Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Kelas X Matematika Wajib)

$\text{A. Sifat-Sifat yang Berlaku}$ 

Untuk a > 0, maka

berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

$\{\begin{array}{ll}\left|x\right|<a& \iff -a<x<a\\ \left|x\right|\le a& \iff -a\le x\le a\\ \left|x\right|>a& \iff x<-a\text{atau}a>a\\ \left|x\right|\ge a& \iff x\le -a\text{atau}a\ge a\\ \\ \text{dan}& \text{perlu diingat}\\ \left|x\right|& =\sqrt{x^2}\end{array}$

$\text{B. Penyelesaian Pertidaksamaan}$

$\text{a. bentuk pertama}$

$|f(x)|\{\begin{array}{ll}<a& \Rightarrow -a\le f(x)\le a\\ \le a& \Rightarrow -a\le f(x)\le a\\ >a& \Rightarrow f(x)<-a\text{atau}f(x)>a\\ \ge a& \Rightarrow f(x)\le -a\text{atau}f(x)\ge a\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ (1).|3x-7|\le 11\\ (2).|3x-7|>11\\ \\ \text{Jawab}:\end{array}$

$\begin{array}{rl}(1).|3x-7|& \le 11\\ -11\le 3x-7& \le 11\\ -11+(7)\le 3x-7+(7)& \le 11+(7)\\ -4\le 3x& \le 18(\text{dibagi})3\\ -{\displaystyle \frac{4}{3}\le x}& \le 6\\ \text{HP}=& \{x|-{\displaystyle \frac{4}{3}\le x\le 6,x\in \mathbb{R}}\}\end{array}$

$\begin{array}{rl}(2).|3x-7|& >11\\ (3x-7)<-11& \text{atau}(3x-7)>11\\ 3x<-11+7& \text{atau}3x>11+7\\ x<-{\displaystyle \frac{4}{3}\text{atau}}& x>6\\ \text{HP}=& \{x|x<-{\displaystyle \frac{4}{3}\text{atau}x>6,x\in \mathbb{R}}\}\end{array}$

$\text{b. bentuk kedua}$

$|f(x)|\{\begin{array}{ll}<|g(x)|& \\ \le |g(x)|& \\ >|g(x)|& \\ \ge |g(x)|& \end{array}\Rightarrow \text{dikuadratkan kedua ruas}$

Perlu diingat di sini bahwa bentuk selanjutnya jika berupa pertidaksamaan kuadrat, maka langkah selanjutnya perlu diperhatikan langkah-langkah berikut:

$\begin{array}{rl}a{x}^2+bx+c& \{\begin{array}{l}<\\ \le \\ >\\ \ge \end{array}0\\ \text{dengan}& a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0\end{array}$

dan juga

$\text{Akar-akar}\{\begin{array}{ll}{x}_1& \text{ dan }{x}_2\text{dengan}{x}_1\ne x_2\\ & \text{ serta}\\ x_1& \le x_2\end{array}$

maka dalam menentukan himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

$\{\begin{array}{ll}a{x}^2+bx+c<0,& \text{HP}=\{x|x_1<x<x_2,x\in \mathbb{R}\}\\ a{x}^2+bx+c\le 0,& \text{HP}=\{x|x_1\le x\le x_2,x\in \mathbb{R}\}\\ a{x}^2+bx+c>0,& \text{HP}=\{x|x<x_1\text{atau}x>x_2,x\in \mathbb{R}\}\\ a{x}^2+bx+c\ge 0,& \text{HP}=\{x|x\le x_1\text{atau}x\ge x_2,x\in \mathbb{R}\}\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ (1).|3x-7|\le |x-1|\\ (2).|3x-7|>|x-1|\\ \\ \text{Jawab}:\end{array}$

$\begin{array}{rl}(1).|3x-7|\le |x-1|& \\ {|3x-7|}^2\le {|x-1|}^2& \\ (3x-7{)}^2-(x-1{)}^2& \le 0\\ (3x-7+x-1)& (3x-7-(x-1))\le 0\\ (4x-8)(2x-6)& \le 0\\ (x-2)(x-3)& \le 0\\ \text{HP}=& \{x|2\le x\le 3,x\in \mathbb{R}\}\end{array}$

$\begin{array}{rl}(2).|3x-7|& >|x-1|\\ {|3x-7|}^2& >{|x-1|}^2\\ (3x-7{)}^2-& (x-1{)}^2>0\\ (3x-7+& x-1)(3x-7-(x-1))>0\\ (4x-8)& (2x-6)>0\\ (x-2)& (x-3)>0\\ \text{HP}=& \{x|x<2\text{atau}x>3,x\in \mathbb{R}\}\end{array}$

$\text{c. bentuk ketiga}$

Penyelesaian jenis ini mirip poin yang pertama, yaitu:

$\begin{array}{l}\\ |f(x)|\{\begin{array}{ll}\{\begin{array}{c}<g(x)\\ \le g(x)\end{array}& \text{ maka }\{\begin{array}{c}-g(x)<f(x)<g(x)\\ -g(x)\le f(x)\le g(x)\end{array}\\ \\ \{\begin{array}{c}>g(x)\\ \ge g(x)\end{array}& \text{ maka }\{\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}f(x)>g(x)\\ f(x)<-g(x)\end{array}\\ \\ \{\begin{array}{c}f(x)\ge g(x)\\ f(x)\le -g(x)\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{l}\\ \text{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ (1).|3x-7|\le (x-1)\\ (2).|3x-7|>(x-1)\\ \\ \text{Jawab}:\end{array}$

$\begin{array}{rl}(1).-g(x)\le f(x)& \le g(x)\\ (\text{a}).\text{untuk}f(x)& \ge -g(x)\\ 3x-7& \ge -(x-1)\\ 4x& \ge 8\\ x& \ge 2\\ (\text{b}).\text{untuk}f(x)& \le g(x)\\ 3x-7& \le x-1\\ 2x& \le 6\\ x& \le 3\\ \text{HP}=& \{x|2\le x\le 3,x\in \mathbb{R}\}\end{array}$

$\begin{array}{rl}(2).f(x)<-g(x)& \text{atau}f(x)>g(x)\\ (\text{a}).\text{untuk}f(x)& <-g(x)\\ 3x-7& <-(x-1)\\ 4x& <8\\ x& <2\\ (\text{b}).\text{untuk}f(x)& >g(x)\\ 3x-7& >x-1\\ 2x& >6\\ x& >3\\ \text{HP}=& \{x|x<2\text{atau}x>3,x\in \mathbb{R}\}\end{array}$

Daftar Pustaka

1. Kanginan, M. 2016. Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMK-MAK Kelas X (Wajib). Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
2. Yuana, R. A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Mata PElajaran Wajib. Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.