Lanjutan Limit Fungsi Trigonometri

 C. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri

Dalam bahasan ini yang akan dibahas adalah nilai limit mendekati a atau nilai x di sekitar a. Ada 3 cara yang populer digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri ini dengan salah satunya yang paling sering digunakan adalah substitusi langsung di antara cara-cara penyelesaian lainnya. Jika dengan cara substitusi langsung nantinya mendfapatkan nilai bentuk tak tentu yaitu 00, maka cara Anda harus menggunakan cara yang lainnya sampai Anda temukan nilai limitnya. Selanjutnya 3 cara yang dimaksud di atas adalah sebagai berikut:

C. 1 dengan substitusi langsung

CONTOH SOAL.

1.Tentukanlah nilai limit dari fungsi-sungsiberikutalimx0(sinx+tanx)blimxπ(sinx+cosx)climxπ4(sinx+cosxtanx)dlimx0(1+cos2x1+2cosx)Jawab:Dengan substitusi langsung didapatkana.limx0(sinx+tanx)=sin0+tan0=0+0=0b.limxπ(sinx+cosx)=sinπ+cosπ=0+(1)=1c.limxπ4(sinx+cosxtanx)=(sinπ4+cosπ4tanπ4)=122+1221=21=2d.limx0(1+cos2x1+2cosx)=(1+cos2(0)1+2cos(0))=1+11+2.1=23

C. 2 dengan menyederhanakan

Langkah ini ditempuh setelah langkah substitusi langsung tidak memungkinkan atau ketemu bentuk tak tentu  00.

Gunakanlah identitas-identitas trigonometri yang Anda dapatkan di kelas XI  dan akan sering digunakan nantinya di antaranya, yaitu:

sin2x=2sinxcosxcos2x=cos2xsin2x=12sin2x=2cos2x1tan2x=2tanx1tan2x

Demikian juga

sinA+sinB=2sin(A+B2)cos(AB2)sinAsinB=2cos(A+B2)sin(AB2)cosA+cosB=2cos(A+B2)cos(AB2)cosAcosB=2sin(A+B2)sin(AB2).

Masih banyak bentuk identitas trigonometri selain di atas, karenanya sekiranya perlu maka hafalkanlah

CONTOH SOAL.

2.Tentukanlah nilai limit dari fungsi-sungsiberikutalimx0sin2xsinxblimxπ2sin4xsinxcosxclimx01cos2xtan2xdlimx0sin2x1cosxJawab:Dengan menyederhankan bentuk trigonometriakan didapatkan bentuk yang lebih sederhanaa.limx0sin2xsinxsaat substitusi langsung menghsilkan bentuk=sin0sin0=00,maka perlu disederhanakan=limx0sin2xsinx=limx02sinxcosxsinx=limx02cosxbaru digunakan substitusinya=2cos0=2.1=2b.limxπ2sin4xsinxcosxSama seperti langkah di atas, yaitu:=limxπ2sin4xsinxcosx=limxπ22sin2xcos2xsinxcosx=limxπ24sinxcosxcos2xsinxcosx=limxπ24cos2x=4cos2(π2)=4cosπ=4.(1)=4c.limx01cos2xtan2xsaat substitusi langsung menghsilkan bentuk=1cos20tan20=110=00,maka perlu disederhanakan=limx01cos2xtan2x=limx0sin2x(sin2xcos2x)=limx0cos2x=cos20=12=1d.limx0sin2x1cosxsaat substitusi langsung menghsilkan bentuk=sin201cos0=011=00,maka perlu disederhanakan=limx0sin2x1cosx=limx01cos2x1cosx=limx0(1+cosx)(1cosx)1cosx=limx0(1+cosx)=1+cos0=1+1=2.

3.Tentukanlah nilai limit dari fungsi-sungsiberikutalimx0cosxcos3x1cos2xblimxπ41tanxsinxcosxJawab:Dengan menyederhankan bentuk trigonometriakan didapatkan bentuk yang lebih sederhanaa.limx0cosxcos3x1cos2xsaat substitusi langsung menghsilkan bentuk=cos0cos01cos0=1111=00,maka perlu disederhanakan=limx0cosxcos3x1cos2x=limx02sin(x+3x2)sin(x3x2)1(12sin2x)=limx02sin2xsin(x)2sin2x=limx02sin2xsinx2sinx.sinx=limx02(2sinxcosx)sinx2sinx.sinx=limx02cosxbaru digunakan substitusinya=2cos0=2.1=2b.limxπ41tanxsinxcosxsaat substitusi langsung menghsilkan bentuk=1tanxsinxcosx=11122122=00,maka perlu disederhanakan=limxπ41tanxsinxcosx=limxπ41(sinxcosx)sinxcosx=limxπ4(sinxcosx)cosx(sinxcosx)=limxπ41cosx=1cos(π4)=112=2

C. 3 dengan rumus limit fungsi trigonometri

Berikut rumus limit fungsi trigonometri yang akan kita gunakan

limx0sinaxax=limx0axsinax=aa=1limx0tanaxax=limx0axtanax=aa=1.

BUKTINYA ada di sini

CONTOH SOAL.

4.Tentukanlah nilai limit berikutalimx0sin4x7xblimx02xtan9xclimx0tan8xsin3xJawab:a.limx0sin4x7x=limx047×sin4x4x=47b.limx02xtan9x=limx029×9xtan9x=29c.limx0tan8xsin3x=limx0tan8x8x×limx03xsin3x×83=83.

5.Tentukanlah nilai limit berikutalimx024x28sin2xblimx05x215tan(9x)sin3xJawab:a.limx024x28sin2x=248×limx0xsinx×limx0xsinx=3×1×1=3b.limx05x215tan(9x)sin3x=515×limx0xtan(9x)×limx0xtan3x=13×(×limx09xtan9x×19)××limx03xtan3x×13=13×19×13=181.

6.Tentukanlah nilai limit berikutalimx01cos6xx2blimx0cos4xcos2xx2climx3(x25x+6)sin(x3)(x27x+12)2Jawab:a.limx01cos6xx2=limx01(12sin23x)x2=limx02sin23xx2=2×limx0sin3xx×limx0sin3xx=2×3×3=18b.limx0cos4xcos2xx2=limx02sin(4x+2x2)sin(4x2x2)x2=2×limx0sin3x.sinxx2=2×limx0sin3xx×limx0xx=2×3×1=6c.limx3(x25x+6)sin(x3)(x27x+12)2=limx3(x2)(x3)sin(x3)((x3)(x4))2=limx3(x2)(x3)sin(x3)(x3)(x3)(x4)2=limx3x2(x4)2×limx3sin(x3)(x3)=(32)(34)2×1=1(1)2=11=1.

7.Tentukanlah nilai limit darilimx12sin(4x2)tan2x1Jawab:Kita misalkana=2x1,ketikax12,maka akan didapatkana0(\textbf{dibaca}: saat nilaixmendekati12,maka nilaiaakan mendekati nilai0).Selanjutnya kita buatkan penyesuaian, yaitu:limx12sin(4x2)tan2x1=limx12sin2(2x1)tan2x1=limx0sin2atana=limx0sin2a2a×2×limx0atana=2×1=2.

LATIHAN SOAL.

1.Selidikilah limit fungsi berikut, apakahmemiliki nilai limit atau tidaka.limx02x1b.limx0x2x2c.limx1f(x),denganf(x)={2x;x<14x1;x1 d.limx2f(x),denganf(x)={4x1;x<22x+5;x2e.limx0(x+cosx)f.limx0xtanxg.limxπ2(sinx+2cosx)h.limxπ2(2tanxsin2x).

2.Tentukanlah nilai limit berikutalimx0sin5xxblimx04xsinxclimx0tan6x8xdlimx02xtan7xelimx0sin3xsin2xflimx0sin4xtan8x9limx0sin25x2x2hlimx0sin5xtan6xxtan7xilimxysinxsinyxyjlimx2sin(x24)x2klimx0sinmxsinnxcosmxcosnxllimx01cos3xcosxx2

DAFTAR PUSTAKA
  1. Kanginan, M., Nurdiansyah, H., Akhmad, G. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: YRAMA WIDYA.
  2. Sembiring, S., Zulkifli, M., Marsito, Rusdi, I. 2016. Matematika untuk Siswa SMA/MA Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
  3. Yuana, A.R., Indriyastuti. 2017. Perspektif Matematika untuk Kelas XII SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Solo: PT TIGA SERANGKAI PUSTAKA MANDIRI.


Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Informasi