Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Kelas X Matematika Wajib)

$\LARGE\textrm{A. Sifat-Sifat yang Berlaku}$ 

Untuk a > 0, maka

berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

$\begin{cases} \left | x \right |< a & \Leftrightarrow -a< x< a \\ \left | x \right |\leq a & \Leftrightarrow -a\leq x\leq a \\ \left | x \right |> a & \Leftrightarrow x< -a\: \: \: \textrm{atau}\: \: \: a> a \\ \left | x \right |\geq a & \Leftrightarrow x\leq -a\: \: \: \textrm{atau}\: \: \: a\geq a\\\\ \qquad\textrm{dan}&\textrm{perlu diingat}\\ \qquad\left | x \right |&=\sqrt{x^{2}} \end{cases}$

$\LARGE\textrm{B. Penyelesaian Pertidaksamaan}$

$\color{blue}\LARGE\textrm{a. bentuk pertama}$

$\left | f(x) \right |\begin{cases} < a & \Rightarrow -a\leq f(x)\leq a\\ \leq a& \Rightarrow -a\leq f(x)\leq a\\ > a & \Rightarrow f(x)< -a\: \: \textrm{atau}\: \: f(x)> a\\ \geq a & \Rightarrow f(x)\leq -a\: \: \textrm{atau}\: \: f(x)\geq a \end{cases}$

$\color{magenta}\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ (1).\quad \left | 3x-7 \right |\leq 11\\ (2).\quad \left | 3x-7 \right |>  11\\\\ \textrm{Jawab}:\\\end{array}$

$\begin{aligned}(1).\qquad\qquad\qquad\left | 3x-7 \right |&\leq 11\\ -11\leq 3x-7&\leq 11\\ -11+(7)\leq 3x-7+(7)&\leq 11+(7)\\ -4\leq 3x&\leq 18\qquad (\textrm{dibagi})\: \: 3\\ -\displaystyle \frac{4}{3}\leq x&\leq 6\\ \textrm{HP}=&\color{red}\left \{ x|-\displaystyle \frac{4}{3}\leq x\leq 6,\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned}$

$\begin{aligned}(2).\quad\quad\left | 3x-7 \right |&> 11\\ (3x-7)<-11&\quad \textrm{atau}\quad (3x-7)>11\\ 3x<-11+7&\: \: \textrm{atau}\: \: 3x>11+7\\ x<-\displaystyle \frac{4}{3}\: \: \textrm{atau}&\: \: x>6\\ \textrm{HP}=&\color{red}\left \{ x|x<-\displaystyle \frac{4}{3}\: \: \textrm{atau}\: \: x>6,x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned}$

$\color{blue}\LARGE\textrm{b. bentuk kedua}$

$\left | f(x) \right |\begin{cases} < \left | g(x) \right | & \\ \leq \left | g(x) \right |& \\ > \left | g(x) \right | & \\ \geq \left | g(x) \right | & \end{cases}\Rightarrow \textrm{dikuadratkan kedua ruas}$

Perlu diingat di sini bahwa bentuk selanjutnya jika berupa pertidaksamaan kuadrat, maka langkah selanjutnya perlu diperhatikan langkah-langkah berikut:

$\color{magenta}\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&\: \: \begin{cases} < \\ \leq \\ > \\ \geq \end{cases} 0\\ \textrm{dengan}\: &a, \: b,\: c\: \in \mathbb{R},\: a\neq 0 \end{aligned}$

dan juga

$\textrm{Akar-akar}\: \begin{cases} x_{1} & \text{ dan }\: \: x_{2}\: \: \textrm{dengan}\: \: x_{1}\neq x_{2} \\ & \text{ serta} \\ x_{1} &\leq \: \: x_{2} \end{cases}$

maka dalam menentukan himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

$\begin{cases} ax^{2}+bx+c< 0, &\textrm{HP}=\left \{ x|x_{1}< x< x_{2},\: x\in \mathbb{R} \right \} \\ ax^{2}+bx+c\leq 0, &\textrm{HP}=\left \{ x|x_{1}\leq x\leq x_{2},\: x\in \mathbb{R} \right \} \\ ax^{2}+bx+c> 0, &\textrm{HP}=\left \{ x|x< x_{1}\: \textrm{atau}\: x> x_{2},\: x\in \mathbb{R} \right \} \\ ax^{2}+bx+c\geq 0, &\textrm{HP}=\left \{ x|x\leq x_{1}\: \textrm{atau}\: x\geq x_{2},\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{cases}$

$\color{magenta}\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ (1).\quad \left | 3x-7 \right |\leq \left | x-1 \right |\\ (2).\quad \left | 3x-7 \right |> \left | x-1 \right |\\\\ \textrm{Jawab}:\\\end{array}$

$\begin{aligned}(1).\: \left | 3x-7 \right |\leq \left | x-1 \right |&\\ \left | 3x-7 \right |^{2}\leq \left | x-1 \right |^{2}&\\ (3x-7)^{2}-(x-1)^{2}&\leq 0\\ (3x-7+x-1)&(3x-7-(x-1))\leq 0\\ (4x-8)(2x-6)&\leq 0\\ (x-2)(x-3)&\leq 0\\ \textrm{HP}=&\color{red}\left \{ x|2\leq x\leq 3,\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned}$

$\begin{aligned}(2).\quad \left | 3x-7 \right |&> \left | x-1 \right |\\ \left | 3x-7 \right |^{2}&> \left | x-1 \right |^{2}\\ (3x-7)^{2}-&(x-1)^{2}> 0\\ (3x-7+&x-1)(3x-7-(x-1))> 0\\ (4x-8)&(2x-6)> 0\\ (x-2)&(x-3)> 0\\ \textrm{HP}=&\color{red}\left \{ x|x<2\: \: \textrm{atau}\: \: x>3,\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned}$

$\color{blue}\LARGE\textrm{c. bentuk ketiga}$

Penyelesaian jenis ini mirip poin yang pertama, yaitu:

$\begin{array}{l}\\ \left | f(x) \right |\begin{cases} \left\{\begin{matrix} < g(x)\\ \leq g(x) \end{matrix}\right. & \text{ maka }\left\{\begin{matrix} -g(x)<f(x)<g(x)\\ -g(x)\leq f(x)\leq g(x) \end{matrix}\right. \\\\ \left\{\begin{matrix} > g(x)\\ \geq g(x) \end{matrix}\right. & \text{ maka } \left\{\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\: \: \: \\ f(x)<-g(x) \end{matrix}\right.\\\\ \left\{\begin{matrix} f(x)\geq g(x)\: \: \: \\ f(x)\leq -g(x) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{cases} \end{array}$

$\color{magenta}\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}$

$\begin{array}{l}\\ \textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ (1).\quad \left | 3x-7 \right |\leq (x-1)\\ (2).\quad \left | 3x-7 \right |> (x-1)\\\\ \textrm{Jawab}:\\\end{array}$

$\begin{aligned}(1).-g(x)\leq f(x)&\leq g(x)\\ \: (\textrm{a}).\: \: \textrm{untuk}\: \: f(x)&\geq -g(x)\\ \: \qquad 3x-7&\geq -(x-1)\\ 4x&\geq 8\\ x&\geq 2\\ (\textrm{b}).\: \: \textrm{untuk}\: \: f(x)&\leq g(x)\\ 3x-7&\leq x-1\\ 2x&\leq 6\\ x&\leq 3\\ \textrm{HP}=&\color{red}\left \{ x|2\leq x\leq 3,\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned}$

$\begin{aligned}(2).\: f(x)<-g(x)&\: \: \textrm{atau}\: \: f(x)> g(x)\\ \: (\textrm{a}).\: \: \textrm{untuk}\: \: f(x)&< -g(x)\\ \: \qquad 3x-7&<-(x-1)\\ 4x&< 8\\ x&< 2\\ (\textrm{b}).\: \: \textrm{untuk}\: \: f(x)&> g(x)\\ 3x-7&> x-1\\ 2x&> 6\\ x&> 3\\ \textrm{HP}=&\color{red}\left \{ x|x< 2\: \: \textrm{atau}\: \: x>3,\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned}$

Daftar Pustaka

1. Kanginan, M. 2016. Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMK-MAK Kelas X (Wajib). Bandung: Srikandi Empat Widya Utama.
2. Yuana, R. A., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas X SMA dan MA Kelompok Mata PElajaran Wajib. Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.