Lanjutan 4 Materi Geometri Ruang (Dimensi Tiga)

C. Menentukan Besar dan Nilai Sudut dalam Dimensi Tiga

C. 1 Sudut antara Garis dengan Bidang

Secara definisi jika garis $g$ menembus bidang $\alpha$ secara tidak tegak lurus, maka sudut antara garis $g$ dan bidang $\alpha$ adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis $g$ dan proyeksi garis $g$ pada bidang $\alpha$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Pada bidang di atas 

$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }(g,\alpha )& =\mathrm{\angle }(g,g^{\prime })=\theta \\ \theta & =\text{sudut antara garis}g\text{dan bidang}\alpha .\\ \theta & =\text{huruf yunani kuno dan baca}Theta\end{array}$.

Selanjutnya beberapa singkatan akan digunakan dalam pembicaraan geometri dimensi tiga, yaitu:

$\begin{array}{rl}\text{Titik}(a,b)& =\text{titik potong garis}a\text{dan garis}b\\ \text{Titik}(g,\alpha )& =\text{titik tembus garis}g\text{terhadap}\\ & \text{bidang}\alpha \\ \text{garis}(\alpha ,\beta )& =\text{garis potong antara bidang}\alpha \text{dan}\\ & \text{bidang}\beta \\ \text{Bidang}(A& BC)=\text{bidang melalui titik A, B, C}\\ \text{Bidang}(g,& A)=\text{bidang yang dilalui garis}g\text{dan}\\ & \text{titik A}\\ \text{Bidang}(g,& h)=\text{bidang melalui garis}g\text{dan}h\end{array}$.

C. 2 Sudut antara Bidang dengan Bidang

Sudut antara bidang dua yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang tersebut di mana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.

$\begin{array}{rl}\text{garis}(\alpha ,\beta )& =\text{garis potong antara bidang}\alpha \text{dan}\\ & \text{bidang}\beta \\ \text{Garis TQ}& \text{pada bidang}\alpha \text{dengan}\text{TQ}\perp \text{garis}(\alpha ,\beta )\\ & \text{dan garis}\text{ST}\text{pada bidang}\beta j\text{uga}\\ & \text{ST}\perp \text{garis}(\alpha ,\beta )\\ \mathrm{\angle }QST\text{ad}& \text{alah}\mathbf{\text{sudut tumpuan}}\\ \text{Bidang}\gamma & \text{adalah}\mathbf{\text{bidang tumpuan}}\\ & (\text{bidang yang memuat sudut tumpuan})\end{array}$.

Sudut tumpuan sebuah sudut bidang dua menunjukkan besar kecilnya sudut bidang dua itu dan sudut bidang dua itu lancip, siku-siku, atau tumpul jika  sudut tumpuannya lancip, siku-siku, atau tumpul.

$\text{CONTOH SOAL}$.

$\begin{array}{l}\\ 14.& \text{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ & 12cm,\text{titik M adalah perpotongan diagonal}\\ & \text{bidang alas. Tentukanlah besar sudut antara}\\ & \text{garis MH dan bidang ADHE}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Lihat}△{\text{HM}}^{\prime }\text{M},\text{dengan}\mathrm{\angle }{\text{HM}}^{\prime }\text{M}={90}^{\circ }\\ & \text{dengan}{\text{M}}^{\prime }=\text{proyeksi titik M ke bidang ADHE}\\ & \text{Sudut antara garis MH dan bidang ADHE}\\ & \text{adalah}\mathrm{\angle }{\text{M}}^{\prime }\text{HM}\\ & ({\text{bidang ADHE di wakili oleh garis HM}}^{\prime })\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{rl}\sin \mathrm{\angle }{\text{M}}^{\prime }\text{HM}& ={\displaystyle \frac{{\text{MM}}^{\prime }}{\text{HM}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)}}{{\displaystyle \frac{1}{2}(sisi)\sqrt{6}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{6}}}}\\ \mathrm{\angle }{\text{M}}^{\prime }\text{HM}& =\arcsin \left({\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{6}}\right)\\ & \approx 24,1^{\circ }\end{array}\\ & \text{Jadi},\mathrm{\angle }{\text{M}}^{\prime }\text{HM}\approx 24,1^{\circ }\end{array}$.

$\begin{array}{l}\\ 15.& \text{Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk}\\ & 10cm.\text{Tentukanlah besar sudut yang terbentuk}\\ & \text{antara garis BH dan bidang ADHE}\\ \\ & \mathbf{\text{Jawab}}:\\ & \text{Perhatikan ilustrasi kubus ABCD.EFGH berikut}\end{array}$.

$.\begin{array}{rl}& \text{Lihat}△\text{HBA},\text{dengan}\mathrm{\angle }\text{HAB}={90}^{\circ }\\ & \text{dengan}\text{A}=\text{proyeksi titik B ke bidang ADHE}\\ & \text{Sudut antara garis BH dan bidang ADHE}\\ & \text{adalah}\mathrm{\angle }\text{AHB}\\ & (\text{bidang ADHE di wakili oleh garis AH})\\ & \text{Sehingga}\\ & \begin{array}{rl}\tan \mathrm{\angle }\text{AHB}& ={\displaystyle \frac{\text{AB}}{\text{HA}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \text{sisi}}}{\text{diagonal sisi}}}\\ & ={\displaystyle \frac{(sisi)}{{\displaystyle (sisi)\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}}}\\ \mathrm{\angle }\text{AHB}& =\arctan \left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2}}\right)\\ & \approx 35,{26}^{\circ }\end{array}\\ & \text{Jadi},\mathrm{\angle }\text{AHB}\approx 35,{26}^{\circ }\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Rasiman. 2000. Diktat Geometri. Semarang: IKIP Semarang
2. Tampomas, H. 1999. Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: ERLANGGA.