Lanjutan 4 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

C. Menentukan Besar dan Nilai Sudut dalam Dimensi Tiga

C. 1 Sudut antara Garis dengan Bidang

Secara definisi jika garis $g$ menembus bidang $\alpha$ secara tidak tegak lurus, maka sudut antara garis $g$ dan bidang $\alpha$ adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis $g$ dan proyeksi garis $g$ pada bidang $\alpha$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada bidang di atas 

$\begin{aligned}\angle (g,\alpha )&=\angle (g,g')=\theta\\ \theta &=\textrm{sudut antara garis}\: \: g\: \: \textrm{dan bidang}\: \: \alpha.\\ \theta &=\textrm{huruf yunani kuno dan baca}\: \: Theta \end{aligned}$.

Selanjutnya beberapa singkatan akan digunakan dalam pembicaraan geometri dimensi tiga, yaitu:

$\begin{aligned}\textrm{Titik}\: \: (a,b)&=\textrm{titik potong garis} \: \: a\: \: \textrm{dan garis}\: \: b\\ \textrm{Titik}\: \: (g,\alpha )&=\textrm{titik tembus garis}\: \: g\: \: \textrm{terhadap}\\ &\: \: \quad \textrm{bidang}\: \: \alpha\\ \textrm{garis}\: (\alpha ,\beta )&=\textrm{garis potong antara bidang}\: \: \alpha\: \: \textrm{dan}\\ &\: \: \quad \textrm{bidang}\: \: \beta\\ \textrm{Bidang}\: \: (A&BC)=\textrm{bidang melalui titik A, B, C}\\ \textrm{Bidang}\: \: (g,&A)=\textrm{bidang yang dilalui garis}\: \: g\: \: \textrm{dan}\\ &\: \: \quad \textrm{titik A}\\ \textrm{Bidang}\: \: (g,&h)=\textrm{bidang melalui garis}\: \: g\: \: \textrm{dan}\: \: h \end{aligned}$.

C. 2 Sudut antara Bidang dengan Bidang

Sudut antara bidang dua yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang tersebut di mana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.

$\begin{aligned}\textrm{garis}\: (\alpha ,\beta )&=\textrm{garis potong antara bidang}\: \: \alpha\: \: \textrm{dan}\\ &\: \: \quad \textrm{bidang}\: \: \beta\\ \textrm{Garis TQ}\: \: \: &\textrm{pada bidang}\: \: \alpha\: \: \textrm{dengan}\: \: \textrm{TQ}\perp \textrm{garis}\: (\alpha ,\beta )\\ &\textrm{dan garis}\: \: \textrm{ST}\: \: \textrm{pada bidang}\: \: \beta \: \: j\textrm{uga}\\ &\textrm{ST}\perp \textrm{garis}\: (\alpha ,\beta )\\ \angle QST\: \: \textrm{ad}&\textrm{alah}\: \: \: \textbf{sudut tumpuan}\\ \textrm{Bidang}\: \: \: \gamma &\: \: \textrm{adalah}\: \: \: \textbf{bidang tumpuan}\\ &(\textrm{bidang yang memuat sudut tumpuan}) \end{aligned}$.

Sudut tumpuan sebuah sudut bidang dua menunjukkan besar kecilnya sudut bidang dua itu dan sudut bidang dua itu lancip, siku-siku, atau tumpul jika  sudut tumpuannya lancip, siku-siku, atau tumpul.

$\LARGE\colorbox{yellow}{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{ll}\\ 14.&\textrm{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ &12\: \: cm,\: \textrm{titik M adalah perpotongan diagonal}\\ &\textrm{bidang alas. Tentukanlah besar sudut antara}\\ &\textrm{garis MH dan bidang ADHE}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Lihat}\: \: \bigtriangleup \textrm{HM}'\textrm{M},\: \textrm{dengan}\: \: \angle \textrm{HM}'\textrm{M}=90^{\circ}\\ &\textrm{dengan}\: \: \textrm{M}'\: =\: \textrm{proyeksi titik M ke bidang ADHE}\\ &\textrm{Sudut antara garis MH dan bidang ADHE}\\ &\textrm{adalah}\: \: \angle \textrm{M}'\textrm{HM}\\ &(\textrm{bidang ADHE di wakili oleh garis HM}')\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{aligned} \sin \angle \textrm{M}'\textrm{HM}&=\displaystyle \frac{\textrm{MM}'}{\textrm{HM}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)}{\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)\sqrt{6}}\\ &=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{6}\\ \angle \textrm{M}'\textrm{HM}&=\arcsin \left ( \displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{6} \right )\\ &\approx \color{blue}24,1^{\circ} \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \angle \textrm{M}'\textrm{HM}\approx 24,1^{\circ} \end{aligned}$.

$\begin{array}{ll}\\ 15.&\textrm{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ &10\: \: cm.\: \: \textrm{Tentukanlah besar sudut yang terbentuk}\\ &\textrm{antara garis BH dan bidang ADHE}\\\\ &\textbf{Jawab}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut} \end{array}$.

$.\qquad\begin{aligned}&\textrm{Lihat}\: \: \bigtriangleup \textrm{HBA},\: \textrm{dengan}\: \: \angle \textrm{HAB}=90^{\circ}\\ &\textrm{dengan}\: \: \textrm{A}\: =\: \textrm{proyeksi titik B ke bidang ADHE}\\ &\textrm{Sudut antara garis BH dan bidang ADHE}\\ &\textrm{adalah}\: \: \angle \textrm{AHB}\\ &(\textrm{bidang ADHE di wakili oleh garis AH})\\ &\textrm{Sehingga}\\ &\begin{aligned} \tan \angle \textrm{AHB}&=\displaystyle \frac{\textrm{AB}}{\textrm{HA}}\\ &=\displaystyle \frac{\displaystyle \textrm{sisi}}{\textrm{diagonal sisi}}\\ &=\displaystyle \frac{(sisi)}{\displaystyle (sisi)\sqrt{2}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \angle \textrm{AHB}&=\arctan \left ( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \right )\\ &\approx \color{blue}35,26^{\circ} \end{aligned}\\ &\textrm{Jadi},\: \: \angle \textrm{AHB}\approx 35,26^{\circ} \end{aligned}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Rasiman. 2000. Diktat Geometri. Semarang: IKIP Semarang
2. Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: ERLANGGA.