$\color{blue}\textrm{C. Perkalian Silang Vektor (Pengayaan)}$.
Pada ruang dimensi tiga khususnya pada vektor akan berlaku perkalian silang (cross vektor) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan vektor tunggal. Misalkan diketahui $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah dua vektor sembarang dan keduanya membentuk sudut $\theta$, maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah sebuah vektor baru dengan dinotasiakan sebagai $\vec{u}\times \vec{v}$. Tentunya sebagai syarat kedua vektor tersebut masing-masing tidak berupa vektor nol.
Jika $\vec{u}\times \vec{v}=\vec{c}$ , maka
$\begin{aligned}\vec{u}&\times \vec{v}=\vec{c}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k} \end{aligned}$
Lalu kalau sudah demikian berapa besarnya? dan ke mana arahnya?
Besarnya adalah $\left | \vec{u}\times \vec{v} \right |=\left | \vec{u} \right |\left | \vec{v} \right |\sin \theta$ dan arahnya tegak lurus terhadap $\vec{u}$ dan $\vec{v}$.
Sebagai ilustrasi perhatikanlah gambar berikut untuk dua buah vektor sebagai misal $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.
Jika putarannya dibalik, maka akan mendapatkan hasil sebagai mana ilustrasi berikut
Sehingga perlu diingat bahwa : $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.
Pada hasil kali silang dua vektor berlaku
- tidak bersifat komutatif , karena $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.
- distributif terhadap penjumlahan : $\vec{a}\times \left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$.
- pada perkalian dengan skalar : $k\left (\vec{a}\times \vec{b} \right )=\left (k\vec{a} \right )\times \vec{b}=\vec{a}\times \left ( k\vec{b} \right )$.
- berlaku untuk sembarang vektor : $\vec{a}\times \vec{a} =0$.
- jika kedua vektor sejajar, maka hasil kalinya adalah = 0.
- Nilai dari perkalian kedua vektor terbut adalah sama dengan hasil luas jajar genjang.
- Nilai dari poin 6 jika dibagi 2 akan berupa hasil luas sebuah segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
- berlaku identitas Lagrange : $\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |^{2}=\left | \vec{a} \right |^{2}.\left | \vec{b} \right |^{2}-\left ( \vec{a}\: \bullet \: \vec{b} \right )^{2}$.
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a}=4\vec{i}+3\vec{j}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=4\vec{i}-3\vec{k}\\ &\textrm{Tentukanlah hasil}\: \: \vec{a}\times \vec{b}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\times \vec{a}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\vec{a}&\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 3 &0 \\ 4 & 0 &-3 \end{vmatrix}\\ &=(-9-0)\vec{i}-(-12-0)\vec{j}+(0-12)\vec{k}\\ &=-9\vec{i}+12\vec{j}-12\vec{k} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\vec{b}&\times \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 0 &-3 \\ 4 & 3 &0 \end{vmatrix}\\ &=(0-(-9))\vec{i}-(0-(-12))\vec{j}+(12-0)\vec{k}\\ &=9\vec{i}-12\vec{j}+12\vec{k} \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Diketahui}\: \: \vec{a}=6\vec{i}+2\vec{j}+10\vec{k}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}=4\vec{i}+\vec{j}+9\vec{k}\\ &\textrm{Tentukanlah hasil}\: \: \vec{a}\times \vec{b}\: \: \textrm{dan}\: \: \vec{b}\times \vec{a}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\vec{a}&\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 6 & 2 &10 \\ 4 & 1 &9 \end{vmatrix}\\ &=(18-10)\vec{i}-(54-40)\vec{j}+(6-8)\vec{k}\\ &=8\vec{i}-14\vec{j}-2\vec{k} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\vec{b}&\times \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 1 &9 \\ 6 & 2 &10 \end{vmatrix}\\ &=(10-18)\vec{i}-(40-54)\vec{j}+(8-6)\vec{k}\\ &=-8\vec{i}+14\vec{j}+2\vec{k} \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah luas segitiga}\: \: ABC\: \: \textrm{jika}\\ &\textrm{diketahui}\: \: A(2,1,-2),\: B(0,-1,0),\: \: \textrm{dan}\\ &C(-1,2,-1)\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Misalkan luas segitiga}\: \: \displaystyle \frac{1}{2}\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |,\: \: \textrm{dengan}\\ &\begin{cases} \vec{p} & =\overline{AB}=\overline{OB}-\overline{OA}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ -2\\ 2 \end{pmatrix} \\ \vec{q} & =\overline{AC}=\overline{OC}-\overline{OA}=\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{cases}\\ &\begin{aligned}\vec{p}&\times \vec{q}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} & y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}\\ &=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\vec{k}\\ &=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -2 & -2 &2 \\ -3 & 1 &1 \end{vmatrix}\\ &=(-2-2)\vec{i}-(-2-(-6))\vec{j}+(-2-6)\vec{k}\\ &=-4\vec{i}-4\vec{j}-8\vec{k}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |=\sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}+(-8)^{2}}\\ &\quad\qquad =\sqrt{16+16+64}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\\ &\textrm{Maka luas segi tiganya adalah}:\\ &\textrm{luas}\: \triangle ABC=\displaystyle \frac{1}{2}\left | \vec{p}\times \vec{q} \right |=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 4\sqrt{6} \right )=\color{red}2\sqrt{6} \end{aligned} \end{array}$
DAFTAR PUSTAKA
- Yuana, R.A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT. TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi