Induksi Matematika (Kelas XI Matematika Wajib)

$\text{A. Pendahuluan}$

Misalkan kita menjumlahkan 100 bilangan ganjil pertama (anggap saja sebagai penjumlahan suku pertama sampai suku ke seratus) yaitu : 1+3+5+...+199, maka untuk memudahkannya kita dapat menentukan cara menjumlahkan dengan atau menurut pola tertentu sebagaimana ilstrasi berikut ini

$\begin{array}{rl}1& =1^2=S_1\\ 1+3& =2^2=S_2\\ 1+3+5& =3^2=S_3\\ 1+3+5+7& =4^2=S_4\\ 1+3+5+7+9& =5^2=S_5\\ ⋮& \\ 1+3+5+7+9+\cdots +(2n-1)& =n^2=S_n\\ ⋮& \\ 1+3+5+7+9+\cdots +199& ={100}^2=S_{100}\end{array}$

$\text{B. Induksi Matematika}$

Pola bilangan tertentu dalam matematika sebagaimana misal contoh di atas dapat ditarik suatu bentuk umum. Selanjutnya untuk membuktikan bahwa suatu bentuk umum dari sebuah pernyataan berlaku, kita dapat menggunakan Induksi Matematika ini. Tentunya semunya dari pernyataan tersebut harus memenuhi kriteria tertentu. Sehingga Induksi Matematika dapat juga disebutkan sebagai proses pembuktian pernyataan (teorema) dari kejadian-kejadian khusus yang berlaku untuk setiap bilangan asli.

Dalam pembuktian dengan Induksi Matematika, perhatikanlah beberapa langkah-langkah ini

Misalkan $P(n)$ adalah suatu pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk semua bilangan asli $n$, maka

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Langkahnya:}}\\ & (1)\text{buktikan}P(1)\text{benar untuk}n=1\\ & \text{Selanjutnya disebut Langkah Basis}\\ & (2)\text{Asumsikan pernyataan berlaku untuk}n=k,\\ & \text{yaitu}P(k)\text{benar, dengan}k\in A,\\ & \text{maka untuk}n=k+1\text{bahwa}P(k+1)\\ & \text{juga benar}\\ & \text{Selanjutnya disebut Langkah Induksi}\\ & (3)\text{Setelah langkah}(1)\text{dan}(2)\text{terpenuhi}\\ & \text{atau benar, maka dapat disimpulkan bahwa}\\ & P(n)\text{benar untuk setiap}n\\ & \text{Selanjutnya disebut Konkulsi}\end{array}$

$\boxed{\text{CONTOH SOAL}}$

$\begin{array}{rl}(1)& \text{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ & \text{untuk}n\text{bilangan asli berlaku}\\ & 1+2+3+...+n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}.\text{Diket}& \text{ahui}P(n)\equiv 1+2+3+...+n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\\ (\text{a})& \text{Langkah basis}\\ & P(1)\text{benar, karena}1={\displaystyle \frac{1(1+1)}{2}}\\ (\text{b})& \text{Langkah induksi}\\ & \text{Misalkan rumus berlaku untuk}n=k,\text{yaitu}\\ & P(k)\equiv 1+2+3+...+k={\displaystyle \frac{k(k+1)}{2},\text{maka}}\\ & \text{untuk}n=k+1:\\ & 1+2+3+\cdots +(k)+(k+1)={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}}\\ & \underset{{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}}{\underbrace{1+2+3+\cdots +(k)}}+(k+1)={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}}\\ & {\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}}}\\ & {\displaystyle (k+1)(\frac{k}{2}+1)={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}}}\\ & {\displaystyle (k+1)\frac{k+2}{2}={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}}}\\ & {\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)}{2}\equiv P(k+1)}}\\ & \text{Jadi},P(n)\text{benar untuk}n=k+1\\ (\text{c})& \text{Kesimpulan/Konklusi}\\ & \text{Jadi},P(n)\text{berlaku untuk}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.\end{array}$

$\begin{array}{rl}(2)& \text{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ & \text{untuk}n\text{bilangan asli berlaku}\\ & 1+3+5+7+...+(2n-1)=n^2\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}.\text{Diket}& \text{ahui}P(n)\equiv 1+3+5+...+(2n-1)=n^2\\ (\text{a})& \text{Langkah basis}\\ & P(1)\text{benar, karena}2.1-1=1^2\iff 1=1\\ (\text{b})& \text{Langkah induksi}\\ & \text{Misalkan rumus berlaku untuk}n=k,\text{yaitu}\\ & P(k)\equiv 1+3+5+...+(2k-1)=k^2,\text{maka}\\ & \text{untuk}n=k+1:\\ & 1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1{)}^2\\ & \underset{{\displaystyle k^2}}{\underbrace{1+3+5+\cdots +(2k-1)}}+(2(k+1)-1)=(k+1{)}^2\\ & k^2+(2(k+1)-1)=(k+1{)}^2\\ & k^2+(2k+2-1)=(k+1{)}^2\\ & k^2+2k+1=(k+1{)}^2\\ & (k+1{)}^2=P(k+1)\\ & \text{Jadi},P(n)\text{benar untuk}n=k+1\\ (\text{c})& \text{Kesimpulan/Konklusi}\\ & \text{Jadi},P(n)\text{berlaku untuk}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.\end{array}$

$\begin{array}{rl}(3)& \text{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ & \text{untuk}n\text{bilangan asli berlaku}\\ & 2n-3<2^{n-2}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}.\text{Diket}& \text{ahui}P(n)\equiv 2n-3<2^{n-2}\\ (\text{a})& \text{Langkah basis}\\ & P(1)\text{benar, karena}2.1-3<2^{1-2}\\ & \text{demikian pula untuk}n=2\\ (\text{b})& \text{Langkah induksi}\\ & \text{Misalkan rumus berlaku untuk}n=k,\text{yaitu}\\ & P(k)\equiv (2k-3)<2^{k-2},\text{maka}\\ & \text{untuk}n=k+1:\\ & 2(k+1)-3=2k+2-3=(2k-3)+2<2^{k-2}+2\\ & \text{sehingga}\\ & (2k-3)+2<2^{k-2}+2<2^{k-2}+2^{k-2},\text{untuk}k\ge 3\\ & (2k-3)+2<{2.2}^{k-2}\\ & (2k-3)+2<2^{(k+1)-2}\\ & \text{maka rumus berlaku untuk}P(k+1)\\ & \text{Jadi},P(n)\text{benar untuk}n=k+1\\ (\text{c})& \text{Kesimpulan/Konklusi}\\ & \text{Jadi},P(n)\text{berlaku untuk}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.\end{array}$

$\begin{array}{rl}(4)& \text{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ & \text{untuk}n\text{bilangan asli berlaku}\\ & (1+h{)}^n\ge 1+nh\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}.\text{Diket}& \text{ahui}P(n)\equiv (1+h{)}^n\ge 1+nh\\ (\text{a})& \text{Langkah basis}\\ & P(1)\text{benar, karena}(1+h{)}^1\ge 1+1h\\ (\text{b})& \text{Langkah induksi}\\ & \text{Misalkan rumus berlaku untuk}n=k,\text{yaitu}\\ & P(k)\equiv (1+h{)}^k\ge 1+kh,\text{maka}\\ & \text{untuk}n=k+1:\\ & (1+h{)}^{k+1}\ge (1+kh)(1+h)\\ & (1+h{)}^{k+1}\ge (1+(k+1)h+k{h}^2)\\ & (1+h{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)h\\ & \text{maka rumus berlaku untuk}P(k+1)\\ & \text{Jadi},P(n)\text{benar untuk}n=k+1\\ (\text{c})& \text{Kesimpulan/Konklusi}\\ & \text{Jadi},P(n)\text{berlaku untuk}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.\end{array}$

$\begin{array}{rl}.& \mathbf{\text{Catatan}}\\ & \text{untuk}k=2\\ & (1+h{)}^2=1+2h+h^2\ge 1+2h,\text{maka}\\ & (1+h{)}^n\ge 1+nh\end{array}$

$\begin{array}{rl}(5)& \text{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ & \text{untuk}n\text{bilangan asli berlaku}\\ & \sum _{h=1}^n{3}^h={\displaystyle \frac{3}{2}(3^n-1)}\\ \\ & \mathbf{\text{Bukti}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}.\text{Diket}& \text{ahui}P(n)\equiv \sum _{h=1}^n{3}^h={\displaystyle \frac{3}{2}(3^n-1)}\\ (\text{a})& \text{Langkah basis}\\ & P(1)\text{benar, karena untuk}n=1\\ & 3^1={\displaystyle \frac{3}{2}(3^1-1)}\\ (\text{b})& \text{Langkah induksi}\\ & \text{Misalkan rumus berlaku untuk}n=k,\text{yaitu}\\ & P(k)\equiv \sum _{h=1}^k{3}^h={\displaystyle \frac{3}{2}(3^k-1),\text{maka}}\\ & \text{untuk}n=k+1:\\ & \sum _{h=1}^{k+1}{3}^h=\sum _{h=1}^k{3}^h+\sum _{h=k+1}^{k+1}{3}^h\\ & ={\displaystyle \frac{3}{2}(3^k-1)+3^{k+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}(3^{k+1}-3+{2.3}^{k+1})}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}({3.3}^{k+1}-3)}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{2}({.3}^{k+1}-1)}\\ & \text{maka rumus berlaku untuk}P(k+1)\\ & \text{Jadi},P(n)\text{benar untuk}n=k+1\\ (\text{c})& \text{Kesimpulan/Konklusi}\\ & \text{Jadi},P(n)\text{berlaku untuk}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.\end{array}$

$\boxed{\text{LATIHAN SOAL}}$

$\begin{array}{rl}.& \text{Buktikanlah dengan induksi matematika}\\ & \text{untuk}n\text{bilangan asli berlaku}\\ \end{array}$

$.\begin{array}{l}\\ 1.& 2+4+6+8+...+2n=n^2+n\\ 2.& 1^2+2^2+3^2+...+n^2={\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\\ 3.& 1^3+2^3+3^3+...+n^3={\displaystyle \frac{1}{4}{n}^2(n+1{)}^2}\\ 4.& 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)={\displaystyle \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)}\\ 5.& {\displaystyle \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}}\\ 6.& {\displaystyle \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}={\displaystyle \frac{n}{2n+1}}}\\ 7.& {\displaystyle \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}={\displaystyle \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}}}\\ 8.& 1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n+1}-2}\\ 9.& n^3-n\text{habis dibagi oleh}3\\ 10.& n^5-n\text{habis dibagi oleh}5\\ 11.& 5^n+{6.7}^n+1\text{habis dibagi oleh}4\\ 12.& 5^{2n}-1\text{habis dibagi oleh}3\\ 13.& 3^n-1\ge 2^n\\ 14.& 2n+7<(n+3{)}^2\\ 15.& 2+4+6+8+...+2n\le 2^n\\ 16.& {(3+\sqrt{5})}^n+{(3-\sqrt{5})}^n\text{habis dibagi oleh}{2}^n\end{array}$

DAFTAR PUSTAKA

1. Budhi, W.S., 2018. Bupena Mathematika SMA/MA Kelas XI Kelompok Wajib. Jakarta: Erlangga.
2. Kemendikbud. 2017. Matematika untuk SMA/MA/SMK Kelas XI Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan Nasional.
3. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika Jilid 3 untuk SMU Kelas 3. Jakarta: Erlangga
4. Tim ITB. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap 1. Bandung: LPPM ITB