Persamaan Nilai Mutlak

$\LARGE{\textrm{A. Pendahuluan}}$

Nilai Mutlak suatu bilangan adalah sebuah jarak yang pengukurannya dimulai dati titik O pada suatu garis bilangan.

\begin{array}{cccc|cccc}\\ &&&&&&\\ &&&&&&\\ \left | x \right |=-x&&&&&&&\left | x \right |=x\\\hline \color{red}x<0&&&\color{blue}O&&&&\color{magenta}x>0\\ &&&&&&\\ \end{array}

Selanjutnya nilai mutlak disimbokan dengan |x|, dengan

$\left | x \right |=\begin{cases} x,\quad \textrm{untuk}\: \: x> 0\\ 0,\quad \textrm{untuk}\: \: x=0 \\ -x,\quad \textrm{untuk}\: \: x< 0 \end{cases}$

Sebagai contohnya adalah:

|2020| = 2020 dan |-2020| = - (-2020) = 2020

Sebagai catatan sebuah bilangan diposisi paling depan dalam perhitungan dalam matematika tanda bilangannya jika tidak dituliskan selalu bertanda positif.

$\color{blue}\LARGE{\textrm{Contoh Soal}}$

Coba perhatikan 

$\begin{aligned}2-\left | -3 \right |+\left | 10 \right |-\left | 5 \right |+9-7&=2-\color{red}3\color{black}+10-5+9-7\\ &=+2+10+9-3-5-7\\ &=+(2+10+9)-(3+5+7)\\ &=+21-15\\ &=+6\\ &=6 \end{aligned}$

Selanjutnya cara model pengerjaan di atas cukup dituliskan dengan

\begin{aligned}2-\left | -3 \right |+\left | 10 \right |-\left | 5 \right |+9-7&=2-\color{red}3\color{black}+10-5+9=6 \end{aligned}

$\LARGE{\textrm{B. Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak}}$

$\LARGE{\textrm{a. Bentuk}}$  $\left | f(x) \right |=a\: \: \textrm{dengan}\: \: a\geq 0$

Solusi dari bentuk di atas adalah  $f(x)=\pm a$

Perhatikan contoh berikut ini

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah penyelesaian berikut}\\ \left | x-2020 \right |+2=2021\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \left | x-2020 \right |+2=2021\\ \left | x-2020 \right |=2021-2\\ \left | x-2020 \right |=2019\\ x-2020=\pm 2019\\ \begin{array}{ll}\\ \color{red}\textrm{Bentuk 1}&\color{blue}\textrm{Bentuk 2}\\ x-2020=2019&x-2020=-2019\\ x=2019+2020&x=-2019+2020\\ x=4039&x=1 \end{array} \end{array}$

$\LARGE{\textrm{b. Bentuk}}$ $\left | f(x) \right |=g(x)$

Penyelesaian bentuk di atas sama persis dengan kasus di poin a di atas tetapi bedanya, hasil yang telah didapatkan harus diuji dulu apakah masuk wilayah daerah penyelesaian tang dimasud atau bukan. Andai hasil yang didapatkan termasuk pada wilayah yang diharapkan, maka hasil tersebut merupakan penyelesaian persamaan model ini dan andai kata tidak memenuhi, maka hasil yang didapat bukan termasuk penyelesaian.

Coba perhatikanlah contoh soal berikut

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah nilai}\: \: x\: \: \textrm{jika}\: \: \left | x+2 \right |=3x-4 \end{array}$

Jawab:

Perhatikanlah langkah berikut

$\begin{aligned}\textrm{untuk}\: \: \left | x+2 \right |&=3x-4\: \: \begin{cases} x\geq -2 & \text{maka } \Rightarrow x+2=+(3x-4)\\ x< -2& \text{maka } \Rightarrow x+2 =-(3x-4) \end{cases} \end{aligned}$

$\begin{array}{|c|c|}\hline x\geq -2&x< -2\\\hline \begin{aligned}x+2&=+(3x-4)\\ x+2&=3x-4\\ x-3x&=-4-2\\ -2x&=-6\\ x&=3 \end{aligned}&\begin{aligned}x+2&=-(3x-4)\\ x+2&=-3x+4\\ x+3x&=4-2\\ 4x&=2\\ x&=\displaystyle \frac{1}{2} \end{aligned}\\\hline \color{blue}\textrm{memenuhi}&\color{red}\textrm{tidak memenuhi}\\\hline \end{array}$

Jadi yang memenuhi persamaan di atas cuma x = 3 saja

$\LARGE{\textrm{c. Bentuk}}$ $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right |+a$

Penyelesaian bentuk ini adalah dengan menggunakan definisi mutlak. Selanjutnya perbagian dikondisikan sesuai dengan posisinya beraitan dengan pertidaksamaan yang nanti timbul sebagai batas wilayah daerah penyelesaian.

berikut ini diberikan contoh soalnya

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$