PAS MATEMATIKA BLOG: Lanjutan Limit Fungsi Trigonometri

B. Definisi Limit

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\\ \textbf{Definisi}&\: \: \textbf{Limit}\\\\ \textrm{Misalkan}&\: \: f\: \: \textrm{sebuah fungsi}\: \: f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\: \: \textrm{dan}\: \: L,c\in \mathbb{R}\\ 1.\quad&\textrm{Limit fungsi trigonometri};\: \: \underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)=L\: \: \: \textbf{ada} \\ &\textrm{untuk semua nilai}\: \: x\: \: \textrm{mendekati}\: \: c,\\ &\textrm{jika dan hanya jika nilai}\: \: f(x)\: \: \textrm{mendekati}\: \: L\\ 2.\quad&\underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)=L\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow c^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow c^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)=L\\ &\textrm{limit kiri}\, =\, \textrm{limit kanan} \end{aligned}\\\hline \end{array}$

CONTOH

Tentukanlah nilai dari limit

$\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}$

JAWAB:

Saat kita diberikan $f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}$ , bagaimana saat nilai x mendekati 2,

Perhatikanlah tabel berikut!

$\color{blue}\begin{array}{|l|l|r|r|}\hline x\rightarrow 2^{-}&\multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\\ &\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}\\ & \end{aligned}}&x\rightarrow 2^{+}\\\hline 1,7&3,7&4,2&2,2\\\hline 1,8&3,8&4,1&2,1\\\hline 1,99&3,99&4,01&2,01\\\hline 1,999&3,999&4,001&2,001\\\hline \: \: \: \: \downarrow &\: \: \: \: \downarrow &\downarrow \: \: \: \: &\downarrow \: \: \: \: \\ \: \: \: \: 2^{-}&\: \: \: \: 4&4\: \: \: \: &2^{+}\: \: \\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\underset{x\rightarrow 2^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)}\\\hline \end{array}$

Karena dari kiri dan dari kanan menunjukkan hasil yang sama yaitu 4 (hasilnya), maka dapat disimpulkan bahwa nilai

$\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2}=4$

Sebagai gambarannya dapat kita gambarkan hasil di atas sebagai berikut

Sebagai pengingat Kekontinuan suatu fungsi

Definisi

$\begin{array}{|c|}\hline \begin{aligned}&\\ \textbf{Definisi}&\: \: \textbf{Kekontinuan Fungsi}\\\\ \textrm{Suatu}&\: \textrm{fungsi}\: \: y=f(x)\: \: \textrm{dikatakan kontinu di}\: \: x=c\: \: \textbf{jika}\\ 1.\quad&f(c)\: \: \textrm{terdefinisi}\\ 2.\quad&\underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)\: \: \textrm{ada}\\ 3.\quad&\underset{x\rightarrow c}{\textrm{lim}}\: f(x)=f(c) \end{aligned}\\\hline \end{array}$

CONTOH

Selidikilah apakah fungsi

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2},\quad x\neq 2\\\\\\ 4,\qquad x=2 \end{matrix}\right.$

kontinu di x = 2

JAWAB:

$\begin{aligned}(1)\quad&\textrm{untuk}\: \: c=2\: \: \textrm{maka}\: \: f(c)=f(2)=4,\: f(c)\: \: \textbf{ada/terdefinisi}\\ (2)\quad&\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: f(x)\: \: \textbf{ada},\\ &\underset{x\rightarrow 2^{-}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{\textrm{lim}}\: f(x)=\underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: (x+2)=4\\ (3)\quad&\textrm{dari 2 poin di atas didapatkan}\: \: \underset{x\rightarrow 2}{\textrm{lim}}\: f(x)=f(2)=4 \end{aligned}$

Daftar Pustaka

1. Noormandiri. 2017. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam untuk SMA/MA Kelas XII. Jakarta: ERLANGGA.

PAS MATEMATIKA BLOG

Lanjutan Limit Fungsi Trigonometri

Tidak ada komentar:

Posting Komentar