Contoh Soal Numerasi Lanjutan 2 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

Materi Pendukung

A. Faktor Pembilang

Misalkan kita ingin mendaftar bilangan keliapatan genap positif  $m$ yang kurang dari atau sama dengan $n$. 

Jika $n$ kelipatan dari $m$, maka akan dapat dituliskan $n=k.m$. Karena $n=k.m$ selanjutnya  $k=\displaystyle \frac{n}{m}$ dan oleh karenanya dapat dituliskan pula $m,\: 2m,\: \cdots ,km=n$.

Akan tetapi, jika $n$ bukan merupakan kelipatan dari $m$, maka akan terdapat suatu bilangan bulat $k$ dengan  $km<n<(k+1)m$, dengan  $k$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari  $\displaystyle \frac{n}{m}$.

B. Fungsi Bilangan Dasar/Fungsi Tangga

Untuk suatu bilangan asli  $x$, fungsi dasar  $x$ dinotasikan dengan  $\left \lfloor x \right \rfloor$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan  $x$.

Contoh:

$\left \lfloor 1,7 \right \rfloor=1,\: \: \left \lfloor \sqrt{5} \right \rfloor=2,\: \textrm{dan}\: \: \left \lfloor 4 \right \rfloor=4$.

Selanjutnya, untuk menuliskan banyaknya bilangan bulat positif  $m$ yang kurang dari atau sama dengan bilangan bulat $n$  adalah  $\left \lfloor \displaystyle \frac{n}{m} \right \rfloor$.

Contoh:

Untuk menuliskan banyaknya bilangan kelipatan 3 yang yang terletak di antara bilangan 5 dan 10 dapat ditentukan dengan 

$\begin{aligned}&\left \lfloor \displaystyle \frac{10}{3} \right \rfloor-\left \lfloor \displaystyle \frac{5}{3} \right \rfloor=3-1=2\\ &\\ &\textrm{bukan dituliskan dengan}\\ &\color{red}\left \lfloor \displaystyle \frac{10-5}{3} \right \rfloor=\left \lfloor \displaystyle \frac{5}{3} \right \rfloor=1 \end{aligned}$.

Prinsip Inklusi Eksklusi

Hal yang berkaitan dengan jumlah hitungan dan tidaknya.

Jika diberikan $N$ objek, sebagai misal

• $N(\alpha )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$
• $N(\beta )$  banyaknya objek dengan sifat  $\beta$
• $N(\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\gamma$
• dan seterusnya

dan misal

• $N(\alpha,\: \beta )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$  dan  $\beta$
• $N(\alpha,\: \gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$  dan  $\gamma$
• $N(\beta,\: \gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\beta$  dan  $\gamma$
• dan seterusnya

serta misalkan juga 

• $N(\alpha,\: \beta,\: \gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$,  $\beta$ serta $\gamma$

Maka gabungan objek $N$ dengan sifat $\alpha$,  $\beta$ serta $\gamma$  adalah:

$\begin{aligned}&\left | \color{red}N(\alpha )\color{black}\cup \color{red}N(\beta )\color{black}\cup \color{red}N(\gamma )\color{black}\cup \cdots \right |\\ &=\left | \color{red}N(\alpha )\color{black}+\color{red}N(\beta )\color{black}+\color{red}N(\gamma )\color{black}+\cdots \right |\\ &\quad -\left | \color{blue}N(\alpha,\beta )\color{black}+\color{blue}N(\alpha,\gamma )\color{black}+\color{blue}N(\beta ,\gamma )\color{black}+\cdots \right |\\ &\quad +\left | \color{purple}N(\alpha ,\beta ,\gamma )\color{black}+\cdots \right |\\ &\quad -\: \: \cdots \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 11}$.

Perhatikanlah tabel berikut

Ada berapa banyak bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3?

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 11}$.

$\begin{aligned}S&=\textrm{himpunan bilangan antara}\: \: 1-500\\ \textrm{m}&\textrm{isalkan}\\ A&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2}\\ B&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 3}\\ A&\cup B=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 atau 3}\\ A&\cap B=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3}\\ \textrm{m}&\textrm{aka}\\ &\left | A\cup B \right |\\ &=\left | A \right |+\left | B \right |-\left | A\cap B \right |\\ &=\left \lfloor \displaystyle \frac{500}{2} \right \rfloor +\left \lfloor \displaystyle \frac{500}{3} \right \rfloor - \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{6} \right \rfloor \\ &=250+166-83\\ &=\color{red}333 \end{aligned}$.

$\LARGE\colorbox{magenta}{CONTOH SOAL 12}$.

Perhatikan pula tabel berikut

Ada berapa banyak pula bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3 atau 5?

$\LARGE\colorbox{white}{SOLUSI SOAL 12}$.

$\begin{aligned}S&=\textrm{himpunan bilangan antara}\: \: 1-500\\ \textrm{m}&\textrm{isalkan}\\ A&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2}\\ B&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 3}\\ C&=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 5}\\ A&\cup B\cup C=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2, 3, atau 5}\\ A&\cap B=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3}\\ A&\cap C=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 5}\\ B&\cap C=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 3 dan 5}\\ A&\cap B\cap C=\textrm{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3 serta 5}\\ \textrm{m}&\textrm{aka}\\ &\left | A\cup B\cup C \right |\\ &=\left | A \right |+\left | B \right |+\left | C \right |-\left | A\cap B \right |-\left | A\cap C \right |\\ &\quad -\left | B\cap C \right |+\left | A\cap B\cap C \right |\\ &=\left \lfloor \displaystyle \frac{500}{2} \right \rfloor +\left \lfloor \displaystyle \frac{500}{3} \right \rfloor + \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{5} \right \rfloor - \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{6} \right \rfloor- \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{10} \right \rfloor- \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{15} \right \rfloor+ \left \lfloor \displaystyle \frac{500}{30} \right \rfloor\\ &=250+166+100-83-50-33+16\\ &=\color{red}366 \end{aligned}$.