Limit Fungsi Trigonometri

 $\text{A. Pendahuluan}$

Mengingat kembali definisi limit yang telah dipelajari sebelumnya di kelas XI, yaitu limit fungsi aljabar $f(x)$ yang didefinisikan dengan:

$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=L& \mathbf{\text{adalah}}\text{Jika}x\text{mendekati}a\\ & \text{dengan tidak sama dengan}a,\\ & \text{maka nilai}f(x)\text{mendekati}L\end{array}$.

Perhatikan definisi di atas istilah  $x\text{mendekati}a$ dituliskan dengan simbol  $(x\to a)$. Suatu nilai limit dianggap ada jika nilai $f(x)$ mendekati  $a$ dari arah kiri sama dengan nilai $f(x)$ mendekati  $a$ dari arah kanan dengan nilai yang sama misalnya $L$. Jika disimbolkan pernyataan ini menjadi berikut

$\begin{array}{rl}\underset{x\to a^{-}}{\text{lim}}f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\text{lim}}f(x)=\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=L& \end{array}$.

$\begin{array}{rl}\text{Perlu di}& \text{perhatikan bahwa didekati dari}\\ \bullet \mathbf{\text{kiri}}& \text{disimbolkan dengan}\underset{x\to a^{-}}{\text{lim}}f(x),\text{dan}\\ \bullet \mathbf{\text{kan}}& \mathbf{\text{an}}\text{disimbolkan dengan}\underset{x\to a^{+}}{\text{lim}}f(x)\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 1.& \text{Tentukanlah nilai limit dari}f(x)={\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah ketika fungsi}{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}\\ & \text{di sekitar}x=2\text{sebagaimana dalam tabel}\\ & \text{berikut}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}.& \text{Jadi, nilai}\underset{x\to 2}{\text{lim}}{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}=2\text{atau dapat dikatakan}}\\ & \text{nilai}\underset{x\to 2}{\text{lim}}{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}\mathbf{\text{ada}}}\\ & \text{meskipun nilai substitusi langsung}x=2\text{yaitu}\\ & f(0)={\displaystyle \frac{0^2-0}{0-0}=\frac{0}{0}\text{berupa bentuk tak}}\\ & \text{tentu. Berikut ilustrasinya}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ 2.& \text{Selidikilah limit fungsi berikut apakah}\\ & \text{memiliki harga limit}\\ & \underset{x\to 5}{\text{lim}}f(x),\text{untuk}f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{saat}x<5\\ 5-x& \text{saat}x\ge 5\end{array}\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah ketika didekati dari kiri}\\ & \text{yaitu}x\to 5^{-},\text{maka}\underset{x\to 5^{-}}{\text{lim}}f(x)=x\\ & \text{atau}\underset{x\to 5^{-}}{\text{lim}}f(x)=5\\ & \text{boleh juga dituliskan dengan}\\ & \underset{x\to 5^{-}}{\text{lim}}f(x)=x=5.\text{Sedangkan ketika}\\ & \text{didekati dari arah kanan yaitu}x\to 5^{+},\\ & \text{maka}\underset{x\to 5^{+}}{\text{lim}}f(x)=\underset{x\to 5^{+}}{\text{lim}}(5-x)=5-5=0.\\ & \text{Karena nilai}\underset{x\to 5^{-}}{\text{lim}}f(x)\ne \underset{x\to 5^{+}}{\text{lim}}f(x),\text{maka}\\ & \text{nilai atau harga}\underset{x\to 5}{\text{lim}}f(x)\mathbf{\text{tidak ada}}\\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 3.& \text{Selidikilah limit fungsi berikut apakah}\\ & \text{memiliki harga limit}\\ & \underset{x\to 0}{\text{lim}}f(x),\text{untuk}f(x)=\cos x\\ \\ & \text{Jawab}:\\ & \begin{array}{rl}& \text{Perhatikanlah ketika didekati dari kiri}\\ & \text{yaitu}x\to 0^{-},\text{maka}\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}\cos x\\ & \begin{array}{|ccccccc|}\hline x& -0,5& -0,4& -0,3& -0,2& -0,1& 0\\ \cos x& ...& ...& 0,999986& 0,999994& 0,9999985& 1\\ \hline\end{array}\\ & \text{Sedangkan ketika}\\ & \text{didekati dari arah kanan yaitu}x\to 0^{+},\\ & \text{maka}\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}\cos x\\ & \begin{array}{|ccccccc|}\hline x& 0& 0,1& 0,2& 0,3& 0,4& 0,5\\ \cos x& 1& 0,9999985& 0,999994& 0,999986& ...& ...\\ \hline\end{array}\\ & \text{Karena nilai}\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}f(x)=1,\text{maka}\\ & \text{nilai}\underset{x\to 0}{\text{lim}}\cos x\mathbf{\text{ ada}}\\ & \text{Berikut ilustrasi gambarnya}\end{array}\end{array}$.

$\text{B. Sifat-Sifat Limit Fungsi}$

$\begin{array}{rl}& \text{Misalkan}f\text{dan}g\text{adalah fungsi-fungsi yang}\\ & \text{mempunyai nilai limit di titik sekitar}x=a\\ & \text{atau}(x\to a)\text{dan}c\text{adalah suatu konstanta}\\ & \text{serta}n\text{adalah suatu bilangan bulat positif},\\ & \text{maka berlaku sifat-sifat berikut}:\\ & \begin{array}{l}\\ 1.& \underset{x\to a}{\text{lim}}{\displaystyle c=c}\\ 2.& \underset{x\to a}{\text{lim}}{\displaystyle x^n=a^n}\\ 3.& \underset{x\to a}{\text{lim}}c.f(x)=c.\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)\\ 4.& \underset{x\to a}{\text{lim}}(f(x)\pm g(x))=\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)\pm \underset{x\to a}{\text{lim}}g(x)\\ 5.& \underset{x\to a}{\text{lim}}(f(x)\times g(x))=\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)\times \underset{x\to a}{\text{lim}}g(x)\\ 6.& \underset{x\to a}{\text{lim}}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}={\displaystyle \frac{\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)}{\underset{x\to a}{\text{lim}}g(x)}}}\\ 7.& \underset{x\to a}{\text{lim}}{(f(x))}^n={[\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x))]}^n\\ 8.& \underset{x\to a}{\text{lim}}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\text{lim}}f(x)},\text{dengan}\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)\ge 0\\ & \text{dan}n\text{genap}\end{array}\end{array}$