=f(x)=x^2-2x-3\\ & x^2-2x-3=0\Rightarrow (x+1)(x-3)=0\\ & x=-1\text{atau}x=3\\ & \text{Jadi titik potongnya}:(-1,0)\text{dan}(3,0)\\ & \text{Titik puncak grafik fungsinya}(x_{ss},y),\\ & \text{yaitu}:\\ & x_{ss}=-{\displaystyle \frac{b}{a}\text{atau}{x}_{ss}={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}}\\ & \Rightarrow x_{ss}={\displaystyle \frac{(-1)+3}{2}=\frac{2}{2}=1,\text{maka}}\\ & y=f(1)=1^2-2(1)-3=-4\\ & \text{Jadi, titik puncaknya}:(0,-4)\\ \mathbf{\text{b}}.& \text{Melakukan uji titik untuk menentukan}\\ & \text{wilayah pertidaksamaan, yaitu}:\\ & \text{Ambil titik bebas saja, misal kita pilih lagi}\\ & \text{titik}(0,0),\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}(0,0)& \Rightarrow y\le 4-x^2\\ & 0\le 4-0^2\Rightarrow 0\le 4\mathbf{\text{benar}}\\ (0,0)& \Rightarrow y\le x^2-2x-3\\ & 0\le 0^2-2(0)-3\Rightarrow 0\le -3\mathbf{\text{salah}}\end{array}\\ & \text{ini berarti wilayah yang di dalamnya}\\ & \text{terdapat titik uji}(0,0)\text{bukan}\\ & \text{wilayah penyelesaian kedua pertidaksamaan}\\ & \text{tersebut}\\ \mathbf{\text{c}}.& \text{Menggambar wilayah pertidaksamaan}\\ & \text{berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

atau

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M., Akhmad, G., Nurdiansyah, H. 2014. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
2. Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Mata Pelajaran Wajib. Solo: TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

Lanjutan Materi 1 Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

 2. Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Linear Kuadrat (SPtDVLK)

Bentuk Persamaan (SPDVLK)

$\begin{array}{rl}& \text{Bentuk Umum}:\\ & \{\begin{array}{l}ax+by+c=0\\ p{x}^2+q{y}^2+rxy+sx+ty+u=0\end{array}\end{array}$.

Perhatikanlah tabel berikut

$\begin{array}{|cl|}\hline 1.& \text{Penyelesaian}\\ & y=y\\ 2.& \text{Proses}:\\ & \begin{array}{rl}& ax+b=p{x}^2+qx+r\\ & \text{diubah ke bentuk umum}\\ & A{x}^2+Bx+C=0\\ & \text{dengan}\\ & D=B^2-4AC\end{array}\\ 3.& \text{Sebagai Penjelasan}\\ & \begin{array}{rl}D& >0\\ & \text{SPDVLK mempunyai }\\ & \text{2 penyelesaian berbeda}\\ D& =0\\ & \text{SPDVLK mempunyai }\\ & \text{1 penyelesaian saja}\\ D& <0\\ & \text{SPDVLK tidak }\\ & \text{mempunyai penyelesaian}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Bentuk Pertidaksamaan (SPtDVLK)

$\begin{array}{rl}& \text{Bentuk Umum}:\\ & y\ge a{x}^2+bx+c\\ & y\le px+q\\ \\ & \underset{―}{\text{Catatan}}:\\ & \text{Tanda Ketaksamaan bisa diganti}\\ & \text{dengan tanda ketaksamaan yang}\\ & \text{lainnya}\end{array}$

Bentuk Pertidaksamaan dari SPtDVLK adalah wilayah atau daerah dengan menentukan penyelesaian seperti persamaan langkah awalnya kemudian dibuatkan wilayah yang menunjukkan pertidaksamaannya. Wilayah SPtDVLK ini adalah irisan antara wilayah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dan wilayah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Carilah ada/tidaknya penyelesaian }\\ & \text{dari SPDVLK berikut ini}\\ & \{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=x^2-3x+2\end{array}\\ \\ & \text{Jika ada, sketsalah tafsiran geometrinya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:\\ & \{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=x^2-3x+2\end{array}\\ & \text{maka}\\ & y=y\\ & x^2-3x+2=-x+2\\ & x^2-2x=0\\ & x(x-2)=0\\ & x=0\text{atau}x=2\\ & \text{selanjutnya}\mathbf{\text{hasil ini dapat kita}}\\ & \text{substitusikan ke}y=-x+2\\ & \text{untuk mendapatkan nilai}y\text{yaitu}:\\ & \{\begin{array}{ll}x=0& \Rightarrow y=-0+2=2,\text{diperoleh titik}(0,2)\\ x=2& \Rightarrow y=-2+2=0,\text{diperoleh juga titik}(2,0)\end{array}\\ & \\ & \text{sehingga HP-nya}=\{(0,2),(2,0)\}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian }\\ & \text{dari SPtDVLK berikut ini}\\ & \{\begin{array}{l}x+y<4\\ y\ge x^2-9\end{array}\\ \\ & \text{Jika ada, sketsalah tafsiran geometrinya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{l}\\ \mathbf{\text{a}}.& \text{Pembuat nol fungsi},y=f(x)=x^2-9,\\ & \text{yaitu}:\\ & x^2-9=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3\\ & \text{Jadi titik potongnya}:(-3,0)\text{dan}(3,0)\\ & \text{Titik puncak grafik fungsinya}(x_{ss},y),\\ & \text{yaitu}:\\ & x_{ss}=-{\displaystyle \frac{b}{a}\text{atau}{x}_{ss}={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}}\\ & \Rightarrow x_{ss}={\displaystyle \frac{3+(-3)}{2}=\frac{0}{2}=0,\text{maka}}\\ & y=f(0)=0^2-9=-9\\ & \text{Jadi, titik puncaknya}:(0,-9)\\ \mathbf{\text{b}}.& \text{Melakukan uji titik untuk menentukan}\\ & \text{wilayah pertidaksamaan, yaitu}:\\ & \text{Ambil titik bebas saja, misal kita pilih}\\ & \text{titik}(0,0),\text{maka}\\ & \begin{array}{rl}(0,0)& \Rightarrow y\ge x^2-9\\ & 0\ge 0^2-9\Rightarrow 0\ge -9\mathbf{\text{benar}}\\ (0,0)& \Rightarrow x+y<4\text{juga}\mathbf{\text{benar}}\\ & 0+0<4\Rightarrow 0<4\end{array}\\ & \text{ini berarti wilayah yang di dalamnya}\\ & \text{terdapat titik uji}(0,0)\text{merupakan}\\ & \text{wilayah penyelesaian kedua pertidaksamaan}\\ & \text{tersebut}\\ \mathbf{\text{c}}.& \text{Menggambar wilayah pertidaksamaan}\\ & \text{berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

atau

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Tentukan himpunan penyelesaian }\\ & \text{dari SPtDVLK berikut ini}\\ & \{\begin{array}{l}y\le -x+2\\ y\ge x^2-3x+2\end{array}\\ \\ & \text{Jika ada, sketsalah tafsiran geometrinya}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Dengan cara sama seperti no. 2}:\\ & \text{ditambah dengan}\\ & \{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=x^2-3x+2\end{array}\\ & \text{maka}\\ & y=y\\ & x^2-3x+2=-x+2\\ & x^2-2x=0\\ & x(x-2)=0\\ & x=0\text{atau}x=2\\ & \text{selanjutnya}\mathbf{\text{hasil ini dapat kita}}\\ & \text{substitusikan ke}y=-x+2\\ & \text{untuk mendapatkan nilai}y\text{yaitu}:\\ & \{\begin{array}{ll}x=0& \Rightarrow y=-0+2=2,\text{diperoleh titik}(0,2)\\ x=2& \Rightarrow y=-2+2=0,\text{diperoleh juga titik}(2,0)\end{array}\\ & \\ & \text{sehingga titik potongnya}=\{(0,2),(2,0)\}\\ & \text{Dan wilayah solusinya adalah irisan}\\ & \text{dari kedua pertidaksamaan tersebut}\\ & \text{Berikut Gambar wilayahnya}\end{array}\end{array}$.

atau

Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Sebelumnya telah diketahui sistem persamaan linear dua variabel, silahkan lihat di sini.

1. Sistem Persamaan Dua Variabel Linear dan Kuadrat

Sebelumnya akan kita singgung dulu fungsi linear dan kuadrat sebagai mana tabel berikut:

Fungsi Linear

$\begin{array}{rl}& \\ \text{Fungsi}& \text{Linear adalah}:\\ & \text{fungsi di aman fungsi yang }\\ & \text{hanya memiliki satu variabel}\\ & \text{atau peubah dan berpangkat satu}.\\ \\ \text{Misal},& f:x\mapsto ax+b\\ & \end{array}$.

Dalam menentukan persamaan linear/garis lurus adalah:

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Melalui titik}(x_1,y_1)& \text{Melalui titik}(x_1,y_1)\\ \text{dan bergradien}m& \text{dan}(x_2,y_2)\\ y=m(x-x_1)+y_1& {\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}={\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}}}\\ & \begin{array}{rl}\text{dengan}:& \\ m& ={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\end{array}\\ \text{Sejajar dengan}& \text{Tegak lurus dengan}\\ \text{garis bergradien}{m}_1& \text{garis bergradien}{m}_1\\ \text{Syarat dua garis}& \text{Syarat dua garis}\\ \text{Sejajar}{m}_1=m_2& \text{Tegak lurus}{m}_1\times m_2=-1\\ y=m_2(x-x_1)+y_1& y=-{\displaystyle \frac{1}{m_2}(x-x_1)+y_1}\\ \hline\end{array}$

Fungsi Kuadrat

$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Pengertian}& \begin{array}{rl}& \text{Suatu fungsi yang berbentuk}\\ & f(x)=a{x}^2+bx+c\\ & a,b,c,\in \mathbb{R},a\ne 0\end{array}\\ \text{Grafik Fungsi}& \text{Keterangan}\\ \text{Titik potong sumbu x}& \text{Jika ada}\\ & \begin{array}{rl}& \text{untuk titik potong}\\ & \text{terhadap sumbu x }\\ & \text{Jika y = 0 maka }\\ & a{x}^2+bx+c=0\\ & \text{Selanjutnya tinggal}\\ & \text{menentukan nilai D}\\ & D=b^2-4ac\text{adalah}\\ & \text{nilai diskriminan}.\\ & \text{Jika}D>0\\ & \text{maka grafik}\\ & \text{memotong sumbu x}\\ & \text{di dua tempat berbeda}\\ & \text{yaitu di}(x_1,0)\text{dan}(x_2,0).\\ & \text{dan jika D = 0}\\ & \text{maka grafik}\\ & \text{ hanya menyinggung}\\ & \text{sumbu x di satu titik}\\ & \text{yaitu di }(x_1,0)\\ & \text{dan jika}D<0\\ & \text{maka grafik}\\ & \text{tidak memotong}\\ & \text{atau menyinggung sumbu x}\end{array}\\ \text{Titik potong sumbu y}& \begin{array}{rl}& \text{titik potong terhadap}\\ & \text{sumbu y, jika x = 0}\\ & y=f(x)=a{x}^2+bx+c\\ & y=f(0)=a(0{)}^2+b(0)+c\\ & y=c\end{array}\\ \text{Sumbu Simetri (SS)}& x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}\\ \text{Titik Puncak}& \left({\displaystyle \frac{-b}{2a},{\displaystyle \frac{D}{-4a}}}\right)\\ \text{Posisi grafik}& \text{Jika}a>0\text{maka}\\ & \text{grafik terbuka ke atas}\\ & \text{Dan jika nilai}a<0\text{maka}\\ & \text{grafik terbuka ke bawah}\\ \hline\end{array}$.

Selanjutnya cara membuat grafik fungsi kudratnya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Jika memotong sumbu}-\text{X}& \text{Jika menyinggung sumbu}-\text{X}\\ \text{di titik}(x_1,0)\text{dan}(x_2,0)& \text{di titik}(x_1,0)\text{dan melalui}\\ \text{dan melalui sebuah titik lain}& \text{sebuah titik lain}\\ & \\ y=f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)& y=f(x)=a{(x-x_1)}^2\\ & \\ \text{Jika grafik fungsi itu melalui}& \text{Jika grafik fungsi itu melalui}\\ \text{Titik puncak}P(x_p,y_p)\text{dan}& \text{tiga buah titik yaitu}(x_1,y_1)\\ \text{sebuah titik lain}& (x_2,y_2)\text{dan}(x_3,y_3)\\ & \\ y=f(x)=a{(x-x_p)}^2+y_p& y=f(x)=a{x}^2+bx+c\\ & \\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika}f\text{adalah fungsi linear dengan}\\ & f(2)-f(-2)=8,\\ & \text{maka nilai dari}f(4)-f(-2)\text{adalah}....\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}:\\ & f(x)=ax+b\\ & f(2)-f(-2)\\ & =(a(2)+b)-(a(-2)+b)=8\\ & 8=2a+2a\\ & 8=4a\\ & 2=a\\ & f(x)=2x+b,\text{dengan}b\text{konstan}\\ & \text{Sehingga nilai}\\ & f(4)-f(-2)=(2(4)+b)-(2(-2)+b)\\ & =8+b+4-b\\ & =12\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Ubahlah}8-6x-x^2\text{ke dalam bentuk}\\ & a-(x+b{)}^2,\text{selanjutnya tentukan}\\ & \text{daerah hasil dari}f(x)=8-6x-x^2\\ & \text{untuk}x\text{bilangan real}\\ & (\mathit{\text{NTU Entrance Examination AO-level}})\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{|cl|}\hline 1.& \text{Diketahui}\\ & \begin{array}{rl}\text{Misal}& \\ 8-6x-x^2& =f(x)\\ f(x)& =-x^2-6x+8\\ & =-(x^2+6x-8)\\ & =-(x^2+6x+9-17)\\ & =-((x+3{)}^2-17)\\ & =-(x+3{)}^2+17\\ & \end{array}\\ 2.& \text{Mencari koordinat}(x_{SS},y_{SS})\\ & \begin{array}{rl}f(x)& =-x^2-6x+8\{\begin{array}{c}a=-1\\ b=-6\\ c=8\end{array}\\ \text{Maka}& \\ x_{SS}& =\frac{-b}{2a}={\displaystyle \frac{-(-6)}{2(-1)}}\\ & =-3\\ y_{SS}& =f(-3)=-{(-3+3)}^2+17=17\\ \therefore & (x_{SS},y_{SS})=(-3,17)\end{array}\\ 3.& \text{Nilai fungsi}\\ & \begin{array}{rl}\text{Karena}& a=-1<0\\ \text{maka f}& \text{ungsi menghadap}\\ \mathbf{\text{ke ba}}& \mathbf{\text{wah}},\text{sehingga}\\ \text{daerah}& \text{hasilnya}\left(R_f\right)\\ \text{adalah}& :\\ & \{-\mathrm{\infty }<y\le 17\}\\ & \\ & \text{Berikut ilustrasinya}\end{array}\\ \hline\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Jika}\alpha \text{dan}\beta \text{adalah akar-akar dari }\\ & \text{persamaan kuadrat}{x}^2+mx+m=0,\\ & \text{maka nilai}m\text{yang menyebabkan }\\ & \text{jumlah kuadrat akar-akar mencapai}\\ & \text{minimum adalah}....\\ & \mathbf{\text{(UM UNDIP 2014 Mat Das)}}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Diketahui}{x}^2+mx+m=0\\ & \mathbf{\text{persamaan kuadrat}}\text{dalam}x,\\ & \text{maka}\\ & x^2+mx+m=x^2-(\alpha +\beta )x+(\alpha \beta )=0\\ & \{\begin{array}{ll}\alpha +\beta & =-m\\ & \\ \alpha \beta & =m\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & {\alpha }^2+{\beta }^2={(\alpha +\beta )}^2-2\alpha \beta \\ & =(-m{)}^2-2m\text{dan dapat kita tuliskan sebagai}\\ & f(m)=m^2-2m\{\begin{array}{ll}a& =1\\ b& =-2\\ c& =0\end{array}\\ & \text{fungsi kuadrat dalam}m,\\ & \text{sehingga kita perlu mencari titik}(m_{SS},f\left(m_{SS}\right)),\\ & \text{tetapi yang kita perlukan}\\ & \text{cuma}m-\text{nya saja, yaitu}:m=m_{SS},\\ & \text{dengan}{m}_{SS}={\displaystyle \frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2.1}=1}\end{array}\end{array}$.