PAS MATEMATIKA BLOG: vector

Tampilkan postingan dengan label vector. Tampilkan semua postingan

Vektor dan Operasi Vektor

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Cross Product): Perkalian Silang Dua Vektor

$C. Perkalian Silang Vektor (Pengayaan)$ .

Pada ruang dimensi tiga khususnya pada vektor akan berlaku perkalian silang (cross vektor) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan vektor tunggal. Misalkan diketahui $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah dua vektor sembarang dan keduanya membentuk sudut $θ$ , maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah sebuah vektor baru dengan dinotasiakan sebagai $\vec{u} \times \vec{v}$ . Tentunya sebagai syarat kedua vektor tersebut masing-masing tidak berupa vektor nol.

Jika $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{c}$ , maka

$\begin{aligned} \vec{u} & \times \vec{v} = \vec{c} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \end{aligned}$

Lalu kalau sudah demikian berapa besarnya? dan ke mana arahnya?

Besarnya adalah $| \vec{u} \times \vec{v} | = | \vec{u} | | \vec{v} | \sin θ$ dan arahnya tegak lurus terhadap $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ .

Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut untuk dua buah vektor sebagai misal $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ .

Jika putarannya dibalik, maka akan mendapatkan hasil sebagai mana ilustrasi berikut

Sehingga perlu diingat bahwa :

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}

Pada hasil kali silang dua vektor berlaku

tidak bersifat komutatif , karena $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$ .
distributif terhadap penjumlahan : $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ .
pada perkalian dengan skalar : $k (\vec{a} \times \vec{b}) = (k \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k \vec{b})$ .
berlaku untuk sembarang vektor : $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ .
jika kedua vektor sejajar, maka hasil kalinya adalah = 0.
Nilai dari perkalian kedua vektor terbut adalah sama dengan hasil luas jajar genjang.
Nilai dari poin 6 jika dibagi 2 akan berupa hasil luas sebuah segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
berlaku identitas Lagrange : ${| \vec{a} \times \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} . {| \vec{b} |}^{2} - {(\vec{a} ∙ \vec{b})}^{2}$ .

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui \vec{a} = 4 \vec{i} + 3 \vec{j} dan \vec{b} = 4 \vec{i} - 3 \vec{k} \\ Tentukanlah hasil \vec{a} \times \vec{b} dan \vec{b} \times \vec{a} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{a} & \times \vec{b} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & - 3 \end{array} | \\ = (- 9 - 0) \vec{i} - (- 12 - 0) \vec{j} + (0 - 12) \vec{k} \\ = - 9 \vec{i} + 12 \vec{j} - 12 \vec{k} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \vec{b} & \times \vec{a} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & - 3 \\ 4 & 3 & 0 \end{array} | \\ = (0 - (- 9)) \vec{i} - (0 - (- 12)) \vec{j} + (12 - 0) \vec{k} \\ = 9 \vec{i} - 12 \vec{j} + 12 \vec{k} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui \vec{a} = 6 \vec{i} + 2 \vec{j} + 10 \vec{k} dan \vec{b} = 4 \vec{i} + \vec{j} + 9 \vec{k} \\ Tentukanlah hasil \vec{a} \times \vec{b} dan \vec{b} \times \vec{a} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{a} & \times \vec{b} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 2 & 10 \\ 4 & 1 & 9 \end{array} | \\ = (18 - 10) \vec{i} - (54 - 40) \vec{j} + (6 - 8) \vec{k} \\ = 8 \vec{i} - 14 \vec{j} - 2 \vec{k} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \vec{b} & \times \vec{a} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 1 & 9 \\ 6 & 2 & 10 \end{array} | \\ = (10 - 18) \vec{i} - (40 - 54) \vec{j} + (8 - 6) \vec{k} \\ = - 8 \vec{i} + 14 \vec{j} + 2 \vec{k} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Tentukanlah luas segitiga A B C jika \\ diketahui A (2, 1, - 2), B (0, - 1, 0), dan \\ C (- 1, 2, - 1) \\ Jawab : \\ Misalkan luas segitiga \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} |, dengan \\ {\begin{cases} \vec{p} & = \overset{―}{A B} = \overset{―}{O B} - \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \\ \vec{q} & = \overset{―}{A C} = \overset{―}{O C} - \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \end{cases} \\ \begin{aligned} \vec{p} & \times \vec{q} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array} | \\ = (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - z_{1} x_{2}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{k} \\ = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 2 & - 2 & 2 \\ - 3 & 1 & 1 \end{array} | \\ = (- 2 - 2) \vec{i} - (- 2 - (- 6)) \vec{j} + (- 2 - 6) \vec{k} \\ = - 4 \vec{i} - 4 \vec{j} - 8 \vec{k} \\ Sehingga \\ | \vec{p} \times \vec{q} | = \sqrt{(- 4)^{2} + (- 4)^{2} + (- 8)^{2}} \\ = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} \\ Maka luas segi tiganya adalah : \\ luas △ A B C = \frac{1}{2} | \vec{p} \times \vec{q} | = \frac{1}{2} (4 \sqrt{6}) = 2 \sqrt{6} \end{aligned} \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI

Lanjutan Materi Operasi Vektor di Ruang (Dot Product)

$\begin{array}{ll} 6. & Diketahui \vec{a} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}), \\ jika \vec{p} tegak lurus \vec{q}, maka tentukanlah \\ nilai t adalah \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Karena & kedua vektor tersebut saling \\ tegak l & urus maka \\ \vec{a} . \vec{b} & = 0 \\ (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) & (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) = 0 \\ (- 2) .4 & + 1. (- 1) + 3. t = 0 \\ - 8 - 1 & + 3 t = 0 \\ 3 t & = 9 \\ t & = 3 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 7. & Tentukanlah nilai \vec{a} . \vec{b} jika \\ a . | \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 6, ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} \\ b . \vec{a} = 2 \vec{i} + \vec{j} - 5 \vec{k} dan \vec{b} = 2 \vec{i} - 3 \vec{k} \\ c . \vec{a} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . \vec{a} . \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos ∠ (\vec{a}, \vec{b}) \\ = 4.6 . \cos 60^{\circ} \\ = 24. (\frac{1}{2}) \\ = 12 \end{aligned} \\ b . \vec{a} . \vec{b} = 2.2 + 1.0 + (- 5) . (- 3) = 4 + 15 = 19 \\ c . \vec{a} . \vec{b} = 0.4 + (- 1) . (- 2) + 3.1 = 0 + 2 + 3 = 5 \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8. & Diketahui | \vec{a} | = 10, | \vec{b} | = 3 \\ dan \vec{a} ∙ \vec{b} = 15 \sqrt{3} . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab \\ Dari bentuk \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ \\ dipe & roleh bentuk \\ \cos θ & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ \cos θ & = \frac{15 \sqrt{3}}{10.3} = \frac{15}{30} \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \cos θ & = \cos 30^{\circ} \\ θ & = 30^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 30^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 9. & Tentukanlah besar sudut antara vektor \\ \vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{(- 1)^{2} + 1^{2}} \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{- 1 - 2 + 0}{\sqrt{2} \sqrt{9}} \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}} = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ = - \cos 45^{\circ} \\ = \cos (180^{\circ} - 45^{\circ}) \\ \cos θ & = \cos 135^{\circ} \\ ∴ θ & = 135^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 10. & Diketahui bahwa | \vec{a} | = \sqrt{6}, (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \\ dan \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) = 3. Tentukanlah besar \\ sudut antara \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Perhatikan & bahwa \\ (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) & = 0 \\ {| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2} & = 0 \\ {| \vec{a} |}^{2} & = {| \vec{b} |}^{2} \Rightarrow | \vec{a} | = \vec{b} = \sqrt{6} \\ dan \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) & = 3 \\ {| \vec{a} |}^{2} - \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ 6 - \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ - \vec{a} \vec{b} & = 3 - 6 = - 3 \\ \vec{a} \vec{b} & = 3 \\ | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ & = 3 \\ \cos θ & = \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ \cos θ & = \cos 60^{\circ} \\ ∴ θ & = 60^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$Berikut dua contoh untuk sudut tidak istimewa$ .

$\begin{array}{ll} 11. & Diketahui \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k}, dan \\ \vec{b} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{a} dan \vec{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) dan \\ | \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ ▹ & \vec{b} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) dan \\ | \vec{b} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ \cos θ & = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})}{3.5} = \frac{3 + 8 + 0}{15} = \frac{11}{15} \\ \cos θ & = 0, 733 \\ θ & = \arccos (0.733) \\ gunakan alat bantu tabel trigonometri \\ atau kalkulator scientific \\ = 42, 9^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 42, 9^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12. & Diketahui \vec{p} = (1, 2, 2), dan \\ \vec{q} = (3, - 2, 6) . Tentukan sudut \\ yang dibentuk oleh \vec{p} dan \vec{q} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{p} = (1, 2, 2) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) dan \\ | \vec{p} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3 \\ ▹ & \vec{q} = (3, - 2, 6) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) dan \\ | \vec{q} | = \sqrt{3^{2} + (- 2)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{49} = 7 \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{p} ∙ \vec{q}}{| \vec{p} | | \vec{q} |} \\ \cos θ & = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 6 \end{array})}{3.7} = \frac{3 - 4 + 12}{21} = \frac{11}{21} \\ \cos θ & = 0, 524 \\ θ & = \arccos (0.524) \\ gunakan alat bantu tabel trigonometri \\ atau kalkulator scientific \\ = 58, 4^{\circ} \\ Jadi & sudut antara keduanya adalah 58, 4^{\circ} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 13. & Diketahui vektor \vec{a} dan \vec{b} memiliki \\ panjang masing-masing adalah 2 dan 3 \\ serta ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} . Carilah nilai \\ a . | \vec{a} + \vec{b} | \\ b . | \vec{a} - \vec{b} | \\ b besar sudut antara \\ (\vec{a} + \vec{b}) dan (\vec{a} - \vec{b}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & {| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b}) \\ = \vec{a} \vec{a} + 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b} \\ = {| \vec{a} |}^{2} \cos 0^{\circ} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60^{\circ} + {| \vec{b} |}^{2} \cos 0^{\circ} \\ = 2^{2} .1 + 2.2 .3 . \frac{1}{2} + 3^{2} .1 \\ = 4 + 6 + 9 = 19 \\ Jadi, nilainya adalah | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{19} \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . & {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} \\ = (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) \\ = \vec{a} \vec{a} - 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b} \\ = {| \vec{a} |}^{2} \cos 0^{\circ} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60^{\circ} + {| \vec{b} |}^{2} \cos 0^{\circ} \\ = 2^{2} .1 - 2.2 .3 . \frac{1}{2} + 3^{2} .1 \\ = 4 - 6 + 9 = 7 \\ Jadi, nilainya adalah | \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7} \end{aligned} \\ \begin{aligned} c . Untuk menentukan nilai \\ \cos ∠ (\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}) & = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) . (\vec{a} - \vec{b})}{| \vec{a} + \vec{b} | . | \vec{a} - \vec{b} |} \\ = \frac{\vec{a} \vec{a} - \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{a} - \vec{b} \vec{b}}{\sqrt{19} . \sqrt{7}} \\ = \frac{2^{2} - 3^{2}}{\sqrt{133}} = - \frac{5}{\sqrt{133}} \\ ∠ (\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}) & = \arccos (- \frac{5}{\sqrt{133}}) \end{aligned} \end{array}$

$Berikut contoh untuk bentuk sudutnya$ .

$\begin{array}{ll} 14. & Diketahui \vec{p} = (x, 3, 2), dan \\ \vec{q} = (2, - 6, 3) . Tentukan nilai x \\ agar kedua vektor \\ a membentuk sudut lancip \\ b membentuk sudut siku-siku \\ c membentuk sudut tumpul \\ d sama panjang \\ Jawab \\ \begin{aligned} Dik & etahui bahwa \\ ▹ & \vec{p} = (x, 3, 2) = (\begin{array}{c} x \\ 3 \\ 2 \end{array}) dan \\ ▹ & \vec{q} = (2, - 6, 3) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) \end{aligned} \\ Selanjutnya \\ \vec{p} ∙ \vec{q} = (\begin{array}{c} x \\ 3 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) \\ = 2 x - 18 + 6 = 2 x - 12 \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} a & Syarat lancip, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} > 0 \\ 2 x - 12 > 0 \Leftrightarrow 2 x > 12 \Leftrightarrow x > 6 \\ b & Syarat siku-siku, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} = 0 \\ 2 x - 12 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 12 \Leftrightarrow x = 6 \\ c & Syarat tumpul, yaitu : \vec{p} ∙ \vec{q} < 0 \\ 2 x - 12 < 0 \Leftrightarrow 2 x < 12 \Leftrightarrow x < 6 \\ d & Syarat panjang kedua vektor sama \\ yaitu : | \vec{p} | = | \vec{q} |, maka \\ \begin{aligned} \sqrt{x^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{2^{2} + (- 6)^{2} + 3^{2}} \\ x^{2} + 9 + 4 = 4 + 36 + 9 \\ x^{2} = 36 \\ x = \pm \sqrt{36} = \pm 6 \\ Jadi, x = - 6 atau x = 6 \end{aligned} \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
Noormandiri, Sucipto, E. 2003. Buku Pelajaran Matematika SMU untuk Kelas 3 Program IPA. Jakarta: ERLANGGA.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.

Operasi Vektor di Ruang (Lanjutan Materi Vektor di Ruang)

Sebelumnya silahkan lihat di sini

$A. Operasi Vektor Dalam Ruang$

Operasi vektor pada dimensi tiga kurang lebih sama dengan operasi pada vektor berdimensi dua.

$A. Penjumlahan dan Pengurangan$ .

$\begin{aligned} Jika & diketahui sebagai misal \\ \bar{u} & = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k} dan \\ \bar{v} & = p \bar{i} + q \bar{j} + r \bar{k} \\ mak & a \\ Pen & jumlahan dua vektor di atas adalah \\ \bar{u} + \bar{v} & = (a + p) \bar{i} + (b + q) \bar{j} + (c + r) \bar{k} \\ dem & ikian juga untuk pengurangan \\ \bar{u} - \bar{v} & = (a - p) \bar{i} + (b - q) \bar{j} + (c - r) \bar{k} \end{aligned}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 1. & Jika diketahui \bar{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) dan \bar{b} = (\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \\ Tentukanlah hasil dari \\ a . \bar{a} + \bar{b} \\ b . \bar{a} - \bar{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa \\ \bar{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) dan \bar{b} = (\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 0 \end{array}), \\ maka \\ \bar{a} + \bar{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) + (\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 1 + 8 \\ 3 + (- 2) \\ 7 + 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 1 \\ 7 \end{array}) \\ Dan untuk \bar{a} - \bar{b} adalah : \\ \bar{a} - \bar{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 1 - 8 \\ 3 - (- 2) \\ 7 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 5 \\ 7 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$ .

$B. 1. Perkalian Skalar dengan Vektor$ .

Misalkan suatu skalar $m$ dan suatu vektor $\bar{u} = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k}$ , maka perkalian $m$ dengan vektor $\bar{u}$ tersebut adalah $\bar{u} = m a \bar{i} + m b \bar{j} + m c \bar{k}$ .

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 2. & Jika \bar{a} = (\begin{array}{c} 2022 \\ 2021 \\ 2020 \end{array}), tentukanlah nilai \\ dari 2 \bar{a} dan - 3 \bar{a} \\ Jawab \\ \begin{aligned} 2 \bar{a} & = 2 (\begin{array}{c} 2022 \\ 2021 \\ 2020 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4044 \\ 4042 \\ 4040 \end{array}), dan \\ - 3 \bar{a} & = - 3 (\begin{array}{c} 2022 \\ 2021 \\ 2020 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6066 \\ - 6063 \\ - 6060 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

$F. 2. Perkalian Skalar Dua Vektor$ .

Hasil dari perkalian skalar dua vektor $\bar{a}$ dan $\bar{b}$ adalah : $\bar{a} ∙ \bar{b}$ .

Dengan

$\bar{a} ∙ \bar{b} = | \bar{a} | | \bar{b} | \cos θ$ . sehingga

$\begin{aligned} Tanda dari hasil skalar ini adalah \\ \begin{array}{lll} Besar sudut θ & Tanda & Bentuk \\ 0^{\circ} \leq θ < 90^{\circ} & Positif & Lancip \\ θ = 90^{\circ} & Nol & Siku-siku \\ 90^{\circ} < θ \leq 180^{\circ} & Negatif & Tumpul \end{array} \\ Untuk θ berupa sudut istimewa : \\ \begin{array}{ccccccc} θ & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & 180^{\circ} \\ \cos θ & 1 & \frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} & 0 & - 1 \end{array} \end{aligned}$

Adapun secara rumus untuk menentukan besar sudutnya adalah:

$\cos θ = \frac{\bar{a} ∙ \bar{b}}{| \bar{a} | | \bar{b} |}$ .

Sebagai ilustrasinya perhatikanlah gambar berikut

Selain hasil di atas ada cara lain menyelesaikan perkalian skalar dua vektor, yaitu:

$\begin{aligned} Jika & diketahui sebagai misal \\ \bar{u} & = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k} dan \\ \bar{v} & = p \bar{i} + q \bar{j} + r \bar{k} \\ mak & a \\ Per & kalian skalar dua vektor adalah : \\ \bar{u} ∙ & \bar{v} = (a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k}) (p \bar{i} + q \bar{j} + r \bar{k}) \\ = a p . \bar{i} ∙ \bar{i} + a q . \bar{i} ∙ \bar{j} + a r . \bar{i} ∙ \bar{k} \\ + b p . \bar{j} ∙ \bar{i} + b q . \bar{j} ∙ \bar{j} + b r . \bar{j} ∙ \bar{k} \\ + c p . \bar{k} ∙ \bar{i} + c q . \bar{k} ∙ \bar{j} + c r . \bar{k} ∙ \bar{k} \\ = a p + 0 + 0 + 0 + b q + 0 + 0 + 0 + c r \\ = a p + b q + c r \end{aligned}$

$\begin{aligned} Sebagai penjelasannya adalah : \\ ▹ \bar{i} ∙ \bar{i} = | \bar{i} | | \bar{i} | \cos 0^{\circ} = 1.1 .1 = 1 \\ ▹ \bar{i} ∙ \bar{j} = | \bar{i} | | \bar{j} | \cos 90^{\circ} = 1.1 .0 = 0 \\ ▹ \bar{i} ∙ \bar{k} = | \bar{i} | | \bar{k} | \cos 90^{\circ} = 1.1 .0 = 0 \\ ▹ \bar{j} ∙ \bar{i} = \bar{i} ∙ \bar{j} = 0 \\ ▹ \bar{j} ∙ \bar{j} = | \bar{j} | | \bar{j} | \cos 0^{\circ} = 1.1 .1 = 1 \\ ▹ \bar{j} ∙ \bar{k} = | \bar{j} | | \bar{k} | \cos 90^{\circ} = 1.1 .0 = 0 \\ ▹ \bar{k} ∙ \bar{i} = \bar{i} ∙ \bar{k} = 0 \\ ▹ \bar{k} ∙ \bar{j} = \bar{j} ∙ \bar{k} = 0 \\ ▹ \bar{k} ∙ \bar{k} = | \bar{k} | | \bar{k} | \cos 90^{\circ} = 1.1 .1 = 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} Atau jika ditabelkan nilainya \\ \begin{array}{cccc} \bar{u} ∙ \bar{v} & p \bar{i} & q \bar{j} & r \bar{k} \\ a \bar{k} & a p & 0 & 0 \\ b \bar{j} & 0 & b q & 0 \\ c \bar{k} & 0 & 0 & c r \end{array} \end{aligned}$

$CONTOH SOAL$ .

$\begin{array}{ll} 3. & Jika \vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}), dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 0 \end{array}) \\ tentukanlah nilai dari \vec{a} ∙ \vec{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = 1.5 + 2.4 + 4.0 = 5 + 8 + 0 = 13 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 4. & Jika diketahui \vec{a} = \vec{i} - 2 \vec{j} + 3 \vec{k}, \\ dan \vec{b} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} + m \vec{k} serta \\ nilai \vec{a} ∙ \vec{b} = - 4, maka tentukan \\ nilai m \\ Jawab \\ Diketahui bahwa \\ ▹ \vec{a} = \vec{i} - 2 \vec{j} + 3 \vec{k} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}), dan \\ ▹ \vec{b} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} + m \vec{k} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ m \end{array}) \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = 1.3 + 3. (- 4) + 3. m \\ - 4 & = 3 + 8 + 3 m \\ - 3 m & = 11 + 4 \\ m & = - \frac{15}{3} \\ = - 5 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 5. & Diketahui | \vec{a} | = 10, | \vec{b} | = 6. \\ Jika \vec{a} dan \vec{b} membentuk sudut \\ 60^{\circ} . Tentukanlah nilai \vec{a} ∙ \vec{b} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{a} ∙ \vec{b} & = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ \\ = 10.6 . \cos 60^{\circ} \\ = 60. (\frac{1}{2}) \\ = 30 \\ Jadi & hasil kali skalarnya adalah 30 \end{aligned} \end{array}$ .

Vektor pada Ruang

$A. Vektor Di Ruang$

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

\begin{array}{cc} Nama & R^{3} \\ Vektor Satuan & Ruang (Bidang XYZ) \\ {\hat{e}}_{\bar{a}} = \frac{\bar{a}}{| \bar{a} |} & {\begin{cases} i = & vektor satuan \\ yang searah sumbu X \\ j = & Vektor satuan \\ yang searah sumbu Y \\ k = & Vektor satuan \\ searah sumbu Z \end{cases} \\ Vektor nol & \vec{O} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \\ Vektor posisi & \vec{O P} = \vec{p} = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) = p_{1} \bar{i} + p_{2} \bar{j} + p_{3} \bar{j} \\ Besar Vektor & \vec{O P} = \sqrt{p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2}} \end{array}

B. Operasi Vektor

1. Sifat-Sifat Aljabar Vektor

\begin{array}{lll} 1. & Komutatif penjumlahan & \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \\ 2. & Asosiatif penjumlahan & (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \\ 3. & Elemen Identitas & \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a} \\ 4. & Invers Penjumlahan & \vec{a} + (- \vec{a}) = (- \vec{a}) + \vec{a} = \vec{0} \\ 5. & Perkalian dengan skalar & k (l \vec{a}) = (k l) \vec{a} \\ k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b} \\ k (\vec{a} - \vec{b}) = k \vec{a} - k \vec{b} \\ 6. & \begin{aligned} Jika A, B, dan C segaris \\ (Kolinear) \end{aligned} & {\begin{cases} \vec{A B} = k \vec{B C} \\ \vec{A C} = k \vec{A B} \\ d l l \end{cases} \end{array}

\begin{array}{cc} Vektor & Contoh \\ \vec{z} = a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k} & \begin{aligned} diketahui \vec{p} = \vec{i} - 2 \vec{j} + 2 \vec{k} \\ maka pangjang vektor \vec{p} adalah \\ | \vec{p} | = \sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2}} \\ = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \end{aligned} \\ \begin{aligned} Vektor satuan dari \vec{p} adalah \\ {\vec{e}}_{\vec{p}} = \frac{\vec{p}}{| \vec{p} |} = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})}{3} \\ = \frac{1}{3} (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) \end{aligned} \end{array}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui vektor-vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ \vec{b} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}), dan \vec{c} = (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}), \\ tentukanlah hasil dari \\ a . \vec{a} + \vec{b} \\ b . 6 \vec{a} + 2 \vec{b} \\ c . 2 \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \\ d . \frac{1}{2} \vec{c} - \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a & \vec{a} + \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 2 + (- 3) \\ 1 + (- 5) \\ (- 4) + 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 2 - 3 \\ 1 - 5 \\ - 4 + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) \\ b . & 6 \vec{a} + 2 \vec{b} = 6 (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + 2 (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 18 - 6 \\ 6 - 10 \\ - 24 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 12 \\ - 4 \\ - 20 \end{array}) \\ c . & 2 \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \\ 2 (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 4 + 3 + 7 \\ 2 + 5 + 0 \\ - 8 - 2 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 17 \\ 7 \\ - 6 \end{array}) \\ d . & \frac{1}{2} \vec{c} - \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} = \dots \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui vektor-vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ tentukanlah | \vec{a} | \\ Jawab : \\ \begin{aligned} | \vec{a} | & = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + (- 4)^{2}} \\ = \sqrt{4 + 1 + 16} \\ = \sqrt{21} \end{aligned} \end{array}

2. Perkalian Skalar Dua Vektor

Konsep perkalian skalar dua buah vektor di ruang sama persis dengan konsep di bidang, yaitu:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ

Misalkan diketahui

\begin{aligned} \vec{a} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}), \vec{b} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}), maka \\ \vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) \\ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} \end{aligned}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui vektor-vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \\ \vec{b} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}), dan \vec{c} = (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}), \\ tentukanlah hasil dari \\ a . \vec{a} \cdot \vec{b} \\ b . \vec{a} \cdot \vec{c} \\ c . \vec{b} \cdot \vec{c} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a & \vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \\ = (2) (- 3) + (1) (- 5) + (- 4) (2) \\ = - 6 - 5 - 8 = - 19 \\ b & \vec{a} \cdot \vec{c} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ = (2) (7) + (1) (0) + (- 4) (4) \\ = 14 + 0 - 16 = - 2 \\ c & \vec{b} \cdot \vec{c} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ = (- 3) (7) + (- 5) (0) + (2) (4) \\ = - 21 + 0 + 8 = - 13 \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Tentukanlah nilai t jika \\ \vec{p} = 3 \bar{i} + t \bar{j} + \bar{k} dan \vec{p} \cdot \vec{p} = 13 \\ Jawab : \\ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{p} = 13 \\ \vec{p} \cdot \vec{p} = | \vec{p} | | \vec{p} | \cos 0^{\circ} = 13, \\ ingat bahwa ∠ (\vec{p}, \vec{p}) = 0^{\circ} \\ dan nilai \cos 0^{\circ} = 1, \\ maka \\ \vec{p} \cdot \vec{p} = {| \vec{p} |}^{2} .1 = 13 \Leftrightarrow {| \vec{p} |}^{2} = 13 \\ \Leftrightarrow {(\sqrt{3^{2} + t^{2} + 1^{2}})}^{2} = 13 \\ \Leftrightarrow 3^{2} + t^{2} + 1^{2} = 13 \\ \Leftrightarrow 9 + t^{2} + 1 = 13 \\ \Leftrightarrow t^{2} = 13 - 9 - 1 = 10 \\ \Leftrightarrow t^{2} = 3 \\ \Leftrightarrow t = \pm \sqrt{3} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 3. & Diketahui \vec{p} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) \\ Jika \vec{p} tegak lurus \vec{q} maka \\ tentukanlah nilai t \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Diketahui bahwa \\ \vec{p} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) \\ dengan \vec{p} dan \vec{q} tegak lurus \\ artinya ∠ (\vec{p}, \vec{q}) = 90^{\circ} . Sehingga \\ nilai \cos 90^{\circ} = 0 \\ maka \\ \vec{p} \cdot \vec{q} = | \vec{p} | | \vec{q} | \cos θ \\ \vec{p} \cdot \vec{q} = | \vec{p} | | \vec{q} | \cdot 0 = 0 \\ \Leftrightarrow (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ t \end{array}) = 0 \\ \Leftrightarrow (- 2) (4) + (1) (- 1) + (3) (t) = 0 \\ \Leftrightarrow - 8 - 1 + 3 t = 0 \\ \Leftrightarrow 3 t = 9 \\ \Leftrightarrow t = 3 \end{aligned} \end{array}

$\begin{array}{ll} 4. & Jika | \overset{―}{u} | = 6, | \overset{―}{v} | = 4 \sqrt{3}, dan | \overset{―}{u} - \overset{―}{v} | = 8 \\ tentukanlah nilai dari \\ a . \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} \\ b . | \overset{―}{u} + \overset{―}{v} | \\ c . cosinus sudut antara \overset{―}{u} dan \overset{―}{v} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = \dots \\ 2. \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = {| \overset{―}{u} |}^{2} + {| \overset{―}{v} |}^{2} - {| \overset{―}{u} - \overset{―}{v} |}^{2} \\ 2. \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = 6^{2} + (4 \sqrt{3})^{2} - 8^{2} \\ 2. \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = 36 + 48 - 64 = 84 - 64 = 20 \\ \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = \frac{20}{2} = 10 \\ b . & {| \overset{―}{u} + \overset{―}{v} |}^{2} = {| \overset{―}{u} |}^{2} + {| \overset{―}{v} |}^{2} + 2. \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} \\ {| \overset{―}{u} + \overset{―}{v} |}^{2} = 6^{2} + (4 \sqrt{3})^{2} + 20 \\ = 84 + 20 = 104 \\ | \overset{―}{u} + \overset{―}{v} | = \sqrt{104} \\ c . & \cos ∠ (\overset{―}{u}, \overset{―}{v}) = \frac{\overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v}}{| \overset{―}{u} | . | \overset{―}{v} |} = \frac{10}{6. (4 \sqrt{3})} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ = \frac{10 \sqrt{3}}{72} = \frac{5}{36} \sqrt{3} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}$ .

\begin{array}{ll} 5. & Diketahui | \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 1, dan | \vec{a} - \vec{b} | = 1 \\ maka panjang vektor \vec{a} + \vec{b} adalah . . . . \\ \begin{array}{llllllll} a . & \sqrt{3} & d . & 2 \sqrt{2} \\ b . & \sqrt{5} & c . & \sqrt{7} & e . & 3 \end{array} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Diketahui & sebagaimana pada soal \\ {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} & = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ \\ 1^{2} & = {(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2} - 2. \sqrt{3} .1 . \cos θ \\ 2 \sqrt{3} \cos θ & = 3 \\ maka pan & jang vektor \vec{a} + \vec{b} adalah \\ | \vec{a} + \vec{b} | & = \sqrt{{| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ} \\ = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2} + 3} \\ = \sqrt{3 + 1 + 3} \\ = \sqrt{7} \end{aligned} \end{array}

RANGKUMAN

Klik di sini

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
Miyanto, Aksin, N., Suparno. 2021. Buku Interaktif Matematika untuk SMA/MA Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam Kelas X Semester 2. Yogyakarta: INTAN PARIWARA.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Persektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI MANDIRI.

Contoh 7 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

$\begin{array}{ll} 31. & Diketahui | \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 1, dan | \vec{a} - \vec{b} | = 1 \\ maka panjang vektor \vec{a} + \vec{b} adalah . . . . \\ \begin{array}{llllllll} a . & \sqrt{3} & d . & 2 \sqrt{2} \\ b . & \sqrt{5} & c . & \sqrt{7} & e . & 3 \end{array} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Diketahui & sebagaimana pada soal \\ {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} & = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ \\ 1^{2} & = {(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2} - 2. \sqrt{3} .1 . \cos θ \\ 2 \sqrt{3} \cos θ & = 3 \\ maka pan & jang vektor \vec{a} + \vec{b} adalah \\ | \vec{a} + \vec{b} | & = \sqrt{{| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ} \\ = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2} + 3} \\ = \sqrt{3 + 1 + 3} \\ = \sqrt{7} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 32. & Jika | \overset{―}{u} | = 6, | \overset{―}{v} | = 4 \sqrt{3}, dan | \overset{―}{u} - \overset{―}{v} | = 8 \\ tentukanlah nilai dari \\ a . \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} \\ b . | \overset{―}{u} + \overset{―}{v} | \\ c . cosinus sudut antara \overset{―}{u} dan \overset{―}{v} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = \dots \\ 2. \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = {| \overset{―}{u} |}^{2} + {| \overset{―}{v} |}^{2} - {| \overset{―}{u} - \overset{―}{v} |}^{2} \\ 2. \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = 6^{2} + (4 \sqrt{3})^{2} - 8^{2} \\ 2. \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = 36 + 48 - 64 = 84 - 64 = 20 \\ \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = \frac{20}{2} = 10 \\ b . & {| \overset{―}{u} + \overset{―}{v} |}^{2} = {| \overset{―}{u} |}^{2} + {| \overset{―}{v} |}^{2} + 2. \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} \\ {| \overset{―}{u} + \overset{―}{v} |}^{2} = 6^{2} + (4 \sqrt{3})^{2} + 20 \\ = 84 + 20 = 104 \\ | \overset{―}{u} + \overset{―}{v} | = \sqrt{104} \\ c . & \cos ∠ (\overset{―}{u}, \overset{―}{v}) = \frac{\overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v}}{| \overset{―}{u} | . | \overset{―}{v} |} = \frac{10}{6. (4 \sqrt{3})} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ = \frac{10 \sqrt{3}}{72} = \frac{5}{36} \sqrt{3} \\ Berikut ilustrasi gambarnya \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 33. & Jika \vec{p} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \end{array}), \vec{q} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}), maka \\ proyeksi skalar ortogonal vektor \vec{p} \\ pada \vec{q} adalah . . . . \\ a . \frac{3}{5} \\ b . \frac{7}{5} \\ c . \frac{8}{5} \\ d . \frac{9}{5} \\ e . 2 \\ Jawab \\ \begin{aligned} | \vec{r} | & = \frac{\vec{p} . \vec{q}}{| \vec{q} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \end{array}) . (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} \\ = \frac{8 + (- 15)}{\sqrt{25}} \\ = | \frac{- 7}{5} | \\ = \frac{7}{5} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 34. & Panjang Proyeksi vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}) \\ pada \vec{b} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}) adalah . . . . \\ a . - 1 \\ b . - \frac{1}{2} \\ c . 1 \\ d . 2 \\ e . 4 \\ Jawab \\ \begin{aligned} | \vec{c} | & = | \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{b} |} | \\ = | \frac{(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}) ∙ (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \end{array})}{| \sqrt{0^{2} + (- 4)^{2}} |} | \\ = | \frac{0 - 4}{4} | = | - 1 | = 1 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 35. & Proyeksi vektor ortogonal \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \end{array}) \\ pada \vec{b} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) adalah . . . . \\ a . (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) \\ c . (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \end{array}) \\ d . (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) \\ e . (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \end{array}) \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{c} & = (\frac{\vec{a} ∙ \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}}) . \vec{b} \\ = (\frac{(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \end{array}) ∙ (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})}{(- 1)^{2} + 2^{2}}) . (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) \\ = (\frac{- 2 - 8}{1 + 4}) . (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) \\ = - 2 (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika Program IPA 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: YUDHISTIRA.
Kusnandar, Muharman, I., Indrianti, M. 2017. Pendalaman Buku Teks Matematika SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: YUDHISTIRA.
Miyanto, Aksin, N., Suparno. 2021. Buku Interaktif Matematika untuk SMA/MA Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam Kelas X Semester 2. Yogyakarta: INTAN PARIWARA.
Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Persektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI MANDIRI.

Contoh 6 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

$\begin{array}{ll} 26. & Jika \vec{p} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} 8 \\ 4 \end{array}), maka \\ sudut yang dibentuk vektor \vec{p} dan \vec{q} \\ adalah . . . . \\ a . 0^{\circ} \\ b . 60^{\circ} \\ c . 45^{\circ} \\ d . 60^{\circ} \\ e . 90^{\circ} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{p} . \vec{q} & = | \begin{array}{c} \vec{p} \end{array} | . | \begin{array}{c} \vec{q} \end{array} | . \cos ∠ (\vec{p}, \vec{q}) \\ \cos ∠ (\vec{p}, \vec{q}) & = \frac{\vec{p} . \vec{q}}{| \vec{p} | . | \vec{q} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) . (\begin{array}{c} 8 \\ 4 \end{array})}{\sqrt{(- 2)^{2} + 1^{2}} . \sqrt{8^{2} + 4^{2}}} \\ = \frac{- 16 + 16}{\sqrt{20} . \sqrt{80}} \\ = \frac{0}{40} \\ = 0 \\ \cos ∠ (\vec{p}, \vec{q}) & = \cos 90^{\circ} \\ ∠ (\vec{p}, \vec{q}) & = 90^{\circ} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 27. & Jika \overset{―}{O A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}), \overset{―}{O B} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}), dan \\ θ = ∠ (\overset{―}{O A}, \overset{―}{O B}), maka \tan θ = . . . . \\ a . \frac{3}{5} \\ b . \frac{9}{16} \\ c . \frac{3}{4} \\ d . \frac{4}{3} \\ e . \frac{16}{9} \\ Jawab \\ \begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) . (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array})}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}} \sqrt{4^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{4 + 4}{\sqrt{5} . \sqrt{20}} \\ = \frac{8}{10} \end{aligned} & \begin{aligned} \sin θ & = \sqrt{1 - \cos^{2} θ} \\ = \sqrt{1 - {(\frac{8}{10})}^{2}} \\ = \sqrt{\frac{36}{100}} \\ = \frac{6}{10} \end{aligned} \end{array} \\ Selanjutnya \\ \begin{aligned} \tan θ & = \frac{\sin θ}{\cos θ} \\ = \frac{\frac{6}{10}}{\frac{8}{10}} \\ = \frac{3}{4} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 28. & Jika \vec{a}, \vec{b} dan \vec{c} adalah vektor satuan dengan \\ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0. Nilai dari \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} adalah . . . . \\ a . - 3 \\ b . - \frac{3}{2} \\ c . 0 \\ d . \frac{3}{2} \\ e . 3 \\ Jawab \\ \begin{aligned} Karena & {\begin{array}{c} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} adalah vektor satuan, dan \\ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 . \end{array} \\ segitig & a ABC adalah segitiga sama sisi \\ \vec{a} . \vec{b} = & | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 120^{0} = 1.1 . (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \\ \vec{a} . \vec{c} = & | \vec{a} | | \vec{c} | \cos 120^{0} = 1.1 . (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \\ \vec{b} . \vec{c} = & | \vec{b} | | \vec{c} | \cos 120^{0} = 1.1 . (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \\ Jadi, ni & lai dari \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} + \vec{b} . \vec{c} \\ = (- \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} \end{aligned} \end{array}$

$. berikut ilustrasinya$

$\begin{array}{ll} 29. & Jika ∠ (\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ}, | \vec{a} | = 4 dan \\ | \vec{b} | = 3, maka \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) adalah . . . . \\ a . 2 \\ b . 4 \\ c . 6 \\ d . 8 \\ e . 10 \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{a} (\vec{a} - \vec{b}) & = \vec{a} . \vec{a} - \vec{a} . \vec{b} \\ = | \vec{a} | | \vec{a} | \cos 0^{\circ} - | \vec{a} | | \vec{b} | \cos 60^{\circ} \\ = {| \vec{a} |}^{2} - | \vec{a} | | \vec{b} | . \frac{1}{2} \\ = 4^{2} - 4.3 . \frac{1}{2} \\ = 16 - 6 \\ = 10 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 30. & Tentukan \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v}, jika diketahui \\ a . | \overset{―}{u} | = 10, | \overset{―}{v} | = 8 \sqrt{3}, \cos ∠ (\overset{―}{v}, \overset{―}{u}) = \frac{2}{5} \sqrt{3} \\ b . | \overset{―}{u} | = 6 \sqrt{3}, | \overset{―}{v} | = 4 \sqrt{2}, \cos (\overset{―}{v}, \overset{―}{u}) = 30^{\circ} \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . & \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = | \overset{―}{u} | . | \overset{―}{v} | . \cos ∠ (\overset{―}{v}, \overset{―}{u}) \\ \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = 10. (8 \sqrt{3}) . \frac{2}{5} \sqrt{3} = 2.8 .2 .3 = 96 \\ b . & \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = | \overset{―}{u} | . | \overset{―}{v} | . \cos ∠ (\overset{―}{v}, \overset{―}{u}) \\ \overset{―}{u} ∙ \overset{―}{v} = (6 \sqrt{3}) . (4 \sqrt{2}) . \cos 30^{\circ} \\ = (6 \sqrt{3}) . (4 \sqrt{2}) . \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ = \frac{6.4 .3 . \sqrt{2}}{2} = 36 \sqrt{2} \end{aligned} \end{array}$ .

Contoh 5 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

$\begin{array}{ll} 21. & Jika \vec{g} = (\begin{array}{c} 3^{x + y} \\ 5 \end{array}) dan \vec{h} = (\begin{array}{c} 81 \\ \frac{y + 7}{2} \end{array}) \\ sehingga \vec{g} = \vec{h} nilai dari 4 x - 3 y = . . . . \\ a . - 5 \\ b . - 1 \\ c . 0 \\ d . 5 \\ e . 10 \\ Jawab \\ \begin{aligned} Diketahui & bahwa : \vec{g} = \vec{h} \\ (\begin{array}{c} 3^{x + y} \\ 5 \end{array}) & = (\begin{array}{c} 81 \\ \frac{y + 7}{2} \end{array}) \\ 3^{x + y} & = 81 = 3^{4} \Leftrightarrow x + y = 4 \\ \frac{y + 7}{2} & = 5 \Leftrightarrow y = 10 - 7 = 3, sehingga \\ x + y & = 4 \Leftrightarrow x + 3 = 4 \Leftrightarrow x = 4 - 3 = 1, \\ maka \\ 4 x - 3 y & = 4 (1) - 3 (3) \\ = 4 - 9 = - 5 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 22. & Vektor \vec{m} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 5 \end{array}) searah \\ dengan vektor . . . . \\ a . (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array}) \\ c . (\begin{array}{c} - 6 \\ 15 \end{array}) \\ d . (\begin{array}{c} - 4 \\ 5 \end{array}) \\ e . (\begin{array}{c} - 3 \\ 10 \end{array}) \\ Jawab \\ \begin{aligned} Vektor \vec{m} searah dengan vektor k . \vec{m} \\ k . \vec{m} = k (\begin{array}{c} - 2 \\ 5 \end{array}), dengan k skalar positif \\ \begin{array}{ccc} a & b \\ (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \end{matrix}) = - (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \end{matrix}) & (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) = . . . \\ c & d \\ (\begin{matrix} - 6 \\ 15 \end{matrix}) = 3 (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \end{matrix}) & (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) = . . . \\ e \\ (\begin{matrix} - 3 \\ 10 \end{matrix}) = . . . \end{array} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 23. & Jika vektor \overset{―}{A C} = \vec{p}, \overset{―}{B C} = \vec{q} dan \\ \overset{―}{A D} : \overset{―}{D C} = 1 : 2, maka vektor \\ \overset{―}{B D} bila dinyatakan \\ dalam \vec{p} dan \vec{q} adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . \frac{1}{3} (3 \vec{p} - 2 \vec{q}) \\ b . \frac{1}{3} (3 \vec{q} - 2 \vec{p}) \\ c . \frac{1}{3} (\vec{p} - 2 \vec{q}) \\ d . (\vec{p} - \frac{1}{3} \vec{q}) \\ e . \frac{1}{3} (\vec{p} - \vec{q}) \end{array} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \overset{―}{A C} : \overset{―}{C D} & = 3 : - 2 \\ \overset{―}{C D} & = - \frac{2}{3} \overset{―}{A C} \\ = - \frac{2}{3} \vec{p} \\ maka, \\ \overset{―}{B D} & = \overset{―}{B C} + \overset{―}{C D} \\ = \vec{q} + (- \frac{2}{3} \vec{p}) \\ = \frac{1}{3} (3 \vec{q} - 2 \vec{p}) \end{aligned} \end{array}$

$. Gambar berikut untuk soal 24$

$\begin{array}{ll} 24. & Jika vektor \overset{―}{A C} = \vec{p}, \overset{―}{B C} = \vec{q} dan \\ \overset{―}{A D} : \overset{―}{D C} = 1 : 2, maka vektor \overset{―}{B D} \\ bila dinyatakan dalam \vec{p} dan \vec{q} adalah . . . . \\ a . \frac{1}{3} (3 \vec{p} - 2 \vec{q}) \\ b . \frac{1}{3} (3 \vec{q} - 2 \vec{p}) \\ c . (\vec{p} - \frac{1}{3} \vec{q}) \\ d . \frac{1}{3} (\vec{p} - 2 \vec{q}) \\ e . \frac{1}{3} (\vec{p} - \vec{q}) \\ Jawab \\ \begin{aligned} \overset{―}{A C} : \overset{―}{C D} & = 3 : - 2 \\ \overset{―}{C D} & = - \frac{2}{3} \overset{―}{A C} \\ = - \frac{2}{3} \vec{p} \\ maka, \\ \overset{―}{B D} & = \overset{―}{B C} + \overset{―}{C D} \\ = \vec{q} + (- \frac{2}{3} \vec{p}) \\ = \frac{1}{3} (3 \vec{q} - 2 \vec{p}) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 25. & Jika titik A (2, 6) dan B (5, 3) demikian \\ juga titik P terletak pada \overset{―}{A B} \\ dengan \overset{―}{A P} : \overset{―}{P B} = 2 : 1, maka vektor \\ posisi \vec{p} adalah . . . . \\ a . (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}) \\ c . (\begin{array}{c} - 4 \\ 4 \end{array}) \\ d . (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}) \\ e . (\begin{array}{c} - 4 \\ 6 \end{array}) \\ Jawab \\ \begin{aligned} \overset{―}{A P} : \overset{―}{P B} & = 2 : 1 \\ \overset{―}{A P} & = 2 \overset{―}{P B} \\ \vec{p} - \vec{a} & = 2 (\vec{b} - \vec{p}) \\ \vec{p} + 2 \vec{p} & = \vec{a} + 2 \vec{b} \\ 3 \vec{p} & = \vec{a} + 2 \vec{b} \\ \vec{p} & = \frac{1}{3} (\vec{a} + 2 \vec{b}) \\ = \frac{1}{3} (\begin{array}{c} 2 + 2.5 \\ 6 + 2.3 \end{array}) \\ = \frac{1}{3} (\begin{array}{c} 12 \\ 12 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

Contoh 4 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

$\begin{array}{ll} 16. & Diketahui titik A(-1,1,0) dan titik B(1,-2,2) \\ maka panjang vektor \vec{B A} adalah . . . . \\ \begin{array}{llllllll} a . & \sqrt{2} & d . & \sqrt{17} \\ b . & \sqrt{5} & c . & \sqrt{9} & e . & \sqrt{21} \end{array} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Diketahui sebagaimana pada soal \\ maka pan jang vektor \vec{B A} adalah \\ | \vec{B A} | = \sqrt{(1 - (- 1))^{2} + (- 2 - 1)^{2} + (2 - 0)^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} + (- 3)^{2} + 2^{2}} \\ = \sqrt{4 + 9 + 4} \\ = \sqrt{17} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 17. & Vektor satuan untuk vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 2, & 1, & - 2 \end{array}) = . . . . \\ \begin{array}{llllllll} a . & (\begin{array}{c} - \frac{2}{3}, & - \frac{1}{3}, & \frac{2}{3} \end{array}) \\ b . & (\begin{array}{c} \frac{2}{3}, & \frac{1}{3}, & - \frac{2}{3} \end{array}) \\ c . & (\begin{array}{c} \frac{2}{4}, & \frac{1}{4}, & - \frac{2}{4} \end{array}) \\ d . & (\begin{array}{c} - \frac{2}{4}, & - \frac{1}{4}, & \frac{2}{4} \end{array}) \\ e . & (\begin{array}{c} - \frac{2}{9}, & - \frac{1}{9}, & \frac{2}{9} \end{array}) \end{array} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Vektor & satuan dari vektor \vec{a} adalah : \\ \hat{a} & = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 2, & 1, & - 2 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2}}} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 2, & 1, & - 2 \end{array})}{\sqrt{9}} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 2, & 1, & - 2 \end{array})}{3} \\ = (\begin{array}{c} \frac{2}{3}, & \frac{1}{3}, & - \frac{2}{3} \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 18. & Jika titik A(-2,3,5) dan B(4,1,-3), \\ maka vektor posisi AB adalah . . . . \\ \begin{array}{llllllll} a . & (\begin{array}{c} - 6, & 2, & 8 \end{array}) \\ b . & (\begin{array}{c} 8, & 2, & - 6 \end{array}) \\ c . & (\begin{array}{c} 6, & - 2, & - 8 \end{array}) \\ d . & (\begin{array}{c} - 8 & - 2, & 6 \end{array}) \\ e . & (\begin{array}{c} 2, & 4, & 2 \end{array}) \end{array} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Vektor posisi & dari \vec{A B} adalah : \\ \vec{A B} & = \vec{O B} - \vec{O A} \\ = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 5 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 4 + 2 \\ 1 - 3 \\ - 3 - 5 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 6 \\ - 2 \\ - 8 \end{array}) atau \\ = (\begin{array}{c} 6, & - 2, & - 8 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 19. & Jika \vec{p} = (\begin{array}{c} ^{2} \log 8 x \\ {(^{2} \log x)}^{y} \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} 5 \\ 8 \end{array}) \\ sehingga \vec{p} = \vec{q} nilai dari x . y = . . . . \\ a . 6 \\ b . 12 \\ c . 18 \\ d . 24 \\ e . 30 \\ Jawab \\ \begin{aligned} Diketahui & bahwa : \vec{p} = \vec{q} \\ (\begin{array}{c} ^{2} \log 8 x \\ {(^{2} \log x)}^{y} \end{array}) & = (\begin{array}{c} 5 \\ 8 \end{array}), maka \\ 8 x & = 2^{5} = 32 \\ \Leftrightarrow x & = \frac{32}{8} = 4 \\ {(^{2} \log 4)}^{y} & = 8 \\ \Leftrightarrow 2^{y} & = 8 = 2^{3} \\ \Leftrightarrow y & = 3 \\ Sehingga \\ x . y & = 4 \times 3 = 12 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 20. & Jika \vec{p} = (\begin{array}{c} 3 x \\ 4 x + y \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} \frac{2 x - 4}{2} \\ 6 \end{array}) \\ sehingga \vec{p} = \vec{q} nilai dari 2 x + y = . . . . \\ a . - 12 \\ b . 0 \\ c . 8 \\ d . 9 \\ e . 19 \\ Jawab \\ \begin{aligned} Diketahui & bahwa : \vec{p} = \vec{q} \\ (\begin{array}{c} 3 x \\ 4 x + y \end{array}) & = (\begin{array}{c} \frac{2 x - 4}{2} \\ 6 \end{array}) \\ 3 x & = \frac{2 x - 4}{2} \Leftrightarrow 6 x = 2 x - 4 \\ \Leftrightarrow x & = - 1 \\ 4 (- 1) + y & = 6 \Leftrightarrow - 4 + y = 6 \\ \Leftrightarrow y & = 6 + 4 \\ y & = 10 \\ x + y & = (- 1) + 10 = 9 \end{aligned} \end{array}$

Contoh 3 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

$\begin{array}{ll} 11. & Jika vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}), \\ maka 3 \vec{a} - 2 \vec{b} adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . (\begin{array}{c} 12 \\ - 16 \end{array}) & d . (\begin{array}{c} 24 \\ 16 \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} 24 \\ - 16 \end{array}) & c . (\begin{array}{c} 12 \\ 16 \end{array}) & e . (\begin{array}{c} - 12 \\ - 16 \end{array}) \end{array} \\ Jawab \\ \begin{aligned} 3 \vec{a} - 2 \vec{b} & = 3 (\begin{array}{c} 6 \\ - 4 \end{array}) - 2 (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 18 - 6 \\ - 12 - 4 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 12 \\ - 16 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 12. & Diketahui jajar genjang ABCD \\ dengan titik E adalah perpotongan \\ diagonal jajar genjang . \end{array}$

$\begin{array}{ll} . & Jika \overset{―}{A B} = \vec{b} dan \overset{―}{A D} = \vec{a}, maka \overset{―}{C E} \\ bila dinyatakan dalam \vec{a} dan \vec{b} adalah . . . . \\ \begin{array}{lll} a . \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \\ b . \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b}) \\ c . \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a}) \\ d . - \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \\ e . - \frac{1}{2} (2 \vec{a} + \vec{b}) \end{array} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \overset{―}{A C} & = \overset{―}{A D} + \overset{―}{D C} \\ \overset{―}{C A} & = \overset{―}{C D} + \overset{―}{D A} \\ \overset{―}{C E} & = \frac{1}{2} \overset{―}{C A} \\ = \frac{1}{2} (- \vec{b} - \vec{a}) \\ = - \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 13. & Pada segi enam beraturan ABCDEF, \\ jika \vec{A B} = \vec{u} dan \vec{A F} = \vec{v} maka vektor \\ \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} + \vec{A E} + \vec{A F} = . . . . \\ \begin{array}{llllllll} a . & 2 \vec{u} + 2 \vec{v} & d . & 6 \vec{u} + 6 \vec{v} \\ b . & 4 \vec{u} + 4 \vec{v} & c . & 5 \vec{u} + 5 \vec{v} & e . & 8 \vec{u} + 8 \vec{v} \end{array} \\ Jawab \\ Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut \end{array}$

$\begin{aligned} . & \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} + \vec{A E} + \vec{A F} \\ = \vec{A B} + (\vec{A O} + \vec{O C}) + 2 \vec{A O} + (\vec{A O} + \vec{O E}) + \vec{A F} \\ = \vec{u} + (2 \vec{u} + \vec{v}) + 2 (\vec{v} + \vec{u}) + (2 \vec{v} + \vec{u}) + \vec{v} \\ = 6 \vec{u} + 6 \vec{v} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll} 14. & Perhatikanlah juga ilustrasi gambar berikut \end{array}$

$\begin{array}{ll} . & maka vektor \vec{w} adalah . . . . \\ \begin{array}{llllllll} a . & 8 \vec{i} - 6 \vec{j} - 13 \vec{k} \\ b . & 8 \vec{i} - 13 \vec{j} - 6 \vec{k} \\ c . & 6 \vec{i} - 8 \vec{j} - 13 \vec{k} \\ d . & - 6 \vec{i} + 8 \vec{j} - 13 \vec{k} \\ e . & - 6 \vec{i} - 13 \vec{j} + 8 \vec{k} \end{array} \\ Jawab \\ Kita perhatikan juga ilustrasi \\ gambarnya semisal dengan soal No.1 \\ Misalkan titiknya adalah titik \\ W dengan koordinat (8,-6,-13), \\ maka vektor posisi titik \\ W tersebut adalah \vec{O W} = \vec{w} \\ di mana \\ \begin{aligned} Vektor \vec{w} jika dinyatakan \\ dalam kombinasi linear adalah \\ \vec{w} = 8 \vec{i} - 6 \vec{j} - 13 \vec{k} \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} 15. & Jika titik Z(4,-5,2), maka panjang \\ vektor posisi titik Z adalah . . . . \\ \begin{array}{llllllll} a . & 1 & d . & 5 \sqrt{2} \\ b . & 2 \sqrt{5} & c . & 3 \sqrt{5} & e . & 5 \sqrt{3} \end{array} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Vektor posisi & titik Z tersebut adalah \\ \vec{O Z} = \vec{z} & = (\begin{array}{c} 4, & - 5, & 2 \end{array}), \\ Dan panjang & vektor \vec{z} ini adalah \\ | \vec{z} | & = \sqrt{4^{2} + (- 5)^{2} + 2^{2}} \\ = \sqrt{16 + 25 + 4} \\ = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} \\ = 3 \sqrt{5} \end{aligned} \end{array}$ .

Contoh 2 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

$\begin{array}{ll} 6. & Diketahui titik P (n, 2), Q (1, - 2), n > 0 \\ dan panjang \overset{―}{P Q} = 5, maka nilai n \\ adalah . . . . \\ a . 1 \\ b . 2 \\ c . 3 \\ d . 4 \\ e . 5 \\ Jawab \\ \begin{aligned} \overset{―}{P Q} & = 5 \\ \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}} & = 5 \\ (x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2} & = 25 \\ (1 - n)^{2} + (- 2 - 2)^{2} & = 25 \\ (1 - n)^{2} + 16 & = 25 \\ (1 - n)^{2} - 3^{2} & = 0 \\ (1 + 3 - n) (1 - 3 - n) & = 0 \\ n = 4 atau n = - 2 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 7. & Diketahui vektor \vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}) dan \vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) . \\ Nilai | \vec{u} + \vec{v} | adalah . . . . \\ a . \sqrt{28} \\ b . \sqrt{30} \\ c . \sqrt{34} \\ d . \sqrt{44} \\ e . \sqrt{50} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{u} + \vec{v} & = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 3 + 2 \\ 4 + (- 1) \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}) \\ | \vec{u} + \vec{v} | & = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} \\ = \sqrt{25 + 9} \\ = \sqrt{34} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 8. & Vektor satuan \vec{u} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 12 \end{array}) adalah . . . . \\ a . - \frac{1}{13} (\begin{array}{c} 5 \\ 12 \end{array}) \\ b . \frac{1}{15} (\begin{array}{c} - 5 \\ - 12 \end{array}) \\ c . - \frac{1}{17} (\begin{array}{c} 5 \\ 12 \end{array}) \\ d . - \frac{1}{17} (\begin{array}{c} 5 \\ 12 \end{array}) \\ e . \frac{1}{2} (\begin{array}{c} 5 \\ 12 \end{array}) \\ Jawab \\ \begin{aligned} {\vec{e}}_{\vec{u}} & = \frac{\vec{u}}{| \vec{u} |}, maka \\ {\vec{e}}_{(\begin{array}{c} - 5 \\ - 12 \end{array})} & = \frac{(\begin{array}{c} - 5 \\ - 12 \end{array})}{| (\begin{array}{c} - 5 \\ - 12 \end{array}) |} \\ = \frac{(\begin{array}{c} - 5 \\ - 12 \end{array})}{\sqrt{(- 5)^{2} + (- 12)^{2}}} \\ = \frac{- (\begin{array}{c} 5 \\ 12 \end{array})}{\sqrt{169}} \\ = - \frac{1}{13} (\begin{array}{c} 5 \\ 12 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 9. & Jika vektor \vec{p} = (\begin{array}{c} 8 \\ 7 \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \end{array}) \\ Hasil dari \vec{p} + \vec{q} adalah . . . . \\ a . (\begin{array}{c} 6 \\ 14 \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} 6 \\ 13 \end{array}) \\ c . (\begin{array}{c} 6 \\ 15 \end{array}) \\ d . (\begin{array}{c} 5 \\ 16 \end{array}) \\ e . (\begin{array}{c} 5 \\ 48 \end{array}) \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{p} + \vec{q} & = (\begin{array}{c} 8 \\ 7 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 8 - 3 \\ 7 + 9 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 5 \\ 16 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 10. & Jika vektor \vec{p} = (\begin{array}{c} ^{2} \log 32 \\ -^{3} \log \frac{1}{81} \end{array}) dan \vec{q} = (\begin{array}{c} - 9 \\ - 21 \end{array}) \\ Hasil dari \vec{p} + \vec{q} adalah . . . . \\ a . (\begin{array}{c} 6 \\ 17 \end{array}) \\ b . (\begin{array}{c} - 6 \\ - 17 \end{array}) \\ c . (\begin{array}{c} 4 \\ 17 \end{array}) \\ d . (\begin{array}{c} - 4 \\ - 17 \end{array}) \\ e . (\begin{array}{c} 5 \\ - 16 \end{array}) \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{p} + \vec{q} & = (\begin{array}{c} ^{2} \log 32 \\ -^{3} \log \frac{1}{81} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 9 \\ - 21 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 5 - 9 \\ 4 - 21 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 17 \end{array}) \end{aligned} \end{array}$

Contoh 1 Soal dan Pembahasan Materi Vektor

$\begin{array}{ll} 1. & Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut \end{array}$

$\begin{array}{ll} . & maka vektor \vec{u} adalah . . . . \\ \begin{array}{llllllll} a . & 3 \vec{i} + 5 \vec{j} & d . & - 3 \vec{i} - 5 \vec{j} \\ b . & 5 \vec{i} + 3 \vec{j} & c . & - 3 \vec{i} + 5 \vec{j} & e . & - 5 \vec{i} + 3 \vec{j} \end{array} \\ Jawab \\ Kita perhatikan lagi gambarnya \\ \begin{aligned} Vektor \vec{u} jika dinyatakan sebagai \\ kombinasi linear adalah \vec{u} = - 3 \vec{i} + 5 \vec{j} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 2. & Panjang vektor \vec{p} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 8 \end{array}) adalah . . . . \\ a . \sqrt{4} \\ b . \sqrt{12} \\ b . \sqrt{20} \\ d . \sqrt{80} \\ e . \sqrt{100} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{p} & = (\begin{array}{c} 4 \\ - 8 \end{array}), maka besar dari vektor \\ \vec{p} & adalah = | \vec{p} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ Yaitu \\ | \vec{p} | & = \sqrt{4^{2} + (- 8)^{2}} \\ = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 3. & Perhatikanlah gambar berikut \end{array}$ .

$\begin{array}{ll} . & Panjang vektor \vec{h} tersebut di atas adalah . . . . \\ a . 5 \\ b . 7 \\ c . 10 \\ d . 12 \\ e . 15 \\ Jawab \\ \begin{aligned} Diketahui & \vec{h} = \overset{―}{O H} = 8 \vec{i} + 6 \vec{j} \\ \vec{h} & = \sqrt{x_{H}^{2} + y_{H}^{2}} \\ = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} (ingat tripel Pythagoras) \\ = \sqrt{10^{2}} = 10 \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 4. & Vektor satuan dari \vec{q} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} adalah . . . . \\ a . \frac{4}{5} \vec{i} - \frac{3}{5} \vec{j} \\ b . \frac{3}{5} \vec{i} - \frac{4}{5} \vec{j} \\ c . 3 \vec{i} - 4 \vec{j} \\ d . 4 \vec{i} - 3 \vec{j} \\ e . 15 \vec{i} - 20 \vec{j} \\ Jawab \\ \begin{aligned} \vec{q} & = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} \\ Vektor satuan dari vektor \vec{q} adalah : \\ {\hat{e}}_{_{\vec{q}}} = \frac{1}{| \vec{q} |} . \vec{q} \\ Sehingga \\ {\hat{e}}_{_{\vec{q}}} & = \frac{1}{\sqrt{3^{2} + (- 4)^{2}}} . (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array}) \\ = \frac{1}{5} (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array}) \\ atau dalam vektor basis \\ = \frac{3}{5} \vec{i} - \frac{4}{5} \vec{j} \end{aligned} \end{array}$

$\begin{array}{ll} 5. & Vektor berikut yang memiliki panjang \\ 29 satuan adalah . . . . \\ a . 18 \vec{i} - 19 \vec{j} \\ b . 19 \vec{i} - 20 \vec{j} \\ c . 20 \vec{i} - 21 \vec{j} \\ d . 21 \vec{i} - 22 \vec{j} \\ e . 22 \vec{i} - 23 \vec{j} \\ Jawab \\ \begin{aligned} Ingat & lah akan tigaan Pythagoras \\ {\begin{cases} (3, 4, 5) & \Rightarrow 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} \\ (5, 12, 13) & \Rightarrow 5^{2} + 12^{2} = 13^{2} \\ (8, 15, 17) & \Rightarrow \dots \\ (20, 21, 29) & \Rightarrow \dots \\ ⋮ & d l l \end{cases} \\ Sehin & gga \\ yang & paling mungkin adalah : \\ = \sqrt{20^{2} + 21^{2}} = \sqrt{400 + 441} \\ = \sqrt{841} \\ = 29 \end{aligned} \end{array}$

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor

$\begin{aligned} A . & Panjang Proyeksi Ortogonal Suatu \\ Vektor pada vektor lain \end{aligned}$ .

Perhatikanlah ilstrasi gambar yang dibentuk dari dua vektor berikut

Pada gambar di atas

\begin{array}{cc} △ OAC & ∠ (\vec{a}, \vec{b}) \\ \begin{aligned} \cos θ & = \frac{| \vec{c} |}{| \vec{a} |} \\ \Leftrightarrow | \vec{c} | & = | \vec{a} | \cos θ . . . . . . . . (1) \end{aligned} & \begin{aligned} \cos θ & = \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} . . . . . . . . (2) \end{aligned} \end{array}

\begin{aligned} Dari (1) & dan (2) diperoleh \\ | \vec{c} | & = | \vec{a} | \cos θ \\ = | \vec{a} | (\frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}) \\ = | \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} | \end{aligned}

$\begin{aligned} B . & Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor \\ pada vektor lain \end{aligned}$ .

\begin{matrix} Perhatikan pula misal \hat{c} adalah vektor satuan dari \vec{c} dan \vec{b}, \\ \begin{aligned} maka \vec{c} & = | \vec{c} | \hat{c} \end{aligned} dan \begin{aligned} \vec{b} & = | \vec{b} | \hat{b} = | \vec{b} | \hat{c} \end{aligned} \\ \begin{aligned} Sehingga & proyeksi ortogonal vektor \vec{a} pada \vec{b} adalah : \\ \vec{c} & = | \vec{c} | \hat{b} \\ = (\frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |}) (\frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}) \\ = (\frac{\vec{a} \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}}) \vec{b} \end{aligned} \end{matrix}

CONTOH SOAL

\begin{array}{ll} 1. & Diketahui vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) . \\ Tentukanlah proyeksi ortogonal vektor \\ \vec{a} pada \vec{b} dan tentukanlah panjangnya \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Misalkan & \vec{c} adalah vektor proyeksi yang dimaksud, \\ maka \\ \vec{c} & = (\frac{\vec{a} \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}}) \vec{b} \\ = \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) . (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array})}{(- 2)^{2} + 1^{2}} . \vec{b} = \frac{3. (- 2) + 2.1}{4 + 1} (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) \\ = - \frac{4}{5} (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{8}{5} \\ - \frac{4}{5} \end{array}) atau \\ = \frac{8}{5} \bar{i} - \frac{4}{5} \bar{j} \end{aligned} \\ \begin{aligned} Dan panjang & vektor proyeksi yang dimaksud adalah : \\ | \vec{c} | & = | \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} | \\ = | \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) . (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array})}{\sqrt{(- 2)^{2} + 1^{2}}} | = | \frac{3. (- 2) + 2.1}{\sqrt{4 + 1}} | \\ = | - \frac{4}{\sqrt{5}} | \\ = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5} \sqrt{5} \end{aligned} \end{array}

\begin{array}{ll} 2. & Diketahui vektor \vec{a} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 4 \end{array}) dan \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array}) . \\ Tentukanlah proyeksi ortogonal vektor \\ \vec{a} pada \vec{b} dan tentukanlah panjangnya \\ Jawab : \\ \begin{aligned} Misalkan & \vec{c} adalah vektor proyeksi yang dimaksud, \\ maka \\ \vec{c} & = (\frac{\vec{a} \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}}) \vec{b} \\ = \frac{(\begin{array}{c} - 5 \\ 4 \end{array}) . (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array})}{2^{2} + 6^{2}} . \vec{b} = \frac{(- 5) .2 + 4.6}{4 + 36} (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array}) \\ = \frac{7}{20} (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{7}{10} \\ \frac{21}{10} \end{array}) atau \\ = \frac{7}{10} \bar{i} + \frac{21}{10} \bar{j} \end{aligned} \\ \begin{aligned} Dan panjang & vektor proyeksi yang dimaksud adalah : \\ | \vec{c} | & = | \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} | \\ = | \frac{(\begin{array}{c} - 5 \\ 4 \end{array}) . (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + 6^{2}}} | = | \frac{(- 5) .2 + 4.6}{\sqrt{4 + 36}} | \\ = | \frac{14}{\sqrt{40}} | \\ = \frac{14}{2 \sqrt{10}} = \frac{7}{10} \sqrt{10} \end{aligned} \end{array}

. Coba bandingkan dengan vektor di dimensi tiga berikut

\begin{array}{ll} 3. & Diketahui vektor \vec{a} = 3 \bar{i} - 2 \bar{j} + 2 \bar{k} dan \vec{b} = 2 \bar{i} - 2 \bar{j} + \bar{k} \\ Tentukanlah panjang vektor proyeksi ortogonal \\ a . \vec{a} pada \vec{b} b . \vec{a} pada (\vec{a} + \vec{b}) \\ Jawab : \\ \begin{aligned} a . Misal & kan \vec{c} adalah vektor proyeksi yang dimaksud, \\ maka panjanynya \\ | \vec{c} | & = | \frac{\vec{a} \vec{b}}{| \vec{b} |} | \\ = | \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) . (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array})}{\sqrt{2^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}}} | = | \frac{3.2 + (- 2) . (- 2) + 2.1}{\sqrt{4 + 4 + 1}} | \\ = | \frac{12}{3} | = 4 \end{aligned} \\ \begin{aligned} b . Misal & kan \vec{f} adalah vektor proyeksi yang dimaksud, \\ maka panjanynya \\ | \vec{f} | & = | \frac{\vec{a} (\vec{a} + \vec{b})}{| \vec{a} + \vec{b} |} | \\ = | \frac{(\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) . (\begin{array}{c} 3 + 2 \\ - 2 + (- 2) \\ 2 + 1 \end{array})}{\sqrt{(3 + 2)^{2} + (- 2 + (- 2))^{2} + (2 + 1)^{2}}} | \\ = | \frac{3.5 + (- 2) . (- 4) + 2.3}{\sqrt{25 + 16 + 9}} | \\ = | \frac{29}{\sqrt{50}} | \\ = \frac{29}{5 \sqrt{2}} = \frac{29}{10} \sqrt{5} \end{aligned} \end{array}

A.Panjang Proyeksi Ortogonal SuatuVektor pada vektor lain.

B.Proyeksi Ortogonal Suatu Vektorpada vektor lain.

$\begin{aligned} A . & Panjang Proyeksi Ortogonal Suatu \\ Vektor pada vektor lain \end{aligned}$ .

$\begin{aligned} B . & Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor \\ pada vektor lain \end{aligned}$ .