PAS MATEMATIKA BLOG: Contoh Soal 8 (Segitiga dan Ketaksamaan)

$\begin{array}{ll} 36. & Jika a, b, c > 0, dengan a + b + c = 1 \\ tunjukkan bahwa \\ (1 - a) (1 - b) (1 - c) \geq 8 a b c \\ Bukti \\ \begin{aligned} Perhatikan bahwa \\ {\begin{cases} 1 - a & = b + c \\ 1 - b & = a + c \\ 1 - c & = a + b \end{cases} \\ Kurang lebih seperti pembuktian \\ pada no.35 di atas dengan tetap \\ menggunakan AM-GM akan \\ didapatkan \\ ∙ a + b \geq 2 \sqrt{a b} \\ ∙ b + c \geq 2 \sqrt{b c}, dan \\ ∙ c + a \geq 2 \sqrt{c a} \\ Selanjutnya \\ (1 - a) (1 - b) (1 - c) = (b + c) (a + c) (a + b) \\ \geq 2 \sqrt{b c} \times 2 \sqrt{a c} \times 2 \sqrt{a b} \\ \geq 8 \sqrt{a^{2} b^{2} c^{2}} \\ \geq 8 a b c ◼ \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 37. & Misalkan a, b, c bilangan real positif \\ dengan nilai a b c = 1. Nilai terkecil \\ dari (a + 2 b) (b + 2 c) (a c + 1) tercapai \\ ketika a + b + c bernilai . . . . \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Dengan AM-GM kita dapatkan \\ ∙ a + 2 b \geq 2 \sqrt{2 a b} \\ ∙ b + 2 c \geq 2 \sqrt{2 b c} \\ ∙ a c + 1 \geq 2 \sqrt{a c} \\ Selanjutnya \\ (a + 2 b) (b + 2 c) (a c + 1) \geq 2 \sqrt{2 a b} \times 2 \sqrt{2 b c} \times 2 \sqrt{a c} \\ \geq 8 \sqrt{4 a^{2} b^{2} c^{2}} \\ \geq 8 \times 2 a b c \\ \geq 16 \times 1 \\ \geq 16 \\ Karena a b c = 1, dengan cara coba-coba \\ dapat kita peroleh nilai \\ a = 2, b = 1, dan c = \frac{1}{2} \\ Kita cek ke (a + 2 b) (b + 2 c) (a c + 1) \geq 16 \\ (2 + 2) (1 + 1) (1 + 1) \geq 16 adalah benar \\ Sehingga nilai a + b + c = 2 + 1 + \frac{1}{2} = 3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 38. & Diketahui a, b, c bilangan real positif \\ dan (a + 1) (b + 1) (c + 1) = 8. \\ tunjukkan bahwa a b c < 1 \\ Bukti \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa \\ (a + 1) (b + 1) (c + 1) = 8 \\ a b c + (a b + b c + c a) + (a + b + c) + 1 = 8 \\ Dengan AM-GM kita akan mendapatkan \\ a b c + 3 (a b c)^{.^{\frac{2}{3}}} + 3 (a b c)^{.^{\frac{1}{3}}} + 1 < 8 \\ \Leftrightarrow {((a b c)^{.^{\frac{1}{3}}} + 1)}^{3} < 2^{3} \\ \Leftrightarrow (a b c)^{.^{\frac{1}{3}}} + 1 < 2 \\ \Leftrightarrow (a b c)^{.^{\frac{1}{3}}} < 1 ◼ \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 39. & Jika a, b, c > 0 \\ Tunjukkan bahwa \\ \frac{a}{a^{2} + 1} + \frac{b}{b^{2} + 1} + \frac{c}{c^{2} + 1} \leq \frac{3}{2} \\ Bukti \\ \begin{aligned} Perhatikan bahwa \\ (a - 1)^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow a^{2} - 2 a + 1 \geq 0 \\ \Leftrightarrow a^{2} + 1 \geq 2 a \\ \frac{1}{2} \geq \frac{a}{a^{2} + 1} \\ atau \\ \frac{a}{a^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) \\ dengan cara yang sama akan \\ pula jiika b dan c dikondisikan \\ akan didapatkan ketaksamaan \\ \frac{b}{b^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) \\ \frac{c}{c^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) \\ Jika ketaksamaan (1), (2), & (3) \\ dijumlahkan akan menghasilkan \\ \frac{a}{a^{2} + 1} + \frac{b}{b^{2} + 1} + \frac{c}{c^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ \leq 3 (\frac{1}{2}) \\ \leq \frac{3}{2} ◼ \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 40. & Jika a, b, c adalah sisi-sisi segitiga \\ ABC, tunjukkan bahwa \\ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < 2 \\ Bukti \\ \begin{aligned} Perhatikan bahwa pada segitiga \\ ABC berlaku \\ {\begin{cases} a + b & > c \\ a + c & > b \\ b + c & > a \end{cases} \\ Misalkan 2 s = a + b + c, maka \\ a + b = a + b \\ \Leftrightarrow a + b + a + b > a + b + c \\ \Leftrightarrow 2 (a + b) > 2 s \\ \Leftrightarrow (a + b) > s \\ Demikian juga akan berlaku \\ {\begin{cases} b + c & > s \\ c + a & > s \end{cases} \\ Sehingga \\ {\begin{cases} \frac{a}{b + c} & < \frac{a}{s} \\ \frac{b}{c + a} & < \frac{b}{s} \\ \frac{c}{a + b} & < \frac{c}{s} \end{cases} \\ Selanjutnya kita kembali ke soal \\ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < \frac{a + b + c}{s} \\ < \frac{2 s}{s} \\ < 2 ◼ \end{aligned} \end{array}$ .

PAS MATEMATIKA BLOG

Contoh Soal 8 (Segitiga dan Ketaksamaan)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar