Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan Perpangatan (Bagian 2)

 Misal kita menemukan persoalan berikut

$\begin{aligned}&\textrm{Diberikan}\quad x+\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\: \text{maka nilai dari}\quad x^{\displaystyle 2022}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2022}}\end{aligned}$

Jika kita langsung terungat tentang persamaan kuadrat dengan akar-akarnya, maka hal tersebut adalah hal bagus, karena setidaknya kita sudah menuju ke arah yang tepat walaupun kita belum terpikirkan jawabnya seperti apa nantinya

Kita cari pelan-pelan solusinya, yaitu

$\begin{aligned}&\textrm{Nilai}\quad x+\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\textbf{rasio emas}=\phi\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &x+\displaystyle \frac{1}{x}=\phi\Leftrightarrow x^{\displaystyle 2}-\phi x+1=0\Leftrightarrow x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\phi^{\displaystyle 2}-4}}{2}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}\\ &\phi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \phi^{\displaystyle 2}=\displaystyle \frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ &\textrm{Sehingga}\\ &x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\phi^{\displaystyle 2}-4}}{2}\Leftrightarrow x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\left( \displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)-4}}{2}\\ &\Leftrightarrow x_{\displaystyle 1,2}=\displaystyle \frac{\phi\pm \sqrt{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-5}{2}}}{2}\\ &\textrm{Dari uraian di atas, kita tahu bahwa akar-akarnya tidak riil (bilangan kompleks)}\end{aligned}$.

Ok, kita lanjutkan. Langkah berikutnya ingat teorema De Moivre, terkait bilangan kompleks, yaitu:

$\begin{aligned}&x=\cos\theta+i\sin\theta,\quad \textrm{untuk}\\ &x^{\displaystyle n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\quad \textrm{dan}\quad x^{\displaystyle -n}=\cos n\theta-i\sin n\theta\\ &\textrm{Sehingga untuk}\\ &x^{\displaystyle n}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle n}}=x^{\displaystyle n}+x^{\displaystyle -n}=\cos n\theta+i\sin n\theta+\cos n\theta-i\sin n\theta=2\cos n\theta\\ &\textrm{Selanjutya untuk}\\ &x^{\displaystyle 2022}+x^{\displaystyle -2022}=2\cos 2022\theta\\ &\textrm{Dan perlu diingat pula bahwa}:\quad x+\displaystyle \frac{1}{x}=2\cos \theta=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ &\Leftrightarrow \cos\theta=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}\Rightarrow \theta=36^{0}=\frac{\pi}{5}\: \textrm{radian}\\ &\textrm{Dari hal di atas, maka kita dapat menuliskan}\\ &x^{\displaystyle 2022}+x^{\displaystyle -2022}=2\cos 2022\theta=2\cos(2022\times 36^{0})\\ &\qquad=2\cos(72.792^{0})=2\cos(202\times 360^{0}+72^{0})=2\cos(72^{0})\\ &\qquad =2\sin 18^{0}=2\left( \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)=\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ &\textrm{Jadi, nilai dari}\quad x^{\displaystyle 2022}+\displaystyle \frac{1}{x^{\displaystyle 2022}}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\phi-1\end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Idris, M., Rusdi, I. 2015. Langkah Awal Meraih Medali Emas Olimpiade Matematika SMA. Bandung: Yrama Widya
2. Tim ITB. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: LPPM ITB