Lanjutan 2 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

 $\color{blue}\textrm{B. 3. Kedudukan Titik terhadap Bidang}$.

Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut

Pandang titik A terhadap bidang EFGH. Tampak bahwa titik A terletak tidak pada bidang EFGH termasuk juga titik-titik yang lain yang tidak terletak pada bidang EFGH tersebut yaitu: titik B, C, dan D. Walaupun demikian pada kubus ABCD.EFGH tersebut terdapat beberapa titik yang terletak pada bidang EFGH, yaitu: titik E, F, G, G, dan P. Selanjutnya hubungan kedudukan suatu titik terhadap bidang dapat kita tuliskan sebagaimana dalam tabel berikut:

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textrm{No}&\: \: \, \textrm{Kedudukan}&\: \quad\qquad\textrm{Keterangan}\\\hline 1.&\textrm{pada bidang}&\textrm{titik terletak pada bidang}\\\hline 2.&\textrm{di luar bidang}&\textrm{titik berada di luar bidang}\\\hline \end{array}$

Sebagai tambahan penjelasan perhatikan pula gambar limas D.ABC berikut

Pada limas D.ABC di atas terlihat jelas bagwa titik D terletak di luar bidan ABC, tetapi titik A atau titik B ataupun titik C, semuanya terletak pada bidang ABC pada bangun limas D.ABC di atas.

Selanjutnya dalam penentuan jarak antar titik dengan suatu bidang adalah panjang ruas garis secara tegak lurus yang menghungkan titik tersebut dengan bidang yang dimaksud.

Sebagai ilustrasi adalah gambar berikut

Pada ilsutrasi gambar di atas jarak titik A ke bidang V adalah sepanjang ruas garis AB yang mana ruas garis AB tegak lurus dengan bidang V.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm}.\\ &\textrm{Tentukanlah jarak titik C ke bidang BDG}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi} \end{array}$.

Jika gambarnya dipartisi lagi di bagian segitiga GCG' maka akan tampak seperti ilustrasi berikut

$.\qquad\begin{aligned}\textrm{Jelas}&\: \textrm{bahwa}\\ &\begin{cases} GC & =8\: \: cm\: \: (\color{red}\textrm{dari soal}) \\ BD &=AC =8\sqrt{2}\: \: cm\: \: (\textrm{diagonal sisi kubus}) \\ CG' & = \displaystyle \frac{1}{2}AC=4\sqrt{2}\: \: cm \end{cases}\\ \textrm{maka}&\: \textrm{dengan rumus Pythagoras dapat}\\ \textrm{panja}&\textrm{ng}\: \: GG',\: \textrm{yaitu}:\\ \left ( GG' \right )&^{2}=\left ( G'C \right )^{2}+CG^{2}\\ GG'&=\sqrt{\left ( G'C \right )^{2}+CG^{2}}=\sqrt{\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}+8^{2}}\\ &=\sqrt{32+64}=\sqrt{96}=\sqrt{16.6}=4\sqrt{6}\: \: cm\\ \textrm{Perha}&\textrm{tikan}\: \: \bigtriangleup GCG'\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan perbandingan luas}\: \: \bigtriangleup GCG'=\bigtriangleup GCG'\\ &\displaystyle \frac{1}{2}\times CC'\times GG'=\displaystyle \frac{1}{2}\times CG'\times CG\\ &\displaystyle \frac{1}{2}\times CC'\times \left ( 4\sqrt{6} \right )=\displaystyle \frac{1}{2}\times \left ( 4\sqrt{2} \right )\times 8\\ &\quad\quad\quad CC'= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\times \left ( 4\sqrt{2} \right )\times 8}{\displaystyle \frac{1}{2}\times \left ( 4\sqrt{6} \right )}\\ &\: \: \: \quad\quad\qquad =\displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}}\\ &\: \: \: \quad\quad\qquad =\displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ &\: \: \: \quad\quad\qquad =\color{blue}\displaystyle \frac{8}{3}\sqrt{3}\: \: \color{black}cm \end{aligned} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Diketahui rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm}\\ &\textrm{Tentukanlah jarak titik E ke bidang BDG}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikanlah ilustrasi berikut ini} \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}\textrm{Jelas}&\: \textrm{bahwa}\\ &\begin{cases} AB & =BC=CG=QQ'=6\: \: cm\: \: (\color{red}\textrm{dari soal}) \\ AC &=EG =6\sqrt{2}\: \: cm\: \: (\textrm{diagonal sisi kubus}) \\ EQ & =QG= \displaystyle \frac{1}{2}(\textbf{sisi})\sqrt{6}=3\sqrt{6}\: \: cm \end{cases}\\ \textrm{Perh}&\textrm{atikan}\: \: \bigtriangleup EQG\\ &\begin{aligned}&\textrm{Dengan perbandingan luas}\: \: \bigtriangleup EQG=\bigtriangleup EQG\\ &\displaystyle \frac{1}{2}\times QG\times EE'=\displaystyle \frac{1}{2}\times QQ'\times EG\\ &\displaystyle \frac{1}{2}\times \left ( 3\sqrt{6} \right )\times EE'=\displaystyle \frac{1}{2}\times 6\times 6\sqrt{2}\\ &\quad\quad\quad EE'= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\times \left ( 6\sqrt{2} \right )\times 6}{\displaystyle \frac{1}{2}\times \left ( 3\sqrt{6} \right )}\\ &\: \: \: \quad\quad\qquad =4\sqrt{3}\: \: \color{black}cm \end{aligned} \end{aligned}$