Contoh Soal Numerasi Lanjutan 2 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

Materi Pendukung

A. Faktor Pembilang

Misalkan kita ingin mendaftar bilangan keliapatan genap positif  $m$ yang kurang dari atau sama dengan $n$. 

Jika $n$ kelipatan dari $m$, maka akan dapat dituliskan $n=k.m$. Karena $n=k.m$ selanjutnya  $k={\displaystyle \frac{n}{m}}$ dan oleh karenanya dapat dituliskan pula $m,2m,\cdots ,km=n$.

Akan tetapi, jika $n$ bukan merupakan kelipatan dari $m$, maka akan terdapat suatu bilangan bulat $k$ dengan  $km<n<(k+1)m$, dengan  $k$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari  ${\displaystyle \frac{n}{m}}$.

B. Fungsi Bilangan Dasar/Fungsi Tangga

Untuk suatu bilangan asli  $x$, fungsi dasar  $x$ dinotasikan dengan  $\lfloor x\rfloor$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan  $x$.

Contoh:

$\lfloor 1,7\rfloor =1,\lfloor \sqrt{5}\rfloor =2,\text{dan}\lfloor 4\rfloor =4$.

Selanjutnya, untuk menuliskan banyaknya bilangan bulat positif  $m$ yang kurang dari atau sama dengan bilangan bulat $n$  adalah  $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{m}}\rfloor$.

Contoh:

Untuk menuliskan banyaknya bilangan kelipatan 3 yang yang terletak di antara bilangan 5 dan 10 dapat ditentukan dengan 

$\begin{array}{rl}& \lfloor {\displaystyle \frac{10}{3}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{5}{3}}\rfloor =3-1=2\\ & \\ & \text{bukan dituliskan dengan}\\ & \lfloor {\displaystyle \frac{10-5}{3}}\rfloor =\lfloor {\displaystyle \frac{5}{3}}\rfloor =1\end{array}$.

Prinsip Inklusi Eksklusi

Hal yang berkaitan dengan jumlah hitungan dan tidaknya.

Jika diberikan $N$ objek, sebagai misal

• $N(\alpha )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$
• $N(\beta )$  banyaknya objek dengan sifat  $\beta$
• $N(\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\gamma$
• dan seterusnya

dan misal

• $N(\alpha ,\beta )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$  dan  $\beta$
• $N(\alpha ,\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$  dan  $\gamma$
• $N(\beta ,\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\beta$  dan  $\gamma$
• dan seterusnya

serta misalkan juga 

• $N(\alpha ,\beta ,\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$,  $\beta$ serta $\gamma$

Maka gabungan objek $N$ dengan sifat $\alpha$,  $\beta$ serta $\gamma$  adalah:

$\begin{array}{rl}& \left|N(\alpha )\cup N(\beta )\cup N(\gamma )\cup \cdots \right|\\ & =\left|N(\alpha )+N(\beta )+N(\gamma )+\cdots \right|\\ & -\left|N(\alpha ,\beta )+N(\alpha ,\gamma )+N(\beta ,\gamma )+\cdots \right|\\ & +\left|N(\alpha ,\beta ,\gamma )+\cdots \right|\\ & -\cdots \end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 11}$.

Perhatikanlah tabel berikut

Ada berapa banyak bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3?

$\text{SOLUSI SOAL 11}$.

$\begin{array}{rl}S& =\text{himpunan bilangan antara}1-500\\ \text{m}& \text{isalkan}\\ A& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 2}\\ B& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 3}\\ A& \cup B=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 atau 3}\\ A& \cap B=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3}\\ \text{m}& \text{aka}\\ & |A\cup B|\\ & =\left|A\right|+\left|B\right|-|A\cap B|\\ & =\lfloor {\displaystyle \frac{500}{2}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{500}{3}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{500}{6}}\rfloor \\ & =250+166-83\\ & =333\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 12}$.

Perhatikan pula tabel berikut

Ada berapa banyak pula bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3 atau 5?

$\text{SOLUSI SOAL 12}$.

$\begin{array}{rl}S& =\text{himpunan bilangan antara}1-500\\ \text{m}& \text{isalkan}\\ A& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 2}\\ B& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 3}\\ C& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 5}\\ A& \cup B\cup C=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2, 3, atau 5}\\ A& \cap B=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3}\\ A& \cap C=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 5}\\ B& \cap C=\text{himpunan bilangan habis dibagi 3 dan 5}\\ A& \cap B\cap C=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3 serta 5}\\ \text{m}& \text{aka}\\ & |A\cup B\cup C|\\ & =\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-|A\cap B|-|A\cap C|\\ & -|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\\ & =\lfloor {\displaystyle \frac{500}{2}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{500}{3}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{500}{5}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{500}{6}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{500}{10}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{500}{15}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{500}{30}}\rfloor \\ & =250+166+100-83-50-33+16\\ & =366\end{array}$.