Tampilkan postingan dengan label three dimensional geometry. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label three dimensional geometry. Tampilkan semua postingan

Lanjutan 4 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

C. Menentukan Besar dan Nilai Sudut dalam Dimensi Tiga

C. 1 Sudut antara Garis dengan Bidang

Secara definisi jika garis g menembus bidang α secara tidak tegak lurus, maka sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dan proyeksi garis g pada bidang α.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada bidang di atas 
(g,α)=(g,g)=θθ=sudut antara garisgdan bidangα.θ=huruf yunani kuno dan bacaTheta.

Selanjutnya beberapa singkatan akan digunakan dalam pembicaraan geometri dimensi tiga, yaitu:
Titik(a,b)=titik potong garisadan garisbTitik(g,α)=titik tembus garisgterhadapbidangαgaris(α,β)=garis potong antara bidangαdanbidangβBidang(ABC)=bidang melalui titik A, B, CBidang(g,A)=bidang yang dilalui garisgdantitik ABidang(g,h)=bidang melalui garisgdanh.

C. 2 Sudut antara Bidang dengan Bidang

Sudut antara bidang dua yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang tersebut di mana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.
garis(α,β)=garis potong antara bidangαdanbidangβGaris TQpada bidangαdenganTQgaris(α,β)dan garisSTpada bidangβjugaSTgaris(α,β)QSTadalahsudut tumpuanBidangγadalahbidang tumpuan(bidang yang memuat sudut tumpuan).
Sudut tumpuan sebuah sudut bidang dua menunjukkan besar kecilnya sudut bidang dua itu dan sudut bidang dua itu lancip, siku-siku, atau tumpul jika  sudut tumpuannya lancip, siku-siku, atau tumpul.

CONTOH SOAL.

14.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk12cm,titik M adalah perpotongan diagonalbidang alas. Tentukanlah besar sudut antaragaris MH dan bidang ADHEJawab:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut.

.LihatHMM,denganHMM=90denganM=proyeksi titik M ke bidang ADHESudut antara garis MH dan bidang ADHEadalahMHM(bidang ADHE di wakili oleh garis HM)SehinggasinMHM=MMHM=12(sisi)12(sisi)6=16=16×66=166MHM=arcsin(166)24,1Jadi,MHM24,1.

15.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk10cm.Tentukanlah besar sudut yang terbentukantara garis BH dan bidang ADHEJawab:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut.

.LihatHBA,denganHAB=90denganA=proyeksi titik B ke bidang ADHESudut antara garis BH dan bidang ADHEadalahAHB(bidang ADHE di wakili oleh garis AH)SehinggatanAHB=ABHA=sisidiagonal sisi=(sisi)(sisi)2=12×22=122AHB=arctan(122)35,26Jadi,AHB35,26.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Rasiman. 2000. Diktat Geometri. Semarang: IKIP Semarang
  2. Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: ERLANGGA.




Lanjutan 3 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

B. 3 Kedudukan Garis Terhadap Garis dalam Ruang

Pada bangun sebuah kubus di mana bangun ruang ini dibatasi oleh tiga pasang bidang persegi. Setiap daerah persegi membatasi kubus yang disebut sebagai sisi kubus. Setiap dua sisi yang tidak sejajar  akan saling berpotongan pada sebuah garis yang disebut rusuk, yaitu AB, BC, AE, dan lain-lainnya. Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut

Sehingga sebuah kubus memiliki 12 rusuk yang sama panjang. Jika Anda perhatikan susunan dan struktur dari rusuk-rusk kubus kubus di atas, maka 12 di atas dapat dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:
  • kelompok pertama : AB, DC, HG, dan EF
  • kelompok kedua : AD, BC, FG, dan EH
  • kelompok ketiga : AE, BF, CG, dan DH
Selanjutnya Anda juga dapat menemukan atau melihat bahwa setiap tiga rusuk bertemu di suatu titik yang selanjutnya disebut titik sudut kubus. Sebuah kubus memiliki 8 titik sudut. Terdapat pasangan-pasangan titik sudut yang tidak terletak pada sebuah bidang sisi, yaitu titik A dengan G, B dengan H, C dengan E, serta D dengan F, pasangan titik yang demikian disebut dengan pasangan titik yang berhadapan.
Ruas garis yang menghubungkan dua buah titik yang berhadapan disebut diagonal ruang kubus. Karena terdapat empat pasang titik berhadapan, maka terdapat 4 buah diagonal ruang, yaitu: AB, BH, CE, dan DF. Selain itu juga karena sisi kubus ada 6 buah dan masing-masing memiliki dua diagonal, sehingga terdapat 12 diagonal sisi, yaitu: AC, BD, AF, BE, EG, FH, AH, DE, BG, dan CF.
Anda juga dapat menemukan pasangan rusuk yang sejajar tetapi tidak terletak pada sebuah bidang sisi, misalnya AB dengan HG, dan lain-lainnya. Dari sana Anda akan menemukan 6 pasang rusuk yang yang berhadapan. Bidang yang melalui dua rusuk yang berhadapan disebut bidang diagonal. Sehingga dalam sebuah kubus terdapat 6 buah bidang diagonal.
Perhatikan letak rusuk AB dan DH, kedua rusuk itu tidak terletak pada sebuah bidang, maka dikatakan AB dan DH dua rusuk saling bersilangan demikian juga garis yang lain dengan kondisi semisal. Selain itu hubungan dua garis adalah saling sejajar dan saling tegak lurus.

B. 4 Kedudukan Garis terhadap Bidang yang Sejajar

Jarak anatar suatu garis  g  dan bidang  α yang saling sejajar adalah jarak antara sebarang titik A pada  g  dengan bidang  α. Jika proyeksi titik A pada garis g ke bidang α yang saling sejajar adalah A', maka AA' adalah jarak antara garis  g  dan bidang  α yang saling sejajar.

Berikut ilustrasinya

CONTOH SOAL.

9.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cmTentukanlah jarak titik A ke bidangaBCGFbBCHEJawab:Perhatikan ilustrasi berikut ini


.a.titikAkeBCGF=AkeB=AB=8cmb.titikAkeBCHE=Ake tengah-tenganBE=12diagonal sisi kubus=12(82)=42cm.

10.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk6cm,titik S dan R berturut turut adalah pusatbidang EFGH dan ABCD. Tentukanlah jarakantara garis RF dan DSJawab:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut.


.Diketahui bahwa:BD=62cm(diagonal sisi kubus)RD=12BD=12(62)=32cmDS=12(sisi)6=12(6)6=36cmLangkah selanjutnya[DSR]=[DSR]12×DS×RM=12×DR×RSRM=12×DR×RS12×DS=DR×RSDS=32×636=18236×66=181218=12=4.3=23cmJadi,jarak garis RF ke DS=23m

B. 5 Kedudukan antara Dua Bidang yang Sejajar

Jarak antara dua bidang α dan β yang saling sejajar adalah sama dengan jarak antara sebarang titik A pada bidang  α  dan A' pada bidang  β  dengan A' adalah proyeksi titik A pada bidang  β.
Berikut ilustrasinya
CONTOH SOAL.

11.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cmTentukanlah jarak bidang ABCD ke bidangaBCGFbEFGHJawab:a.bidangABCDkeBCGF=tidak terdefinisialasan:karena saling tegak lurusb.bidangABCDkeEFGH=Ake E=8cm.

12.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk8cm,titik P, Q, R, dan S berturut turut beradadi pertengahan rusuk BC, CG, DH, dan AD.Tentukanlah jarak antara bidang ABGH danbidang PQRSJawab:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut.


.Diketahui bahwa:BP=12BC=128=4cm(rusuk kubus)sinPBP=PPBPPP=BP×sinPBP=4×sin45=4×122=22cmDS=12(sisi)6=12(6)6=36cmJadi, jarak bidang ABGH ke PQRS adalah22cm.

13.Pada sebuah kubus ABCD.EFGH, tunjukkanbahwa bidang AFH sejajar dengan bidang BDGBukti:Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut

.Untuk menunjukkan bidang AFH dan BDGitu sejajar, maka harus ditunjukkan bahwakedua bidang itu masing-masing memuatdua garis berpotongan yang sepasang-sepasang.Bidang ADHE//bidang BCGF,sedang bidangABGH memotong kedua bidang yang sejajar ituberupa garis AH dan BG, maka AH//BG.Demikian pula bidang ABCD dan EFGH yangdipotong oleh bidang BDHF, masing-masingberupa garis BD dan FH, maka BD//FHBerdasarkan fakta di atas, yaitu:garis AH//BG dan BD//FH, maka sudahcukup menunjukkan bahwabidang AFHbidang BDG sejajar.


DAFTAR PUSTAKA
  1. Rasiman. 2000. Diktat Geometri. Semarang: IKIP Semarang
  2. Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: ERLANGGA.





Lanjutan 2 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

 B. 3. Kedudukan Titik terhadap Bidang.

Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut

Pandang titik A terhadap bidang EFGH. Tampak bahwa titik A terletak tidak pada bidang EFGH termasuk juga titik-titik yang lain yang tidak terletak pada bidang EFGH tersebut yaitu: titik B, C, dan D. Walaupun demikian pada kubus ABCD.EFGH tersebut terdapat beberapa titik yang terletak pada bidang EFGH, yaitu: titik E, F, G, G, dan P. Selanjutnya hubungan kedudukan suatu titik terhadap bidang dapat kita tuliskan sebagaimana dalam tabel berikut:

NoKedudukanKeterangan1.pada bidangtitik terletak pada bidang2.di luar bidangtitik berada di luar bidang

Sebagai tambahan penjelasan perhatikan pula gambar limas D.ABC berikut


Pada limas D.ABC di atas terlihat jelas bagwa titik D terletak di luar bidan ABC, tetapi titik A atau titik B ataupun titik C, semuanya terletak pada bidang ABC pada bangun limas D.ABC di atas.

Selanjutnya dalam penentuan jarak antar titik dengan suatu bidang adalah panjang ruas garis secara tegak lurus yang menghungkan titik tersebut dengan bidang yang dimaksud.

Sebagai ilustrasi adalah gambar berikut

Pada ilsutrasi gambar di atas jarak titik A ke bidang V adalah sepanjang ruas garis AB yang mana ruas garis AB tegak lurus dengan bidang V.

CONTOH SOAL.

7.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.Tentukanlah jarak titik C ke bidang BDGJawab:Perhatikanlah ilustrasi.

Jika gambarnya dipartisi lagi di bagian segitiga GCG' maka akan tampak seperti ilustrasi berikut
.Jelasbahwa{GC=8cm(dari soal)BD=AC=82cm(diagonal sisi kubus)CG=12AC=42cmmakadengan rumus Pythagoras dapatpanjangGG,yaitu:(GG)2=(GC)2+CG2GG=(GC)2+CG2=(42)2+82=32+64=96=16.6=46cmPerhatikanGCGDengan perbandingan luasGCG=GCG12×CC×GG=12×CG×CG12×CC×(46)=12×(42)×8CC=12×(42)×812×(46)=83=83×33=833cm.

8.Diketahui rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cmTentukanlah jarak titik E ke bidang BDGJawab:Perhatikanlah ilustrasi berikut ini.
.Jelasbahwa{AB=BC=CG=QQ=6cm(dari soal)AC=EG=62cm(diagonal sisi kubus)EQ=QG=12(sisi)6=36cmPerhatikanEQGDengan perbandingan luasEQG=EQG12×QG×EE=12×QQ×EG12×(36)×EE=12×6×62EE=12×(62)×612×(36)=43cm









Lanjutan Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

 B. 2. Kedudukan Titik terhadap Garis.

NoKedudukanKeterangan1.pada garistitik berimpit pada garis2.di luar garistitik berada di luar garis.

Pada contoh kubus ABCD.EFGH di atas adalah :

  • terletak pada garis : Titik A terletak pada tiga garis yaitu ruas garis AB, AD, dan AE
  • terletak di luar garis : Titik A di luar rus garis BC, CD, BF, CG, DH, EF, ED, FG, dan GH.

Secara definisi jarak antara suatu titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut ke garis tersebut secara tegak lurus.

CONTOH SOAL.

4.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk.10 cm. Tentukanlah jarak titik F ke garis ACJawab:Perhatikanlah gambar kubus berikut.

.perhatikan pula gambar kedua berikut

.Tampakbahwa jakak titik F ke garis ACadalah sama dengan jarak titik F ke Pdenganpanjang rusuk 10cm,yaitu:Alternatif 1Denganmemandang segitiga BFP kitagunakanrumus Pythagoras, yaitu:PF2=PB2+BF2PF=PB2+BF2=(52)2+102ingatPB setengah diagonal sisi=50+100=150=25.6=56cmAlternatif 2Gunakan rumus luas segitiga, yaitu:LuasPBF=LuasPBF, atau[PBF]=[PBF]karenaPBF segitiga sama sisimaka AC=CF=FA=102dan ketigasudutnya masing-masing6012×AC×FP=12×AF×FC×sinAFC12×AC×FP=12×AC×AC×sinAFCFP=AC×sinAFC=102×sin60=102×(123)=56cmAlternatif 3Perhatikan gambar berikut.

.Tampakbahwa jakak titik F ke garis ACsepertijarak titik B ke Q=12a6makaPF=BQ=12a6PF=12(sisi)6=12(10)6=56cm.

5.Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjangrusuk alasnya 8 cm dan panjang rusuk tegaknya12 cm. Tentukanlah jarak B ke TDJawab:Perhatikanlah gambar limas beraturan T.ABCDberikut.

.perhatikan pula gambar kedua berikut


.Gunakan rumus luas segitiga, yaitu:LuasTBD=LuasTBD atau[TBD]=[TBD]karenaTBD segitiga sama kakimaka TB=TD=12cmdan BDadalah diagonal sisi alas=82cmdengan menghitung tinggiTBDdengan alas TD dengan tinggi ditarik dariB ke arak rusuk TD, maka akan ketemujarak titik B ke garis TD.Berikut perhitungannya12×TD×Tinggi=12×TP×DB12×TD×Tinggi=12×(TB2PB2)×DB12×12×Tinggi=12×(122(42)2)×82ingat bahwaPB=12BDTinggi=12×(122(42)2)×826=12×14432×826=112×426=16×7×426=47×223=837.2=8314cm.

6.Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjangrusuk alasnya52cmdan panjang rusuktegaknya 13 cm. Tentukanlah jarak A ke TCJawab:Perhatikanlah gambar limas beraturan T.ABCDberikut.
.Gunakan rumus luas segitiga, yaitu:[TAC]=[TAC]denganproses pengerjaaan sama semisalno.5 di atas, maka12×TC×Tinggi=12×TT×AC12×TC×Tinggi=12×(TA2AT2)×AC12×13×Tinggi=12×(132(102)2)×1013×Tinggi=12×10Tinggi=12013