Lanjutan 3 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 27}$.

Suatu permasalahan dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik berikut

maka nilai dari  $a+b+c$  adalah ... .

$\begin{array}{rl}\text{a}.& -2\\ \text{b}.& -1\\ \text{c}.& 0\\ \text{d}.& 1\\ \text{e}.& 2\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 27}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa untuk grafik fungsi}\\ & \text{kuadrat di atas dapat dituliskan menjadi}\\ & y=a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\ & \text{dengan}\\ & \bullet x_1=1(\text{grafik saat memotong sumbu}-X)\\ & \bullet x_2=3,(\text{grafik saat memotong sumbu}-X)\\ & \bullet \text{grafik juga memotong sumbu}-Y\text{di}(0,4)\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{rl}y& =a(x-x_1)(x-x_2)\\ \iff 4& =a(0-1)(0-3)\\ \iff 4& =a(-1)(-3)=3a\\ \iff a& ={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}\\ & \text{Sehingga}\\ & y={\displaystyle \frac{4}{3}(x-1)(x-3)={\displaystyle \frac{4}{3}(x^2-4x+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}{x}^2-\frac{16}{3}x+4}\\ & \text{Selanjutnya kita dapatkan nilai}\\ & a={\displaystyle \frac{4}{3},b=-\frac{16}{3},\text{dan}c=4}\\ & \text{Jadi},a+b+c={\displaystyle \frac{4}{3}+(-{\displaystyle \frac{16}{3}})+4=0}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 28}$.

August De'Morgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Suatu ketika saat tahun terakhir masa hidupnya ia mengatakan, "Dulu aku berusia $X$ tahun pada tahun $X^2$". Pada tahun berapakah  ia dilahirkan ...

$\begin{array}{rl}\text{a}.& 1806\\ \text{b}.& 1822\\ \text{c}.& 1849\\ \text{d}.& 1851\\ \text{e}.& 1853\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 28}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Bilangan kuadrat sempurna yang}\\ & \text{mengandung digit 1800-an adalah}\\ & {42}^2<{43}^2<{44}^2\Rightarrow 1764<1849<1936\\ & \text{pilih saja}{43}^2=1849\\ & \text{Akibatnya, August De'Morgan berusia}\\ & \text{43 tahun pada tahun 1849, sehingga tahun}\\ & \text{lahirnya tokoh tersebut adalah}:\\ & =1849-43=1806\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 29}$.

Segitiga siku-siku OAB terbentuk dari sumbu-X, sumbu-Y, dan garis $y=8-2x$. Titik P(x,y) terletak pada garis tersebut. Jika dari titik P dibuat garis-garis tegak lurus sumbu-X dan sumbu-Y sehingga terbentuklah persegi panjang berdiagonal OP, maka koordinat P agar luas persegi panjang tersebut maksimum adalah ...

$\text{SOLUSI SOAL 29}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \text{persegi panjang tersebut luasnya}=L(x)\\ & =panjang\times lebar=x\times y=x\times (8-2x)\\ & =8x-2x^2(a=-2,b=8,c=0)\\ & \text{Agar luas maksimum, maka}\\ & x={\displaystyle \frac{-b}{2a}(x\text{sumbu simetri})}\\ & ={\displaystyle \frac{-8}{2(-2)}=2}\\ & \text{Selanjutnya kita cari}-\text{nya, yaitu}\\ & y=8-2x=8-2.2=8-4=4\\ & \text{Jadi, koordinat}P(x,y)=P(2,4)\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 30}$.

Tegangan listrik normal yang didistribusikan oleh PLN ke rumah-rumah adalah sebesar 220 volt. Akan tetapi, tegangan nyata di rumah-rumah toleransinya berbeda-beda dan paling tinggi adalah 11 volt dari normalnya.

Tentukanlah tegangan nyata yang masih ditolerans oleh PLN pada kasus di atas

$\text{SOLUSI SOAL 30}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Dari informasi di atas diketahui bahwa}\\ & |x-220|\le 11\\ & \iff -11\le x-220\le 11\\ & \iff -11+220\le x-220+220\le 11+220\\ & \iff 209\le x\le 231\\ & \text{Jadi, tegangan yang ditoleransi PLN adalah}\\ & \text{209 volt sampai 231 volt}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Kanginan, M. 2016. Matematika untuk Siswa SMA-MA/SMK-MAK Kelas X (Wajib). Bandung: SRIKANDI EMPAT WIDYA UTAMA.
2. Maulana, F. 2010. Juara Olimpiade Matematika SMA. Jakarta: WAHYUMEDIA
3. Sunardi, Waluyo, S., Sutrisno, & Subagya. 2004. Matematika IA untuk SMA Kelas I. Jakarta: BUMI AKSARA.
4. Kumpulan Soal ada pada penulis.

Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Persiapan Menghadapi AN BK 2022

Berikut link yang dapat Anda gunakan untuk membantu memahami AN BK 2022

• Konsep Materi dan Contoh dan Pembahasan Numerasi Soal no. 1 - 5
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 6 - 10
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 11 - 12
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 13
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 14 - 15
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 16 - 18
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 19 - 20 
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 21 - 26
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no, 27 - 30

Kumpulan Matematika Seluruh Kelas dari Kelas X, XI, dan XII  MA/SMA/Sederajat

• Materi Matematika Wajib
• Materi Matematika Pendalaman/Peminatan

Lanjutan 2 Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 21}$.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Nilai eksak dari}\sin {36}^{\circ }\text{adalah}....\\ & \begin{array}{|c|}\hline \bullet \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \\ \bullet \cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1\\ \bullet {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1\\ \hline\end{array}\\ & \begin{array}{l}\\ \text{a}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}}& & & \text{d}.& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\\ \text{b}.& {\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}& & & \text{e}.& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\\ \text{c}.& {\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}}}\end{array}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 21}$.

Perhatikanlah ilustrasi segitiga berikut ini

$.\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}△ABC\text{sama kaki}\\ & \text{dengan}AD=DC=CB=1,AC=x\\ & \text{Diketahui pula}CD\text{adalah garis bagi}\\ & \text{serta}ABC\text{sebangun}△BCD\\ & \text{akibatnya}:\\ & \text{perbandingan sisi yang bersesuaian}\\ & \text{akan sama},\text{maka}\\ & {\displaystyle \frac{AB}{BC}={\displaystyle \frac{BC}{AB-AD}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}}\\ & \iff x(x-1)=1\\ & \iff x^2-x-1=0\\ & \iff x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}\\ & \text{akibatnya}AB=AC={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\ & \text{Selanjutnya gunakan}\text{aturan sinus}\\ & {\displaystyle \frac{AB}{\sin \mathrm{\angle }C}=\frac{BC}{\sin \mathrm{\angle }A}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{\sin \mathrm{\angle }C}{\sin \mathrm{\angle }A}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}{1}=\frac{\sin {72}^{\circ }}{\sin {36}^{\circ }}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}={\displaystyle \frac{2\sin {36}^{\circ }\cos {36}^{\circ }}{\sin {36}^{\circ }}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}=2\cos {36}^{\circ }}\\ & \iff \cos {36}^{\circ }=\iff {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\\ & \text{Dari fakta di atas kita akan dengan}\\ & \text{mudah menentukan nilai sinusnya}\\ & \text{yaitu dengan menggunakan}\\ & \text{identitas trigonometri berikut}:\\ & {\sin }^2{36}^{\circ }+{\cos }^2{36}^{\circ }=1\\ & \iff {\sin }^2{36}^{\circ }=1-{\cos }^2{36}^{\circ }\\ & \iff \sin {36}^{\circ }=\sqrt{1-{\cos }^2{36}^{\circ }}\\ & \iff =\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\right)}^2}\\ & \iff =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{16}}}\\ & \iff =\sqrt{{\displaystyle \frac{10-2\sqrt{5}}{16}}}\\ & \iff ={\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\end{array}$.

Untuk menjawab soal no.22,23,24, 25 dan 26 perlu diketahui bahwa

$\lfloor x\rfloor =\text{bilangan bulat terbesar}\le x$.

$\lfloor 3,14\rfloor =3,\lfloor -7,2\rfloor =-8,\lfloor 2\rfloor =2$.

$\text{CONTOH SOAL 22}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor a\rfloor \times a=68\text{dan}\lfloor b\rfloor \times b=109,\\ & \text{maka nilai dari}\lfloor a\rfloor \times \lfloor b\rfloor -\lfloor a+b\rfloor =\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 22}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & \lfloor a\rfloor a=68\text{dan}\lfloor b\rfloor b=109\\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le \lfloor a\rfloor a\text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le \lfloor b\rfloor b\\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le 68\text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le 109\\ & \iff \lfloor a\rfloor =8\text{dan}\lfloor a\rfloor =10\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bullet \lfloor a\rfloor a=68\Rightarrow 8a=68\Rightarrow a=8,5\\ & \bullet \lfloor b\rfloor b=109\Rightarrow 10b=109\Rightarrow b=10,9\\ & \text{Sehingga nilai}\\ & \lfloor a\rfloor \times \lfloor b\rfloor -\lfloor a+b\rfloor \\ & =8\times 10-\lfloor 8,5+10,9\rfloor \\ & =80-\lfloor 19,4\rfloor \\ & =80-19\\ & =61\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 23}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}a\lfloor a\rfloor =17\text{dan}b\lfloor b\rfloor =11,\text{maka}\\ & \text{nilai dari}a-b=\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 23}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & a\lfloor a\rfloor =17\text{dan}b\lfloor b\rfloor =11\\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le a\lfloor a\rfloor \text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le b\lfloor b\rfloor \\ & \iff {\lfloor a\rfloor }^2\le 17\text{dan}{\lfloor b\rfloor }^2\le 11\\ & \iff \lfloor a\rfloor =4\text{dan}\lfloor a\rfloor =3\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \bullet a\lfloor a\rfloor =17\Rightarrow 4a=17\Rightarrow a={\displaystyle \frac{17}{4}}\\ & \bullet b\lfloor b\rfloor =11\Rightarrow 3b=11\Rightarrow b={\displaystyle \frac{11}{3}}\\ & \text{Sehingga nilai}\\ & a-b={\displaystyle \frac{17}{4}-\frac{11}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{51-44}{12}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{12}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 24}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +y=43,8\text{dan}\\ & x+y-\lfloor x\rfloor =18,4,\text{maka nilai}\\ & \text{dari}10(x+y)=\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 24}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \bullet \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +y=43,8\text{dan}\\ & \bullet x+y-\lfloor x\rfloor =18,4\\ & \text{Sekarang misalkan untuk}\\ & \bullet a\le x<a+1\Rightarrow \lfloor x\rfloor =a\\ & \bullet b\le y\le b+1\Rightarrow \lfloor y\rfloor =b\\ & \text{Selanjutnya untuk}x\text{dan}y\\ & \text{dapat kita nyatakan dengan}\\ & \bullet x=a+m,\text{dengan}0\le m<1\\ & \bullet y=b+n,\text{dengan}0\le n<1\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Untuk persamaan pertama}}\\ & \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +y=43,8\\ & \iff a+b+b+n=43,8\\ & \iff a+2b+n=43,8\\ & \text{didapatkan}a+2b=43,\text{dan}n=0,8\\ & \mathbf{\text{Untuk persamaan kedua}}\\ & x+y-\lfloor x\rfloor =18,4\\ & \iff a+m+b+n-a=18,4\\ & \iff b+m+n=18,4\\ & \iff b+m+0,8=18,4\\ & \iff b+m=17,6\\ & \text{didapatkan}b=17,\text{dan}m=0,6\\ & \mathbf{\text{Selanjutnya perhatikan bahwa}}\\ & a+2b=43\iff a+2.(17)=43\\ & \iff a+34=43\iff a=43-34=9\\ & \mathbf{\text{Sehingga kita akan mendapatkan nilai}}\\ & \bullet x=a+m=9+0,6=9,6\\ & \bullet y=b+n=17+0,8=17,8\\ & \text{Jadi},10(x+y)=10(9,6+17,8)=274\end{array}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 25}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor 3x+y\rfloor =12\text{dan}\lfloor x+3y\rfloor =14,\\ & \text{maka nilai}\lfloor x+y\rfloor =\cdots \end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 25}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \bullet \lfloor 3x+y\rfloor =12\iff 12\le 3x+y<13\cdots (1)\\ & \bullet \lfloor x+3y\rfloor =14\iff 14\le x+3y<15\cdots (2)\\ & \text{Jika kedua ketaksamaan dijumlahkan, maka}\\ & 26\le 4x+4y<28\iff {\displaystyle \frac{26}{4}\le x+y<{\displaystyle \frac{28}{4}}}\\ & \iff 6{\displaystyle \frac{1}{2}\le x+y<7}\\ & \text{Jadi},\lfloor x+y\rfloor =6\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 26}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Jika}\lfloor {\displaystyle \frac{3x-7}{5}}\rfloor ={\displaystyle \frac{x}{3},\text{maka untuk}x\text{bulat terkecil}=\cdots }\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 26}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui bahwa}\\ & \lfloor {\displaystyle \frac{3x-7}{5}}\rfloor ={\displaystyle \frac{x}{3}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{x}{3}\le {\displaystyle \frac{3x-7}{5}<{\displaystyle \frac{x}{3}+1}}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{x}{3}\le {\displaystyle \frac{3x-7}{5}-\frac{x}{3}<{\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{x}{3}+1}}}\\ & \iff 0\le {\displaystyle \frac{4x-21}{15}<1}\\ & \iff 0\le 4x-21<15\\ & \iff 0+21\le 4x-21+21<15+21\\ & \iff 21\le 4x<36\\ & \iff {\displaystyle \frac{21}{4}\le x<9}\\ & \text{Jadi},x=6\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bambang, S. 2012. Materi, Soal dan Penyelesaian Olimpiade Matematika Tingkat SMA/MA. Jakarta: BINA PRESTASI INSANI.
2. Muslimin, M.S. 2018. Kumpulan Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tahun 2007-2019 Tingkat Kota/Kabupaten. Bandung: YRAMA WIDYA.
3. Mustofa, O. 2016. Olimpiyatlarina Hazirlik 1 Temel Bilgiler-1.Ankara
4. Tim Matematika. 2007. Program Pembinaan Kompetensi Siswa Bidang Matematika Tahap I. Bandung: LPPM ITB

Lanjutan Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

$\text{CONTOH SOAL 19}$.

Sebuah kolam berbentuk seperti gambar dengan panjang sampai ujung 10. Dua orang yang pada sebuah jalur lurus yang masing-masing berada pada posisi A dan B dan berjarak 8 kaki serta diketahui besar sudut sebagaimana ilustrasi pada gambar sebesar ${60}^0$. Tentukanlah jarak terpendek titik C ke jalur lurus tersebut

$\text{SOLUSI SOAL 19}$.

Jika kita sederhanakan gambar ilustrasi di atas adalah sebagai berikut

Kita akan menentukan panjang ruas garis yang berwarna merah di atas. Selanjutnya perhatikanlah

$\begin{array}{rl}& \text{Pada soal di atas, kita diminta untuk}\\ & \text{menentukan garis merah yang selanjutnya}\\ & \text{di sebut tinggi di sini}\\ & \text{Dengan bantuan luas segitiga ABC}\\ & \text{kita mendapatkan}\\ & \begin{array}{rl}\left[ABC\right]& =\left[ABC\right]\\ {\displaystyle \frac{\text{alas}\times \text{tinggi}}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin \mathrm{\angle }B}\\ {\displaystyle \frac{\text{AB}\times \text{tinggi}}{2}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}AB.BC\sin {60}^0}\\ \text{tinggi}& =BC\left({\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}\right)\end{array}\\ & \text{Dengan aturan cosinus kita juga akan}\\ & \text{dapatkan}\\ & \begin{array}{rl}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \mathrm{\angle }B\\ {10}^2& =8^2+B{C}^2-2.8.BC.\cos {60}^0\\ {10}^2& -8^2=B{C}^2-2.8.BC.\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ B{C}^2& -8BC-36=0\\ B{C}_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4.(-36)}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+144}}{2}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{208}}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{8\pm 4\sqrt{13}}{2}=4\pm 2\sqrt{13}}\\ & \text{pilih nilai BC yang positif, yaitu}\\ BC& =4+2\sqrt{13}\end{array}\\ & \text{Selanjutnya}\\ & \text{Tinggi}={\displaystyle \frac{1}{2}BC\sqrt{3}={\displaystyle \frac{1}{2}(4+2\sqrt{13})\sqrt{3}\text{ m}}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 20}$.

Sebuah kolam renang akan dibangun di area tanah yang berbentuk segitiga. Selain kolam renang juga akan dibangun ruang ganti kecil (lihat gambar berikut)

Tentukan jari-jari maksimu kolam renang jika tepi kolam renang bersinggungan dengan ruang ganti

$\text{SOLUSI SOAL 20}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Perhatikan bahwa}\\ & \begin{array}{rl}\left[\text{ruang ganti}\right]& =\text{luas ruang ganti, dengan}\\ s& ={\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c)\iff s=\frac{4+5+6}{2}={\displaystyle \frac{15}{2}}}\\ \left[\text{ruang ganti}\right]& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}(\frac{15}{2}-4)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-6)}}\\ & =\sqrt{\frac{15}{2}.\frac{7}{2}.\frac{5}{2}.\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\sqrt{\frac{7}{2}.\frac{2}{2}}=\frac{15}{4}\sqrt{14}\\ \text{Selain rumus}& \text{di atas, rumus luas juga berupa}\\ \left[\text{ruang ganti}\right]& =r_a(s-a)\\ {\displaystyle \frac{15}{4}\sqrt{14}}& =r_a.{\displaystyle \frac{7}{2}\iff {\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}=r_a}}\end{array}\\ & \text{Jadi, jari-jarinya adalah}{\displaystyle \frac{15}{14}\sqrt{14}\text{m}}\end{array}$.

DAFTAR PUSTAKA

1. Tampomas, H. 1999. SeribuPena Matematika SMU Jilid 1 Kelas 1. Jakarta: ERLANGGA.

Contoh Soal Persiapan untuk Numerasi AN BK 2022

• Konsep Materi dan Contoh dan Pembahasan Numerasi Soal no. 1 - 5
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 6 - 10
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 11 - 12
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 13
• Contoh Soal dan Pembahasan Numerasi no. 14 - 15

$\text{CONTOH SOAL 16}$.

(Di adaptasi dari soal OSN Matematika SD 2008)

Perhatikanlah Kertas yang diberi garis lurus berikut

• dengan menggambar sebuah garis lurus akan didapatkan dua daerah (lihat gambar 1 di atas)
• dengan menggambar dua garis lurus akan didapatkan paling banyak empat daerah (lihat gambar 2 di atas)
• dengan menggambar tiga garis lurus akan didapatkan paling banyak tujuh daerah (lihat gambar 3 di atas)

(a) Dengan menggambar empat garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?

(b) Dengan menggambar tujuh garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?

(c) Dengan menggambar duapuluh garis lurus, berapa daerah paling banyak akan didapatkan?

$\text{SOLUSI SOAL 16}$.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Alternatif 1}}\\ & \begin{array}{|lccccc|}\hline \text{Banyak garis}& 0& 1& 2& 3& 4\\ \text{Maksimum daerah}& 1& 2& 4& 7& 11\\ & & \begin{array}{c}\downarrow \\ U_1\end{array}& \begin{array}{c}\downarrow \\ U_2\end{array}& \begin{array}{c}\downarrow \\ U_3\end{array}& \begin{array}{c}\downarrow \\ U_4\end{array}\\ \hline\end{array}\\ & \mathbf{\text{Polanya adalah}}\\ & \begin{array}{rl}& \underset{2}{\underbrace{\begin{array}{cc}2& 4\end{array}}}\underset{3}{\underbrace{\begin{array}{cc}& 7\end{array}}}\underset{4}{\underbrace{\begin{array}{cc}& 11\end{array}}}\underset{\cdots }{\underbrace{\begin{array}{cc}& \cdots \end{array}}}\end{array}\\ & \text{Merupakan barisan aritmetika tingkat dua}\\ & \end{array}$.

Silahkan gunakan cara penyelesaian yang kurang lebih sama dengan yang di sini.

maka akan didapatkan rumus $U_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+1}$.

$\begin{array}{rl}(\text{a}).& n=4\to U_4=11\\ (\text{b}).& n=7\to U_7={\displaystyle \frac{7\times 8}{2}+1=29}\\ (\text{c}).& n=20\to U_{20}={\displaystyle \frac{20\times 21}{2}+1=211}\end{array}$.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{Alternatif 2}}\\ & \text{Untuk Barisan dengan selisih tetap atau}\\ & \text{lebih dikenal dengan barisan aritmetika secar}\\ & \text{umum dapat dituliskan untuk suku}\text{ke}-n\\ & U_n=U_1+\left(\begin{array}{c}n-1\\ 1\end{array}\right)b_1^1+\left(\begin{array}{c}n-1\\ 2\end{array}\right)b_1^2+\cdots +\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)b_1^k\\ & \text{dengan}{U}_1=\text{suku pertama}\to U_1=2\\ & b_1^1=\text{selisih tingkat 1}\to b_1^1=4-2=2\\ & b_1^2=\text{selisih tingkat 2}\to b_1^2=1\\ & \text{Untuk tingkat 2},\\ & \begin{array}{rl}{U}_n& =U_1++\left(\begin{array}{c}n-1\\ 1\end{array}\right)b_1^1+\left(\begin{array}{c}n-1\\ 2\end{array}\right)b_1^2\\ & =U_1+(n-1)b_1^1+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}{b}_1^2}\\ & =2+(n-1)(2)+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}(1)}\\ & =2+2n-2+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}\\ & =2n+{\displaystyle \frac{n^2-3n+2}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{n^2+n+2}{2}={\displaystyle \frac{n^2+n}{2}+1}}\\ U_n& ={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+1,\text{maka}}\\ U_4& ={\displaystyle \frac{4.5}{2}+1=11}\\ U_7& ={\displaystyle \frac{7.8}{2}+1=29,\text{serta}}\\ U_{20}& ={\displaystyle \frac{20.21}{2}+1=211}\end{array}\end{array}$.

Diberikan teks berikut untuk soal 17 dan 18

$\text{CONTOH SOAL 17}$.

(Di adaptasi dari soal UMPTN 1997 IPA Terpadu)

KESEIMBANGAN ENERGI PADA DAUN

Laju fotosintesis total F didefinisikan sebagai jumlah total karbohidrat yang terbentuk dalam proses fotosintesis persatuan waktu. Hasil fotosintesis neto N didefinisikan sebagai sisa karbohidrat persatuan waktu setelah respirasi memecah karbohidrat sejumlah R persatuan waktu. Kelakuan besaran-besaran tersebut terhadap suhu antara ${10}^0$ C sampai ${30}^0$ C diamati sebagaimana berikut ini.

Ketika suhu naik, F bertambah lebih cepat dari pada R (yang naik secara eksponensial), tetapi segera mencapai harga yang tetap karena keterbatasan $C{O}_2$, sehingga N mulai menurun. Jadi N terhadap suhu hampir berbentuk parabola dengan puncak sekitar ${18}^0$ C.

Suhu daun dikendalikan oleh energi yang datang dan energi yang dikeluarkan. Energi dikeluarkan dari daun melalui proses konduksi ke sekelilingnya, dengan radiasi gelombang panjang, dan melalui transpirasi yang dapat berkisar antara 25% hingga 50%.

Bila pori daunnya tertutup untuk menahan penguapan air, maka suhunya naik. Radiasi terutama terjadi pada malam hari ketika tidak berawan sehingga daunnya mendingin.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Jika jumlah N pada suhu}{10}^{0}C\text{adalah a dan}\\ & \text{pada suhu}{30}^{0}C\text{adalah b, maka N pada suhu t}\\ & \text{sekitar}\\ & (\text{a}){\displaystyle \frac{b-a}{80}{t}^2-{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\\ & (\text{b}){\displaystyle \frac{b-a}{80}{t}^2+{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\\ & (\text{c}){\displaystyle \frac{a-b}{80}{t}^2-{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\\ & (\text{d}){\displaystyle \frac{a-b}{80}{t}^2+{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\\ & (\text{e}){\displaystyle \frac{b-a}{80}{t}^2-{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t-{\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}}}\end{array}$.

$\text{PEMBAHASAN SOAL NO.17}$.

$\begin{array}{rl}& \text{Diketahui fungsi berbentuk parabola dengan}\\ & f(t)=p{t}^2+qt+r.\text{Selanjutnya}\\ & \begin{array}{lll}& f(t)& =p{t}^2+qt+r\\ & f(10)& =100p+10q+r& =a.......(1)\\ & f(30)& =900p+30q+r& =b.......(2)& -\\ & & -800p-20q& =a-b\end{array}\\ & \text{dan puncaknya di}{t}_{puncak}=-{\displaystyle \frac{q}{2p}=18,}\\ & \iff q=-36p............(4)\\ & \text{Dari persamaan}(3)\mathrm{\&}(4)\\ & -800p-20q=a-b\\ & \iff -800p-20(-36p)=a-b\\ & \iff -800p-720q=a-b\\ & \iff -80p=a-b\\ & \iff p={\displaystyle \frac{b-a}{80},\text{maka}q={\displaystyle \frac{-9b+9a}{20}}}\\ & \text{dan}r={\displaystyle \frac{13b-9a}{4}}\\ & \text{Sehingga}\\ & f(t)={\displaystyle \frac{b-a}{80}{t}^2-{\displaystyle \frac{9b-9a}{20}t+\frac{13b-9a}{4}}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 18}$.

$\begin{array}{l}\text{Grafik F di atas terhadap suhu berbentuk seperti}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 18}$.

Cukup Jelas opsi yang tepat adalah C

DAFTAR PUSTAKA

1. Departemen Operasi Lembaga Pendidikan Primagama. 1997. Siap UMPTN Kelompok IPA. Yogyakarta: PT. Mitra Prima Media.
2. Sobel, M. A., Maletsky, E.M. 2004. Mengajar Matematika Sebuah Buku Sumber Alat Peraga, Aktivitas, dan Strategi untuk Guru Matematika SD, SMP, SMA. Jakarta: ERLANGGA.
3. Wibowo, S.S. 2015. Kumpulan Soal & Pembahasan Olimpiade Matematika SD Jilid 1. Bandung: YRAMA WIDYA.

Contoh Soal Numerasi Lanjutan 4 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

$\text{CONTOH SOAL 14}$.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Jika sesorang ingin bepergian dari kota A ke kota C dengan melewati kota B dan jalur yang bisa dipilih tersedia sebagaimana pada gambar yaitu dari kota A ke kota B tersia 4 jalur berbeda dan dari kota B ke kota C tersedia 3 jalur berbeda, maka berapa jalur yang dapat ditempuh seseorang jika ia bermula dari kota A ke kota C dengan harus melewati kota B

$\text{SOLUSI SOAL 14}$.

Jalur yang dapat ditempuh adalah sebanyak 4 x 3 = 12 jalur dari kota A ke kota C dengan harus melewati kota B sebagaimana gambar pada soal di atas.

$\text{CONTOH SOAL 15}$.

Jika seseorang tadi berangkat dari kota A ke kota C dengan harus melewati kota C kemudian pulangnya dari C ke A dengan melewati kota B juga, berapa banyak jalur yang dapat dipilih jika antara berangkat dan pulang menggunakan jalur yang berbeda?

$\text{SOLUSI SOAL 15}$.

Dengan kondisi seperti pada soal karena saat berangkat semua jalur dapat dipilih semua dari daftar pilihan yang mungkin atau yang ada dan jika ketika pulang disyaratkan harus dengan memilih jalur yang berbeda dari saat berangkat, maka ketika pulang dari kota C akan mau ke B, maka jalur akan berkurang satu (ingat saat berangkat salah satu jalur ini sudah dipilih). Demikian pula saat sampai di B kemudian ingin menuju ke A, maka ia hanya punya 3 pilihan (karena saat berangkat ia punya 4 pilihan dan saat itu ia sudah mengambil satu jalur dari 4 jaur yang ada). Sehingga total jalur yang dapat dipilih ada sebanyak : 4 x 3 x (3-1) x (4-1) = 72 jalur yang berbeda.

Contoh Soal Numerasi Lanjutan 3 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

 $\text{CONTOH SOAL 13}$.

Diberikan dua kertas karton A dan B yang sama ukurannya diatur dengan posisi berbeda berikut

Jika lebarnya (bagian seperti tinggi) baik kertas A maupun kertas B bagian tepinya direkatkan jadilah ia sebuah tabung yang tentunya tinggi tabung dari kertas A dan B akan menyesuaikan lebar kertasnya. Tentukanlah volume terbesar dari kedua tabung tersebut dan berilah alasannya

$\text{SOLUSI SOAL 13}$.

Perhatikanlah ilustrasi dari dua kertas yang sama ukurannya di atas yang dikondisikan posisinya berbeda

Lingkaran  di bawah masing-masing hanya menunjukkan bahwa setelah masing-masing kertas bagian lebar tepinya saling direkatkan akan berupa lingkaran karena hasilnya adalah berupa tabung (tentunya kedua tabungnya tanpa alas dan atap)

$\begin{array}{|lll|}\hline \text{Bagian}& \mathbf{\text{Lingkaran A}}& \mathbf{\text{Lingkaran B}}\\ \begin{array}{rl}& \text{keliling}\\ & \text{alas}\end{array}& 35& 14\\ \text{Jari-Jari}& \begin{array}{rl}2\pi r_{{}_A}& =35\\ r_{{}_A}& ={\displaystyle \frac{35}{2\pi }}\end{array}& \begin{array}{rl}2\pi r_{{}_B}& =14\\ r_{{}_B}& ={\displaystyle \frac{14}{2\pi }}\end{array}\\ \text{Luas}& \begin{array}{rl}\mathbf{\text{L}}& =\pi r_A^2\\ & =\pi {\left({\displaystyle \frac{35}{2\pi }}\right)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{1225}{4\pi }}\end{array}& \begin{array}{rl}\mathbf{\text{L}}& =\pi r_B^2\\ & =\pi {\left({\displaystyle \frac{14}{2\pi }}\right)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{196}{4\pi }}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

Jelas bahwa pengaruh utama terletak pada panjang jari-jarinya. Karena dalam penghitungan volume jari-jarinya harus dikuadratkan, maka hasil yang didapatkan akan sangat berpengaruh. Dan karena jari-jari didasarkan berasal dari keliling lingkaran (panjang kertas), maka kertas dengan keliling alas terbesar akan memiliki volume yang terbesar pula.

Contoh Soal Numerasi Lanjutan 2 Persiapan Asesmen Nasional (AN)

Materi Pendukung

A. Faktor Pembilang

Misalkan kita ingin mendaftar bilangan keliapatan genap positif  $m$ yang kurang dari atau sama dengan $n$. 

Jika $n$ kelipatan dari $m$, maka akan dapat dituliskan $n=k.m$. Karena $n=k.m$ selanjutnya  $k={\displaystyle \frac{n}{m}}$ dan oleh karenanya dapat dituliskan pula $m,2m,\cdots ,km=n$.

Akan tetapi, jika $n$ bukan merupakan kelipatan dari $m$, maka akan terdapat suatu bilangan bulat $k$ dengan  $km<n<(k+1)m$, dengan  $k$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari  ${\displaystyle \frac{n}{m}}$.

B. Fungsi Bilangan Dasar/Fungsi Tangga

Untuk suatu bilangan asli  $x$, fungsi dasar  $x$ dinotasikan dengan  $\lfloor x\rfloor$ adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan  $x$.

Contoh:

$\lfloor 1,7\rfloor =1,\lfloor \sqrt{5}\rfloor =2,\text{dan}\lfloor 4\rfloor =4$.

Selanjutnya, untuk menuliskan banyaknya bilangan bulat positif  $m$ yang kurang dari atau sama dengan bilangan bulat $n$  adalah  $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{m}}\rfloor$.

Contoh:

Untuk menuliskan banyaknya bilangan kelipatan 3 yang yang terletak di antara bilangan 5 dan 10 dapat ditentukan dengan 

$\begin{array}{rl}& \lfloor {\displaystyle \frac{10}{3}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{5}{3}}\rfloor =3-1=2\\ & \\ & \text{bukan dituliskan dengan}\\ & \lfloor {\displaystyle \frac{10-5}{3}}\rfloor =\lfloor {\displaystyle \frac{5}{3}}\rfloor =1\end{array}$.

Prinsip Inklusi Eksklusi

Hal yang berkaitan dengan jumlah hitungan dan tidaknya.

Jika diberikan $N$ objek, sebagai misal

• $N(\alpha )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$
• $N(\beta )$  banyaknya objek dengan sifat  $\beta$
• $N(\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\gamma$
• dan seterusnya

dan misal

• $N(\alpha ,\beta )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$  dan  $\beta$
• $N(\alpha ,\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$  dan  $\gamma$
• $N(\beta ,\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\beta$  dan  $\gamma$
• dan seterusnya

serta misalkan juga 

• $N(\alpha ,\beta ,\gamma )$  banyaknya objek dengan sifat  $\alpha$,  $\beta$ serta $\gamma$

Maka gabungan objek $N$ dengan sifat $\alpha$,  $\beta$ serta $\gamma$  adalah:

$\begin{array}{rl}& \left|N(\alpha )\cup N(\beta )\cup N(\gamma )\cup \cdots \right|\\ & =\left|N(\alpha )+N(\beta )+N(\gamma )+\cdots \right|\\ & -\left|N(\alpha ,\beta )+N(\alpha ,\gamma )+N(\beta ,\gamma )+\cdots \right|\\ & +\left|N(\alpha ,\beta ,\gamma )+\cdots \right|\\ & -\cdots \end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 11}$.

Perhatikanlah tabel berikut

Ada berapa banyak bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3?

$\text{SOLUSI SOAL 11}$.

$\begin{array}{rl}S& =\text{himpunan bilangan antara}1-500\\ \text{m}& \text{isalkan}\\ A& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 2}\\ B& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 3}\\ A& \cup B=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 atau 3}\\ A& \cap B=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3}\\ \text{m}& \text{aka}\\ & |A\cup B|\\ & =\left|A\right|+\left|B\right|-|A\cap B|\\ & =\lfloor {\displaystyle \frac{500}{2}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{500}{3}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{500}{6}}\rfloor \\ & =250+166-83\\ & =333\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 12}$.

Perhatikan pula tabel berikut

Ada berapa banyak pula bilangan 1 - 500 yang habis dibagi 2 atau 3 atau 5?

$\text{SOLUSI SOAL 12}$.

$\begin{array}{rl}S& =\text{himpunan bilangan antara}1-500\\ \text{m}& \text{isalkan}\\ A& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 2}\\ B& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 3}\\ C& =\text{himpunan bilangan habis dibagi 5}\\ A& \cup B\cup C=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2, 3, atau 5}\\ A& \cap B=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3}\\ A& \cap C=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 5}\\ B& \cap C=\text{himpunan bilangan habis dibagi 3 dan 5}\\ A& \cap B\cap C=\text{himpunan bilangan habis dibagi 2 dan 3 serta 5}\\ \text{m}& \text{aka}\\ & |A\cup B\cup C|\\ & =\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-|A\cap B|-|A\cap C|\\ & -|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\\ & =\lfloor {\displaystyle \frac{500}{2}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{500}{3}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{500}{5}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{500}{6}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{500}{10}}\rfloor -\lfloor {\displaystyle \frac{500}{15}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{500}{30}}\rfloor \\ & =250+166+100-83-50-33+16\\ & =366\end{array}$.

Contoh Soal Numerasi Lanjutan Persiapan Asesmen Nasional (AN)

$\text{CONTOH SOAL 6}$.

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Sebuah titik (x,y) diambil secara acak dari dalam persegi panjang yang terbentuk dari titik (0,0), (4,0), (4,1) dan (1,0). Probabilitas x<y adalah ... .

$\begin{array}{l}\\ \text{A}.& {\displaystyle \frac{1}{8}}& & & \text{D}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \\ \text{B}.& {\displaystyle \frac{1}{4}}& \text{C}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}& \text{E}.& {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 6}$.

Jika gambar diperjelas dengan kertas berpetak akan tampak dengan jelas luasnya, yaitu

Tampak Jelas bahwa luas daerah yang dibatasi oleh  $f(x)=y=x$ dengan $x<y$ adalah ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Perhatikan ilustrasi berikut

Dan jelas juga bahwa total luas persegi pajang di atas adalah 4 satuan luas serta luas daerah. Sehingga probabilitas bahwa titik (x,y) yang dipilih secara acak pada persegi panjang di atas dengan x<y adalah:

$\begin{array}{rl}\text{Probabilitas}& ={\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$.

Jadi, opsi jawaban di atas adalah A.

$\text{CONTOH SOAL 7}$.

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Sebuah titik P akan dipilih secara acak dari bagian dalam sebuah segilima dengan koordinat titik sudut  $A(0,2)$, $B(4,0)$, $C(2\pi +1,1)$, $C(2\pi +1,4)$, dan  $E(0,4)$. Probabilitas bahwa  $\mathrm{\angle }APB$  sebuah sudut tumpul adalah ... .

$\begin{array}{l}\\ \text{A}.& {\displaystyle \frac{1}{5}}& & & \text{D}.& {\displaystyle \frac{3}{8}}\\ \\ \text{B}.& {\displaystyle \frac{1}{4}}& \text{C}.& {\displaystyle \frac{5}{16}}& \text{E}.& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 7}$.

Sebelumnya perlu dingat bahwa sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari  ${90}^{\circ }$. Selanjutnya perhatikan gambar berikut

Gambar di atas menunjukkan sebuah titik P dengan  $\mathrm{\angle }APB={90}^{\circ }$. Dalam hal ini titik P terletak pada keliling dari setengah lingkaran dengan pusat lingkaran (2,1) terletak pada ruas garis AB dengan jari-jari

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\end{array}$. Dantitik yang berada di luar setengah lingkaran tetapi masih dalam segilima ABCDE tersebut akan memiliki  $\mathrm{\angle }APB<{90}^{\circ }$ dan titik-tik yang berada di dalam setengah lingkrang ini akan memiliki sudut  $\mathrm{\angle }APB>{90}^{\circ }$. Sehingga untuk menentukan probabilitas $\mathrm{\angle }APB$ tumpul adalah sama saja kita menentukan probabilitas untuk $\mathrm{\angle }APB>{90}^{\circ }$, yaitu:

$\begin{array}{rl}\text{Probabilitasnya}& ={\displaystyle \frac{\mathbf{\text{Luas setengah lingkaran}}}{\mathbf{\text{Luas segilima}}ABCDE}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}\pi \times {\left(\sqrt{5}\right)}^2}}{(2\pi +1)\times 4-\left({\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times 4}\right)}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}\left(5\pi \right)}}{8\pi }}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{16}}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 8}$.

Gambar 0, 1, 2, dan 3 berturut-turut terdiri atas 1, 5, 13, dan 25 persegi satuan sebagaimana ilustrasi gambar berikut

Jika pola di atas berlanjut, maka persegi satuan pada gambar ke-100 adalah ... .

$\begin{array}{l}\\ \text{A}.& 10.401& & & \text{D}.& 39.801\\ \\ \text{B}.& 19.801& \text{C}.& 20.201& \text{E}.& 40.801\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 8}$.

Untuk memudahkan penghitungan persegi kecil, ada baiknya kita susun menjadi susunan persegi agak besar dengan melengkapkan persegi-persegi kecil dikeempat pojoknya sebagaimana ilustrasi berikut

Setelah ditambah kotak warna pink, maka perhitungan jumlah kotak warna hijau pada gambar ke-n akan semakin mudah, yaitu:

mulai dari gambar pertama atau suku ke-0, maka 

$\begin{array}{rl}{U}_n& =(2n+1{)}^2-4.{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\\ & =4n^2+4n+1-2n^2-2n\\ & =2n^2+2n+1\\ \text{ma}& \text{ka suku ke-100 (gambar ke-100)}\\ U_{100}& ={2.100}^2+2.100+1\\ & =20.201\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 9}$.

Pada persegi panjang ABCD diketahui AD = 1, Titik P berada di ruas garis AB. Ruas garis DB dan DP membagi tiga sudut $\mathrm{\angle }ADC$, maka keliling $△BDP$ adalah ... .

$\begin{array}{l}\\ \text{A}.& 3+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}& & & \text{D}.& {\displaystyle \frac{3+3\sqrt{5}}{2}}\\ \\ \text{B}.& 2+{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}& \text{C}.& 2+2\sqrt{2}& \text{E}.& 2+{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}$.

$\text{SOLUSI SOAL 9}$.

Karena $\overline{DB}\text{dan}\overline{DP}$ membagi sudut ADC menjadi tiga bagian yang sama besar, maka 

$\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }BDP=\mathrm{\angle }PDA={30}^{\circ }$,

maka

$\begin{array}{rl}AP& =AD\tan \mathrm{\angle }PAD=1.\tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}\\ DP& ={\displaystyle \frac{AD}{\cos {30}^{\circ }}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}}}}\\ AB& =AD\mathrm{\angle }BDA=1.\tan {60}^{\circ }=1.\sqrt{3}=\sqrt{3}\\ DB& =\sqrt{D{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}\\ & =\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\end{array}$.

Sehingga keliling  

$\begin{array}{rl}△BDP& =BD+DP+PB\\ & =2+{\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}+(\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}})}\\ & =2+{\displaystyle \frac{4}{3}\sqrt{3}}\end{array}$.

Jadi, jawaban yang tepat adalah opsi B.

$\text{CONTOH SOAL 10}$.

Manakah di antara kerucut berikut ini yang terbentuk dari sektor lingkaran bersudut ${252}^{\circ }$ dan jari-jari 10 dengan cara menyambungkan kedua sisinya yang lurus?

A.  

B. 

. 

C. 

 

D. 

E. 

$\text{SOLUSI SOAL 10}$.

Keliling lingkaran yang bagiannya terpotong adalah  $2\pi \times 10=20\pi$ dan bagian dari luas lingkaran yang akan menjadi selimut kerucut adalah:

${\displaystyle \frac{{252}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\times 20\pi =14\pi }$. Perhatikan gambar berikut

Sehingga keliling lingkaran sebagai alas kerucut adalah $14\pi$. 

Dari fakta ini, maka lingkaran sebagai alas kerucut akan memiliki jari-jari:

$\begin{array}{rl}{L}_{⨀\text{alas}}& =2\pi r\\ r& ={\displaystyle \frac{L_{⨀\text{alas}}}{2\pi }}\\ & ={\displaystyle \frac{14\pi }{2\pi }}\\ & =7\end{array}$

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah gambar opsi C.

DAFTAR PUSTAKA

1. Faires, J. Douglas. 2006. Langkah Pertama Menuju Olimpiade Matematika Menggunakan Kompetisi Matematika Amerika, ed. ke-3. Terjemahan: Tim Penerjemah. Pakar Raya, Bandung. 307 hal.

Mencoba Lebih Dekat dengan Numerasi AKM untuk Siswa Setingkat SMA/MA atau Sederajat pada Asesmen Nasional (AN)

 A. Apa itu AKM

AKM adalah singkatan dari Asesmen Kompetensi Minimum merupakan penilaian kompetensi mendasar yang diperlukan oleh semua murid untuk mampu mengembangkan kapasitas diri dan berpartisipasi positif  pada masyarakat.

Ada 2 macam kompetensi mendasar yang akan diukur pada AKM ini, yaitu: literasi membaca dan literasi matematika (numerasi). Baik literasi membaca maupun literasi matematika/numerasi, kompetensi mendasar yang akan dinilai mencakup

• keterampilan berpikir logis-sistematis
• keterampilan bernalar dengan konsep yang ada
• keterampilan mengolah data dan fakta dari informasi yang ada.

AKM ini dimaksudkan untuk mengukur kompetensi secara mendalam, tidak sekedar penguasaan konten 

B. Numerasi

Numerasi adalah kemampuan berpikir menggunakan konsep, prosedur, fakta, dan alat matematika untuk menyelesaikan masalah sehari-hari pada berbagai jenis konteks yang relevan untuk individu sebagai warga negara Indonesia dan dunia. Selanjutnya yang masuk kategori numerasi di sini adalah: bilangan, geometri dan pengukuran, aljabar, data, ketidakpastian.

C. Karakter Soal Numerasi

Sebagaimana telah diketahui di atas, dalam penyelesaian permasalahan (problem solving) dari soal numerasi dibutuhkan kecermatan dalam menemukan konsep, prosedur serta fakta dari permasalahan kontektual yang diberikan sehingga proses penyelesesaian dengan konsep dan prosedur akan lebih efektif tentunya dengan ditunjang tidak mudah apriori ketika menemukan permasalah matematis.

D. Perbedaan Soal UN dan AKM

$\begin{array}{|lll|}\hline \mathbf{\text{Aspek}}& \mathbf{\text{UN}}& \mathbf{\text{AKM}}\\ \begin{array}{rl}& \text{Format}\\ & \text{soal}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{PG dan isian}\\ & \text{singkat}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{PG, PG kompleks,}\\ & \text{menjodohkan, isian}\\ & \text{singkat, dan uraian}\end{array}\\ \hline\end{array}$

$\begin{array}{|lll|}\hline \mathbf{\text{Aspek}}& \mathbf{\text{UN}}& \mathbf{\text{AKM}}\\ \begin{array}{rl}& \text{Teks}\\ & \text{untuk}\\ & \text{stimulus}\\ & \text{soal}\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Panjang 2-3 paragraf}\\ & (100\text{kata}),\text{sedikit}\\ & \text{ilustrasi. Hanya 1}\\ & \text{teks untuk}\\ & \text{menjawab satu soal}\\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Panjang bergradasi}\\ & \text{sesuai kelas. Di kelas}\\ & \text{11 panjang teks}\\ & \text{sampai 700 kata}.\\ & \text{Teks disertai ilustrasi}\\ & \text{dan infografis},\\ & \text{terdapat soal-soal}\\ & \text{yang memerlukan}\\ & \text{pemahaman multiteks}\end{array}\\ \begin{array}{rl}& \text{Format}\\ & \text{jawaban}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Semua jawaban}\\ & \text{tunggal}\\ & \end{array}& \begin{array}{rl}& \text{Disediakan soal}\\ & \text{dengan jawaban}\\ & \text{terbuka}\end{array}\\ \hline\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL NUMERASI}$.

Berikut akan diberiakan 2 contoh soal beserta cara penyelesaiannya 

sumber soal diperoleh dari tangkapan layar kumpulan soal saat simulasi untuk siswa setingkat SMA/MA

$\text{CONTOH SOAL 1}$.

$\text{SOLUSI SOAL 1}$.

Jika dari ilustrasi gambar pada soal kita ilustrasikan dengan gambar secara geometri akan membantu kita dalam menentukan langkah penyelesaian selanjutnya, berikut ilustrasi geometrisnya

Dari gambar di atas, jika kita lengkapi fakta-fakta, maka ilustrasi geometris di atas dapat diperjelas dengan bentuk sebagaimana berikut

Setelah kita tandai kedua sisi pengapit siku-sikunya adalah Y  dan  ( X + 2460) m, maka

$\begin{array}{rl}Y& =Y\\ 2460\times \tan {60}^{\circ }& =(x+2460)\times \tan {30}^{\circ }\\ 2460\times \left(\sqrt{3}\right)& =(x+2460)\times \left({\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{3}}\right)\\ 2460\times 3& =x+2460\\ 7380& =x+2460\\ x& =7380-2460\\ & =4920\end{array}$.

Maka tinggi letusan awan panas gunung tersebut adalah 4920 atau pilihan jawaban yang sesuai adalah opsi E.

$\text{CONTOH SOAL 2}$.

$\text{SOLUSI SOAL 2}$.

Ilustrasi berupa susunan lingkaran seperti terlihat pada soal di atas jika di modelkan secara matematis adalah sebagaimana susunan bilangan berikut

Tampak bahwa susunan bilangan di atas berpola meningkat dengan selisih tetap pada tingkat ke-2, maka kita dapat menggunakan barisan aritmetika tingkat dua, yaitu dengan rumus suku ke-n adalah  $U_n=a{n}^2+bn+c$.

$\begin{array}{rl}\text{Dik}& \text{etahu bahwa}:\\ U_1& =3\\ U_2& =6\\ U_3& =10\\ U_4& =15\\ ⋮& ⋮\end{array}$.

$\begin{array}{rl}\text{Sel}& \text{anjutnya kita uraikan}\\ U_1& =a{.1}^2+b.1+c=a+b+c=3\\ U_2& =a{.2}^2+b.2+c=4a+2b+c=6\\ U_3& =a{.3}^2+b.3+c=9a+3b+c=10\\ U_4& =a{.4}^2+b.4+c=16a+4b+c=15\\ ⋮& ⋮\end{array}$.

Selanjutnya kita gunakan teknik eliminasi karena bentuk persamaan di atas berbentuk persamaan linier tiga variabel, a, b, dan c, yaitu:

$\begin{array}{r}\\ U_2& =4a+2b+c=6\\ U_1& =a+b+c=3& -\\ U_2-U_1& =3a+b=3.........(1)\end{array}$.

dan

$\begin{array}{r}\\ U_3& =9a+3b+c=10\\ U_2& =4a+2b+c=6& -\\ U_3-U_2& =5a+b=4.........(2)\end{array}$.

sehingga

$\begin{array}{r}\\ (2)& 5a+b=4\\ (1)& 3a+b=3& -\\ (2)-(1)& 2a=1\\ & \\ \text{maka}& a={\displaystyle \frac{1}{2}.........(3)}\end{array}$.

$\begin{array}{r}\\ (2)& 5a+b=4& |\times 2|& 10a+2b=8\\ (3)& 2a=1& |\times 5|& 10a=5\\ & & & 2b=3\\ & & & b={\displaystyle \frac{3}{2}.........(4)}\end{array}$.

Selanjutnya dengan metode substitusi dari persamaan (3) dan (4), maka

$\begin{array}{rl}& a+b+c=3\\ \iff & \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+c=3\\ \iff & {\displaystyle \frac{1+3}{2}+c=3}\\ \iff & 2+c=3\\ \iff & c=3-2\\ \iff & c=1\end{array}$.

$\begin{array}{rl}\text{Dar}& \text{i persamaan-persamaan di atas didapat}\\ U_n& =a{n}^2+bn+c\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}{n}^2+\frac{3}{2}n+1}\\ \text{Seh}& \text{ingga suku ke-7, cukup dengan}{U}_7,\text{yaitu}\\ U_7& ={\displaystyle \frac{1}{2}(7{)}^2+\frac{3}{2}(7)+1}\\ & ={\displaystyle \frac{49}{2}+\frac{21}{2}+1}\\ & ={\displaystyle \frac{70}{2}+1}\\ & =35+1\\ & =36\end{array}$.

Jadi, jumlah bola pada susunan ke-7 adalah 36 buah.

$\text{CONTOH SOAL 3}$.

$\begin{array}{l}\\ & \text{Perhatikalah dua ilustrasi gambar berikut}\end{array}$

Gambar (1)

Gambar (2)

$\begin{array}{l}\\ .& \text{Tentukanlah}\\ & \text{a}.\text{jalur terpendek dari titik A ke B}\\ & \text{pada gambar (1)}\\ & \text{b}.\text{jalur terpendek dari titik P ke Q}\\ & \text{pada gambar (2)}\\ \\ & \text{SOLUSI SOAL 3}\\ & \begin{array}{rl}\text{a}.& \text{Perhatikanlah bahwa langkah dari titik A}\\ & \text{ke titik B harus terdiri dari 8 langkah, yaitu}\\ & \text{3 langkah ke kanan dan 5 langkah ke atas}\\ & \text{Karena yang diinginkan lintasan terpendek}\\ & \text{dan tidak ada kekhususn harus dimulai dari}\\ & \text{mana, maka banyaknya langkah berbdeda}\\ & \text{dan terpendek adalah}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)\text{atau}\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right).\text{Misal kita hitung salah}\\ & \text{satunya saja}:\\ & \left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{8!}{3!(8-5)!}=\frac{8!}{3!\times 5!}=\frac{8.7.6.\text{⧸}5!}{6.\text{⧸}5!}=56}\end{array}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}\text{b}.& \text{Untuk poin b, perhatikanlah ilustrasi}\\ & \text{gambar berikut(untuk memudahkan}\\ & \text{perhitungan). Tempatkan titik-titik}\\ & \text{bantu A, B, C, D, E, dan F seperti}\\ & \text{pada gambar berikut}\end{array}$

$.\begin{array}{rl}.& \text{Perhatikanlah untuk setiap lintasan}\\ & \text{terpendek dari titik P ke titik Q}\\ & \text{dapat dipastikan akan melewati}\\ & \text{titik A, B, C, dan D. Sehingga dari}\\ & \text{keempat titik itulah akan diperoleh}\\ & \text{rute PAQ, PBQ, PCQ, dan PDQ}.\\ & \text{Sehingga banyak rute terpendek dari}\\ & \text{titik P ke Q yang selanjutnya kita}\\ & \text{simbolkan dengan}\mathrm{\#}PQ\text{adalah}:\\ & \begin{array}{rl}\mathrm{\#}PQ& =\mathrm{\#}PAQ+\mathrm{\#}PBQ+\mathrm{\#}PCQ+\mathrm{\#}PDQ\\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{\#}PECQ+\mathrm{\#}PFCQ+\mathrm{\#}PFDQ\\ & =1.1+4.5+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\\ & =1+20+3.1.3+3.3.3+3.1.1\\ & =1+20+9+27+3\\ & =60\end{array}\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 4}$.

Perhatikanlah gambar berikut

Tentukanlah banyak segitiga yang dapat dibuat dari melalui 6 titik tersebut?

$\text{SOLUSI SOAL 4}$.

Karena setiap segitiga dapat dibuat dari 3 buah titik yang tidak segaris/berbeda dan total titik yang tersedia adalah 6 buah, maka untuk mempermudah menentukan banyak segitiga yang terbuat dapat digunakan kombinasi, yaitu:

$\begin{array}{rl}\text{Banyak}& \text{segitiga}\\ & =\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{6!}{3!(6-3)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{6!}{3!\times 3!}}\\ & ={\displaystyle \frac{6\times 5\times 4\times \text{⧸}3!}{3\times 2\times 1\times \text{⧸}3!}}\\ & =20\end{array}$.

$\text{CONTOH SOAL 5}$.

Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH berikut

Diketahui bahwa kubus tersebut di atas memiliki rusuk 1 cm tanpa tanpa alas dan tutup. Jika seekor semut berjalan dari titik A ke titik E melalui seluruh sisi kubus, maka tentukan panjang lintasan terpendek yang dapat ditempuh semut tersebut.

$\text{SOLUSI SOAL 5}$.

Jika gambar kubus ABCD.EFGH di atas dibuat jaring-jaringnya, maka akan tampak sebagai berikut

dengan fakta bahwa bentuk jaring-jaring kubus berbentuk dua dimensi dengan jenis persegi panjang serta memiliki ukuran 4 cm x 1 cm, maka dengan mudah kita tarik sebuah garis yang menghubungkan titik A ke titik E', yaitu berupa segitiga siku-siku di A'. Sehingga panjang garis ini dapat dengan mudah kita tentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu:

$\begin{array}{rl}A{E}^{\prime }& =\sqrt{{\left(A{A}^{\prime }\right)}^2+{\left(A^{\prime }{E}^{\prime }\right)}^2}\\ & =\sqrt{4^2+1^2}\\ & =\sqrt{16+1}\\ & =\sqrt{17}\end{array}$.

Jadi, lintasan terpendek yang dapat dilalui semut dari titik A ke titik E melalui seluruh sisi kubus adalah sepanjang  $\sqrt{17}$  cm.

DAFTAR PUSTAKA

1. Azis, A., Budi, D. S. 2013. Kupas Tuntas Olimpiade Matematika Tingkat SD. Yogyakarta: ANDI.
2. Pusat Asesmen dan Pembelajaran Balitbang dan Perbukuan. 2021. Kebijakan Asesmen Nasional 2021. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
3. Pusat Asesmen dan Pembelajaran: Asesmen Kompetensi Minimum. http://pusmenjar.kemdikbud.go.id/AKM
4. Susyanto, N. 2012. Tutor Senior Olimpiade Matematika Lima Benua Tingkat SMP. Yogyakarta: KENDI MAS MEDIA.
5. Thohir, Ahmad, 2013. Materi Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika MA/SMA. Grobogan: MA FUTUHIYAH.