Lanjutan Materi 1 Segitiga dan Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

1. Identitas Trigonometri dalam Segitiga

Perhatikan segitiga sembarang berikut


Dalam Sebuah segitiga akan berlakuidentitas berikut1.sinα+sinβ+sinγ=4cosα2cosβ2cosγ22.cosα+cosβ+cosγ=4sinα2sinβ2sinγ2+13.tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ4.sin2α+sin2β+sin2γ=2cosαcosβcosγ+25.sin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγ6.cotα2+cotβ2+cotγ2=cotα2+cotβ2+cotγ27.cotαcotβ+cotαcotγ+cotβcotγ=1.

2. Segitiga dan Pertidaksamaan Segitiga

Pada sebuah segitiga pengklasifikasiannya dapat berdasarkan berdasarkan panjang sisinya ataupun jenis sudut-sudutnya. Berikut untuk klasifikasi berdasarkan panjang sisinya

a.sembarangb.samakakic.samasisi.

Dan berdasarkan jenis sudutnya sebuah segitiga dapat dikategorikan dengan

a.lancipb.siku-sikuc.tumpul.

Adapun berkaitan dengan segmen garis yang akan menjadi penyusun sebuah segitiga, maka sebuah segitiga hanya bisa dibuat dari ketiga segmen garis yang mana segemen garis yang terpanjang akan selalu lebih pendek dari pada jumlah panjang kedua segmen garis yang lainnya atau segmen garis yang terpendek akan selalu lebih panjang dari pada selisih panjang dari kedua segemn garis yang lainnya. Sifat tersebut lazim dinamkan dengan ketidaksamaan dalam segitiga.

Pertidaksamaan dalam Segitiga{a+b>ca+c>bb+c>aatau{|ab|<c|ac|<b|bc|<a

3. Ketaksamaan (Inequality)

Di sini yang akan dibahas adalah beberapa ketaksamaan secara umum yang tentunya sebagian berlaku pada segitiga untuk membantu para siswa dijenjang SMP atau SMA atau sederajat juga menjadi pengingat buat penulis sendiri, karena materi ini hampir menuntut daya nalar yang lebih dengan prasyarat telah terbiasa dengan soal-soal semisal aljabar dan trigonometri.

3. 1 Ketaksamaan QM-AM-GM-HM

Dalam setiap soal yang melibatkan ketaksamaan biasanya muncul dalam soal berkategori KSN (Kompetisi Sains Nasional) baik tingkat kabupaten, provinsi bahkan nasional maupun juga KSM (Kompetisi Sains Madrasah) dengan jenjang yang sama serta soal-soal dengan kategori kompetisi yang semisal. Model penyelesaian yang digunakan hampir sering akan melibatkan penggunaan ketaksamaan metode ini, yaitu QM-AM-GM-HM. Pada beberapa contoh soal di bawah dapat Anda cermati tentang penggunaan penyelesaian cara ini demikian pula pada halaman-halaman berikutnya pada blog ini akan dibahas beberapa soal dan diselesaikan dengan cara ini.

Pada segitiga akan berlakuQuadratic Mean=QM=a2+b2+c23Arithmetic Mean=AM=a+b+c3Geometric Mean=GM=abc3Harmonic Mean=HM=31a+1b+1c.

Dengan kata lain QM adalah rataan kuadratik, AM adalah rataan aritmetik, dan GM adalah rataan geometri, serta HM rataan harmoni dan besarnya QMAMGMHM.

Misalkan diberikanx1,x2,x3,,xnbilangan real positif, maka hubungan ketaksamaanQM-AM-GM-HMdapat dituliskanx12+x22+x32++xn2n(QM)x1+x2+x3++xnn(AM)x1.x2.x3xnn(GM)n1x1+1x2+1x3++1xn(HM).

Anda juga bisa klik di sini untuk QM, AM, GM, dan HM.

Misalkan untukn=2maka hubungan ketaksamaannya adalahx12+x222x1+x22x1x221x1+1x2.

Dan misalkan untukn=3maka hubungan ketaksamaannya adalahx12+x22+x323x1+x2+x33x1x2x3331x1+1x2+1x3.

Demikian seterusnya.

CONTOH SOAL.

1.Jikaα,β,danγadalah sudutpada segitiga ABC, buktikan bahwasin2α+sin2β+sin2γ=4sinαsinβsinγBuktiDikatahui bahwaα+β=180γMakasin2α+sin2β+sin2γ=2sin(2α+2β2)cos(2α2β2)+2sinγcosγ=2sin(α+β)cos(αβ)+2sinγcosγ=2sinγcos(αβ)+2sinγcosγ=2sinγ(cos(αβ)+cosγ)=2sinγ(cos(αβ)cos(α+β))=2sinγ(2sinαsin(β))=4sinγsinαsinβ=4sinαsinβsinγ.

Catatan: 

Kotak persegi kecil hitam diletakkan diakhir pembuktian menunjukkan pembuktian telah dianggap cukup dan memenuhi

2.Jikaadanbadalah bilangan realpositif, tunjukkan bahwaab+ba2Bukti:Alternatif 1Dengan AM-GMab+ba2ab.baab+ba21ab+ba2Alternatif 2(abba)20ab2+ba0ab+ba2.

3.Untuk sembarangx>0Tunjukkan bahwax21+x412Bukti:Alternatif 1Perhatikan bahwa(x21)20maka(x21)2=x42x2+10x4+12x212x2x4+112x2x2+1ataux2x4+112Alternatif 2Dengan AM-GM1+x421×x41+x42x21+x4x22x21+x412Alternatif 3x21+x4=11x2+x2Dengan AM-GM1x2+x221x2×x21x2+x22111x2+x22121x2+x22111x2+x221211x2+x22=x21+x412.

4.Jikaa,b,cadalah sisi segitiga yangmemenuhia+b+c=1,tunjukkanbahwaab+ac+bc12Bukti:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc2ab+2ac+2bc=1(a2+b2+c2)ab+bac+bc=1212(a2+b2+c2)ab+bac+bc12.

5.Jikaa,b,cadalah bilangan real positifdengana+b+c=1,tunjukkanbahwa(1a1)(1b1)(1c1)8Bukti:Telah diketahui bahwa:a+b+c=1Dengan ketaksamaan AM-GM kitabisa mendapatkana+b2aba+b2abb+c2bcb+c2bcc+a2cac+a2caSelanjutnya kembali kepersoalan, yaitu:(1a1)(1b1)(1c1)=(1aa)(1bb)(1cc)=(b+ca)(a+cb)(a+bc)(2bca)(2acb)(2abc)(8(abc)2abc)8abcabc8.

6.Jikaa,b,cadalah bilangan real positifdengana+b+c=1,tunjukkanbahwa(1a+1)(1b+1)(1c+1)64Bukti:(1a+1)(1b+1)(1c+1)=1abc+(1ab+1bc+1ca)+(1a+1b+1c)+1Dengan AM-GM kita mendapatkan1a+1b+1c31abc31ab+1bc+1ca31(abc)23Kita tulis sintak prosesnya di atas=1+(1a+1b+1c)+(1ab+1bc+1ca)+1abc1+31abc3+31(abc)23+1(abc)331+31abc3+31(abc)23+1(abc)33=(1+1abc3)3Karenaabc3a+b+c3=13,maka(1a+1)(1b+1)(1c+1)(1+1abc3)3(1+1(13))3(1+3)44464.

DAFTAR PUSTAKA

  1. Bintari, N., Gunarto, D. 2007. Panduan Menguasai Soal-Soal Olimpiade Matematika Nasional dan Internasional. Yogyakarta: INDONESIA CERDAS.
  2. Budhi, W.S. 2014. Matematika 4: Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Matematika Sain Nasional/Internasional SMA. Jakarta: TRISULA ADISAKTI.
  3. Young, B. 2009. Seri Buku Olimpiade Matematika Strategi Menyelesaikan Soal-Soal Olimpiade Matematika: Ketaksamaan (Inequality). Bandung: PAKAR RAYA.


Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Informasi