Fungsi Eksponen

 $\text{A. Bilangan Pangkat Positif}$

Misalkan diketahui bahwa $a$ adalah suatu bilangan tidak nol dan $m$ adalah bilangan asli, maka bilangan ekponen atau bilangan berpangkat dedefinisikan dengan:

$a^m=\underset{m}{\underbrace{a\times a\times \times a\times ...\times a}}$

$\begin{array}{rl}\text{Bilangan}& :\\ a& \text{disebut basis atau bilangan pokok}\\ n& \text{disebut sebagai bilangan pangkat/eksponen}\end{array}$

$\text{ Contoh Soal}$

$(1).3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$

$(2).5^4=5\times 5\times 5\times 5=625$

$(3).2^6=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=64$

$(4).6^7=6\times 6\times 6\times 6\times 6\times 6\times 6=279936$

$(5).(-3{)}^3=(-3)\times (-3)\times (-3)=-27$

$(6).(-2{)}^6=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=64$

$(7).{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^3=\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)\times \left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)={\displaystyle \frac{1}{125}}$

$(8).{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^4=(-{\displaystyle \frac{1}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{32}}$

$\text{B. Sifat-Sifat Bilangan Pangkat Positif}$

$\begin{array}{r}\\ 1.& a^m.a^n=a^{m+n}\\ 2.& a^m:a^n=a^{m-n}\\ 3.& {\left(a^m\right)}^n=a^{m.n},\text{syarat}a\ne 0\\ 4.& {\left(ab\right)}^n=a^n.b^n\\ 5.& {\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n},\text{syarat}b\ne 0\end{array}$

Beberpa hal yang perlu diketahui juga, yaitu

$\begin{array}{r}\\ 1.& (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\\ 2.& (a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\\ 3.& {(a+\frac{1}{a})}^2=a^2+2+{\displaystyle \frac{1}{a^2},\text{syarat}a\ne 0}\end{array}$

$\text{ Contoh Soal}$

$\begin{array}{r}\\ (1).& 2^6\times 2^4\times 2^7=2^{6+4+7}=2^{17}\\ (2).& 2^5\times 3^5\times 7^5={(2.3.7)}^5={\left(42\right)}^5\\ (3).& {\displaystyle \frac{a^3.a^7.a^6}{a^9}={\displaystyle \frac{a^{3+7+6}}{a^9}=\frac{a^{16}}{a^9}=a^{16-9}=a^7,\text{syarat}a\ne 0}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}(4).{\displaystyle \frac{3^7{.7}^3.2}{{\left(42\right)}^3}}& =\frac{2^1{.3}^7{.7}^3}{{\left(2.3.7\right)}^3}=\frac{2^1{.3}^7{.7}^3}{2^3{.3}^3{.7}^3}\\ & =2^{1-3}{.3}^{7-3}{.7}^{3-3}=2^{-2}{.3}^4{.7}^0\\ & =\frac{1}{2^2}{.3}^4.1=\frac{3^4}{2^2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}(5).{\displaystyle \frac{2^{2020}+2^{2021}+2^{2022}}{7}}& ={\displaystyle \frac{{1.2}^{2020}+2^1{.2}^{2020}+2^2{.2}^{2020}}{7}}\\ & =\frac{(1+2+4){.2}^{2020}}{7}\\ & =\frac{{7.2}^{2020}}{7}\\ & =2^{2020}\end{array}$

$\begin{array}{rl}(6){\displaystyle \frac{{\left(2^{n+2}\right)}^2-2^2{.2}^{2n}}{2^n{.2}^{n+2}}}& ={\displaystyle \frac{2^{2(n+2)}-2^2{.2}^{2n}}{2^n{.2}^n{.2}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2^{2n}{.2}^{2.2}-2^2{.2}^{2n}}{2^{n+n}{.2}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2^{2n}(2^4-2^2)}{2^{2n}{.2}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(2^4-2^2)}{2^2}=\frac{16-4}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{12}{4}=3}\end{array}$

$\text{C. Bentuk Akar}$

Bilangan bentuk akar di sini adalah kebalikan dari bilangan bentuk pangkat. Bilangan bentuk akar selanjutnya disebut bilangan irasional. Sebagai contoh $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[3]{7}$ dan tapi ingat $\sqrt{4}$ dan  $\sqrt[3]{8}$ serta  $\sqrt[3]{27}$ adalah bukan bentuk akar, karena nantinya akan menghasilkan masing-masing 2 dan 3 serta 3.

$\begin{array}{rl}& \\ 1.& a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\\ 2.& a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\\ 3.& a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{a^1}=\sqrt{a}\end{array}$

Sifat-sifat yang berlaku pada operasi bilangan bentuk akar

$\begin{array}{rl}& \\ 1.& a\sqrt[n]{c}+b\sqrt[n]{c}=(a+b)\sqrt[n]{c}\\ 2.& a\sqrt[n]{c}-b\sqrt[n]{c}=(a-b)\sqrt[n]{c}\\ 3.& \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\\ 4.& \sqrt[n]{a^n}=a\\ 5.& a\sqrt[n]{c}xb\sqrt[n]{d}=ab\sqrt[n]{cd}\\ 6.& \frac{a\sqrt[n]{c}}{b\sqrt[n]{d}}=\frac{a}{b}.\sqrt[n]{\frac{c}{d}}\\ 7.& \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ 8.& \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\end{array}$

Merasionalkan penyebut

Jika suatu pecahan penyebutnya mengandung bilangan irasional atau bentuk akar, maka penyebut ini dapat dibuat menjadi bilangan rasional. Perhatikanlah langkah berikut

$\begin{array}{rl}1.& {\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b^2}\right)}=\frac{a}{b}\sqrt{b}}\\ 2.& {\displaystyle \frac{a}{\sqrt[3]{b}}=\frac{a}{\sqrt[3]{b}}\times \frac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}}=\frac{a\sqrt[3]{b^2}}{\left(\sqrt[3]{b^3}\right)}=\frac{a}{b}\sqrt[3]{b^2}}\\ 3.& {\displaystyle \frac{a}{\sqrt[5]{b^3}}={\displaystyle \frac{a}{\sqrt[5]{b^3}}\times \frac{\sqrt[5]{b^2}}{\sqrt[5]{b^2}}=\frac{a\sqrt[5]{b^2}}{\sqrt[5]{b^5}}=\frac{a}{b}\sqrt[5]{b^2}}}\end{array}$

Merasionalkan di atas adalah contoh bebrapa contoh model merasionalkan jika berjenis tunggal tetapi jika nanti jenisnya lebih dari itu, maka perhatikanlah simulasi contoh berikut

$\begin{array}{rl}& \\ 1.& {\displaystyle \frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}.\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^2-b}}\\ 2.& {\displaystyle \frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}.\frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c(a+\sqrt{b})}{a^2-b}}\\ 3.& {\displaystyle \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}}\end{array}$

Perhatikanlah simulasi contoh di atas, bentuk $a+\sqrt{b}$ memiliki bentuk sekawan (irasional juga) $a-\sqrt{b}$, demikian juga bentuk $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ memiliki sekawan $\sqrt{a}-\sqrt{b}$. Disamping itu ada bentuk khusus yatu bentuk  $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ memiliki bentuk sekawan $\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$.