Aljabar-Memecahkan soal terkait permasahan akar (Bagian 1)

 Berikut ada soal unik penjumlahan berulang tetapi mengandul bilangan bentuk akar, yaitu

$\begin{aligned}&\textrm{Nilai dari}\\ &\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{2}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}+\cdots + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{n}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{n}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{n}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}} \end{aligned}$.

Kalau sekilas lihat soalnya jadi terasa banyak ada kendala, bagaimana untuk mendaptakan solusinya. Ada sebuah hal yang menarik, yaitu, kita coba urai bagian perbagian, dan kita akan lihat seperti apa polanya, karena jelas soal ini memiliki pola

$\begin{aligned}&\textrm{Perhatikan bahwa bentuk},\\ &\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{1}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}\Rightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\vdots }}}}\\ &\textrm{kita coba tarik polanya, yaitu}\\ &U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{\sqrt{k}+U_{\displaystyle k}}\Leftrightarrow  U_{\displaystyle k}^{\displaystyle 2}+\sqrt{k}.U_{\displaystyle k}-\displaystyle \frac{1}{4}=0\\ &U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{-\sqrt{k}\pm \sqrt{k-4.1.\left( -\displaystyle \frac{1}{4} \right)}}{2}\Leftrightarrow  U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{-\sqrt{k}\pm \sqrt{k+1}}{2}\\ &\textrm{Karena baik penyebut maupun pembilang bernilai positif, maka}\\ &\textrm{kita gunakan akar yang positif saja, yaitu}:\\ &U_{\displaystyle k}=\displaystyle \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{2}\\ &\textrm{Sehingga bisa dipastikan deretnya dalah teleskopik, yaitu}:\\ &S_{\displaystyle n}=\displaystyle \frac{1}{2}\left( \left( \sqrt{2}-\sqrt{1} \right)+\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right) +\cdots +\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\right)\\ &\:\:\quad=\displaystyle \frac{\sqrt{n+1}-1}{2} \end{aligned}$

Jadi, ternyata barisan bilangan tersebut di atas memiliki pola teleskopik dengan jumlah seperti tertera di atas