B. 3 Kedudukan Garis Terhadap Garis dalam Ruang
Pada bangun sebuah kubus di mana bangun ruang ini dibatasi oleh tiga pasang bidang persegi. Setiap daerah persegi membatasi kubus yang disebut sebagai sisi kubus. Setiap dua sisi yang tidak sejajar akan saling berpotongan pada sebuah garis yang disebut rusuk, yaitu AB, BC, AE, dan lain-lainnya. Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut
Sehingga sebuah kubus memiliki 12 rusuk yang sama panjang. Jika Anda perhatikan susunan dan struktur dari rusuk-rusk kubus kubus di atas, maka 12 di atas dapat dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:
- kelompok pertama : AB, DC, HG, dan EF
- kelompok kedua : AD, BC, FG, dan EH
- kelompok ketiga : AE, BF, CG, dan DH
Selanjutnya Anda juga dapat menemukan atau melihat bahwa setiap tiga rusuk bertemu di suatu titik yang selanjutnya disebut titik sudut kubus. Sebuah kubus memiliki 8 titik sudut. Terdapat pasangan-pasangan titik sudut yang tidak terletak pada sebuah bidang sisi, yaitu titik A dengan G, B dengan H, C dengan E, serta D dengan F, pasangan titik yang demikian disebut dengan pasangan titik yang berhadapan.
Ruas garis yang menghubungkan dua buah titik yang berhadapan disebut diagonal ruang kubus. Karena terdapat empat pasang titik berhadapan, maka terdapat 4 buah diagonal ruang, yaitu: AB, BH, CE, dan DF. Selain itu juga karena sisi kubus ada 6 buah dan masing-masing memiliki dua diagonal, sehingga terdapat 12 diagonal sisi, yaitu: AC, BD, AF, BE, EG, FH, AH, DE, BG, dan CF.
Anda juga dapat menemukan pasangan rusuk yang sejajar tetapi tidak terletak pada sebuah bidang sisi, misalnya AB dengan HG, dan lain-lainnya. Dari sana Anda akan menemukan 6 pasang rusuk yang yang berhadapan. Bidang yang melalui dua rusuk yang berhadapan disebut bidang diagonal. Sehingga dalam sebuah kubus terdapat 6 buah bidang diagonal.
Perhatikan letak rusuk AB dan DH, kedua rusuk itu tidak terletak pada sebuah bidang, maka dikatakan AB dan DH dua rusuk saling bersilangan demikian juga garis yang lain dengan kondisi semisal. Selain itu hubungan dua garis adalah saling sejajar dan saling tegak lurus.
B. 4 Kedudukan Garis terhadap Bidang yang Sejajar
Jarak anatar suatu garis $g$ dan bidang $\alpha$ yang saling sejajar adalah jarak antara sebarang titik A pada $g$ dengan bidang $\alpha$. Jika proyeksi titik A pada garis $g$ ke bidang $\alpha$ yang saling sejajar adalah A', maka AA' adalah jarak antara garis $g$ dan bidang $\alpha$ yang saling sejajar.
Berikut ilustrasinya
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm}\\ &\textrm{Tentukanlah jarak titik A ke bidang} \\ &\textrm{a}\quad \textrm{BCGF}\\ &\textrm{b}\quad \textrm{BCHE}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi berikut ini} \end{array}$
$.\qquad\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \textrm{titik}&\: A\: \textrm{ke}\: \textrm{BCGF}=\textrm{A}\: \textrm{ke}\: \textrm{B}=\textrm{AB}=8\: \: cm\\ \textrm{b}.\quad \textrm{titik}&\: \textrm{A}\: \textrm{ke}\: \textrm{BCHE}=A\: \textrm{ke tengah-tengan}\: \textrm{BE}\\ &=\displaystyle \frac{1}{2}\textrm{diagonal sisi kubus}=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 8\sqrt{2} \right )\\ &=4\sqrt{2}\: \: cm \end{aligned}$.
$\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ &6\: \: cm,\: \textrm{titik S dan R berturut turut adalah pusat}\\ &\textrm{bidang EFGH dan ABCD. Tentukanlah jarak}\\ &\textrm{antara garis RF dan DS}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$.
$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\\ &BD=6\sqrt{2}\: \: cm\: (\color{red}\textrm{diagonal sisi kubus}\color{black})\\ &RD=\displaystyle \frac{1}{2}BD=\displaystyle \frac{1}{2}\left ( 6\sqrt{2} \right )=3\sqrt{2}\: \: cm\\ &DS=\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)\sqrt{6}=\displaystyle \frac{1}{2}(6)\sqrt{6}=3\sqrt{6}\: \: cm\\ &\textrm{Langkah selanjutnya}\\ &\begin{aligned}\left [ DSR \right ]&=\left [ DSR \right ]\\ \displaystyle \frac{1}{2}\times DS\times RM&=\displaystyle \frac{1}{2}\times DR\times RS\\ \color{red}RM&=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\times DR\times RS}{\displaystyle \frac{1}{2}\times DS}\\ &=\displaystyle \frac{DR\times RS}{DS}\\ &=\displaystyle \frac{3\sqrt{2}\times 6}{3\sqrt{6}}\\ &=\displaystyle \frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\\ &=\displaystyle \frac{18\sqrt{12}}{18}=\sqrt{12}=\sqrt{4.3}\\ &=\color{blue}2\sqrt{3}\: \: \color{black}cm \end{aligned}\\ \\ \textrm{Jadi},\: &\textrm{jarak garis RF ke DS}=2\sqrt{3}\: \: m \end{aligned}$
B. 5 Kedudukan antara Dua Bidang yang Sejajar
Jarak antara dua bidang $\alpha$ dan $\beta$ yang saling sejajar adalah sama dengan jarak antara sebarang titik A pada bidang $\alpha$ dan A' pada bidang $\beta$ dengan A' adalah proyeksi titik A pada bidang $\beta$.
Berikut ilustrasinya
$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.
$\begin{array}{ll}\\ 11.&\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm}\\ &\textrm{Tentukanlah jarak bidang ABCD ke bidang} \\ &\textrm{a}\quad \textrm{BCGF}\\ &\textrm{b}\quad \textrm{EFGH}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \textrm{bidang}&\: \textrm{ABCD}\: \textrm{ke}\: \textrm{BCGF}=\color{red}\textrm{tidak terdefinisi}\\ \color{blue}\textrm{alasan}&:\: \: \textbf{karena saling tegak lurus}\\ \textrm{b}.\quad \textrm{bidang}&\: \textrm{ABCD}\: \textrm{ke}\: \textrm{EFGH}=A\: \textrm{ke }\: \textrm{E}=8\: \: cm\\ \end{aligned} \end{array}$.
$\begin{array}{ll}\\ 12.&\textrm{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ &8\: \: cm,\: \textrm{titik P, Q, R, dan S berturut turut berada}\\ &\textrm{di pertengahan rusuk BC, CG, DH, dan AD.}\\ &\textrm{Tentukanlah jarak antara bidang ABGH dan}\\ &\textrm{bidang PQRS}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$.
$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Diketahui bahwa}:\\ &BP=\displaystyle \frac{1}{2}BC=\displaystyle \frac{1}{2}8=4\: \: cm\: (\color{red}\textrm{rusuk kubus}\color{black})\\ &\sin \angle PBP'=\displaystyle \frac{PP'}{BP}\Leftrightarrow PP'=BP\times \sin \angle PBP'\\ &\qquad\qquad \quad =4\times \sin 45^{\circ}=4\times \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}=2\sqrt{2}\: \: cm\\ &DS=\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)\sqrt{6}=\displaystyle \frac{1}{2}(6)\sqrt{6}=3\sqrt{6}\: \: cm\\ &\textrm{Jadi, jarak bidang ABGH ke PQRS adalah}\: \: 2\sqrt{2}\: \: cm \end{aligned}$.
$\begin{array}{ll}\\ 13.&\textrm{Pada sebuah kubus ABCD.EFGH, tunjukkan}\\ &\textrm{bahwa bidang AFH sejajar dengan bidang BDG}\\\\ &\textrm{Bukti}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$
$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Untuk menunjukkan bidang AFH dan BDG}\\ &\textrm{itu sejajar, maka harus ditunjukkan bahwa}\\ &\textrm{kedua bidang itu masing-masing memuat}\\ &\textrm{dua garis berpotongan yang sepasang-sepasang}.\\ &\textrm{Bidang ADHE}\: //\: \textrm{bidang BCGF},\: \textrm{sedang bidang}\\ &\textrm{ABGH memotong kedua bidang yang sejajar itu}\\ &\textrm{berupa garis AH dan BG, maka AH}\: //\: \textrm{BG}.\\ &\textrm{Demikian pula bidang ABCD dan EFGH yang}\\ &\textrm{dipotong oleh bidang BDHF, masing-masing}\\ &\textrm{berupa garis BD dan FH, maka BD}\: // \textrm{FH}\\ &\textrm{Berdasarkan fakta di atas, yaitu}:\\ &\textrm{garis AH}\: //\: \textrm{BG dan BD}\: //\: \textrm{FH, maka sudah}\\ &\textrm{cukup menunjukkan bahwa}\: \: \textrm{bidang AFH}\\ &\textrm{bidang BDG sejajar}\: \: \: \: \: \blacksquare \end{aligned}$.
DAFTAR PUSTAKA
- Rasiman. 2000. Diktat Geometri. Semarang: IKIP Semarang
- Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: ERLANGGA.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Informasi