Persamaan Polinom

 $\mathbf{\text{1. Pencarian akar-akar persamaan polinom}}$

Persamaan suku banyak/polinom  $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$  dengan  $n>1\text{dan}{a}_n\ne 0$  paling sedikit memiliki sebuah akar riil atau imajiner. Pada bahasan ini untuk mendapatkan akar-akar rasional perlu dilakukan cara coba-coba. Misalkan  $x=h$  kita pilih, selanjutnya tinggal kita buktikan bahwa apakah  $x=h$ apakah akar polinom tersebut atau tidak, jika $f(h)=0$, maka $x=h$ adalah termasuk akar dari polinom tersebut, tetapi jika tidak  atau  $f(h)\ne 0$, maka $x=h$ bukan akar yang diinginkan.

Beberapa petunjuk agar  $x=h$  terarah sebagai akar polinom

• Misalkan  $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$  dengan  $r$  adalah faktor dari  $a_0$, dan  $s$  adalah faktor dari  $a_n$, maka akar-akar rasional jika ada adalah  $x=h={\displaystyle \frac{r}{s}}$.
• Jika pada langkah pertama di atas ditemukan sebuah akar rasional katakanlah  $x=h_1$, maka tentukan hasil bagi  $f(x)$  dengan  $x=h_1$  ini. Misalkan hasil baginya adalah  $h_1(x)$  atau  $f(x)=(x-h_1)h_1(x)$, maka langkah berikutnya carilah akar dari  $h_1(x)$ ini. Dan jika didapatkan akar dari  $h_1(x)$  adalah  $x=h_2$, maka tentukanlah hasil bagi  dari  $h_1(x)$  oleh  $x=h_2$, katakanlah hasilnya  $h_2(x)$, maka  $f(x)=(x-h_1)(x-h_2)h_2(x)$ demikian seterusnya.

$\mathbf{\text{2. Jumlah dan hasil kali akar-akar polinom}}$

Untuk fungsi  derajat 2 maka berlaku seperti menentukan rumus jumlah dan selisih pada persamaan kuadrat. Tetapi untuk polinom berderajat tiga  $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$  saat  $f(x)=0$, maka berlaku

$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{dengan}\\ & x_1,x_2,x_3\text{adalah akar-akarnya, maka}\\ \bullet & x_1+x_2+x_3=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ \bullet & x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3={\displaystyle \frac{c}{a}}\\ \bullet & x_1\times x_2\times x_3=-{\displaystyle \frac{d}{a}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{Unt}& \text{uk yang berderajat empat}\\ f(x)& =a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e\text{saat}f(x)=0\\ & \text{dengan}{x}_1,x_2,x_3,x_4\text{adalah akar-akarnya},\\ & \text{maka}\\ \bullet & x_1+x_2+x_3+x_4=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ \bullet & x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_3+...+x_3{x}_4={\displaystyle \frac{c}{a}}\\ \bullet & x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-{\displaystyle \frac{d}{a}}\\ \bullet & x_1{x}_2{x}_3{x}_4={\displaystyle \frac{e}{a}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Rumus Tambahan}}\\ & \bullet x_1^2+x_2^2={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2\\ & \bullet x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ & ={(x_1+x_2+x_3)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)\\ & \bullet x_1^3+x_2^3+x_3^3\\ & ={(x_1+x_2+x_3)}^3-3x_1{x}_2{x}_3(x_1+x_2+x_3)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Teorema Vieta berkaitan polinom}}\\ & \text{Persamaan polinom berderajat}n\\ & a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0\\ & \text{dengan akar-akar}:x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n,\\ & \text{maka}:\\ & \bullet x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n=-{\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}}\\ & \bullet x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_2{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n={\displaystyle \frac{a_{n-2}}{a_n}}\\ & \bullet x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+\cdots +x_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n=-{\displaystyle \frac{a_{n-3}}{a_n}}\\ & ⋮\\ & \bullet x_1{x}_2{x}_3\cdots x_n=(-1{)}^n.{\displaystyle \frac{a_0}{a_n}}\end{array}$

$\text{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Jika akar-akar dari polinom}\\ & x^3+2x^2-5x-6=0\text{adalah}\\ & x_1,x_2,\text{dan}{x}_3,\text{tentukanlah nilai}\\ & \text{a}.x_1+x_2+x_3\\ & \text{b}.x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\\ & \text{c}.x_1\times x_2\times x_3\\ & \text{d}.x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Diketahui bahwa}:x^3+2x^2-5x-6=0\\ & \text{dengan koefisien-koefisien variabelnya}\\ & a_3=1,a_2=2,a_1=-5,\text{dan}{a}_0=-6\\ & \text{Menurut}\mathbf{\text{Teorema Vieta}},\text{maka}\\ & \text{a}.x_1+x_2+x_3=-{\displaystyle \frac{a_2}{a_3}=-\frac{2}{1}=-2}\\ & \text{b}.x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3={\displaystyle \frac{a_1}{a_3}={\displaystyle \frac{-5}{1}=-5}}\\ & \text{c}.x_1\times x_2\times x_3=-{\displaystyle \frac{a_0}{a_3}=-{\displaystyle \frac{-6}{1}=6}}\\ & \text{d}.x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ & ={(x_1+x_2+x_3)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)\\ & =(-2{)}^2-2(-5)=4+10=14\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Diketahui polinom}{x}^3+3x-1=0\\ & \text{dengan akar-akar}\alpha ,\beta ,\text{dan}\gamma \\ & \text{tentukanlah nilai}{\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \text{Pandang polinom}{x}^3+3x-1=0\\ & \text{dengan}:a_3=1,a_2=0,a_1=3,a_0=-1\\ & \text{maka bentuk nilai dari akar-akarnya}\\ & \text{yaitu}:\\ & \bullet {\alpha }^3+3\alpha -1=0.......(1)\\ & \bullet {\beta }^3+3\beta -1=0.......(2)\\ & \bullet {\gamma }^3+3\gamma -1=0.......(3)\\ & \text{Ketika persamaan}(1)+(2)+(3)\text{maka}\\ & \iff {\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3+3(\alpha +\beta +\gamma )-3=0\\ & \iff {\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3+3\left({\displaystyle \frac{a_2}{a_3}}\right)-3=0\\ & \iff {\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3+3\left(0\right)-3=0\\ & \iff {\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3=3\end{array}$

Daftar Pustaka

1. Kartini, Suprapto, Subandi, Setiadi, U. 2005. Matematika Kelas XI untuk SMA dan MA Program Studi Ilmu Alam. Klaten: INTAN PARIWARA.
2. Nugroho, P. A., Gunarto, D. 2013. Big Bank Soal+Bahas Matematika SMA/MA Kelas 1, 2, 3. Jakarta: WAHYUMEDIA.
3. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2017. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT.
4. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, Subagya. 2005. Matematika 2 untuk SMA Kelas XI IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.
5. Sukino, S., Intan, T. S., Santiago, Y. E. 2015. Pena Emas Olimpiade Sains Nasional Matematika untuk SMP Seri Kinomatika 1: Seleksi Tingkat Sekolah dan Seleksi Tingkat Kabupaten\Kota. Bandung: YRAMA WIDYA.
6. Sukino. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: ERLANGGA.